© Institut biostatistiky a analýz
Pokročilé metody analýzy dat
v neurovědách
RNDr. Eva Koriťáková, Ph.D.
doc. RNDr. Ladislav Dušek, Dr.
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Blok 2
Vícerozměrné statistické testy
a rozložení
2
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Osnova
1. Vícerozměrné charakteristiky
2. Vícerozměrné normální rozdělení
3. Vícerozměrný t-test
4. Vícerozměrná analýza rozptylu
5. Transformace a jiné úpravy vícerozměrných dat
3
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Vícerozměrné charakteristiky
4
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Vícerozměrná data
5
ID Pohlaví Věk Váha
MMSE
skóre
Objem
hipokampu
…
1 muž 84 85,5 29 7030
2 žena 25 62,0 28 6984
3
4
…
PROMĚNNÉ
OBJEKTY(SUBJEKTY)
Poznámka: proměnné označovány i jako znaky, pozorování, diskriminátory,
příznakové proměnné či příznaky
Anglicky označení pouze jedním termínem: feature
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Maticový zápis datového souboru
6
ID Pohlaví Věk Váha
MMSE
skóre
Objem
hipokampu
…
1 muž 84 85,5 29 7030
2 žena 25 62,0 28 6984
…
PROMĚNNÉ
OBJEKTY
(SUBJEKTY)















npnn
p
p
xxx
xxx
xxx




21
22221
11211
X
maticový zápis datového
souboru n objektů
(subjektů), které jsou
popsané p proměnnými
jeden prvek matice xij je hodnota j-té proměnné u i-tého objektu
(subjektu), přičemž j = 1, ..., p a i = 1, ..., n
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Vícerozměrný průměr a kovarianční matice
• vícerozměrný průměr (např. pro datový soubor se 2 proměnnými):
• výběrová kovarianční matice (např. pro datový soubor se 2 proměnnými):
7
ത𝐱 =
1
𝑛
෍
𝑖=1
𝑛
x 𝑖1
1
𝑛
෍
𝑖=1
𝑛
x 𝑖2
𝐒 =
s11 s12
s21 s22
, kde s11 =
1
𝑛−1
σ𝑖=1
𝑛
x 𝑖1 − തx1
2
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Vícerozměrný průměr a kovarianční matice
Vícerozměrný průměr:
8
ത𝐱 =
1
𝑛
෍
𝑖=1
𝑛
x 𝑖1
1
𝑛
෍
𝑖=1
𝑛
x 𝑖2 =
1
3
2 + 4 + 3
1
3
12 + 10 + 8 = 3 10
s11 =
1
𝑛−1
σ𝑖=1
𝑛
x 𝑖1 − തx1
2 =
1
3−1
2 − 3 2 + 4 − 3 2 + 3 − 3 2 =
1
2
1 + 1 + 0 = 1
ID
Objem
hipokampu
Objem
mozkových komor
1 2 12
2 4 10
3 3 8
1 2 3 4 5
7
8
9
10
11
12
13
Objem hipokampu
Objemmozkovýchkomor
Kovarianční matice:
→ 𝐒 =
1 −1
−1 4
ID
Objem
hipokampu
Objem
mozkových komor
1 2 12
2 4 10
3 3 8
s22 =
1
𝑛−1
σ𝑖=1
𝑛
x 𝑖2 − തx2
2 =
1
3−1
12 − 10 2 + 10 − 10 2 + 8 − 10 2 = 4
s21 = s12 =
1
𝑛−1
σ𝑖=1
𝑛
x 𝑖1 − തx1 x 𝑖2 − തx2 =
1
3−1
൫ 2 − 3 ሺ12 −
𝐒 =
s11 s12
s21 s22
, kde:
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Vícerozměrné normální
rozdělení
9
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Motivace
10
Dvourozměrný
histogram
Hustota dvourozměrného
normálního rozdělení
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Hustota u nekorelovaných a korelovaných proměnných
11
-3 -2 -1 0 1 2 3
-3-2-10123
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
-1 0 1 2 3
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
-3 -2 -1 0 1 2 3-3-2-10123
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
-1 0 1 2 3
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
x1
x1
x2
x2
x1
x2f(x1,x2)
x1
x2f(x1,x2)
A)
B)
-3 -2 -1 0 1 2 3
-3-2-10123
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
-1 0 1 2 3
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
-3 -2 -1 0 1 2 3
-3-2-10123
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
-1 0 1 2 3
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
x1
x1
x2
x2
x1
x2f(x1,x2)
x1
x2f(x1,x2)
A)
B)
Nekorelované proměnné
(μ1 = μ2 = 0, σ1 = σ2 =1,
ρ= 0)
Korelované proměnné
(μ1 = μ2 = 0, σ1 = σ2 =1,
ρ= 0,5)
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Vícerozměrné normální rozdělení
12
𝑓 x1, … , x 𝑘 =
1
2𝜋 𝑘 Σ
∙ exp −
1
2
𝐱 − 𝝁 𝑇
Σ−1
𝐱 − 𝛍
Hustota vícerozměrného normálního rozdělení:
𝛍 - vektor středních hodnot Σ - kovarianční matice
Hustota dvourozměrného normálního rozdělení:
ρ - korelace mezi X a Y;
σ – směrodatná odchylka
𝑓 x =
1
2𝜋 𝜎2
∙ exp −
x − μ 2
2𝜎2
Hustota jednozměrného normálního rozdělení:
μ - střední hodnota σ2 – rozptyl
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Je normalita v jednorozměrném prostoru jedinou
podmínkou vícerozměrné normality?
