zahlavi-IBA logo-IBA logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
Pokročilé metody analýzy dat
v neurovědách
RNDr. Eva Koriťáková, Ph.D.
doc. RNDr. Ladislav Dušek, Dr.

logo-MU logo-IBA
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Blok 3
Podobnosti a vzdálenosti ve vícerozměrném prostoru
2

logo-MU logo-IBA
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Osnova
1.Úvod do metrik podobností a vzdáleností
2.Metriky pro určení vzdálenosti mezi dvěma objekty
3.Metriky pro určení podobnosti mezi dvěma objekty
4.Metriky pro určení vzdálenosti mezi dvěma skupinami objektů
5.Asociační matice
3

logo-MU logo-IBA
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Úvod do metrik podobností
a vzdáleností
4

logo-MU logo-IBA
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Poznámka
•jednotlivé objekty je možno znázornit pomocí bodu v p-rozměrném prostoru (p je počet proměnných)
5
pacienti
kontroly
1
2
3
4
5
6
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Objem hipokampu

logo-MU logo-IBA
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Metriky podobnosti vs. metriky vzdálenosti
•Metriky vzdálenosti objektu x1 od objektu x2 – označení: D(x1,x2)
•pozn.: vzdálenost objektu od sebe samého je 0 – tzn. D(x1,x1)=0
6
•Metriky podobnosti objektu x1 od objektu x2 – označení: S(x1,x2)
•pozn.: podobnost objektu od sebe samého je maximální hodnota podobnosti pro danou metriku
(zpravidla hodnota 1, ale neplatí to vždy)
•Metriky vzdálenosti mohou být různými transformacemi převedeny na metriky podobnosti (a obráceně),
např.:
•
•S(xi,xj) = 1/ D(xi,xj)
•
•S(xi,xj) = 1/(1+ D(xi,xj))
•
•S(xi,xj) = c - D(xi,xj), c ³ max D(xi,xj), "i,j

logo-MU logo-IBA
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Typy měr vzdálenosti (podobnosti)
7
•podle typu proměnné (kvalitativní proměnné, kvantitativní proměnné)
•podle objektů, jejichž vztah hodnotíme – obrazy (vektory), množiny obrazů (vektorů)
•deterministické (nepravděpodobností) vs. pravděpodobností míry
•výběr konkrétní metriky závisí na:
–výpočetních nárocích
–charakteru rozložení dat
–dosažení optimálních výsledků (klasifikační chyba, ztráta,...)
•chybný výběr metriky může vést k chybných závěrům analýzy (stejně jako
v klasické statistické analýze výběr nevhodného testu)
•obecně bohužel není možné dopředu doporučit vhodnou metriku pro danou situaci

logo-MU logo-IBA
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Typy metrik a konkrétní příklady
8
Metriky pro určení vzdálenosti mezi
2 objekty s kvantitativními proměnnými
Deterministické metriky pro určení vzdálenosti mezi 2 množinami objektů
MEZI DVĚMA OBJEKTY
MEZI DVĚMA SKUPINAMI OBJEKTŮ
Metriky pro určení podobnosti 2 objektů
s kvantitativními proměnnými
Metriky pro určení podobnosti 2 objektů
s kvalitativními proměnnými
Metriky pro určení vzdálenosti mezi
2 objekty s kvalitativními proměnnými
Metriky pro určení vzdálenosti mezi
2 množinami objektů používající jejich pravděpodobnostní charakteristiky
Euklidova m., Hammingova (manhattanská) m., Minkovského m., Čebyševova m., Mahalanobisova m.,
Canberrská m.
Skalární součin, m. kosinové podobnosti, Pearsonův korelační koeficient, Tanimotova m.
Hammingova m.
Metoda nejbližšího souseda, k nejbližších sousedů, nejvzdálenějšího souseda, centroidová metoda, m.
průměrné vazby, Wardova metoda
Chernoffova m., Bhattacharyyova m. atd.
Tanimotova m., Jaccardův-Tanimotův a.k., Russelův-
Raovův a.k., Sokalův-Michenerův  a.k., Dicův k.,
Rogersův-Tanimotův k., Hamanův k.

