Cvičení 3: Výpočet číselných charakteristik intervalových a poměrových
znaků
Úkol 1.: Otevřeme datový soubor ocel.sta, který obsahuje údaje o mezi plasticity (znak X,
v kp cm-2
) a mezi pevnosti (znak Y, v kp cm-2
) 60 vzorků oceli.
a) Pro mez plasticity a mez pevnosti vypočteme aritmetický průměr, směrodatnou odchylku,
rozptyl, koeficient variace, šikmost a špičatost.
b) Vypočteme kovarianci a Pearsonův koeficient korelace meze plasticity a meze pevnosti.
Návod:
ad a) Statistiky – Základní statistiky/tabulky – Popisné statistiky – OK – Proměnné X, Y –
OK – Detailní výsledky - zaškrtneme Průměr, Směrodat. odchylka, Rozptyl, Variační
koeficient, Šikmost, Špičatost – Výsledky.
Popisné statistiky (ocel)
Proměnná Průměr Rozptyl Sm.odch. Koef.prom. Šikmost Špičatost
X
Y
95,8833 1070,240 32,71453 34,11910 -0,046758 -0,605826
114,4000 1075,125 32,78911 28,66181 0,297889 -0,592621
Upozornění: Systém STATISTICA počítá rozptyl podle vzorce ∑=
−=
n
1i
2
i
2
m)(x
1-n
1
s , proto
výsledek musíme vynásobit
n
1n −
.
Ve výstupní tabulce přidáme za proměnnou Rozptyl tři nové proměnné nazvané rozptyl, směr.
odch. a koef. variace. Do Dlouhého jména proměnné rozptyl napíšeme =v2*59/60, do
Dlouhého jména proměnné směr. odch. napíšeme =sqrt(v3) a do Dlouhého jména proměnné
koef. variace napíšeme =100*v4/v1.
Proměnná
Průměr Rozptyl rozptyl
=v2*59/60
směr. odch.
=sqrt(v3)
koef.
variace
=100*v4/v1
Sm.odch. Koef.prom. Šikmost Špičatost
X
Y
95,8833 1070,240 1052,40306 32,4407623 33,8335779 32,71453 34,11910 -0,046758 -0,605826
114,4000 1075,125 1057,20667 32,5147146 28,4219533 32,78911 28,66181 0,297889 -0,592621
ad b) Statistiky – Základní statistiky/tabulky – Korelační matice – OK – 1 seznam
proměnných – X, Y – OK, na záložce Možnosti zrušime volbu Včetně průměrů a sm. odch. –
Výpočet.
Korelace (ocel)
Označ. korelace jsou významné na hlad. p < ,05000
N=60 (Celé případy vynechány u ChD)
Proměnná X Y
X
Y
1,00 0,93
0,93 1,00
Vidíme, že mezi X a Y existuje silná přímá lineární závislost.
Kovariance se počítá složitěji. Statistiky – Vícenásobná regrese - Proměnné Nezávislá X,
Závislá Y – OK – OK – Residua/předpoklady/předpovědi – Popisné statistiky – Další
statistiky - Kovariance.
Kovariance (ocel)
Proměnná X Y
X
Y
1070,240 1002,471
1002,471 1075,125
Vysvětlení: Na hlavní diagonále jsou rozptyly proměnných X, Y, mimo hlavní diagonálu je
kovariance. STATISTICA však ve vzorci pro výpočet kovariance nepoužívá 1/n, ale 1/(n-1).
Získanou kovarianci přepočítáme: k výstupní tabulce přidáme novou proměnnou, kterou
vložíme za proměnnou v2. Do jejího Dlouhého jména napíšeme =v2*59/60. Dostaneme
tabulku:
Proměnná X Y NProm
X
Y
1070,240 1002,471 985,7633
1002,471 1075,125 1057,207
Úkol 2.: Je třeba si uvědomit, že průměr a rozptyl nepopisují rozložení četností jednoznačně.
Existují datové soubory, které mají shodný průměr i rozptyl, ale přesto se jejich rozložení
četností velmi liší. Tuto skutečnost dobře ilustruje následující příklad: Tři skupiny studentů o
počtech 149, 69 a 11 odpovídaly při testu na 10 otázek. Znak X je počet správně
zodpovězených otázek. Známe absolutní četnosti znaku X ve všech třech skupinách.