13
+
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
0
50
100
150
200
250
300
350
400
6 7 8 9 10 11 12 13 14
0
50
100
150
200
250
300
350
400
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Je normalita v jednorozměrném prostoru jedinou
podmínkou vícerozměrné normality?
14
+
6.0
6.5
7.0
7.5
8.0
8.5
9.0
9.5
10.0
10.5
11.0
11.5
12.0
12.5
13.0
13.5
14.0
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
6.0
6.5
7.0
7.5
8.0
8.5
9.0
9.5
10.0
10.5
11.0
11.5
12.0
12.5
13.0
13.5
14.0
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Je normalita v jednorozměrném prostoru jedinou
podmínkou vícerozměrné normality?
15
+
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
0
50
100
150
200
250
300
350
400
6 7 8 9 10 11 12 13 14
0
50
100
150
200
250
300
350
400
Vícerozměrný
outlier
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Ověření dvourozměrné normality
16
Bagplot = „bivariate boxplot“ (tzn. „dvourozměrný krabicový graf“)
v softwaru Statistica: Graphs – 2D Graphs – Bag Plots
Group_3kat=2
Bag plot of Amygdala_volume (mm3) against Hippocampus_volume (mm3)
Amygdala_volume (mm3)
Median
Outliers
6000 6200 6400 6600 6800 7000 7200
Hippocampus_volume (mm3)
1800
2000
2200
2400
2600
2800
3000
3200
3400
3600
Amygdala_volume(mm3)
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Ověření dvourozměrné normality
17
Vykreslení regulační elipsy („control“ elipse):
v softwaru Statistica: Graphs – Scatterplots – na záložce Advanced zvolit Elipse Normal
Group_3kat=2
Scatterplot of Amygdala_volume (mm3) against Hippocampus_volume (mm3)
6000 6200 6400 6600 6800 7000 7200
Hippocampus_volume (mm3)
1800
2000
2200
2400
2600
2800
3000
3200
3400
3600
Amygdala_volume(mm3)
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Vícerozměrný t-test
18
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Jednorozměrný dvouvýběrový t-test
• Srovnáváme dvě skupiny dat, které jsou na sobě nezávislé – mezi objekty
neexistuje vazba.
• Příklady: srovnání objem hipokampu u mužů a u žen, srovnání kognitivního
výkonu podle dvou kategorií věku,...
• Předpoklad: normalita dat v OBOU skupinách, shodnost (homogenita)
rozptylů v obou skupinách
• Testová statistika: , kde 𝑠∗ je vážená směrodatná odchylka,
c je konstanta, o kterou se rozdíl průměrů má lišit (většinou rovna 0)
19
ҧ𝑥1 ҧ𝑥2
21
11
*
21
nns
cxx
t



0
1
2
3
Pacienti Kontroly
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Vícerozměrný t-test
• Srovnáváme dvě skupiny dat, které jsou na sobě nezávislé – mezi objekty
neexistuje vazba.
• Na rozdíl od jednorozměrného dvouvýběrového t-testu jsou dvě skupiny
dat popsány více proměnnými.
