Cvičení 8.: Úlohy o dvou a více nezávislých náhodných výběrech
z normálních rozložení
Úkol 1. (Dvouvýběrový t-test): Hejtman Jihomoravského kraje chtěl porovnat situaci svého
kraje s ostatními moravskými kraji vzhledem ke znečištění ovzduší oxidem siřičitým, oxidy
dusíku a oxidem uhelnatým. Požádal proto Stranu zelených, aby na základě údajů ze
Statistické ročenky ČSÚ za léta 2000 až 2006 její experti provedli příslušnou analýzu. Roční
měrné emise jsou uvedeny v tunách na km2
. Data jsou uložena v souboru znecisteni.sta.
Vaším úkolem bude provést srovnání středních hodnot znečištění oxidem siřičitým
v Jihomoravském kraji a Olomouckém kraji. Na hladině významnosti 0,05 ověřte normalitu
dat, homogenitu rozptylů a proveďte test shody středních hodnot. Výpočty doplňte
krabicovými grafy a rovněž vypočtěte Cohenův koeficient věcného účinku.
Řešení pomocí systému STATISTICA:
Nejprve pomocí N-P grafů a S-W testem ověříme, zda hodnoty proměnné SO2 pro JMK a
OLK pocházejí z normálních rozložení.
Grafy – 2D Grafy – Normální pravděpodobnostní grafy – zapneme filtr – zaškrtneme některé,
vybrané pomocí výrazu kraj=1 or kraj=2 – OK- zaškrtneme Shapirův – Wilkův test Proměnné
SO2 – OK – na záložce Kategorizovaný zaškrtneme Kategorie X zapnuto – změnit
proměnnou – kraj – OK.
Normální p-graf z SO2; kategorizovaný kraj
znecisteni.sta 4v*35c
Zahrnout jestliže: kraj="JMK" or kraj="OLK"
kraj: JMK
0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
Očekávanánormálníhodnota
kraj: OLK
0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6
kraj: JMK SO2: SW-W = 0,8181; p = 0,0616
kraj: OLK SO2: SW-W = 0,8187; p = 0,0624
Na hladině významnosti 0,05 nelze zamítnout hypotézu o normalitě pro proměnnou SO2 ani
v JMK ani v OLK. Rovněž vzhled N-P grafů podporuje hypotézu o normalitě.
Dále provedeme dvouvýběrový t-test současně s testem o shodě rozptylů:
Statistika – Základní statistiky a tabulky – t-test, nezávislé, dle skupin. – OK – Select cases
zaškrtneme některé, vybrané pomocí výrazu kraj=1 or kraj=2 – OK - , Proměnné – Závislé
proměnné SO2, Grupovací proměnná kraj – OK – Výpočet.
Dostaneme tabulku:
t-testy; grupováno: kraj (znecisteni.sta)
Skup. 1: JMK: Jihomoravsky kraj
Skup. 2: OLK: Olomoucky kraj
Zhrnout podmínku: kraj=1 or kraj=2
Proměnná
Průměr
JMK
Průměr
OLK
t sv p Poč.plat
JMK
Poč.plat.
OLK
Sm.odch.
JMK
Sm.odch.
OLK
F-poměr
Rozptyly
p
Rozptyly
SO2 0,514286 1,228571 -12,2474 12 0,000000 7 7 0,089974 0,125357 1,941176 0,439702
Vidíme, že průměrné znečištění oxidem siřičitým v Jihomoravském kraji v letech 2000 –
2006 je 0,51, v Olomouckém 1,23. Testová statistika pro test shody rozptylů se realizuje
hodnotou 1,94117, odpovídající p-hodnota je 0,4397, tedy na hladině významnosti 0,05
nezamítáme hypotézu o shodě rozptylů.
(Upozornění: v případě zamítnutí hypotézy o shodě rozptylů je zapotřebí v tabulce t-testu pro
nezávislé vzorky dle skupin na záložce Možnosti zaškrtnout volbu Test se samostatnými
odhady rozptylu.)