logo-MU logo-IBA
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Metriky pro určení vzdálenosti mezi dvěma objekty
9

logo-MU logo-IBA
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Typy metrik a konkrétní příklady
10
Metriky pro určení vzdálenosti mezi
2 objekty s kvantitativními proměnnými
Deterministické metriky pro určení vzdálenosti mezi 2 množinami objektů
MEZI DVĚMA OBJEKTY
Metriky pro určení podobnosti 2 objektů
s kvantitativními proměnnými
Metriky pro určení podobnosti 2 objektů
s kvalitativními proměnnými
Metriky pro určení vzdálenosti mezi
2 objekty s kvalitativními proměnnými
Metriky pro určení vzdálenosti mezi
2 množinami objektů používající jejich pravděpodobnostní charakteristiky
Euklidova m., Hammingova (manhattanská) m., Minkovského m., Čebyševova m., Mahalanobisova m.,
Canberrská m.
Skalární součin, m. kosinové podobnosti, Pearsonův korelační koeficient, Tanimotova m.
Hammingova m.
Chernoffova m., Bhattacharyyova m. atd.
Tanimotova m., Jaccardův-Tanimotův a.k., Russelův-
Raovův a.k., Sokalův-Michenerův  a.k., Dicův k.,
Rogersův-Tanimotův k., Hamanův k.
Metoda nejbližšího souseda, k nejbližších sousedů, nejvzdálenějšího souseda, centroidová metoda, m.
průměrné vazby, Wardova metoda
MEZI DVĚMA SKUPINAMI OBJEKTŮ

logo-MU logo-IBA
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Nejpoužívanější metriky pro určení vzdálenosti mezi dvěma obrazy s kvantitativními proměnnými
11
•Euklidova metrika
•Hammingova (manhattanská) metrika
•Minkovského metrika
•Čebyševova metrika
•Mahalanobisova metrika
•Canberrská metrika

logo-MU logo-IBA
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
12
Euklidova metrika
pacienti
kontroly
testovací subjekt
1
2
3
4
5
6
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Objem hipokampu
1
2
3
4
5
6
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Objem hipokampu

Odhadnete, jaký geometrický útvar budou tvořit body, které mají stejnou Euklidovu vzdálenost od
testovacího subjektu?
V Matlabu funkce pdist na výpočet vzdáleností

logo-MU logo-IBA
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
13
Euklidova metrika
•geometrickým místem bodů s toutéž Euklidovou vzdáleností od daného bodu je povrch hyperkoule (ve
dvourozměrném prostoru kružnice)
•dává větší důraz na větší rozdíly mezi souřadnicemi
• žádoucí nebo nežádoucí?
•občas se používá čtverec euklidovské vzdálenosti, protože se lépe počítá než euklidovská
vzdálenost (není to ale pravá metrika vzdálenosti)

logo-MU logo-IBA
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
14
Hammingova (manhattanská) metrika
Bild:Manhattan distance.svg
•nižší výpočetní nároky než Euklidova metrika → použití v úlohách
s vysokou výpočetní náročností

logo-MU logo-IBA
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
15
•srovnání Hammingovy (manhattanské) metriky a Euklidovy metriky
Hammingova (manhattanská) metrika
A
B

logo-MU logo-IBA
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
16
Hammingova (manhattanská) metrika
pacienti
kontroly
testovací subjekt
1
2
3
4
5
6
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Objem hipokampu
1
2
3
4
5
6
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Objem hipokampu
•geometrickým místem bodů s toutéž manhattanskou vzdáleností od daného bodu je hyperkrychle (ve
dvourozměrném prostoru čtverec)
•

logo-MU logo-IBA
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
17
Minkovského metrika

logo-MU logo-IBA
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
18
Čebyševova metrika
pacienti
kontroly
testovací subjekt
1
2
3
4
5
6
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Objem hipokampu
1
2
3
4
5
6
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Objem hipokampu

logo-MU logo-IBA
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
19
Čebyševova metrika
•používá se ve výpočetně kriticky náročných případech, kdy je pracnost výpočtu pomocí Euklidovy
metriky nepřijatelná
•geometrickým místem bodů s toutéž Čebyševovou vzdáleností od daného bodu je hyperkrychle (ve
dvourozměrném prostoru čtverec), ale jinak orientovaná než v případě Hammingovy (manhattanské)
vzdálenosti
•

