zahlavi-IBA logo-IBA logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
Pokročilé metody analýzy dat
v neurovědách
Jaro 2015
RNDr. Eva Janoušová
doc. RNDr. Ladislav Dušek, Dr.

logo-MU logo-IBA
Janoušová, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Blok 4
Shluková analýza
2

logo-MU logo-IBA
Janoušová, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Osnova
1.Podstata a cíle shlukové analýzy dat
2.Shluková analýza hierarchická – hierarchické aglomerativní shlukování
3.Shluková analýza hierarchická – hierarchické divizivní shlukování
4.Shluková analýza nehierarchická
5.Identifikace optimálního počtu shluků
3

logo-MU logo-IBA
Janoušová, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Podstata a cíle shlukové
analýzy dat
4

logo-MU logo-IBA
Janoušová, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Shluková analýza – cíle a postupy
•Shluková analýza se snaží o identifikaci shluků objektů ve vícerozměrném prostoru a následnou
redukci vícedimenzionálního problému kategorizací objektů do zjištěných shluků
•
5
•Existuje řada různých metod pro shlukování dat lišících se:
-Měřením vzdálenosti mezi objekty
-Algoritmem spojování objektů do shluků
-Interpretací výstupů
•Každá z metod má své vlastní předpoklady výpočtu a je nasaditelná pro různé typy úloh
•Porušení předpokladů nebo nasazení chybné metody může vést k zavádějícím výsledkům

logo-MU logo-IBA
Janoušová, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Obecný princip hledání shluků v datech
•Vzájemnou pozici objektů ve vícerozměrném prostoru lze popsat jejich vzdáleností (např.
Euklidovou, Čebyševovou apod.)
6
Jednoznačné odlišení existujících shluků v datech (obdoba multimodálního rozložení)
Shluková analýza je možná i v tomto případě, nicméně hranice shluků jsou dány pouze naším
rozhodnutím.
•Smysluplnost výsledků shlukování závisí jednak na objektivní existenci shluků v datech, jednak na
arbitrárně nastavených kritériích definice shluků
•

logo-MU logo-IBA
Janoušová, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Shluková analýza – typy metod
7
1. Krok
2. Krok
X. Krok
Atd.
Atd.
Kolik shluků chceme definovat? Například 4
Výpočet ukončen
Minimum spanning
tree, Prime network
Výpočet ukončen

logo-MU logo-IBA
Janoušová, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Shluková analýza hierarchická – hierarchické aglomerativní shlukování
8

logo-MU logo-IBA
Janoušová, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Hierarchické aglomerativní shlukování
•Při tomto způsobu shlukování jsou postupně shlukovány nejpodobnější objekty až do doby, kdy jsou
všechny objekty propojeny do jednoho shluku spojujícího všechny objekty v analyzovaném souboru
9
•Analýza má dva hlavní kroky:
1.Výběr vhodné metriky vzdálenosti/podobnosti pro výpočet asociační matice (analýza může probíhat
na libovolných metrikách vzdálenosti/podobnosti)
2.Výběr shlukovacího algoritmu, který podstatným způsobem ovlivňuje výsledky analýzy a možnosti
její interpretace
•Algoritmus výpočtu postupuje v následujícím cyklu
1.Výpočet asociační matice
2.Spojení dvou nejpodobnějších objektů
3.Přepočítání asociační matice tak, že spojené objekty již nadále vystupují jako jediný objekt (v
tomto kroku se uplatňuje zvolený shlukovací algoritmus, který definuje jak bude počítána
vzdálenost/podobnost spojených objektů vůči ostatním objektům)
4.Spojení dvou nejpodobnějších objektů z přepočítané asociační matice
5.Atd. až do spojení všech objektů

logo-MU logo-IBA
Janoušová, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Hierarchické aglomerativní shlukování – schéma výpočtu
10
Výběr metriky
podobnosti/vzdálenosti
Výběr shlukovacího algoritmu
Ukončení výpočtu po spojení všech objektů
Dendrogram
Amalgamation schedule/graph

