Cvičení 5.: Příklady na normální rozložení, výpočet číselných charakteristik
Příklady na normální rozložení
Náhodná veličina X ~ N(µ, σ2
) má hustotu ( ) 2
2
2
)-x(
e
2
1
x σ
µ
−
πσ
=ϕ . Pro µ = 0, σ2
= 1 se jedná o
standardizované normální rozložení, píšeme U ~ N(0, 1). Hustota pravděpodobnosti má
v tomto případě tvar φ(u) = 2
u2
e
2
1 −
π
.
Použití systému STATISTICA pro výpočet distribuční funkce:
První možnost: Ve volbě Rozdělení vybereme Z (Normální), do okénka průměr napíšeme
hodnotu µ a do okénka Sm. Odch. napíšeme hodnotu σ. Hodnotu distribuční funkce v bodě x
zjistíme tak, že do okénka označeného X napíšeme dané x a po kliknutí na Výpočet se
v okénku p objeví hodnota distribuční funkce.
Druhá možnost: Výpočet hodnoty distribuční funkce pomocí funkcí implementovaných
v položce „Dlouhé jméno“: Otevřeme nový datový soubor o jedné proměnné a jednom
případu. V položce „Dlouhé jméno“ této proměnné použijeme funkci INormal(x;mu;sigma).
Příklad 1.: Výsledky u přijímacích zkoušek na jistou VŠ jsou normálně rozloženy
s parametry µ = 550 bodů, σ = 100 bodů. S jakou pravděpodobností bude mít náhodně
vybraný uchazeč aspoň 600 bodů?
Řešení:
X – výsledek náhodně vybraného uchazeče, X ~ N(550, 1002
), P(X ≥ 600) = 1 – P(X ≤ 600) +
P(X = 600) = 1 – P(X ≤ 600) = 1 – P 





σ
µ−
≤
σ
µ− 600X
= 1 - P 




 −
≤
100
550600
U = 1 – Φ(0,5)
= 1 – 0,69146 = 0,30854.
Návod na výpočet pomocí systému STATISTICA:
První možnost: Do okénka průměr napíšeme 550, do okénka Sm. Odch. napíšeme 100, do
okénka X napíšeme 600, zaškrtneme 1-Kumul. p a v okénku p se objeví 0,308538.
Druhá možnost: Otevřeme nový datový soubor o jedné proměnné a jednom případu.
Do dlouhého jména této proměnné napíšeme =1-INormal(600;550;100). Dostaneme 0,3085.
Příklad 2: Životnost baterie v hodinách je náhodná veličina, která má normální rozložení se
střední hodnotou 300 hodin a směrodatnou odchylkou 35 hodin. Jaká je pravděpodobnost, že
náhodně vybraná baterie bude mít životnost
a) aspoň 320 hodin?
b) nejvýše 310 hodin?
Výsledek:
ad a) ( ) 28434,0320XP => , ad b) ( ) 61245,0310XP =≤
Příklad 3.: Na výrobní lince jsou automaticky baleny balíčky rýže o deklarované hmotnosti
1000 g. Působením náhodných vlivů hmotnost balíčků kolísá. Lze ji považovat za náhodnou
veličinu, která se řídí normálním rozložením se střední hodnotou 996 g a směrodatnou
odchylkou 18 g. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný balíček rýže neprojde výstupní
kontrolou, jestliže je povolená tolerance 30± g od deklarované hmotnosti 1000 g?
Výsledek:
( ) 104,0)1030X970(P11030,970XP =<<−=∉
Výpočet kvantilů
Příklad 1.: Nechť U ~ N(0, 1). Najděte medián a horní a dolní kvartil.
Návod na výpočet pomocí systému STATISTICA:
První možnost: Do okénka průměr napíšeme 0, do okénka Sm. Odch. napíšeme 1, do okénka
p napíšeme pro medián 0,5, pro dolní kvartil 0,25 a pro horní kvartil 0,75. V okénku X se
objeví 0 pro medián, -0,67449 pro dolní kvartil a 0,67449 pro horní kvartil.
Ilustrace pro horní kvartil:
Šedá plocha pod grafem hustoty má velikost 0,75 a hodnota distribuční funkce v bodě
0,67449 je 0,75 (značeno šrafovaně).
Druhá možnost: Otevřeme nový datový soubor o třech proměnné a jednom případu.
Do dlouhého jména první proměnné napíšeme =VNormal(0,5;0;1). Dostaneme 0.
Do dlouhého jména druhé proměnné napíšeme =VNormal(0,25;0;1). Dostaneme -0,67449.
