Cvičení 7.: Ověřování normality, úlohy o náhodném výběru z normálního
a alternativního rozložení
Úkol 1. : U 45 studentek VŠE v Praze byla zjišťována výška a obor studia (1 – národní
hospodářství, 2 – informatika). Hodnoty jsou uloženy v souboru vyska.sta. Pomocí S-W testu
testujte na hladině významnosti 0,05 hypotézu, že data pocházejí z normálního rozložení.
Pomocí N-P plotu posuďte vizuálně předpoklad normality.
Návod:
Statistiky – Základní statistiky/tabulky – Tabulky četností – OK – Proměnné X – OK –
Normalita – zaškrtneme S-W test – Testy normality.
Testy normality (vyska.sta)
Proměnná N W p
X: vyska 48 0,965996 0,176031
Výstupní tabulka obsahuje počet pozorování, testovou statistiku S-W testu (W = 0,965996) a
odpovídající p-hodnotu (p = 0,176031). Vidíme, že S-W test nezamítá hypotézu o normalitě
na hladině významnosti 0,05.
Statistiky – Grafy – 2D grafy – Normální pravděpodobnostní grafy – Proměnné X – OK –
odškrtneme Neurčovat průměrnou pozici svázaných pozorování - OK
Normální p-graf z X
vyska.sta 2v*48c
150 155 160 165 170 175 180 185 190
Pozorovaný kvantil
-3
-2
-1
0
1
2
3
Oček.normál.hodnoty
Tečky se od ideální přímky odchylují jen nepatrně, zřejmě jde o data z normálního rozložení
Samostatný úkol: Testy normality a grafické ověření normality proveďte jak pro výšky
studentek oboru národní hospodářství, tak pro výšky studentek oboru informatiky.
(Upozornění: Úkol lze provést pomocí filtru nebo pomocí volby Analýza skupin, kde roli
skupinové proměnné hraje Z.)
Pro kontrolu:
Výsledky pro obor národní hospodářství:
Testy normality (vyska.sta)
Zhrnout podmínku: z=1
Proměnná N W p
X: vyska 28 0,970969 0,606793
S-W test hypotézu o normalitě nezamítá na hladině významnosti 0,05 (p-hodnota je větší než
0,05).
Výsledky pro obor informatika:
Testy normality (vyska.sta)
Zhrnout podmínku: z=2
Proměnná N W p
X: vyska 20 0,922747 0,111924
S-W test hypotézu o normalitě nezamítá na hladině významnosti 0,05.
Úkol 2.: Intervaly spolehlivosti pro parametry µ, σ2
normálního rozložení
Z populace stejně starých selat téhož plemene bylo vylosováno šest selat a po dobu půl roku
jim byla podávána táž výkrmná dieta. Byly zaznamenávány průměrné denní přírůstky
hmotnosti v Dg. Z dřívějších pokusů je známo, že v populaci mívají takové přírůstky
normální rozložení, avšak střední hodnota i rozptyl se měnívají. Přírůstky v Dg: 62, 54, 55,
60, 53, 58.
a) Najděte 95% empirický interval spolehlivosti pro neznámou střední hodnotu µ při
neznámé směrodatné odchylce σ.
b) Najděte 95% empirický interval spolehlivosti pro směrodatnou odchylku σ.
Návod:
Vytvoříme nový datový soubor o jedné proměnné X a 6 případech. Do proměnné X napíšeme
dané hodnoty.
Ad a) Statistiky – Základní statistiky a tabulky – Popisné statistiky – OK – Proměnné X – OK
– Detailní výsledky – zaškrtneme Meze spolehl. prům. (ostatní volby zrušíme) – ponecháme
implicitní hodnotu 95,00 – Výpočet.
Popisné statistiky (Tabulka25)
Proměnná
Int. spolehl.
-95,000%
Int. spolehl.
95,000%
X 53,24542 60,75458
Vidíme, že 53,25 Dg < µ < 60,75 Dg s pravděpodobností aspoň 0,95.
Ad b) Statistiky – Základní statistiky a tabulky – Popisné statistiky – OK – Proměnné X – OK
– Detailní výsledky – zaškrtneme Meze sp. směr. odch., ponecháme implicitní hodnotu 95,00
– Výpočet.
Popisné statistiky (Tabulka1)
Proměnná
Spolehlivost
Sm.Odch.
-95,000%
Spolehlivost
Sm.Odch.
+95,000%
X 2,233234 8,774739
Dostáváme výsledek: 2,23 Dg < σ < 8,77 Dg s pravděpodobností aspoň 0,95.
Úkol 3.: Testování hypotézy o parametru µ normálního rozložení
Systematická chyba měřicího přístroje se eliminuje nastavením přístroje a měřením etalonu,
jehož správná hodnota je µ = 10,00. Nezávislými měřeními za stejných podmínek byly
získány hodnoty: 10,24 10,12 9,91 10,19 9,78 10,14 9,86 10,17 10,05, které považujeme
za realizace náhodného výběru rozsahu 9 z rozložení N(µ, σ2
). Je možné při riziku 0,05
vysvětlit odchylky od hodnoty 10,00 působením náhodných vlivů?