logo-MU logo-IBA
Janoušová, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Popis výstupů – dendrogram
11
Výstupy shlukové analýzy musí být vždy popsány použitou metrikou vzdáleností a shlukovacím
algoritmem
Shlukované objekty - jejich pořadí je dáno přiřazením do shluků, není problém jejich pořadí v grafu
měnit (např. v tomto konkrétním grafu prohodit A a B), pouze nesmí dojít ke změně shluků
Propojení shlukovaných objektů
Vzdálenost, na níž došlo ke spojení shluku:
• je v rozměrech použité metriky vzdáleností/podobností a v tomto kontextu ji lze kvantitativně
interpretovat
• interpretace vzdálenosti shlukování se liší podle použitého shlukovacího algoritmu
• někdy se uvádí ve škále 0-100%, kde 100% je maximální vzdálenost shlukování

logo-MU logo-IBA
Janoušová, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Popis výstupů – Amalgamation schedule/graph
•Popis postupu shlukování; využitelné i pro identifikaci optimálního počtu shluků
•
12
Objekty spojené
v jednotlivých krocích shlukování
Grafické vyjádření kroků shlukování a vzdálenostech, na nichž došlo k propojení objektů:
Pokud je v grafu dlouhá vzdálenost bez napojení shluku, jde o možné místo zastavení shlukování a
definici finálních shluků
Souvislost s dendrogramem:

logo-MU logo-IBA
Janoušová, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Shlukovací algoritmy hierarchického aglomerativního shlukování
13
•Metoda nejbližšího souseda (nearest neighbour, simple linkage)
– spojení dle nejmenší vzdálenosti mezi objekty shluků
•Průměrná vzdálenost (pair group average) – spojení dle průměrné vzdálenosti mezi objekty shluků
–Vážená (weighted) – odstranění vlivu velikosti shluků, shluky bez ohledu na velikost přispívají k
výpočtu spojovací vzdálenosti stejnou vahou
–Nevážená (unweighted) – výpočet spojovací vzdálenosti je ovlivněn velikostí spojovaných shluků
•Středospojná vzdálenost (pair group centroid) – spojení dle vzdálenosti centroidů  shluků
–Vážená (weighted) – odstranění vlivu velikosti shluků, shluky bez ohledu na velikost přispívají k
výpočtu spojovací vzdálenosti stejnou vahou
–Nevážená (unweighted) – výpočet spojovací vzdálenosti je ovlivněn velikostí spojovaných shluků
•Metoda nejvzdálenějšího souseda (farthest neigbour, complete linkage) – spojení dle největší
vzdálenosti mezi objekty shluků

logo-MU logo-IBA
Janoušová, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Shlukovací algoritmy hierarchického aglomerativního shlukování
14
•Průměrná vzdálenost (pair group average) – spojení dle průměrné vzdálenosti mezi objekty shluků
–Vážená (weighted) – odstranění vlivu velikosti shluků, shluky bez ohledu na velikost přispívají k
výpočtu spojovací vzdálenosti stejnou vahou
–Nevážená (unweighted) – výpočet spojovací vzdálenosti je ovlivněn velikostí spojovaných shluků
•Středospojná vzdálenost (pair group centroid) – spojení dle vzdálenosti centroidů  shluků
–Vážená (weighted) – odstranění vlivu velikosti shluků, shluky bez ohledu na velikost přispívají k
výpočtu spojovací vzdálenosti stejnou vahou
–Nevážená (unweighted) – výpočet spojovací vzdálenosti je ovlivněn velikostí spojovaných shluků
•Metoda nejvzdálenějšího souseda (farthest neigbour, complete linkage) – spojení dle největší
vzdálenosti mezi objekty shluků
Přechod mezi oběma extrémy (metoda flexible clustering umožňuje dle nastavení zcela plynulý
přechod)
•Metoda nejbližšího souseda (nearest neighbour, simple linkage)
– spojení dle nejmenší vzdálenosti mezi objekty shluků

