logo-IBA Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek Parametrické testy logo-IBA Parametrické testy Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek —Předpoklad: normalita dat —Studentův t-test (testování rozdílů dvou středních hodnot) varianty t-testu: 1.Jednovýběrový t-test (porovnání základního a výběrového souboru, známe střední hodnotu základního souboru) 2.Dvouvýběrový t-test (porovnání dvou výběrových souborů, neznáme střední hodnotu základního souboru): - párový (závislé výběry) - nepárový (nezávislé výběry) —F-test (testování rozdílů dvou rozptylů) logo-IBA Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek Jednovýběrový t-test Jednovýběrový test rozptylu 1. Statistické testy o parametrech jednoho výběru logo-IBA Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek Anotace —Jednovýběrové statistické testy srovnávají některou popisnou statistiku vzorku (průměr, směrodatnou odchylku) s jediným číslem, jehož význam je ze statistického hlediska hodnota cílové populace —Z hlediska statistické teorie jde o ověření, zda daný vzorek pochází z testované cílové populace. logo-IBA Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek “One sample“ testy I H0 HA Testová statistika Interval spolehlivosti t t > t t t < t t |t| > t Průměr – cílová vs. výběrová populace (n-1) 1-α (n-1) α (n-1) 1-α/2 V případě one sample testů jde o srovnání výběru dat (tedy one sample) s cílovou populací. Pro parametrické testy musí mít datový soubor normální rozložení. μ - střední hodnota základního souboru - průměr výběrového souboru s2 - rozptyl výběrového souboru n - počet členů výběrového souboru 1-α/2 kvantil Studentova t- rozdělení pro dané stupně volnosti (n-1) a zvolené α logo-IBA —Určitá linka autobusové městské dopravy má v době dopravní špičky průměrnou rychlost 8 km/hod. Uvažovalo se o tom, zda změna trasy by vedla ke změně průměrné rychlosti. Nová trasa byla proto projeta v deseti náhodně vybraných dnech a byly zjištěny tyto průměrné rychlosti: 7,8 7,9 9,0 7,8 8,0 7,8 8,5 8,2 8,2 9,3. Rozhodněte, zda změna trasy vede ke změně průměrné rychlosti. Předpokládáme normální rozdělení a α=0,05. —Postup: 1.Na hladině významnosti 0,05 testujeme hypotézu H0: , proti HA : 2.Vypočteme aritmetický průměr a rozptyl výběrového souboru. 3.Vypočteme testové kritérium t: 4. 4. 4.Vypočtené t porovnáme s kritickou hodnotou t1-α/2(n-1): 5. 5.Je-li t ≤ t1-α/2(n-1) statisticky nevýznamný rozdíl testovaných parametrů při zvolené α; nulovou hypotézu nezamítáme, na hladině významnosti α=0,05 se nepodařilo prokázat, že by změna trasy měla za následek změnu průměrné rychlosti. — 1. Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek Příklad 1: Jednovýběrový t-test http://www.spartapraha2000.cz/img/picture/1325/autobus.gif logo-IBA Příklad 1: Řešení v softwaru Statistica I Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek 3 • V menu Statistics zvolíme Basic statistics ,vybereme t-test,single sample 2 logo-IBA Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek 3 • Vybereme proměnnou, kterou chceme testovat • Na kartě Advanced napíšeme do okénka Test all means against velikost střední hodnoty populace (lze také na kartě Quick, Options) • p-value for highlighting- Úroveň p lze změnit •Kliknutím na Summary t-test nebo na Summary získáme výstupy Řešení v softwaru Statistica II 1 logo-IBA Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek Řešení v softwaru Statistica III Výběrový průměr stat. znaku Výběrová směrodatná odchylka stat.znaku Rozsah výběru Standardní chyba Referenční konstanta-předpokládaná velikost střední hodnoty Hodnota testovacího kritéria Stupeň volnosti POZOR: Platí pro oboustranný test!!! http://files.mscck-trmice.webnode.cz/200000297-22250231ed/vyk%C5%99i%C4%8Dn%C3%ADk.png logo-IBA Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek “One sample“ testy II Rozptyl – cílová vs. výběrová populace H0 HA Testová statistika Interval spolehlivosti (n-1) nebo (n-1) V případě one sample testů jde o srovnání výběru dat (tedy one sample) s cílovou populací. Pro parametrické testy musí mít datový soubor normální rozložení. logo-IBA Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek Dvouvýběrový párový a nepárový t-test 2. Statistické testy o parametrech dvou výběrů logo-IBA Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek Anotace —Jedním z nejčastějších úkolů statistické analýzy dat je srovnání spojitých dat ve dvou skupinách pacientů. Na výběr je celá škála testů, výběr konkrétního testu se pak odvíjí od toho, zda je o srovnání párové nebo nepárové a zda je vhodné použít test parametrický (má předpoklady o rozložení dat) nebo neparametrický (nemá předpoklady o rozložení dat, nicméně má nižší vypovídací sílu). —Nejznámějšími testy z této skupiny jsou tzv. t-testy používané pro srovnání průměrů dvou skupin hodnot logo-IBA Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek Dvouvýběrové testy: párové a nepárové I —Při použití two sample testů srovnáváme spolu dvě rozložení. Jejich základním dělením je podle designu experimentu na testy párové a nepárové. > —Základním testem pro srovnání dvou nezávislých rozložení spojitých čísel je nepárový two-sample t-test —Základním testem pro srovnání dvou závislých rozložení spojitých čísel je párový two-sample t-test logo-IBA Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek Dvouvýběrové testy: párové a nepárové II Data Nezávislé uspořádání Párové uspořádání X1 X2 X1- X2 = D X1 X2 Design uspořádání zásadně ovlivňuje interpretaci parametrů (n = n2 = n1) logo-IBA Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek Identifikace párovitosti (Korelace, Kovariance) X1 X2 X1 X2 X1 X2 r = 0,954 (p < 0,001) r = 0,218 (p < 0,812) Dvouvýběrové testy: párové a nepárové III logo-IBA Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek Předpoklady nepárového dvouvýběrového t-testu —Náhodný výběr subjektů jednotlivých skupin z jejich cílových populací —Nezávislost obou srovnávaných vzorků —Přibližně normální rozložení proměnné ve vzorcích, drobné odchylky od normality ovšem nejsou kritické, test je robustní proti drobným odchylkám od tohoto předpokladu, normalita může být testována testy normality —Rozptyl v obou vzorcích by měl být přibližně shodný (homoscedastic). Tento předpoklad je testován několika možnými testy – Levenův test nebo F-test. —Vždy je vhodné prohlédnout histogramy proměnné v jednotlivých vzorcích pro okometrické srovnání a ověření předpokladů normality a homogenity rozptylu – nenahradí statistické testy, ale poskytne prvotní představu. — 0 j(x) μ | logo-IBA Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek Nepárový dvouvýběrový t-test – výpočet I 1.Nulová hypotéza: průměry obou skupin jsou shodné, alternativní hypotéza je, že nejsou shodné, two tailed test 2.Prohlédnout průběh dat, průměr, medián apod. pro zjištění odchylek od normality a nehomogenitu rozptylu, provést F –test 3. F-test pro srovnání dvou výběrových rozptylů •Používá se pro srovnání rozptylu dvou skupin hodnot, často za účelem ověření homogenity rozptylu těchto skupin dat. •V případě ověření homogenity je testována hypotéza shody rozptylů (two tailed); v případě shodných rozptylů je vše v pořádku a je možné pokračovat ve výpočtu t-testu, v opačném případě není vhodné test počítat. H0 HA Testová statistika logo-IBA Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek Nepárový dvouvýběrový t-test – výpočet II 3.Výpočet testové statistiky (stupně volnosti jsou ): 4. 4. 4. 4. 4. 4.výsledné t srovnáme s tabulární hodnotou t pro dané stupně volnosti a a (obvykle a=0,05) 5.Lze spočítat interval spolehlivosti pro rozdíl průměrů (např. 95%), počet stupňů volnosti a s2 odpovídají předchozím vzorcům 6. 