Návod:
Na hladině významnosti 0,05 testujeme hypotézu H0: µ = 10 proti oboustranné alternativě H1:
µ ≠ 10. Jde o úlohu na jednovýběrový t-test. Ten je ve STATISTICE implementován.
Otevřeme datový soubor mereni_etalonu.sta. V Základních statistikách/tabulkách vybereme ttest,
samostatný vzorek. Do Referenčních hodnot zapíšeme 10. Ve výstupu se podíváme na
hodnotu testového kritéria a na p-hodnotu. Pokud p-hodnota bude menší nebo rovna 0,05,
zamítneme hypotézu H0: µ = 10 ve prospěch oboustranné alternativní hypotézy H1: µ ≠ 10 na
hladině významnosti 0,05. V opačném případě H0 nezamítáme. V našem případě je
Test průměrů vůči referenční konstantě (hodnotě)
Proměnná
Průměr Sm.odch. N Sm.chyba Referenční
konstanta
t SV p
Prom1 10,05111 0,162669 9 0,054223 10,00000 0,942611 8 0,373470
Protože p-hodnota 0,373470 > 0,05 nulovou hypotézu nezamítáme na hladině významnosti
0,05. Odchylky od hodnoty 10 lze vysvětlit působením náhodných vlivů.
Všimněme si ještě hodnoty testového kriteria: 0t = 0,942611. Kritický obor
( )( ( ) ) ( )( ( ) )
( )∞∪−∞−=
=∞∪−∞−=∞−∪−−∞−= α−α−
,306,2306,2,
,8t8t,,1nt1nt,W 975,0975,02/12/1
Protože Wt0 ∉ , nezamítáme na hladině významnosti 0,05 hypotézu 0H .
Úkol 4.: Interval spolehlivosti pro rozdíl parametrů µ1 - µ2 dvourozměrného rozložení
Bylo vylosováno 6 vrhů selat a z nich vždy dva sourozenci. Jeden z nich vždy dostal náhodně
dietu č. 1 a druhý dietu č. 2. Přírůstky v Dg jsou následující: (62,52), (54,56), (55,49), (60,50),
(53,51), (58,50). Za předpokladu, že rozdíly uvedených dvojic tvoří náhodný výběr
z normálního rozložení se střední hodnotou µ1 - µ2, sestrojte 95% interval spolehlivosti pro
rozdíl středních hodnot.
Návod:
Vytvoříme datový soubor o třech proměnných a šesti případech. Do proměnných v1 a v2
zapíšeme naměřené přírůstky, do proměnné v3 uložíme rozdíly v1 - v2.
Ve STATISTICE je implementován výpočet oboustranného intervalu spolehlivosti pro µ,
když 2
σ neznáme. Pomocí Popisných statistik zjistíme meze 95% intervalu spolehlivosti pro
střední hodnotu proměnné v3 tak, že zaškrtneme Meze spoleh. prům.
Popisné statistiky
Proměnná
Int. spolehl.
-95,000%
Int. spolehl.
+95,000%
Prom3 0,626461 10,70687
Dostaneme výsledek: 0,63 Dg < µ < 10,71 Dg s pravděpodobností aspoň 0,95.
Úkol 5.: Testování hypotézy o rozdílu parametrů µ1 - µ2 dvourozměrného rozložení
Pro data z úkolu 4 testujte na hladině významnosti 0,05 hypotézu, že obě výkrmné diety mají
stejný vliv.
Návod:
Označme µ = µ1 - µ2. Na hladině významnosti 0,05 testujeme hypotézu H0: µ = 0 proti
oboustranné alternativě H1: µ ≠ 0. Jde o úlohu na párový t-test. Ten je ve STATISTICE
implementován.Vytvoříme datový soubor o dvou proměnných a šesti případech. Do
proměnných v1 a v2 zapíšeme naměřené přírůstky. V menu Základní statistiky/tabulky
vybereme t-test, závislé vzorky. Zadáme názvy obou proměnných a ve výstupu se podíváme
na hodnotu testového kritéria a na p-hodnotu.
t-test pro závislé vzorky
Označ. rozdíly jsou významné na hlad. p < ,05000
Proměnná
Průměr Sm.odch. N Rozdíl Sm.odch.
rozdílu
t sv p
Prom1
Prom2
57,00000 3,577709
51,33333 2,503331 6 5,666667 4,802777 2,890087 5 0,034183
Protože p-hodnota 0,034183 < 0,05, zamítáme hypotézu H0: µ = 0 ve prospěch alternativní
hypotézy H1: µ ≠ 0 na hladině významnosti 0,05. Znamená to, že jsme s rizikem omylu
nejvýše 5% prokázali rozdíl v účinnosti obou výkrmných diet.