20
0
1
2
3
4
5
6
7
4
6
8
10
12
14
0
0.05
x1x2
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Vícerozměrný t-test
21
Jednorozměrný dvouvýběrový t-test:
• testová statistika: 𝑇 =
ҧ𝑥 𝐷− ҧ𝑥 𝐻 −𝑐
𝑠∗
1
𝑛 𝐷
+
1
𝑛 𝐻
, kde 𝑇~𝑡 𝑛 𝐷 + 𝑛 𝐻 − 2
• 𝑠∗
2 je vážený rozptyl vypočtený jako 𝑠∗
2
=
𝑛 𝐷−1 𝑠 𝐷
2
+ 𝑛 𝐻−1 𝑠 𝐻
2
𝑛 𝐷−1 + 𝑛 𝐻−1
• c je konstanta, o kterou se rozdíl průměrů má lišit (většinou c = 0)
• nulová hypotéza zamítnuta, pokud 𝑇 > 𝑡1− Τ𝛼 2 𝑛 𝐷 + 𝑛 𝐻 − 2
Studentovo rozdělení
Vícerozměrný t-test:
• Hotellingova T2 testová statistika: 𝑇2
= ഥ𝒙 𝐷 − ഥ𝒙 𝐻 − 𝒄 𝑇
S∗
1
𝑛 𝐷
+
1
𝑛 𝐻
−1
ഥ𝒙 𝐷 − ഥ𝒙 𝐻 − 𝒄
• kde S∗ je vážená kovarianční matice: S∗ =
𝑛 𝐷−1 S 𝐷+ 𝑛 𝐻−1 S 𝐻
𝑛 𝐷−1 + 𝑛 𝐻−1
• T2 ~ T2(p,n-p-1) ; pro malé nD a nH je lepší použít: 𝐹 =
𝑛−𝑝−1
𝑝
𝑇2
𝑛−2
, kde n=nD+nH
• nulová hypotéza zamítnuta, když 𝐹 > 𝐹1−𝛼 𝑝, 𝑛 − 𝑝 − 1
Je ekvivalentní testu:
𝑇2 =
ҧ𝑥 𝐷− ҧ𝑥 𝐻 −𝑐
𝑠∗
1
𝑛 𝐷
+
1
𝑛 𝐻
2
= ҧ𝑥 𝐷 − ҧ𝑥 𝐻 − 𝑐 𝑠∗
2 1
𝑛 𝐷
+
1
𝑛 𝐻
−1
ҧ𝑥 𝐷 − ҧ𝑥 𝐻 − 𝑐 , kde T2 ~ F (1, nD+nH -2)
F rozdělení
F rozdělení
Hotellingovo rozdělení
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Úkol 1
• Zjistěte, zda se liší skupina pacientů se schizofrenií od zdravých subjektů na
základě parametrů popisujících objem mozkových struktur subjektů.
22
𝐗 𝐷 =
2 12
4 10
3 8
, 𝐗 𝐻 =
5 7
3 9
4 5
pacienti
kontroly
1 2 3 4 5 6
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Objem hipokampu
Objemmozkovýchkomor
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Úkol 1 - řešení
23
Vícerozměrné průměry: ത𝐱 𝐷 =
1
𝑛 𝐷
σ𝑖=1
𝑛 𝐷
x 𝑖1
1
𝑛 𝐷
σ𝑖=1
𝑛 𝐷
x 𝑖2 = 3 10
ത𝐱 𝐻 =
1
𝑛 𝐻
σ𝑖=1
𝑛 𝐻
x 𝑖1
1
𝑛 𝐻
σ𝑖=1
𝑛 𝐻
x 𝑖2 = 4 7
Výběrové kovarianční matice:
𝐒 𝐷 =
s11
𝐷
s12
𝐷
s21
𝐷
s22
𝐷 =
1 −1
−1 4
𝐒 𝐻 =
s11
𝐻
s12
𝐻
s21
𝐻
s22
𝐻 =
1 −1
−1 4
Vícerozměrný t-test:
n 6
p 2
T2 3,5
F 1,31
df1= p 2
df2 = n-p-1 3
α 0,05
F-crit 9,55
p-hodnota 0,389
𝑇2
= ഥ𝒙 𝐷 − ഥ𝒙 𝐻 − 𝒄 𝑇
S∗
1
𝑛 𝐷
+
1
𝑛 𝐻
−1
ഥ𝒙 𝐷 − ഥ𝒙 𝐻 − 𝒄
𝐹 =
𝑛 − 𝑝 − 1
𝑝
𝑇2
𝑛 − 2
Vážená kovarianční matice:
𝐒∗ =
1 −1
−1 4
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Úkol 1 – řešení v software R
24
library("ICSNP")
X=matrix(c(2 4 3 12 10 8),3,2)
Y=matrix(c(5,3,4,7,9,5),3,2)
HotellingsT2(X, Y)
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Analýza rozptylu
pro vícerozměrná data
25
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Analýza rozptylu (ANOVA) jednoduchého třídění
• Srovnáváme tři a více skupin dat, které jsou na sobě nezávislé (mezi
objekty neexistuje vazba).
• Příklady: srovnání objemu hipokampu u pacientů s AD, pacientů s MCI a
kontrol; srovnání kognitivního výkonu podle čtyř kategorií věku.