logo-MU logo-IBA
Janoušová, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
15
Shlukovací algoritmy hierarchického aglomerativního shlukování – Wardova metoda
•Principielně podobné ANOVA
•Shluky jsou vytvářeny tak, aby nově vzniklý shluk přispíval co nejméně k sumě čtverců vzdáleností
objektů od centroidů jejich shluků
•V počátečním kroku je každý objekt sám sobě shlukem, a tedy vzdálenost od centroidu shluku je
rovna 0
•Pro výpočet vzdáleností od centroidu je používána Euklidovská vzdálenost
•Pro popis vzdálenosti shlukování je v dendrogramu možné použít řadu postupů (nezbytné ověřit jaký
přístup je k dispozici v použitém SW):
–Čtverce vzdáleností
–Odmocnina čtverce vzdáleností
–Podíl variability (čtverce vzdáleností) připadající na daný shluk
–Aj.
Krok 1: každý objekt je sám sobě centroidem
Krok 2: spojení objektů, které nejméně přispějí k sumě čtverců vzdáleností od centroidu
Krok 3: spojení objektů, které nejméně přispějí k sumě čtverců vzdáleností od centroidu
Krok 4: stejný postup až do spojení všech objektů

logo-MU logo-IBA
Janoušová, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Metoda nejbližšího souseda: 1. krok výpočtu
16
A
B
C
D
E
A
0.0
4.0
7.2
12.8
12.7
B
4.0
0.0
4.5
10.0
10.3
C
7.2
4.5
0.0
5.7
5.8
D
12.8
10.0
5.7
0.0
1.4
E
12.7
10.3
5.8
1.4
0.0
1
•Je definován shluk dvou nejbližších objektů
D-E
•Je vypočtena asociační matice
A
B
C
D
E
A
0.0
4.0
7.2
12.8
12.7
B
4.0
0.0
4.5
10.0
10.3
C
7.2
4.5
0.0
5.7
5.8
D
12.8
10.0
5.7
0.0
1.4
E
12.7
10.3
5.8
1.4
0.0

logo-MU logo-IBA
Janoušová, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Metoda nejbližšího souseda: 2. krok výpočtu
•Je vypočtena asociační matice, kde objekty D-E již vystupují jako jeden objekt, jehož vzdálenost
od ostatních objektů je dána nejmenší vzdáleností od jeho členů (D, E)
•
•
•
•
•
•
17
A
B
C
D+E
A
0.0
4.0
7.2
12.7
B
4.0
0.0
4.5
10.0
C
7.2
4.5
0.0
5.7
D+E
12.7
10.0
5.7
0.0
•Je definován shluk dvou nejbližších objektů
A-B
1
2
A
B
C
D
E
A
0.0
4.0
7.2
12.8
12.7
B
4.0
0.0
4.5
10.0
10.3
C
7.2
4.5
0.0
5.7
5.8
D
12.8
10.0
5.7
0.0
1.4
E
12.7
10.3
5.8
1.4
0.0
A
B
C
D+E
A
0.0
4.0
7.2
12.7
B
4.0
0.0
4.5
10.0
C
7.2
4.5
0.0
5.7
D+E
12.7
10.0
5.7
0.0

logo-MU logo-IBA
Janoušová, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Metoda nejbližšího souseda: 3. krok výpočtu
•Je vypočtena asociační matice, kde objekty A-B již vystupují jako jeden objekt, jehož vzdálenost
od ostatních objektů je dána nejmenší vzdáleností od jeho členů (A, B)
•
•
•
•
•
•
18
A+B
C
D+E
A+B
0.0
4.5
10.0
C
4.5
0.0
5.7
D+E
10.0
5.7
0.0
•Je definován shluk dvou nejbližších objektů
(A-B)-C
1
2
3
A
B
C
D+E
A
0.0
4.0
7.2
12.7
B
4.0
0.0
4.5
10.0
C
7.2
4.5
0.0
5.7
D+E
12.7
10.0
5.7
0.0
A+B
C
D+E
A+B
0.0
4.5
10.0
C
4.5
0.0
5.7
D+E
10.0
5.7
0.0

