Janoušová, Dušek: Analýza dat pro neurovědy© Institut biostatistiky a analýz
Analýza dat pro Neurovědy
RNDr. Eva Janoušová
doc. RNDr. Ladislav Dušek, Dr.
Jaro 2014
Janoušová, Dušek: Analýza dat pro neurovědy
Blok 7
Jak hodnotit vztah spojitých
proměnných a základy regresního
modelování.
2
Janoušová, Dušek: Analýza dat pro neurovědy
Osnova
1. Základy korelační analýzy
2. Základy regresní analýzy
3
Janoušová, Dušek: Analýza dat pro neurovědy
1. Základy korelační analýzy
Janoušová, Dušek: Analýza dat pro neurovědy
Motivace
• Zatím jsme se zabývali spojitou proměnnou v jedné skupině, spojitou
proměnnou ve více skupinách, diskrétní proměnnou v jedné skupině,
diskrétní proměnnou ve více skupinách, vztahem dvou diskrétních
proměnných.
• Teď se chceme zabývat dvěma spojitými proměnnými:
1. Chceme zjistit, jestli mezi nimi existuje vztah – např. jestli vyšší
hodnoty jedné proměnné znamenají nižší hodnoty jiné proměnné.
2. Chceme kvantifikovat vztah mezi dvěma spojitými proměnnými –
např. pro použití jedné proměnné na místo druhé proměnné.
3. Chceme predikovat hodnoty jedné proměnné na základě znalosti
hodnot jiných proměnných.
5
Janoušová, Dušek: Analýza dat pro neurovědy
Jak hodnotit vztah dvou spojitých proměnných?
• Nejjednodušší formou je bodový graf (x-y graf).
• Např. vztah objemu hipokampu a amygdaly:
6
Janoušová, Dušek: Analýza dat pro neurovědy
Korelace
• Korelační koeficient – kvantifikuje míru vztahu mezi dvěma spojitými
proměnnými (X a Y).
• Standardní metodou je výpočet Pearsonova korelačního koeficientu (r):
– Charakterizuje linearitu vztahu mezi X a Y – jinak řečeno variabilitu
kolem lineárního trendu.
– Nabývá hodnot od -1 do 1.
– Hodnota r je kladná (kladná korelace), když vyšší hodnoty X souvisí s
vyššími hodnotami Y, a naopak je záporná (záporná korelace), když
nižší hodnoty X souvisí s vyššími hodnotami Y.
– Proměnné jsou nekorelované, pokud r = 0.
– Hodnoty 1 nebo -1 získáme, když body x-y grafu leží na přímce.
• Lze statistickým testem otestovat, zda jsou dvě spojité proměnné
nezávislé – hypotézy mají tvar: 𝐻0: 𝑟 = 0 (tzn. korelační koeficient je
roven nule) a 𝐻1: 𝑟 ≠ 0.
7
Janoušová, Dušek: Analýza dat pro neurovědy
Pearsonův korelační koeficient (r)
8
r = 1,0 r = -0,9
r = 0,4 r = 0,05
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Janoušová, Dušek: Analýza dat pro neurovědy
• Pearsonův korelační koeficient není vhodné počítat v situaci, kdy:
– se v datech vyskytuje více skupin
– proměnné mají nelineární vztah
– se v datech vyskytují odlehlé hodnoty
Pearsonův korelační koef. – problematické situace I.
9
−2 0 2 4
−2−1012345
r = 0,36
p = 0,009
−1 0 1 2
01234567
r = 0,58
p < 0,001
−2 0 2 4 6
−10123456
r = 0,84
p < 0,001
Více skupin Nelineární vztah Odlehlá hodnota
r = 0,84
(p < 0,001)
r = 0,58
(p < 0,001)
r = 0,36
(p = 0,009)
Janoušová, Dušek: Analýza dat pro neurovědy
Pearsonův korelační koef. – problematické situace II.
• Problém velikosti vzorku:
• Test na ověření, zda je Pearsonův korelační koeficient různý od nuly, je
parametrický test – předpoklad normality srovnávaných spojitých
proměnných!
10
Y
X
Y
X
r = 0,891
(p < 0,214)
r = 0,012
(p < 0,008)
Janoušová, Dušek: Analýza dat pro neurovědy
Pearsonův korelační koef. – problematické situace III.