logo-MU logo-IBA
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
20
Srovnání metrik
ρC ... Čebyševova metrika
ρE ... Euklidova metrika
ρH ... Hammingova (manhattanská) metrika

logo-MU logo-IBA
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
21
Canberrská metrika
•je vhodná pro proměnné s nezápornými hodnotami
•velice citlivá na malé změny souřadnic, pokud se oba obrazy nacházejí
v blízkosti počátku souřadnicové soustavy; naopak méně citlivá na změny hodnot proměnných, pokud
jsou tyto hodnoty velké

- využití v případě, že chceme, aby rozdíl mezi např. 2 a 3 kg byl větší než mezi 62 a 63 kg

logo-MU logo-IBA
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
22
•je nesmyslné vytvářet součet rozdílů veličin s různým fyzikálním rozměrem, a tudíž často s velmi
rozdílným rozsahem
•při začlenění korelovaných veličin se zvyšuje jejich vliv na výslednou hodnotu
Nevýhody metrik
•řešení:

příklad s Mahalanobisovou metrikou – na papíře?

logo-MU logo-IBA
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
23
Nelineární metrika
•
•
•
•kde D je prahová hodnota a H je nějaká konstanta
•obě hodnoty se zpravidla volí na základě expertní analýzy řešeného problému
•ve vztahu může figurovat jakákoliv metrika vzdálenosti, nejen Euklidova metrika

logo-MU logo-IBA
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Typy metrik a konkrétní příklady
24
Metriky pro určení vzdálenosti mezi
2 objekty s kvantitativními proměnnými
Deterministické metriky pro určení vzdálenosti mezi 2 množinami objektů
MEZI DVĚMA OBJEKTY
Metriky pro určení podobnosti 2 objektů
s kvantitativními proměnnými
Metriky pro určení podobnosti 2 objektů
s kvalitativními proměnnými
Metriky pro určení vzdálenosti mezi
2 objekty s kvalitativními proměnnými
Metriky pro určení vzdálenosti mezi
2 množinami objektů používající jejich pravděpodobnostní charakteristiky
Euklidova m., Hammingova (manhattanská) m., Minkovského m., Čebyševova m., Mahalanobisova m.,
Canberrská m.
Skalární součin, m. kosinové podobnosti, Pearsonův korelační koeficient, Tanimotova m.
Hammingova m.
Chernoffova m., Bhattacharyyova m. atd.
Tanimotova m., Jaccardův-Tanimotův a.k., Russelův-
Raovův a.k., Sokalův-Michenerův  a.k., Dicův k.,
Rogersův-Tanimotův k., Hamanův k.
Metoda nejbližšího souseda, k nejbližších sousedů, nejvzdálenějšího souseda, centroidová metoda, m.
průměrné vazby, Wardova metoda
MEZI DVĚMA SKUPINAMI OBJEKTŮ

logo-MU logo-IBA
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Příklad
25
Předpokládejme, že množina F obsahuje symboly {0, 1, 2}, tj. k = 3 a vektory x a y jsou následující
6-prvkové vektory (tj. p = 6):
x = (0, 1, 2, 1, 2, 1)T
y = (1, 0, 2, 1, 0, 1)T
Kontingenční matice A(x,y) je:
Součet hodnot všech prvků matice A(x,y) je roven délce p obou vektorů, tj. v našem případě:
Spočtěte vzdálenost obou vektorů.

-např. 0 – živočišný druh se nikdy nevyskytoval; 1 – živočišný druh se občas vyskytuje; 2 –
živočišný druh se vyskytuje stále (např. v lokalitě x se nikdy nevyskytoval slon, občas se tam
vyskytuje žirafa, pravidelně se tam vyskytuje zebra atd.)
-k je počet kategorií dané proměnné

logo-MU logo-IBA
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Hammingova metrika vzdálenosti
26
•definována počtem pozic, v nichž se oba vektory liší
•tzn. je dána součtem všech prvků matice A, které leží mimo hlavní diagonálu.
x = (0, 1, 2, 1, 2, 1)T
y = (1, 0, 2, 1, 0, 1)T
Příklad:
x = (0, 1, 2, 1, 2, 1)T
y = (1, 0, 2, 1, 0, 1)T
x = (0, 1, 2, 1, 2, 1)T
y = (1, 0, 2, 1, 0, 1)T
x = (0, 1, 2, 1, 2, 1)T
y = (1, 0, 2, 1, 0, 1)T
dHQ(x,y) = 3
liší se ve 3 souřadnicích
dHQ(x,y) = 3
3 prvky mimo diagonálu

má tam opravdu být x[in] a ne x[ip] ?