3. vážený odhad rozptylu > logo-IBA http://us.cdn4.123rf.com/168nwm/shock77/shock771007/shock77100700030/7332866-legraa-na-kreslena-ovc e.jpg Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek Příklad 2: Nepárový dvouvýběrový t-test —Průměrná hmotnost ovcí v čase páření byla srovnávána pro kontrolní skupinu a skupinu krmenou zvýšenou dávkou potravy. Kontrolní skupina obsahuje 30 ovcí, skupina se zvýšeným příjmem potravy pak 24 ovcí. •Vlastní experiment byl prováděn tak, že na začátku máme 54 ovcí (ideálně stejného plemene, stejně staré atd.), které náhodně rozdělíme do dvou skupin (náhodné rozdělování objektů do pokusných skupin je objektem celého specializovaného odvětví statistiky nazývaného randomizace). Poté co experiment proběhne, musíme nejprve ověřit teoretický předpoklad pro využití nepárového t-testu. Pro obě proměnné jsou vykresleny grafy (můžeme též spočítat základní popisnou statistiku), na kterých můžeme posoudit normalitu a homogenitu rozptylu, kromě okometrického pohledu můžeme pro ověření normality použít testy normality, pro ověření homogenity rozptylu pak F-test •Pokud platí všechny předpoklady Two sample nepárového t-testu, můžeme spočítat testovou charakteristiku, výsledné t je 2,43 s 52 stupni volnosti, podle tabulek je a t0,975 (52)= 2,01, tedy t> t0,975 (52)= a nulovou hypotézu můžeme zamítnout, skutečná pravděpodobnost je pak 0,018. Rozdíl mezi skupinami je 1,59 kg ve prospěch skupiny se zvýšeným příjmem. • • • • •Pro rozdíl mezi oběma soubory jsou spočítány 95% konfidenční intervaly jako 1,59±2.01*(0,655) kg, což odpovídá rozsahu 0,28 až 2,91 kg. To, že konfidenční interval nezahrnuje 0 je dalším potvrzením, že mezi skupinami je významný rozdíl – jde o další způsob testování významnosti rozdílů mezi skupinami dat – nulovou hypotézu o tom, že rozdíl průměrů dvou skupin dat je roven nějaké hodnotě zamítáme v případě, kdy 95% konfidenční interval rozdílu nezahrnuje tuto hodnotu (v tomto případě 0). > http://us.cdn3.123rf.com/168nwm/chudtsankov/chudtsankov1104/chudtsankov110400152/9398473-ba-la-ovce -kreslena-postava-ja-st-kva-t.jpg 1. skupina, N=30 2. skupina, N=24 logo-IBA Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek Příklad 2: Řešení v softwaru Statistica • Nejprve ověřte normalitu hmotnosti jednak ve skupině kontroly a ve skupině se zvýšenou potravou • • • • • • • • • • • • •V obou případech se tečky odchylují od přímky jenom málo a p-hodnoty S-W testu převyšují 0,05. Předpoklad o normálním rozložení dat v obou skupinách je oprávněný. • logo-IBA Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek Příklad 2: Řešení v softwaru Statistica I • V menu Statistics zvolíme Basic statistics ,vybereme t-test, independent, by groups 2 logo-IBA Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek Příklad 2: Řešení v softwaru Statistica II • Zvolíme proměnné (Variables), • • Kliknutím na Summary získáme výstupy • • 2 logo-IBA Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek •POZOR: Výstupní tabulku vyhodnocujeme zezadu!!! Příklad 2: Řešení v softwaru Statistica III Rozsah výběru 1. skupiny Hodnota testovacího kritéria (pro test shody středních hodnot) Výběrový průměr u 1. skupiny Výběrový průměr u 2. skupiny Počet stupňů volnosti Testová statistika pro test shody rozptylů (F-test) Rozsah výběru 2. skupiny Výběrová směrodatná odchylka u 2. skupiny Tyto sloupce lze interpretovat pouze pokud rozdíl mezi rozptyly byl neprůkazný !!! logo-IBA Příklad 2: Řešení v softwaru Statistica IV, F-test Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek • Pokud F-test prokázal odlišnost rozptylů, je nutné na záložce Options odškrtnout Test w/separate variance estimates (t-test se samost. odhady rozptylů) • 1 • Chceme-li homogenitu rozptylů testovat ještě jiným testem, než F-testem, vybereme test z nabídky Homogeneity of variances logo-IBA Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek Párové dvouvýběrové testy – předpoklady —Skupiny dat jsou spojeny přes objekt měření, příkladem může být měření parametrů pacienta před léčbou a po léčbě (nemusí jít přímo o stejný objekt, dalším příkladem mohou být např. krysy ze stejné linie). —Oba soubory musí mít shodný počet hodnot, protože všechna měření v jednom souboru musí být spárována s měřením v druhém souboru. Při vlastním výpočtu se potom počítá se změnou hodnot (diferencí) subjektů v obou souborech. —Před párovým testem je vhodné ověřit si zda existuje vazba mezi oběma skupinami – vynesení do grafu, korelace. —Existuje několik možných designů experimentu, stručně lze sumarizovat: 1.pokus je párový a jako párový se projeví 2.párové provedení pokusu – párově se neprojeví •možná párovost není •špatně provedený pokus – malé n, velká variabilita, špatný výběr jedinců 3.