logo-MU logo-IBA
Janoušová, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Metoda nejbližšího souseda: 4. krok výpočtu
•Je vypočtena asociační matice, kde objekty (A-B)-C již vystupují jako jeden objekt, jehož
vzdálenost od ostatních objektů je dána nejmenší vzdáleností od jeho členů (A, B, C)
•
•
•
•
•
•
19
A+B+C
D+E
A+B+C
0.0
5.7
D+E
5.7
0.0
•Je definován shluk dvou nejbližších objektů
((A-B)-C)-(D-E)
1
2
3
4
A+B
C
D+E
A+B
0.0
4.5
10.0
C
4.5
0.0
5.7
D+E
10.0
5.7
0.0
A+B+C
D+E
A+B+C
0.0
5.7
D+E
5.7
0.0
•Všechny objekty jsou spojeny, algoritmus je ukončen

logo-MU logo-IBA
Janoušová, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Metoda nejbližšího souseda: výsledek analýzy
20
•Výsledek analýzy je vizualizován ve formě dendrogramu
1
2
3
4

logo-MU logo-IBA
Janoušová, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Metoda nejvzdálenějšího souseda: 1. krok výpočtu
21
A
B
C
D
E
A
0.0
4.0
7.2
12.8
12.7
B
4.0
0.0
4.5
10.0
10.3
C
7.2
4.5
0.0
5.7
5.8
D
12.8
10.0
5.7
0.0
1.4
E
12.7
10.3
5.8
1.4
0.0
1
•Je definován shluk dvou nejbližších objektů
D-E
•Je vypočtena asociační matice
A
B
C
D
E
A
0.0
4.0
7.2
12.8
12.7
B
4.0
0.0
4.5
10.0
10.3
C
7.2
4.5
0.0
5.7
5.8
D
12.8
10.0
5.7
0.0
1.4
E
12.7
10.3
5.8
1.4
0.0

logo-MU logo-IBA
Janoušová, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Metoda nejvzdálenějšího souseda: 2. krok výpočtu
•Je vypočtena asociační matice, kde objekty D-E již vystupují jako jeden objekt, jehož vzdálenost
od ostatních objektů je dána největší vzdáleností od jeho členů (D, E)
•
•
•
•
•
•
22
A
B
C
D+E
A
0.0
4.0
7.2
12.8
B
4.0
0.0
4.5
10.3
C
7.2
4.5
0.0
5.8
D+E
12.8
10.3
5.8
0.0
•Je definován shluk dvou nejbližších objektů
A-B
1
2
A
B
C
D
E
A
0.0
4.0
7.2
12.8
12.7
B
4.0
0.0
4.5
10.0
10.3
C
7.2
4.5
0.0
5.7
5.8
D
12.8
10.0
5.7
0.0
1.4
E
12.7
10.3
5.8
1.4
0.0
A
B
C
D+E
A
0.0
4.0
7.2
12.8
B
4.0
0.0
4.5
10.3
C
7.2
4.5
0.0
5.8
D+E
12.8
10.3
5.8
0.0

logo-MU logo-IBA
Janoušová, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Metoda nejvzdálenějšího souseda: 3. krok výpočtu
•Je vypočtena asociační matice, kde objekty A-B již vystupují jako jeden objekt, jehož vzdálenost
od ostatních objektů je dána největší vzdáleností od jeho členů (A, B)
•
•
•
•
•
•
23
A+B
C
D+E
A+B
0.0
7.2
12.8
C
7.2
0.0
5.8
D+E
12.8
5.8
0.0
•Je definován shluk dvou nejbližších objektů
(D-E)-C
1
2
A
B
C
D+E
A
0.0
4.0
7.2
12.8
B
4.0
0.0
4.5
10.3
C
7.2
4.5
0.0
5.8
D+E
12.8
10.3
5.8
0.0
A+B
C
D+E
A+B
0.0
7.2
12.8
C
7.2
0.0
5.8
D+E
12.8
5.8
0.0
3