• Předpoklady: normalita dat ve VŠECH skupinách, shodnost (homogenita)
rozptylů VŠECH srovnávaných skupin, nezávislost jednotlivých pozorování.
• Testová statistika:
26
ҧ𝑥1 ҧ𝑥2 ҧ𝑥3
0
1
2
3
AD MCI Kontroly
ee
AA
dfS
dfS
F
/
/

Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
• Srovnání variability (rozptylu) mezi výběry s variabilitou uvnitř výběrů.
• Tabulka analýzy rozptylu jednoduchého třídění (One-Way ANOVA):
Analýza rozptylu (ANOVA) – princip
27
Variabilita
Součet
čtverců
Počet stupňů
volnosti
Průměrný
čtverec
F statistika p-hodnota
Mezi skupinami SA dfA = k – 1 MSA = SA/dfA p
Uvnitř skupin
(reziduální var.)
Se dfe = n – k MSe = Se/dfe
Celkem ST dfT = n – 1
ee
AA
dfS
dfS
F
/
/

celkový
průměr
AD MCI CN AD MCI CN
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Analýza rozptylu jako lineární model
• Analýza rozptylu pro jednu vysvětlující proměnnou (jednoduché třídění)
lze zapsat jako lineární model:
• Nulovou hypotézu pak lze vyjádřit jako:
• Rozšířením tohoto zápisu můžeme definovat další modely ANOVA: více
faktorů, hodnocení interakcí, opakovaná měření na jednom subjektu.
28
kH   210 :
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Analýza rozptylu pro vícerozměrná data
29
• podle počtu faktorů:
– 1 faktor – ANOVA jednoduchého třídění (jednofaktorová ANOVA)
– 2 faktory – ANOVA dvojného třídění (dvoufaktorová ANOVA)
– ...
• podle počtu vysvětlovaných proměnných:
– 1 vysvětlovaná proměnná – jednorozměrná analýza rozptylu (ANOVA)
– 2 a více vysvětlovaných proměnných – vícerozměná analýza rozptylu (MANOVA)
• podle toho, zda se faktory ovlivňují či nikoliv:
– faktory se mohou ovlivňovat – model s interakcí
– faktory se neovlivňují – model bez interakce
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Analýza rozptylu pro vícerozměrná data - příklady
30
Počet faktorů: jednoduché x dvojné x trojné, ... třídění
Počet proměnných: jednorozměrná x vícerozměrná analýza rozptylu
Faktory se ovlivňují či neovlivňují: s interakcí x bez interakce
• zkoumáme dlouhodobý vliv třech léků na hodnoty systolického tlaku u stovky osob,
přičemž chceme zkoumat i vliv pohlaví, předpokládáme však, že ženy i muži reagují
na jednotlivé léky obdobně (tzn. např. ženy s léky A a C budou mít nižší tlak než ženy
s lékem B a muži s léky A a C budou mít také nižší tlak než muži s lékem B apod.)
• zkoumáme dlouhodobý vliv třech léků na hodnoty systolického tlaku u stovky osob,
přičemž chceme zkoumat i vliv pohlaví, a předpokládáme, že ženy a muži budou
reagovat na léky různě (tzn. např. ženy s léky A a C budou mít nižší tlak než ženy
s lékem B, zatímco muži s léky A a B budou mít vyšší tlak než muži s lékem C apod.)
• zkoumáme dlouhodobý vliv třech léků na hodnoty systolického a diastolického tlaku u
stovky osob
• zkoumáme dlouhodobý vliv třech léků a vliv pohlaví na hodnoty systolického a
diastolického tlaku u stovky osob
– jednorozměrná analýza rozptylu dvojného třídění bez interakce
– jednorozměrná analýza rozptylu dvojného třídění s interakcí
– vícerozměrná analýza rozptylu jednoduchého třídění
– vícerozměrná analýza rozptylu dvojného třídění
• zkoumáme dlouhodobý vliv třech léků na hodnoty systolického tlaku u stovky osob
– jednorozměrná analýza rozptylu jednoduchého třídění
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Analýza rozptylu dvojného třídění
• Uvažujeme dvě vysvětlující proměnné zároveň.
• Zápis modelu:
• Nulové hypotézy pak máme dvě: ,
31
kH   2101 : rH   2102 :
Variabilita
Součet
čtverců
Počet stupňů volnosti
Průměrný
čtverec
F statistika p-hodnota
Faktor A SA dfA = a – 1 MSA = SA / dfA FA p
Faktor B SB dfA = b – 1 MSB = SB / dfB FB p
Rezidua Se dfe = n – a – b + 1 MSe= Se / dfe
Celkem ST dfT = n – 1
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Analýza rozptylu dvojného třídění s interakcí
• Uvažujeme dvě vysvětlující proměnné a zároveň i jejich společné
působení.