Dále z tabulky plyne, že testová statistika pro test shody středních hodnot se realizuje
hodnotou -12,247, počet stupňů volnosti je 12, odpovídající p-hodnota je velmi blízká 0, tedy
hypotézu o shodě středních hodnot zamítáme na hladině významnosti 0,05. Znamená to, že
s rizikem omylu nejvýše 5 % se prokázal rozdíl ve středních hodnotách znečištění oxidem
siřičitým v Jihomoravském a Olomouckém kraji.
Tabulku ještě doplníme krabicovými diagramy.
Aktivujeme t-test pro nezávislé vzorky dle skupin – Krabicový graf.
Krabicový graf : SO2: merne emise oxidu siriciteho (t/km2)
Zhrnout podmínku: kraj=1 or kraj=2
Průměr
Průměr±SmCh
Průměr±1,96*SmCh
JMK OLK
kraj
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
SO2
Z grafu je vidět, že průměrná úroveň znečištění v Jihomoravském kraji je podstatně nižší než
v Olomouckém kraji a má poněkud menší variabilitu. Extrémní ani odlehlé hodnoty se zde
nevyskytují.
Výpočet Cohenova koeficientu věcného účinku (použití makra Cohen.svb.)
1
n1
2
n2
3
m1
4
m2
5
s1
6
s2
7
d
1 7 7 0,5143 1,2286 0,09 0,1254 6,544519
Cohenův koeficient nabyl hodnoty 6,55, vliv kraje na velikost znečištění oxidem siřičitým je
tedy velký.
Úkol 2.: (ANOVA) U čtyř odrůd brambor (označených symboly A, B, C, D) se zjišťovala
celková hmotnost brambor vyrostlých vždy z jednoho trsu. Výsledky (v kg):
odrůda hmotnost
A 0,9 0,8 0,6 0,9
B 1,3 1,0 1,3
C 1,3 1,5 1,6 1,1 1,5
D 1,1 1,2 1,0
Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že střední hodnota hmotnosti trsu brambor
nezávisí na odrůdě. Zamítnete-li nulovou hypotézu, zjistěte, které dvojice odrůd se liší na
hladině významnosti 0,05.
Řešení pomocí systému STATISTICA:
Otevřeme datový soubor brambory.sta o dvou proměnných a 15 případech. Proměnná
HMOTNOST obsahuje zjištěné hmotnosti, proměnná ID identifikuje odrůdu A až D.
Pomocí NP-grafu a S-W testu ověříme normalitu dat v daných čtyřech skupinách. Grafy – 2D
Grafy – Normální pravděpodobnostní grafy – zaškrtneme S-W test, Proměnné HMOTNOST,
OK, Kategorizovaný – Kategorie X, zaškrtneme Zapnuto, Změnit proměnnou – ID, OK.
Dostaneme graf
Normální p-graf HMOTNOST (priklad66 2v*15c)
ID: 1
0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8
-1,4
-1,2
-1,0
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
Očekávanánormálníhodnota
ID: 2
0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8
ID: 3
0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8
-1,4
-1,2
-1,0
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
Očekávanánormálníhodnota
ID: 4
0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8
ID: 1 HMOTNOST: SW-W = 0,8274; p = 0,1612
ID: 2 HMOTNOST: SW-W = 0,75; p = 0-,0000
ID: 3 HMOTNOST: SW-W = 0,9053; p = 0,4399
ID: 4 HMOTNOST: SW-W = 1; p = ---
Vidíme, že ve všech čtyřech případech jsou odchylky teček od přímky jenom malé a data tedy
lze považovat za realizace náhodných výběrů z normálních rozložení.
Nejprve vypočteme průměry a směrodatné odchylky daných čtyř výběrů:
Statistika – Základní statistiky a tabulky – Rozklad & jednofakt. ANOVA – OK, Proměnné –
Závislé proměnné HMOTNOST, Grupovací proměnná ID – OK – Výpočet: Tabulka statistik
ID X
průměr
X
N
X
Sm.odch.