• Při srovnání dvou spojitých proměnných je nutné vykreslovat bodový graf,
protože histogramy pro jednotlivé proměnné zvlášť nám nemusejí odhalit
odlehlé hodnoty!
11
Histogram of x
x
-20 -10 0 10 20 30
05101520
-20 -10 0 10 20
-40-2002040
x
y
Histogram of y
y
-40 -20 0 20 40 60
051015
Janoušová, Dušek: Analýza dat pro neurovědy
Pearsonův korelační koeficient
• Příklad: Ověřte, zda existuje vztah objemu amygdaly a putamenu
v souboru 833 subjektů.
• Řešení:
12
Janoušová, Dušek: Analýza dat pro neurovědy
Úkol 1.
• Zadání: Ověřte, zda existuje vztah objemu nucleus caudatus a věku u
pacientů s AD, pacientů s MCI a u kontrol. Nezapomeňte ověřit normalitu
srovnávaných proměnných.
• Řešení:
13
AD MCI CN
r = -0,68
(p < 0,001)
r = -0,67
(p < 0,001)
r = -0,43
(p < 0,001)
Janoušová, Dušek: Analýza dat pro neurovědy
Srovnání dvou korelačních koeficientů
• Příklad: Srovnejte korelační koeficienty objemu nucleus caudatus a věku u
pacientů s AD a kontrolních subjektů.
• Postup:
14
Z předchozího úkolu víme, že:
r1 = -0,68
N1 = 197
r2 = -0,43
N2 = 230
Janoušová, Dušek: Analýza dat pro neurovědy
Srovnání korelačního koeficientu s referenční hodnotou
• Příklad: Srovnejte korelační koeficient objemu nucleus caudatus a věku u
pacientů s MCI s hodnotou -0,62, jež byla zjištěna při populačním průzkumu.
• Postup:
15
Z předchozího úkolu víme, že:
r1 = -0,67
N1 = 406
Populační průzkum:
r2 = -0,62
N2 = 32767 (co největší N)
Janoušová, Dušek: Analýza dat pro neurovědy
Poznámka
• Korelace dvou náhodných veličin se často interpretuje pomocí druhé
mocniny Pearsonova korelačního koeficientu: r2.
• Hodnota r2 vyjadřuje, kolik % své variability sdílí jedna veličina s druhou,
jinak řečeno, kolik % variability jedné veličiny může být predikováno
pomocí té druhé.
• S hodnotou r2 se setkáte v lineárních modelech.
16
Janoušová, Dušek: Analýza dat pro neurovědy
Spearmanův korelační koeficient (rs)
• Pearsonův korelační koeficient je náchylný k odlehlým hodnotám a obecně
odchylkám od normality.
• Spearmanův korelační koeficient stejně jako řada dalších
neparametrických metod pracuje pouze s pořadími pozorovaných hodnot.
• Hodnoty Spearmanova korelačního koeficientu rs se pohybují stejně jako u
Pearsonova korelačního koeficientu r od -1 do 1.
17
Janoušová, Dušek: Analýza dat pro neurovědy
Srovnání Pearsonova a Spearmanova korelačního
koeficientu
18
Pearsonův korelační koeficient:
r = 0,65
(p = 0,029)
Spearmanův korelační koeficient:
rS = 0,95
(p < 0,001)
Spearmanův korelační koeficient není náchylný k odlehlým hodnotám.
Janoušová, Dušek: Analýza dat pro neurovědy
Spearmanův korelační koeficient
• Příklad: Zjistěte, zda existuje vztah objemu hipokampu a MMSE skóre.
• Řešení:
19
Janoušová, Dušek: Analýza dat pro neurovědy
Úkol 2.
• Zadání: Zjistěte, zda existuje vztah objemu všech dalších pěti mozkových
sktruktur s MMSE skóre (nezapomeňte vykreslit bodové grafy).
• Řešení:
20
Janoušová, Dušek: Analýza dat pro neurovědy
2. Základy regresní analýzy
21
Janoušová, Dušek: Analýza dat pro neurovědy
Motivace
• Cílem regresní analýzy je popsat závislost hodnot jedné proměnné na
hodnotách druhé proměnné.
• Např. závislost objemu hipokampu na věku.