• Zápis modelu:
• Nulové hypotézy pak máme tři:
32
kH   2102 :krH   121101 :
Variabilita
Součet
čtverců
Počet stupňů volnosti
Průměrný
čtverec
F statistika p-hodnota
Faktor A SA dfA = a – 1 MSA = SA / dfA FA p
Faktor B SB dfA = b – 1 MSB = SB / dfB FB p
Interakce A×B SAB dfAB = (a– 1)(b – 1) MSAB = SAB / dfAB FAB p
Rezidua Se dfe = n – ab MSe= Se / dfe
Celkem ST dfT = n – 1
rH   2103 :
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Hlavní efekty a interakce
33
A B
Faktor 1
8
10
12
14
16
18
20
22
24
A B
Faktor 1
8
10
12
14
16
18
20
A B
Faktor 1
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
A B
Faktor 1
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18 Faktor 2 I
Faktor 2 II
SS D.f. MS F p
Faktor 1 1978 1 1978 482.2 0.000
Faktor 2 1 1 1 0.3 0.602
F1*F2 1 1 1 0.3 0.570
Error 804 196 4
A B
Faktor 1
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
SS D.f. MS F p
Faktor 1 4 1 4 1.0 0.314
Faktor 2 1891 1 1891 461.1 0.000
F1*F2 1 1 1 0.3 0.570
Error 804 196 4
A B
Faktor 1
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
SS D.f. MS F p
Faktor 1 5293 1 5293 1290.7 0.000
Faktor 2 861 1 861 209.9 0.000
F1*F2 1 1 1 0.3 0.570
Error 804 196 4
SS D.f. MS F p
Faktor 1 4 1 4 1.0 0.314
Faktor 2 1 1 1 0.3 0.602
F1*F2 867 1 867 211.3 0.000
Error 804 196 4
SS D.f. MS F p
Faktor 1 920 1 920 224.3 0.000
Faktor 2 1 1 1 0.3 0.602
F1*F2 867 1 867 211.3 0.000
Error 804 196 4
SS D.f. MS F p
Faktor 1 4799 1 4799 1443.4 0.000
Faktor 2 316 1 316 95.0 0.000
F1*F2 175 1 175 52.5 0.000
Error 652 196 3
- muži
- ženy
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Analýza rozptylu pro vícerozměrná data - postup
34
Model s interakcemi
Post hoc testy
(všechny skupiny dané
kombinací faktorů proti sobě)
Interakce významné Interakce nevýznamné
Model bez interakcí
Popisná sumarizace + krabicové grafy
Ověření předpokladů
(nezávislost, normalita, homogenita rozptylů)
Post hoc testy
(pro významné faktory s více než
třemi kategoriemi)
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Úkol 2
Zjistěte, zda má vliv pohlaví a typ léku na počet nežádoucích účinků
u pacientů se schizofrenií (neuvažujeme možnou interakci).
35
ID Pohlaví Typ léku
Počet nežádoucích
účinků
P1 M lék X 1
P2 M lék Y 1
P3 M lék Z 6
P4 Z lék X 3
P5 Z lék Y 4
P6 Z lék Z 9
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Úkol 2 – řešení
36
Pohlaví Typ léku
Počet nežádoucích
účinků
1 1 1
1 2 1
1 3 6
2 1 3
2 2 4
2 3 9
Překódování:
1=M
2=Z
1=lék X
2=lék Y
3=lék Z
Legenda:
Zjistěte, zda má vliv pohlaví a typ léku na počet nežádoucích účinků
u pacientů se schizofrenií (neuvažujeme možnou interakci).
Pohlaví:
Typ léku:
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Úkol 2 – řešení
37
Pohlaví Typ léku Počet než. účinků
1 1 1
1 2 1
1 3 6
2 1 3
2 2 4
2 3 9
X.1. = 4;
X.2. = 5;
X.3. = 15;
M.1. = Τ4 2 = 2
M.2. = Τ5 2 = 2,5
M.3. = Τ15 2 = 7,5
X1.. = 8
M1.. = Τ8 3
X2.. = 16
M2.. = Τ16 3 X... = 24;
𝑎 = 2; 𝑏 = 3; 𝑐 = 1; 𝑛 = 6;
S 𝐴 = 𝑏𝑐 ෍
𝑖=1
𝑎
M𝑖.. − M...
2
= 3 ∙ Τ8 3 − 4 2
+ Τ16 3 − 4 2
= Τ32 3 = 10,67
Součet čtverců pro faktor A (pohlaví):
S 𝐵 = 𝑎𝑐 ෍
𝑗=1
𝑏
M.𝑗. − M...