A 0,800000 4 0,141421
B 1,200000 3 0,173205
C 1,400000 5 0,200000
D 1,100000 3 0,100000
Vš.skup. 1,140000 15 0,282337
Vidíme, že nejnižší průměrnou hmotnost má odrůda A, nejnižší variabilitu hmotnosti
vykazuje odrůda D.
Nyní budeme na hladině významnosti 0,05 testovat hypotézu o shodě rozptylů:
Na záložce ANOVA & testy vybereme Leveneovy testy. Ve výstupu dostaneme tabulku
Leveneův test homogenity rozpylů (brambory.sta)
Označ. efekty jsou význ. na hlad. p < ,05000
Proměnná
SČ
efekt
SV
efekt
PČ
efekt
SČ
chyba
SV
chyba
PČ
chyba
F p
HMOTNOST 0,018667 3 0,006222 0,065333 11 0,005939 1,047619 0,410027
Testová statistika Levenova testu se realizuje hodnotou 1,047619, počet stupňů volnosti
čitatele je 3, jmenovatele 11, odpovídající p-hodnota je 0,410027, tedy na hladině
významnosti 0,05 nezamítáme hypotézu o shodě rozptylů.
Dále budeme na hladině významnosti 0,05 testovat hypotézu o shodě středních hodnot. Na
záložce ANOVA & testy vybereme Analýza rozptylu. Ve výstupu dostaneme tabulku
Analýza rozptylu (brambory.sta)
Označ. efekty jsou význ. na hlad. p < ,05000
Proměnná
SČ
efekt
SV
efekt
PČ
efekt
SČ
chyba
SV
chyba
PČ
chyba
F p
HMOTNOST 0,816000 3 0,272000 0,300000 11 0,027273 9,973333 0,001805
Testová statistika FA se realizuje hodnotou 9,97333, počet stupňů volnosti čitatele je 3,
jmenovatele 11, odpovídající p-hodnota je 0,001805, tedy na hladině významnosti 0,05
zamítáme hypotézu o shodě středních hodnot.
Sestrojíme krabicové diagramy tak, že na záložce Základní výsledky zvolíme Kategoriz.
krabicový graf.
Kategoriz. krabicový graf: HMOTNOST: hmotnost
Průměr
Průměr±SmCh
Průměr±1,96*SmCh
A B C D
ID
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
HMOTNOST
Abychom zjistili, které dvojice odrůd se liší na hladině významnosti 0,05, na záložce Post-hoc
vybereme Schefféův test.
Scheffeho test; proměn.:HMOTNOST (brambory.sta)
Označ. rozdíly jsou významné na hlad. p < ,05000
ID
{1}
M=,80000
{2}
M=1,2000
{3}
M=1,4000
{4}
M=1,1000
A {1}
B {2}
C {3}
D {4}
0,059165 0,001950 0,190463
0,059165 0,464537 0,905502
0,001950 0,464537 0,163499
0,190463 0,905502 0,163499
V tabulce jsou uvedeny p-hodnoty pro testování hypotéz o shodě dvojic středních hodnot.
Pouze jediná z těchto p-hodnot je menší nebo rovna 0,05, tedy na hladině významnosti 0,05 se
liší odrůdy A a C.
Příklad k samostatnému řešení
Studenti byli vyučováni předmětu za využití pěti pedagogických metod: tradiční způsob,
programová výuka, audiotechnika, audiovizuální technika a vizuální technika. Z každé
skupiny byl vybrán náhodný vzorek studentů a všichni byli podrobeni témuž písemnému
testu. Výsledky testu:
metoda počet bodů
tradiční 76,2 48,3 85,1 63,7 91,6 87,2
programová 85,2 74,3 76,5 80,3 67,4 67,9 72,1 60,4
audio 67,3 60,1 55,4 72,3 40
audiovizuální 75,8 81,6 90,3 78 67,8 57,6
vizuální 50,5 70,2 88,8 67,1 77,7 73,9
Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že znalosti všech studentů jsou stejné a
nezávisí na použité pedagogické metodě. V případě zamítnutí hypotézy zjistěte, které výběry
se liší na hladině významnosti 0,05.