Xč. sk.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 5 15 20 25 15 25 20 15 5 2
2 4 3 2 1 0 49 0 1 2 3 4
3 1 0 0 0 0 9 0 0 0 0 1
Vypočtěte průměr, rozptyl, šikmost a špičatost počtu správně zodpovězených otázek ve všech
třech skupinách. Nakreslete sloupkové diagramy absolutních četností.
Návod: Načtěte datový soubor body_ve_3_sk.sta. V 1. sloupci jsou varianty znaku X (tj. 0 až
10), v dalších sloupcích pak absolutní četnosti.
V tabulce Popisné statistiky zadáme Proměnná X a klepneme na tlačítko W, abychom
program upozornili, že budeme pracovat s daty zadanými pomocí absolutních četností.
Zadáme Proměnná vah SK1, zaškrtneme Stav Zapnuto, OK
Ve volbě Popisné statistiky zaškrtneme Průměr, Rozptyl, Šikmost, Špičatost – Výpočet.
Dále pro znak X nakreslíme sloupkový diagram. Tytéž úkoly provedeme s váhovými
proměnnými SK2 a SK3.
1. skupina (X váženo pomocí SK1)
Proměnná Průměr Rozptyl Šikmost Špičatost
X 5,000000 5,000000 -0,000000 -0,759500
2. skupina (X váženo pomocí SK2)
Proměnná Průměr Rozptyl Šikmost Špičatost
X 5,000000 5,000000 -0,000000 1,291133
3. skupina (X váženo pomocí SK3)
Proměnná Průměr Rozptyl Šikmost Špičatost
X 5,000000 5,000000 0,00 5,000000
Sloupkový diagram.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
X váženo přes SK1
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
Sloupkový diagram.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
X váženo přes SK2
0
10
20
30
40
50
60
Sloupkový diagram.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
X váženo přes SK3
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Všechny tři skupiny mají týž průměr, rozptyl a šikmost, liší se pouze ve špičatosti. Sloupkové
diagramy počtu správně zodpovězených otázek v každé ze tří uvažovaných skupin mají
naprosto odlišný vzhled.
Samostatná práce
Úkol 3.: U 27 dětí ve věku 9,5 – 10 let byla zjišťována tělesná výška (v cm). Máme
k dispozici výsledky měření rozdělené do šesti třídicích intervalů a podle pohlaví dítěte:
Střed třídicího intervalu Počet hochů Počet dívek
125 1 0
130 1 2
135 3 1
140 7 5
145 1 3
150 2 1
a) Vypočtěte průměr a směrodatnou odchylku výšky pro všechny děti a pak zvlášť pro hochy
a zvlášť pro dívky.
b) Vytvořte histogram výšky pro všechny děti a pak zvlášť pro hochy a zvlášť pro dívky.
(Data jsou uložena v souboru vysky_deti.sta)
Výsledky:
Průměrná výška všech dětí je 139,4 cm, směrodatná odchylka výšky je 6,1 cm.
Histogram výšky všech dětí:
125 130 135 140 145 150
0
2
4
6
8
10
12
14
Početpozorování
Průměrná výška hochů je 139 cm, směrodatná odchylka výšky je 6,5 cm.
Histogram výšky hochů:
125 130 135 140 145 150
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Početpozorování
Průměrná výška dívek je 140 cm, směrodatná odchylka výšky je 5,9 cm.
Histogram výšky dívek:
125 130 135 140 145 150
0
1
2
3
4
5
6
Početpozorování
Úkol 4.: 5317 manželských párů bylo dotázáno na věk manžela a věk manželky. Zjištěné
údaje o věku manžela (znak X) byly roztříděny do 7 třídicích intervalů o délce 10 roků se
středy 20, 30, …, 80, stejně tak údaje o věku manželky (znak Y). Máme k dispozici
kontingenční tabulku simultánních absolutních četností. Vypočtěte koeficient korelace znaků
X, Y.
(Data jsou uložena v souboru vek_manzelu.sta)
y[k]x[j]
20 30 40 50 60 70 80
20 193 50 1 0 0 0 0
30 231 1162 108 4 0 0 0
40 12 408 977 92 4 0 0
50 1 36 320 652 66 3 0
60 0 5 37 211 358 34 1
70 0 1 6 24 105 133 10
80 0 0 1 4 10 32 25
Výsledek: r12 = 0,893