• Dva problémy:
– Vybrat správnou funkci k popisu dané závislosti.
– Stanovit konkrétní parametry daného typu funkce.
22
Janoušová, Dušek: Analýza dat pro neurovědy
Příklady závislostí
23
X
Y
Lineární
Y
X
Y
X
Nelineární
Janoušová, Dušek: Analýza dat pro neurovědy
Lineární regrese
24
𝒚 = 𝑿 ∗ 𝜷 + 𝜺
𝑦
𝑥
𝒚 = 𝛽0 + 𝛽1 ∗ 𝒙 + 𝜺
Obecný zápis:
Zápis, pokud máme pouze jednu nezávisle proměnnou:
y – závisle proměnná (vysvětlovaná
proměnná)
x – nezávisle proměnná
(vysvětlující proměnná, regresor)
ε – náhodná složka modelu přímky
(rezidua přímky)
β0 – intercept
β1 – regresní koeficient – „sklon
regresní přímky“
Janoušová, Dušek: Analýza dat pro neurovědy
Lineární regrese
25
𝒚 = 𝑿 ∗ 𝜷 + 𝜺
𝑦
𝑥
𝒚 = 𝛽0 + 𝛽1 ∗ 𝒙 + 𝜺
y – závisle proměnná (vysvětlovaná
proměnná)
x – nezávisle proměnná
(vysvětlující proměnná, regresor)
ε – náhodná složka modelu přímky
(rezidua přímky)
β0 – intercept
β1 – regresní koeficient – „sklon
regresní přímky“
Obecný zápis:
Zápis, pokud máme pouze jednu nezávisle proměnnou:
β0
Janoušová, Dušek: Analýza dat pro neurovědy
Lineární regrese
26
𝒚 = 𝑿 ∗ 𝜷 + 𝜺
𝑦
𝑥
𝒚 = 𝛽0 + 𝛽1 ∗ 𝒙 + 𝜺
Obecný zápis:
Zápis, pokud máme pouze jednu nezávisle proměnnou:
y – závisle proměnná (vysvětlovaná
proměnná)
x – nezávisle proměnná
(vysvětlující proměnná, regresor)
ε – náhodná složka modelu přímky
(rezidua přímky)
β0 – intercept
β1 – regresní koeficient – „sklon
regresní přímky“
Janoušová, Dušek: Analýza dat pro neurovědy
Lineární regrese
27
𝒚 = 𝑿 ∗ 𝜷 + 𝜺
𝑦
𝑥
𝒚 = 𝛽0 + 𝛽1 ∗ 𝒙 + 𝜺
Obecný zápis:
Zápis, pokud máme pouze jednu nezávisle proměnnou:
Odhad koeficientů β metodou
nejmenších čtverců:
𝜷� = 𝑿′
𝑿 −1
𝑿′
𝒚
y – závisle proměnná (vysvětlovaná
proměnná)
x – nezávisle proměnná
(vysvětlující proměnná, regresor)
ε – náhodná složka modelu přímky
(rezidua přímky)
β0 – intercept
β1 – regresní koeficient – „sklon
regresní přímky“
Janoušová, Dušek: Analýza dat pro neurovědy
Lineární regrese - příklady
28
Y
X
y
β1 = 0
Y
X
y
β1 > 0
Y
X
y
β1 < 0
Janoušová, Dušek: Analýza dat pro neurovědy
Lineární regrese
zdroj variability součet čtverců stupně volnosti podíl statistika F
model SR p SR/p
reziduální SE n-p-1 SE/(n-p-1) celkový
ST n-1 - -
29
Převzato z přednášek
RNDr. Marie Budíkové, Dr.
Testování významnosti modelu jako celku – celkový F-test:
( )1pnS
pS
E
R
--
n ... počet subjektů; p ... počet proměnných
Janoušová, Dušek: Analýza dat pro neurovědy
Regresní analýza v grafech
30
ee
0 0
!e
y (i; x)
0
e
0
y (i; x)
e
0
y (i; x)
!
Grafy residuí modelů (příklady)
Obecné tvary residuí modelů (schéma)
e e
i, xj, y
a b
e
i, xj, y
c
e
i, xj, y
dd
! ! !ü
ü
Janoušová, Dušek: Analýza dat pro neurovědy
Lineární regrese – příklad I
31
• Příklad: Proveďte regresní analýzu, v níž budete modelovat závislost
objemu nucleus caudatus na věku.