Řešení:
Načteme datový soubor pet_metod.sta. Proměnná BODY obsahuje dosažené počty bodů a
proměnná METODA označení příslušné pedagogické metody.
Nejprve vypočteme průměry, směrodatné odchylky a rozsahy všech tří výběrů:
Rozkladová tabulka popisných statistik (pet_metod.sta)
N=31 (V seznamu záv. prom. nejsou ChD)
METODA BODY
průměr
BODY
N
BODY
Sm.odch.
tradiční 75,35000 6 16,53901
programová 73,01250 8 7,86501
audio 59,02000 5 12,45941
audiovizuální 75,18333 6 11,32862
vizuální 71,36667 6 12,69199
Vš.skup. 71,30968 31 12,69534
Komentář: Nejlepších výsledků dosahují studenti vyučovaní tradiční metodou, podávají však
nejméně vyrovnané výkony (počty bodů v této skupině mají největší směrodatnou odchylku).
Naopak nejhoršího výsledku dosáhli studenti vyučovaní audio metodou. Nejvyrovnanější
výkony pozorujeme u studentů vyučovaných programovou metodou.
Vytvoříme krabicové diagramy:
Kategoriz. krabicový graf: BODY
Průměr
Průměr±SmCh
Průměr±1,96*SmCh
tradi ční programová audio audiovizuální vizuální
METODA
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
BODY
Pomocí N-P grafů vizuálně posoudíme normalitu všech pěti výběrů:
METODA: tradiční
30 40 50 60 70 80 90 100
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
Očekávanánormálníhodnota
METODA: programová
30 40 50 60 70 80 90 100
METODA: audio
30 40 50 60 70 80 90 100
METODA: audiovizuální
30 40 50 60 70 80 90 100
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
Očekávanánormálníhodnota
METODA: vizuální
30 40 50 60 70 80 90 100
Komentář: Ze vzhledu N-P grafů je patrné, že předpoklad normality je ve všech pěti
případech oprávněný.
Provedeme Levenův test (testování homogenity rozptylů všech pěti výběrů)
Leveneův test homogenity rozpylů (pet_metod.sta)
Označ. efekty jsou význ. na hlad. p < ,05000
Proměnná
SČ
efekt
SV
efekt
PČ
efekt
SČ
chyba
SV
chyba
PČ
chyba
F p
BODY 162,4883 4 40,62208 1289,544 26 49,59783 0,819029 0,524791
Komentář: Testová statistika F se realizuje hodnotou 0,819, počet stupňů volnosti čitatele =
4, jmenovatele = 26, odpovídající p-hodnota = 0,5248, na hladině významnosti 0,05 tedy
nezamítáme hypotézu o shodě rozptylů.
Budeme testovat hypotézu o shodě středních hodnot všech pěti výběrů:
Analýza rozptylu (pet_metod.sta)
Označ. efekty jsou význ. na hlad. p < ,05000
Proměnná
SČ
efekt
SV
efekt
PČ
efekt
SČ
chyba
SV
chyba
PČ
chyba
F p
BODY 966,3737 4 241,5934 3868,773 26 148,7990 1,623623 0,198252
Komentář: Testová statistika F se realizuje hodnotou 1,6236, počet stupňů volnosti čitatele =
4, jmenovatele = 26, odpovídající p-hodnota = 0,1983, na hladině významnosti 0,05 tedy
nezamítáme hypotézu o shodě středních hodnot. Znamená to, že se neprokázal rozdíl
v účinnosti jednotlivých pedagogických metod.