logo-MU logo-IBA
Janoušová, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Metoda nejvzdálenějšího souseda: 4. krok výpočtu
•Je vypočtena asociační matice, kde objekty (D-E)-C již vystupují jako jeden objekt, jehož
vzdálenost od ostatních objektů je dána největší vzdáleností od jeho členů (D, E, C)
•
•
•
•
•
•
24
A+B
D+E+C
A+B
0.0
12.8
D+E+C
12.8
0.0
•Je definován shluk dvou nejbližších objektů
((D-E)-C)-(A-B)
A+B
C
D+E
A+B
0.0
7.2
12.8
C
7.2
0.0
5.8
D+E
12.8
5.8
0.0
A+B
D+E+C
A+B
0.0
12.8
D+E+C
12.8
0.0
•Všechny objekty jsou spojeny, algoritmus je ukončen
1
2
3
4

logo-MU logo-IBA
Janoušová, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Metoda nejvzdálenějšího souseda: výsledek analýzy
25
•Výsledek analýzy je vizualizován ve formě dendrogramu
1
2
3
4

logo-MU logo-IBA
Janoušová, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Metoda nejbližšího a nejvzdálenějšího souseda – interpretace výsledků
26
Metoda nejbližšího souseda
Metoda nejvzdálenějšího souseda
Rozdílné zařazení objektu C
Vzdálenost, na níž došlo ke spojení shluku:
• u metody nejbližšího souseda znamená nejmenší vzdálenost objektů shluku, tedy ve shluku mohou
existovat objekty s větší  vzdáleností
Vzdálenost, na níž došlo ke spojení shluku:
• u metody nejvzdálenějšího souseda znamená největší vzdálenost objektů shluku, tedy objekty ve
shluku už mohou být k sobě pouze blíže nebo stejně vzdálené jako je tato vzdálenost

logo-MU logo-IBA
Janoušová, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Shluková analýza hierarchická – hierarchické divizivní shlukování
27

logo-MU logo-IBA
Janoušová, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Hierarchické divizivní shlukování – postup
•divizivní metody pracují ze začátku se všemi objekty jako s jednou skupinou
28
x
y
x
y
x
y
…
•nejdříve je tato skupina rozdělena do dvou menších skupin
•dělení podskupin pokračuje dále, dokud není splněno alespoň jedno
z kritérií, které ukončí analýzu:
–předem definovaný počet kroků
–rozklad na samostatné objekty
–dosažení kritéria minimálního

logo-MU logo-IBA
Janoušová, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Hierarchické divizivní shlukování – poznámky
•výhoda oproti hierarch. aglomerativnímu shlukování: vhodné pro objemné datové soubory
•výhodou rovněž, že ke každému dělení je připojeno kritérium, podle kterého dělení proběhlo
29
•typy divizivních metod:
–monotetické (dělení souboru podle jediné proměnné)
–polytetické (dělení souboru podle komplexní charakteristiky získané na základě všech proměnných) –
např. metoda TWINSPAN

logo-MU logo-IBA
Janoušová, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Shluková analýza nehierarchická
30

logo-MU logo-IBA
Janoušová, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Nehierarchické shlukování
•pokud data nevykazují hierarchickou strukturu, je často vhodnější používat nehierarchické
shlukování namísto hierarchického shlukování
•
31
•výstupem vytvoření skupin stejného řádu
•skupiny uvnitř co nejvíce homogenní a mezi sebou co nejvíce odlišné
•
•nehierarchické metody vhodné pro velmi objemná data
•
•metody nehierarchického divizivního shlukování:
–metoda k-průměrů (k-means clustering)
–metoda x-průměrů
–metoda k-medoidů
•
•metody nehierarchického aglomerativního shlukování:
–Minimum spanning tree
•