Q-Q graf reziduí Histogram reziduí
Bodový graf reziduí vs.
predikované hodnoty
Janoušová, Dušek: Analýza dat pro neurovědy
Lineární regrese – příklad II
• Příklad: Chceme zjistit, zda se liší objem nucleus caudatus podle typu
onemocnění (pacienti s AD, pacienti s MCI, kontroly). Srovnávané skupiny
subjektů však obsahují jiný poměr mužů a žen a liší se i věkovým složením.
Odstraňte vliv věku a pohlaví, aby výsledek srovnání objemu nucleus
caudatus podle typu onemocnění nebyl ovlivněn tím, že skupiny nejsou
srovnatelné.
32
Janoušová, Dušek: Analýza dat pro neurovědy
Vícenásobná lineární regrese
33
x1 x2 … xp
I1 1
I2 1
I3 1
I4 1
…
In 1
parametry
pacienti 𝑿
𝒚 = 𝑿𝜷 + 𝜺
25
36
58
...
𝛽0
𝛽1
𝛽2
𝛽3
…
𝛽p
𝒚 𝜷
ε0
ε1
ε2
ε3
…
εn
= * +
𝜺
𝑿 – matice plánu (design matice)
Janoušová, Dušek: Analýza dat pro neurovědy 34
Převzato z: Walhovd et al. 2011,
Neurobiol. of aging
věk věk*věk
I1 1
I2 1
I3 1
I4 1
… …
In 1
parametry
pacienti
𝑿
1.5
2.6
-0.8
...
𝛽0
𝛽1
𝛽2
𝒚 𝜷
ε1
ε2
ε3
ε4
…
εn
= * +
𝜺
𝒚 = 𝛽0 + 𝛽1 ∗ 𝒙 + 𝛽2 ∗ 𝒙2 + 𝜺
Kvadratická závislost objemu mozkové struktury na věku
Janoušová, Dušek: Analýza dat pro neurovědy
Kategoriální data jako prediktory v regresi
• Kategoriální a ordinální data mohou do analýzy vstupovat jako binární
proměnné
• Kategoriální data (nelze seřadit) -> dummies
• Ordinální data (lze seřadit)
– Dummies
– Definice referenční kategorie (obvykle kategorie s nejnižším rizikem pro
hodnocený endpoint
• Příklad: Stádium karcinomu
35
Původní Dummies Vzhledem k referenci
Stádium Stádium I Stádium II Stádium III Stádium IV Stád. II ref Stád. III ref Stád. IV ref
I 1 0 0 0 0 0 0
I 1 0 0 0 0 0 0
I 1 0 0 0 0 0 0
II 0 1 0 0 1
II 0 1 0 0 1
III 0 0 1 0 1
III 0 0 1 0 1
IV 0 0 0 1 1
IV 0 0 0 1 1
Janoušová, Dušek: Analýza dat pro neurovědy
Logistická regrese
• Standardní metoda pro analýzu binárních charakteristik (pacient/kontrolní
subjekt, zemřelý/žijící, s nežádoucími účinky/bez n. ú. apod.) bez vlivu času
• Modeluje závislost výskytu události (nežádoucího účinku, úmrtí,
onemocnění) na binárních, kategoriálních nebo spojitých proměnných
• Výsledkem rovnice je pravděpodobnost, že u daného pacienta nastane
hodnocená událost
• Alternativou jsou např. rozhodovací stromy, neuronové sítě a další
klasifikační metody
36
y=exp(-28.41096581446+(.29929760633475)*x)/(1+exp(-28.41096581446+
(.29929760633
40 60 80 100 120 140 160
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Příklad logistické regrese: predikce
binární charakteristiky (osa y) za pomoci
spojité proměnné (osa x)
Model
logistické
regrese
Janoušová, Dušek: Analýza dat pro neurovědy
Poděkování…
Příprava výukových materiálů předmětu „DSAN01 Analýza
dat pro Neurovědy “ byla finančně podporována prostředky
projektu FRVŠ č. 942/2013 „Inovace materiálů pro
interaktivní výuku a samostudium předmětu Analýza dat pro
Neurovědy“
37