Do dlouhého jména třetí proměnné napíšeme =VNormal(0,75;0;1). Dostaneme 0,67449.
Příklad 2.: Nechť X ~ N(3, 5). Najděte dolní kvartil.
Návod na výpočet pomocí systému STATISTICA:
První možnost: Do okénka průměr napíšeme 3, do okénka Sm. Odch. napíšeme 2,236, do
okénka p napíšeme 0,25 a v okénku X se objeví 1,4918.
Druhá možnost: Otevřeme nový datový soubor o jedné proměnné a jednom případu.
Do dlouhého jména této proměnné napíšeme =VNormal(0,25;3;sqrt(5)). Dostaneme
1,491795.
Pearsonovo rozložení chí-kvadrát s n stupni volnosti χ2
(n)
Nechť X1, ..., Xn jsou stochasticky nezávislé náhodné veličiny, Xi ~ N(0, 1), i = 1, ..., n. Pak
náhodná veličina X = X1
2
+ ... + Xn
2
~ χ2
(n).
Příklad 3.: Určete χ2
0,025(25).
Návod na výpočet pomocí systému STATISTICA:
První možnost: Do okénka sv. napíšeme 25 a do okénka p napíšeme 0,025. V okénku Chi 2 se
objeví 13,11972.
Šedá plocha pod grafem hustoty má velikost 0,025 a hodnota distribuční funkce v bodě
13,11972 je 0,025 (značeno šrafovaně).
Druhá možnost: Otevřeme nový datový soubor o jedné proměnné a jednom případu.
Do dlouhého jména této proměnné napíšeme =VChi2(0,025;25). Dostaneme 13,1197.
Studentovo rozložení s n stupni volnosti t(n)
Nechť X1, X2 jsou stochasticky nezávislé náhodné veličiny, X1 ~ N(0, 1), X2 ~ χ2
(n). Pak
náhodná veličina X =
n
X
X
2
1
~ t(n).
Příklad 4.: Určete t0,99(30) a t0,05(14).
Návod na výpočet pomocí systému STATISTICA:
První možnost: Do okénka sv. napíšeme 30 (resp. 14) a do okénka p napíšeme 0,99 (resp.
0,05). V okénku t se objeví 2,457262 (resp. -1,761310).
Ilustrace pro t0,05(14):
Šedá plocha pod grafem hustoty má velikost 0,05 a hodnota distribuční funkce v bodě
-1,76131 je 0,05 (značeno šrafovaně).
Druhá možnost: Otevřeme nový datový soubor o jedné proměnné a jednom případu.
Do dlouhého jména této proměnné napíšeme =VStudent(0,99;30) (resp. VStudent(0,05;14)).
Dostaneme 2,457262 (resp. -1,76131).
Fisherovo-Snedecorovo rozložení s n1 a n2 stupni volnosti F(n1, n2)
Nechť X1, ..., Xn jsou stochasticky nezávislé náhodné veličiny, Xi ~ χ2
(ni), i = 1, 2. Pak
náhodná veličina X =
22
11
n/X
n/X
~ F(n1, n2).
Příklad 5.: Určete F0,975(5, 20) a F0,05(2, 10).
Návod na výpočet pomocí systému STATISTICA:
První možnost: Do okénka sv1 napíšeme 5 (resp. 2), do okénka sv2 napíšeme 20 (resp. 10) a
do okénka p napíšeme 0,975 (resp. 0,05). V okénku F se objeví 3,289056 (resp. 0,05156).
Ilustrace pro F0,975(5, 20):
Šedá plocha pod grafem hustoty má velikost 0,975 a hodnota distribuční funkce v bodě
3,289056 je 0,975 (značeno šrafovaně).
Druhá možnost: Otevřeme nový datový soubor o jedné proměnné a dvou případech
Do dlouhého jména první proměnné napíšeme =VF(0,975;5;20), do dlouhého jména druhé
proměnné napíšeme =VF(0,05;2;10).Dostaneme 3,2891 (resp. 0,05156).
Výpočet střední hodnoty a rozptylu diskrétní náhodné veličiny
Diskrétní náhodná veličina X má pravděpodobnostní funkci π(x).
Střední hodnota ( ) ( )∑
∞
−∞=
π=
x
xxXE , pokud je suma vpravo konečná.
Rozptyl ( ) ( ) ( )[ ]2
x
2
XExxXD −π= ∑
∞
−∞=
, pokud střední hodnota existuje a suma vpravo je
konečná.