logo-MU logo-IBA
Janoušová, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
•Metoda zařazuje objekty do shluků na principu ANOVA, analogií je Wardova metoda shlukování v
hierarchickém aglomerativním  shlukování
•Počet shluků je předem definován, výběr nejvhodnějšího počtu shluků je prováděn buď expertně nebo
pomocí matematických metod výběru optimálního počtu shluků (analýza vnitro a mezishlukových
vzdáleností)
32
Výsledek pro k=2
Výsledek pro k=3
•Postup:
1.V prvním kroku je určeno k objektů jako počáteční středy shluků (výběr může být náhodný, daný
uživatelem nebo maximalizující počáteční vzdálenosti k objektů)
2.Následně jsou objekty zařazeny do k shluků tak, aby byla minimalizována suma čtverců vzdáleností
objektů k centroidům jejich shluků
Nehierarchické divizivní shlukování – metoda k-průměrů
•Upozornění: Analýza vždy nalezne zadaný počet shluků, i když výsledek nemusí být vždy prakticky
smysluplný!

logo-MU logo-IBA
Janoušová, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Nehierarchické aglomerativní shlukování - postup
•Do této skupiny lze zařadit metody hledající nejkratší spojnici mezi objekty ve vícerozměrném
prostoru (i když lze vznést námitky proti nazývání těchto metod nehierarchickými)
•
•Metody hledají v asociační matici (prvním krokem je tak vždy výběr vhodné metriky vzdáleností/
podobností) propojení všech objektů s nejmenší sumou vzdáleností mezi propojenými objekty
•
•Na rozdíl od klasického hierarchického aglomerativního shlukování může být na jeden objekt
napojeno několik dalších objektů
•
•Minimum spanning tree
33

logo-MU logo-IBA
Janoušová, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Identifikace optimálního
počtu shluků
34

logo-MU logo-IBA
Janoušová, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Identifikace optimálního počtu shluků
•Cílem analýzy může být jednak zjistit vazby mezi objekty (dostatečným výstupem je dendrogram) nebo
identifikovat v datech shluky, které budou využity v další analýze jako zjednodušení
vícedimenzionálního problému
35
•Identifikace shluků ve výsledcích shlukové analýzy:
–Expertní/intuitivní – hranice oddělení shluků je určena podle zkušeností analytika a praktického
významu výstupu
–Matematické metody (analýza mezishlukových/vnitroshlukových vzdáleností; silhouette metoda aj.)
fungují dobře v případě existence přirozených shluků
–V některých případech (při neexistenci přirozených shluků) je rozdělení souboru pouze arbitrární
Jednoznačný řez na více vzdálenostech
Jediný identifikovatelný řez, navíc na malé vzdálenosti

logo-MU logo-IBA
Janoušová, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Identifikace optimálního počtu shluků
•Mezi shlukovou analýzou a pozicí objektů ve vícerozměrném prostoru existuje vztah
•
36
Jednoznačný řez na více vzdálenostech
Jediný identifikovatelný řez, navíc na malé vzdálenosti

logo-MU logo-IBA
Janoušová, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Identifikace optimálního počtu shluků - metody
•Dunnův validační index
•Daviesův-Bouldinův validační index
•Metoda siluety
•Izolační index
•C-index
•Goodmanův-Kruskalův index
37

logo-MU logo-IBA
Janoušová, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Poděkování
Příprava výukových materiálů předmětu
„DSAN02 Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách“
byla finančně podporována prostředky projektu FRMU
č. MUNI/FR/0260/2014 „Pokročilé metody analýzy dat
v neurovědách jako nový předmět na LF MU“
38