2
= 2 ∙ 2 − 4 2
+ 2,5 − 4 2
+ 7,5 − 4 2
= 37
Součet čtverců pro faktor B (typ léku):
S 𝑇 = ෍
𝑖=1
𝑎
෍
𝑗=1
𝑏
෍
𝑘=1
𝑐
X 𝑖𝑗𝑘 − M... = 1 − 4 2
+ 1 − 4 2
+ ⋯ + 9 − 4 2
= 48
S 𝐸 = S 𝑇 − S 𝐴 − S 𝐵 = 0,33
M... = Τ24 6 = 4
Celkový součet čtverců :
Reziduální součet čtverců :
počet stupňů volnosti: f 𝐴 = 𝑎 − 1 = 1
počet stupňů volnosti: f 𝐵 = 𝑏 − 1 = 2
počet stupňů volnosti: f 𝑇 = 𝑛 − 1 = 5
počet stupňů volnosti: f 𝐸 = 𝑛 − 𝑎 −
𝑏 + 1 = 2
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Úkol 2 – řešení
38
Zdroj variability
Součet
čtverců
Stupně
volnosti
Podíl
S/f
F =
ΤS f
ΤS 𝐸 f 𝐸
p
Faktor A (pohlaví) S 𝐴 = 10,67 f 𝐴 = 1 10,67 63,99 0,015
Faktor B (typ léku) S 𝐵 = 37 f 𝐵 = 2 18,5 110,98 0,009
Reziduální S 𝐸 = 0,33 f 𝐸 = 2 0,16 - Celkový
S 𝑇 = 48 f 𝑇 = 5 - - Tabulka
analýzy rozptylu dvojného třídění:
Srovnání s kvantily:
p 𝐴 = 0,015 → pohlaví má vliv na počet nežádoucích účinků
p 𝐵 = 0,009 → typ léku má vliv na počet nežádoucích účinků
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Úkol 2 – řešení v softwaru STATISTICA
Zjistěte, zda má vliv pohlaví a typ léku na počet nežádoucích účinků u pacientů
se schizofrenií.
39
Pohlaví Typ léku Počet uzdrav. pacientů
M lék X 1
M lék Y 1
M lék Z 6
Z lék X 3
Z lék Y 4
Z lék Z 9
V softwaru STATISTICA: Statistics – ANOVA – Main effects ANOVA – Quick specs dialog – OK –
Variables – Dependent variable list: X, Categorical predictors (factors): A, B – OK – All effects.
Post hoc testy: More results – Post hoc – zvolit Effect – Unequal N HSD, Tukey HSD nebo Scheffé
Levenův test: More results – Assumptions – zvolit proměnnou – Levene‘s test (ANOVA)
Vykreslení krabicových grafů podle obou proměnných: Graphs – 2D Graphs – Box Plots... – zvolit
spojitou proměnnou jako Dependent variable, zvolit jednu kategoriální proměnnou jako Grouping
variable – na listu Categorized u X-Categories zatrhnout On a Layout změnit na Overlaid – pokud
chceme spojit mediány či průměry, na záložce Advanced zatrhnout Connect middle points – OK
Pokud bychom uvažovali model s interakcemi, zvolíme Factorial ANOVA (namísto Main effects A.)
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Úkol 2 – řešení v softwaru SPSS
40
Pohlaví Typ léku Počet uzdrav. pacientů
M lék X 1
M lék Y 1
M lék Z 6
Z lék X 3
Z lék Y 4
Z lék Z 9
V softwaru SPSS: Analyze – General Linear Model – Univariate – Dependent Variable: spojitá
proměnná, Fixed Factor(s): kategoriální proměnné –>
• Model – zatrhneme Custom – vybereme Typ:Main effects – do Model přetáhneme A, B (pokud
bychom chtěli model s interakcemi necháme zatržené Full factorial) – odškrtneme Include
intercept in model – Continue
• Post Hoc – Post hoc Tests for: zvolit kategoriální proměnnou – zatrhneme Tukey’s-b – Continue
• Plots: zvolit proměnné do Horizontal Axis a Separte Lines – Add – Continue
• Options... – Homogeneity tests – Continue
Vykreslení krabicových grafů podle obou proměnných: Graphs – Legacy Dialogs – Boxplot... –
Clustered – Define – zvolit Variable Category Axis a Define Clusters by - OK
Zjistěte, zda má vliv pohlaví a typ léku na počet nežádoucích účinků u pacientů
se schizofrenií.