Příklad 1.: Postupně se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů. Další se zkouší jen tehdy, když
předchozí je spolehlivý. Každý z přístrojů vydrží zkoušku s pravděpodobností 0,8. Náhodná
veličina X udává počet zkoušených přístrojů. Vypočtěte střední hodnotu a rozptyl náhodné
veličiny X.
Řešení:
X nabývá hodnot 1, 2, 3, 4 a její pravděpodobnostní funkce je:
π(1) = 0,2,
π(2) = 0,8*0,2 = 0,16,
π(3) = 0,82
*0,2 = 0,128,
π(4) = 0,83
*0,2 + 0,84
= 0,512,
π(0) = 0 jinak
E(X) = 1*0,2 + 2*0,16 + 3*0,128 + 4*0,512 = 2,952
D(X) = 12
*0,2 + 22
*0,16 + 32
*0,128 + 42
*0,512 – 2,9522
= 1,4697
Postup ve STATISTICE:
Otevřeme nový datový soubor o dvou proměnných X a cetnost a čtyřech případech. Do
proměnné X napíšeme 1, 2, 3, 4, do proměnné cetnost napíšeme 200, 160, 128, 512.
Statistiky – Základní statistiky/tabulky – Popisné statistiky – OK – zavedeme proměnnou vah
cetnost – OK - Proměnné X – OK – Detailní výsledky - zaškrtneme Průměr, Rozptyl –
Výpočet.
Popisné statistiky (Tabulka1)
Proměnná N platných Průměr Rozptyl
X 1000 2,952000 1,471167
Rozptyl však musíme upravit, musíme ho vynásobit číslem 999/1000. Do výstupní tabulky
tedy přidáme za proměnnou Rozptyl novou proměnnou a do jejího Dlouhého jména napíšeme
=v3*999/1000
Popisné statistiky (Tabulka1)
Proměnná N platných Průměr Rozptyl NProm
X 1000 2,952000 1,471167 1,469696
Příklad 2.: Náhodná veličina X udává počet ok při hodu kostkou. Pomocí systému
STATISTICA vypočtěte její střední hodnotu a rozptyl.
Výsledek: E(X) = 3,5, D(X) = 2,9167
Příklad 3.: Při návštěvě drogerie nekoupí zákaznice nic s pravděpodobností 0,2, právě jeden
druh zboží s pravděpodobností 0,3, právě dva druhy zboží s pravděpodobností 0,4 a právě tři
druhy zboží s pravděpodobností 0,1. Jaká je střední hodnota a směrodatná odchylka počtu
druhů zboží, které zákaznice nakoupí při návštěvě drogerie?
Výsledek: E(X) = 1,4, √D(X) = 0,9165
Výpočet koeficientu korelace dvou diskrétních náhodných veličin
Předpokládáme, že diskrétní náhodný vektor (X1, X2) má simultánní pravděpodobnostní
funkci π(x1, x2).
Kovariance: ( ) ( ) ( ) ( )21
x x
212121 XEXEx,xxxX,XC
1 2
∑ ∑
∞
−∞=
∞
−∞=
−π=
Koeficient korelace: ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
jinak0
0XDXDpro
XDXD
X,XC
X,XR
21
21
21
21





>
=
Příklad 4.: Náhodná veličina X udává příjem manžela (v tisících dolarů) a náhodná veličina
Y příjem manželky (v tisících dolarů. Je známa simultánní pravděpodobnostní funkce π(x,y)
diskrétního náhodného vektoru (X,Y): π(10,10) = 0,2, π(10,20) = 0,04, π(10,30) = 0,01,
π(10,40) = 0, π(20,10) = 0,1, π(20,20) = 0,36, π(20,30) = 0,09, π(20,40) = 0, π(30,10) = 0,
π(30,20) = 0,05, π(30,30) = 0,1, π(30,40) = 0, π(40,10) = 0, π(40,20) = 0, π(40,30) = 0,
π(40,40) = 0,05, π(x,y) = 0 jinak. Vypočtěte koeficient korelace příjmů manžela a manželky.
Postup ve STATISTICE:
Otevřeme datový soubor korelace_prijmy_manzelu.sta o třech proměnných X, Y, cetnost a 16
případech.
Statistiky - Základní statistiky/tabulky – zavedeme proměnnou vah cetnost – OK - Korelační
matice – OK – 2 seznam proměnných – 1. seznam X, 2. seznam Y – OK – Výpočet.
Korelace (korelace_prijmy_manzelu.sta)
Označ. korelace jsou významné na hlad. p < ,05000
N=100 (Celé případy vynechány u ChD)
Proměnná Y
X 0,756086