Všimněme si ještě hodnoty testového kriteria: 0t = 2,890087. Kritický obor
( )( ( ) ) ( )( ( ) )
( )∞∪−∞−=
=∞∪−∞−=∞−∪−−∞−= α−α−
,5706,25706,2,
,5t5t,,1nt1nt,W 975,0975,02/12/1
Protože Wt0 ∈ , zamítáme na hladině významnosti 0,05 hypotézu 0H .
Úkol 6.: Asymptotický interval spolehlivosti pro parametr ϑ alternativního rozložení
Může politická strana, pro niž se v předvolebním průzkumu vyslovilo 60 z 1000 dotázaných
osob, očekávat se spolehlivostí aspoň 0,95, že by v této době ve volbách překročila 5%
hranici pro vstup do parlamentu?
Návod:
Zavedeme náhodné veličiny X1, ..., X1000, přičemž Xi = 1, když i-tá osoba se vysloví pro
danou politickou stranu a Xi = 0 jinak, i = 1, ..., 1000. Tyto náhodné veličiny tvoří náhodný
výběr z rozložení A(ϑ ). V tomto případě n = 1000, m = 60/1000 = 0,06, α = 0,05, u1-α = u0,95
= 1,645.
Ověření podmínky n ϑ (1- ϑ ) > 9: parametr ϑ neznáme, musíme ho nahradit výběrovým
průměrem. Pak 1000.0,06.0,94 = 56,4 > 9.
95% levostranný interval spolehlivosti pro ϑ je
( ) ( ) ( )∞=





∞
−
−=





∞
−
− α−
,0476,0;u
1000
06,0106,0
06,0;u
n
m1m
m 95,01
Postup ve STATISTICE:
Statistiky – Analýza síly testu – Odhad intervalu – Jeden podíl, Z, Chí-kvadrát test – OK –
Pozorovaný podíl p: 0,06, Velik. vzorku (N): 1000, Spolehlivost: 0,9 – Vypočítat. Dostaneme
0,0476.
S pravděpodobností přibližně 0,95 tedy ϑ > 0,047647. Protože tento interval zahrnuje i
hodnoty nižší než 0,05, nelze vyloučit, že strana získá méně než 5 % hlasů.
Upozornění: Spolehlivost volíme 0,9, protože dolní mez 90% oboustranného intervalu
spolehlivosti je stejná jako dolní mez levostranného 95% intervalu spolehlivosti.
Úkol 7: Testování hypotézy o parametru ϑ alternativního rozložení
Určitá cestovní kancelář organizuje zahraniční zájezdy podle individuálních přání zákazníků.
Z několika minulých let ví, že 30% všech takto organizovaných zájezdů má za cíl zemi X. Po
zhoršení politických podmínek v této zemi se cestovní kancelář obává, že se zájem o tuto
zemi mezi zákazníky sníží. Ze 150 náhodně vybraných zákazníků v tomto roce má 38 za cíl
právě zemi X. Potvrzují nejnovější data pokles zájmu o tuto zemi? Volte hladinu významnosti
0,05.
Návod:
Máme náhodný výběr X1, ..., X150 z rozložení A(0,3). Testujeme H0: ϑ = 0,3 proti
levostranné alternativě H1: ϑ < 0,3. V tomto případě je testovým kritériem statistika
n
)c1(c
cM
T0
−
−
= , která v případě platnosti nulové hypotézy má asymptoticky rozložení N(0,1)
Musíme ověřit splnění podmínky n ϑ (1- ϑ ) > 9: 150.0,3.0,7 = 31,5 > 9.
Vypočteme realizaci testové statistiky: t0 = 24722,1
150
)3,01(3,0
3,0
n
)c1(c
cm 150
38
−=
−
−
=
−
−
.
Kritický obor: ( α−−∞−= 1u,W = ( 645,1,−∞− .
Protože testová statistika nepatří do kritického oboru, H0 nezamítáme na asymptotické hladině
významnosti 0,05. S rizikem omylu nejvýše 5 % tedy naše data neprokázala pokles zájmu
zákazníků cestovní kanceláře o zemi X.
Postup ve STATISTICE:
Použijeme aplikaci Testy rozdílů:
Statistiky – Základní statistiky a tabulky – Testy rozdílů: r, %, průměry – OK – vybereme
Rozdíl mezi dvěma poměry – do políčka P 1 napíšeme 0,2533 (tj. 35/150), do políčka N1
napíšeme 150, do políčka P 2 napíšeme 0,3, do políčka N2 napíšeme 32767 (větší hodnotu
systém neumožní) – zaškrtneme Jednostr. - Výpočet. Dostaneme p-hodnotu 0,1065, tedy
nezamítáme nulovou hypotézu na hladině významnosti 0,05.