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Úkol 2 – řešení v softwaru R
41
V softwaru R:
data <- data.frame(pohl=c(1,1,1,2,2,2),lek=c(1,2,3,1,2,3),pocet=c(1,1,6,3,4,9))
data
model_bez_interakce <- aov(data$pocet ~ (as.factor(data$pohl)+as.factor(data$lek)))
summary(model_bez_interakce)
TukeyHSD(model_bez_interakce) # post-hoc test
# 2. zpusob: anova(lm(data$pocet ~ (as.factor(data$pohl)+as.factor(data$lek))))
model_s_interakci <- aov(data$pocet ~ (as.factor(data$pohl)*as.factor(data$lek)))
summary(model_s_interakci)
boxplot(data$pocet ~(as.factor(data$pohl)*as.factor(data$lek)))
library("car") # instalace baliku car pomoci: install.packages("car")
leveneTest(data$pocet ~ (as.factor(data$pohl)*as.factor(data$lek)),center=mean)
Zjistěte, zda má vliv pohlaví a typ léku na počet nežádoucích účinků u pacientů
se schizofrenií.
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Úkol 3
42
Zjistěte, zda má vliv pohlaví a typ onemocnění na objem hipokampu.
Ukázka datového souboru:
ID Group_3kat Gender_rek Hippocampus_volume (mm3)
101 1 M 6996.1
102 1 F 7187.3
103 1 M 7030.2
331 2 M 6891.6
332 2 M 6332.9
334 2 F 6303.7
737 3 M 6170.8
739 3 F 5984.1
740 3 F 6052.4
Legenda k proměnné Group_3kat:
1...CN (kontroly)
2...MCI (mírná kognitivní porucha)
3...AD (Alzheimerova choroba)
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Úkol 3 – popisná sumarizace dat
43
Skupina Pohlaví N Průměr SD Medián Minimum Maximum
CN
F 110 7018.3 190.1 7036.1 6509.6 7430.1
M 120 7087.3 176.0 7081.1 6674.4 7486.6
Celkem 230 7054.3 185.7 7048.6 6509.6 7486.6
MCI
F 146 6476.7 171.8 6460.4 6155.1 6984.8
M 260 6595.2 164.1 6589.5 6159.1 7125.6
Celkem 406 6552.6 176.2 6555.0 6155.1 7125.6
AD
F 95 6215.0 178.8 6237.8 5805.2 6619.0
M 102 6293.0 174.8 6250.8 5844.3 6756.9
Celkem 197 6255.4 180.6 6248.0 5805.2 6756.9
Celkem
F 351 6575.6 364.8 6498.2 5805.2 7430.1
M 482 6653.8 323.9 6610.0 5844.3 7486.6
Celkem 833 6620.9 343.7 6580.9 5805.2 7486.6
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Úkol 3 – krabicový graf
44
→ interakci sice očekávat
nebudeme, přesto si ale
model s interakcí raději
spočítáme
(nejdřív ale musíme ověřit
předpoklady)
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Úkol 3 – ověření normality
45
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Úkol 3 – homogenita rozptylů a nezávislost
46
Nezávislost:
Protože žádný subjekt nebyl současně ve více skupinách, nezávislost
můžeme předpokládat.
p=0,440 > 0,05 → nezamítáme homogenitu rozptylů
Homogenita rozptylů:
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Úkol 3 – model s interakcí
47
→ není statisticky významná interakce, proto spočítáme model bez interakce
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Úkol 3 – model bez interakce
48
→ statisticky významný vliv pohlaví i typu onemocnění na objem hipokampu
→ protože typ onemocnění má více než 2 kategorie, musíme provést post-hoc
test, abychom zjistili, mezi kterými kategoriemi je statisticky významný rozdíl
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Úkol 3 – interpretace
49
- statisticky významný vliv pohlaví i typu onemocnění na objem hipokampu,
přičemž mezi pohlavím a typem onemocnění nenastává interakce
- u mužů statisticky významně vyšší objem hipokampu než u žen
CN MCI AD
- statisticky významný rozdíl v objemu hipokampu u všech 3 skupin subjektů
podle typu onemocnění, přičemž u pacientů s AD je objem nejmenší a u CN
největší
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Upozornění I
Pozor, pokud mediány ukazují úplně jiný „trend“ než průměry!
50
• znamená to, že tam zřejmě není splněn předpoklad normality
• pokud rozdíl není statisticky významný, není zpravidla potřeba to řešit
• pokud by ten rozdíl vyšel statisticky významně, je to problém!
• poznámka: je dobré mít měřítko na ose y stejné u obou grafů
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Upozornění II
Pozor na interpretaci!