čekali jsme nezávislé a jsou 4.čekali jsem nezávislé a nejsou •vazba •náhoda logo-IBA Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek Párový dvouvýběrový t-test —Tento test nemá žádné předpoklady o rozložení vstupních dat, protože je počítán až na základě jejich diferencí. —Tyto diference by měly být normálně rozloženy a otázkou v párovém t-testu je, zda se průměrná hodnota diferencí rovná nějakému číslu, typicky jde o srovnání s nulou jako důkaz neexistence změny mezi oběma spárovanými skupinami. —V podstatě jde o one sample t-test, kde místo rozdílu průměru vzorku a cílové populace je uveden průměr diferencí a srovnávané číslo (0 v případě otázky, zda není rozdíl mezi vzorky). — —Pro srovnání s 0 (testovou statistikou je t rozložení): — —Někdy je obtížné rozhodnout, zda jde nebo nejde o párové uspořádání, párový test by měl být použit pouze v případě, že můžeme potvrdit vazbu (korelace, vynesení do grafu), jedním z důvodů proč toto ověřovat je fakt, že v případě párového t-testu není nutné brát ohled na variabilitu původních dvou souborů, tento předpoklad však platí pouze v případě vazby mezi proměnnými. Výpočet obou typů testů se vlastně liší v použité s, jednou jde o s diferencí, v druhém případě o složený odhad rozptylu obou souborů. —Zda je párové uspořádání efektivnější lze určit na základě: ¡Síly vazby ¡Je-li sD výrazně menší než sx1-x2 ¡ — Závislost je možné rozepsat pomocí vzorce: — —v případě Cov=0, tedy v případě neexistence vazby pak sD2 odpovídá součtu původních rozptylů, tedy přibližně Sx1-x2. > > > logo-IBA Příklad 3: Párový dvouvýběrový t-test Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek Byl prováděn pokus s dietou u 18 diabetických krys, každá krysa byla vystavena dvěma dietám. Protože každá krysa absolvovala obě diety, jde o párové uspořádání, kdy hodnoty v obou pokusech jsou spojeny přes pokusné zvíře. Zjistěte, zda testovaná dieta způsobí změnu hmotnosti u krys. 1. 1.Nulová hypotéza zní, že skutečný průměrný rozdíl mezi oběma dietami je 0, alternativní hypotéza zní, že to není 0. 2.Pro každou krysu je spočítán rozdíl mezi hmotnosti při obou dietách a měly by být ověřeny předpoklady pro one sample t-test – tedy alespoň přibližně normální rozložení. 3.Je spočítána testová charakteristika, výpočet vlastně probíhá jako one-sample t-test, kde je zjišťována významnost průměru diferencí obou souborů jako rozdíl mezi touto hodnotou a nulou (nula je hodnota, kterou by průměrná diference měla nabývat, pokud platí nulová hypotéza). T=-1,72 s 17 stupni volnosti, skutečná hodnota p=0,102 a tedy na hladině p=0,05 nemůžeme nulovou hypotézu zamítnou 4. 4. 4. 4. 4.Závěrem můžeme říci, že nulová hypotéza neexistence rozdílu mezi oběma dietami nebyla zamítnuta, což znamená, že testovaná dieta nemá významný vliv na snížení hmotnosti. 5. > http://www.zdarskypruvodce.cz/wp-content/krysa-zdar-nad-sazavou.png logo-IBA Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek Příklad 3: Řešení v softwaru Statistica I • V menu Statistics zvolíme Basic statistics ,vybereme t-test, dependent samples 2 logo-IBA Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek Příklad 3: Řešení v softwaru Statistica II • Zvolíme proměnné (Variables), • • Kliknutím na Summary získáme výstupy • • 2 logo-IBA Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek Příklad 3: Řešení v softwaru Statistica III Výběrový průměr Výběrová směrodatná odchylka Počet pozorování Průměrná hodnota diferencí Výběrová směrodatná odchylka diferencí Hodnota testovacího kritéria logo-IBA Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek Dvouvýběrové testy: schéma analýzy Nezávislé uspořádání neparametrické testy testy: ANO NE ANO t-test nezávislý aproximace Man - Whitney Mediánový test normalita ? homogenita rozptylu ? NE transformace NE c2 test Kolmogorov-Smirnov test Shapiro-Wilks test F-test logo-IBA Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek Dvouvýběrové testy: schéma analýzy Párové uspořádání neparametrické testy testy: ANO Diference D t-test párový Znaménkový test Wilcoxonův test normalita ? NE transformace NE c2 test Kolmogorov-Smirnov test Shapiro-Wilks test