Na první pohled z grafu vypadá, že tam je vliv kraje i nezaměstnanosti, že to
nevychází statisticky významně může být:
– malým počtem subjektů ve skupině
– ale i velikostí efektu! (tady efekty malé, průměry ve všech čtyřech skupinách se
podle posledního grafu pohybují jen od cca 41,4 do 42!)
51
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Doplnění – model s interakcemi
52
Tests of Between-Subjects Effects
Dependent Variable: Celková_bílkovina
Source
Type III Sum of
Squares df Mean Square F Sig.
Corrected Model 152178,501a 5 30435,700 4942,124 ,000
Intercept 1562235,885 1 1562235,885 253674,570 ,000
Živočišný_druh 146815,301 2 73407,651 11919,874 ,000
Pohlaví 931,626 1 931,626 151,277 ,000
Živočišný_druh * Pohlaví 4431,573 2 2215,787 359,798 ,000
Error 3288,599 534 6,158
Total 1717702,985 540
Corrected Total 155467,100 539
a. R Squared = ,979 (Adjusted R Squared = ,979)
Závěr:
- Nejvyšší koncentrace celkové bílkoviny zjištěny u kočky domácí a nejnižší u karase obecného.
- Vliv pohlaví různý u různých druhů. Největší vliv u bource morušového, přičemž F statisticky
významně vyšší koncentrace než u M. Žádný vliv u kočky domácí. U karase obecného významně
vyšší koncentrace u M než F.
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Transformace a jiné úpravy
vícerozměrných dat
53
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Typy transformací a jiných úprav vícerozm. dat
• normalizace dat (= převod na normální rozdělení)
• standardizace dat
• min-max normalizace
• centrování dat
• odstranění vlivu kovariát na jiné proměnné
54
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Normalizace dat
• převod na normální rozdělení (normalita je předpokladem řady
statistických testů).
• např. logaritmická transformace: X = ln(Y) nebo X = ln(Y+1), pokud data
obsahují hodnotu 0
• další příklady:
– odmocninová transf. (pro proměnné s Poissonovým rozložením nebo
obecně data typu počet jedinců, buněk apod.: nebo
– arcsin transfomace (pro proměnné s binomickým rozložením)
– Box-Coxova tranformace
f(y)
y
f(x)
ln (y)
X = ln(Y)
Asymetrické rozdělení Normální rozdělení
Medián Průměr
Medián PrůměrGeometrický průměr
YX  1 YX
55
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Standardizace dat
• důvod: převod proměnných na stejné měřítko
• standardizace: 𝑧𝑖 =
𝑥 𝑖− ҧ𝑥
𝑠
(tzn. odečtení průměru od jednotlivých hodnot a
podělení směrodatnou odchylkou)
• proměnné budou mít rozsah přibližně od -3 do 3
• získáme tím současně i tzv. z-skóre (které vyjadřuje, o kolik směrodatných
odchylek se i-tá hodnota odchýlila od průměru)
56
• pozor: standardizace je nevhodná v případě, když proměnné nemají
normální rozdělení a když se v datech vyskytují odlehlé hodnoty!!!
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Min-max normalizace
• důvod: převod proměnných na stejné měřítko
• oproti standardizaci vhodná i na proměnné nemající normální rozdělení či
obsahující odlehlé hodnoty
• min-max normalizace: 𝑦𝑖 =
𝑥 𝑖−min 𝑥
max 𝑥 −min 𝑥
• rozsah hodnot proměnných po min-max normalizaci je od 0 do 1
57
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Centrování dat
• odečtení průměru od dat – získáme novou proměnnou, která bude mít
průměr roven nule
• důvod: centrování je důležitou podmínkou některých pokročilých
statistických metod (např. klasifikačních)
• centrování: 𝑧𝑖 = 𝑥𝑖 − ҧ𝑥
58
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
1. V prvním kroku definujeme regresní model vztahu kovariáty (např. věku) a dané proměnné
2. Pro každého pacienta je vypočteno jeho reziduum od regresní přímky
3. Reziduum (představující hodnotu parametru po odečtení vlivu věku, jeho průměr je 0) je
přičteno k průměrné hodnotě parametru
4. Výsledná adjustovaná hodnota má odečten vliv věku, ale zároveň není změněna číselná
hodnota parametru
59
Původní data Adjustovaná data
Odstranění vlivu kovariát (tzv. adjustace)
Věk Věk
Věk Věk
Objem amygdaly Objem amygdaly
Objemamygdaly
Objemamygdaly
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Poděkování
Příprava výukových materiálů předmětu
„DSAN02 Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách“
byla finančně podporována prostředky projektu FRMU
č. MUNI/FR/0260/2014 „Pokročilé metody analýzy dat
v neurovědách jako nový předmět na LF MU“
60