logo-MU logo-IBA
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Metriky pro určení podobnosti mezi dvěma objekty
27

logo-MU logo-IBA
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Typy metrik a konkrétní příklady
28
Metriky pro určení vzdálenosti mezi
2 objekty s kvantitativními proměnnými
Deterministické metriky pro určení vzdálenosti mezi 2 množinami objektů
MEZI DVĚMA OBJEKTY
Metriky pro určení podobnosti 2 objektů
s kvantitativními proměnnými
Metriky pro určení podobnosti 2 objektů
s kvalitativními proměnnými
Metriky pro určení vzdálenosti mezi
2 objekty s kvalitativními proměnnými
Metriky pro určení vzdálenosti mezi
2 množinami objektů používající jejich pravděpodobnostní charakteristiky
Euklidova m., Hammingova (manhattanská) m., Minkovského m., Čebyševova m., Mahalanobisova m.,
Canberrská m.
Skalární součin, m. kosinové podobnosti, Pearsonův korelační koeficient, Tanimotova m.
Hammingova m.
Chernoffova m., Bhattacharyyova m. atd.
Tanimotova m., Jaccardův-Tanimotův a.k., Russelův-
Raovův a.k., Sokalův-Michenerův  a.k., Dicův k.,
Rogersův-Tanimotův k., Hamanův k.
Metoda nejbližšího souseda, k nejbližších sousedů, nejvzdálenějšího souseda, centroidová metoda, m.
průměrné vazby, Wardova metoda
MEZI DVĚMA SKUPINAMI OBJEKTŮ

logo-MU logo-IBA
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Skalární součin
29
Většinou pro vektory x1 a x2 o stejné délce (např. a); záleží na úhlu, který svírají:
úhel 0°
úhel 90°
úhel 180°
Sss = a2
Sss = -a2
Sss = 0
skalární součin invariantní vůči rotaci – absolutní orientace nepodstatná, důležitý pouze úhel
skalární součin není invariantní vůči lineární transformaci (tzn. závisí na délce vektorů)
odvození metriky vzdálenosti:

-možná do budoucna zkusit spočítat skalární součin (ukázat příklad)
-má suma být od 1 do n nebo spíš do p?

logo-MU logo-IBA
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Metrika kosinové podobnosti
30
kde       je norma (délka) vektoru xi
= skalární součin vektorů o jednotkové délce
vhodná v případě, pokud je informativní pouze relativní hodnota příznaků
hodnoty scos(x1, x2) jsou rovny kosinu úhlu mezi oběma vektory
úhel 0°
úhel 90°
úhel 180°
Scos = 1
Scos = -1
Scos = 0

logo-MU logo-IBA
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Pearsonův korelační koeficient
31
Metrika kosinové podobnosti
Pearsonův korelační koeficient
odvození metriky vzdálenosti:
→ hodnoty se (díky dělení dvěma) vyskytují
     v intervalu á0;1ñ
→ používá se např. při analýze dat genové exprese

logo-MU logo-IBA
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Typy metrik a konkrétní příklady
32
Metriky pro určení vzdálenosti mezi
2 objekty s kvantitativními proměnnými
Deterministické metriky pro určení vzdálenosti mezi 2 množinami objektů
MEZI DVĚMA OBJEKTY
Metriky pro určení podobnosti 2 objektů
s kvantitativními proměnnými
Metriky pro určení podobnosti 2 objektů
s kvalitativními proměnnými
Metriky pro určení vzdálenosti mezi
2 objekty s kvalitativními proměnnými
Metriky pro určení vzdálenosti mezi
2 množinami objektů používající jejich pravděpodobnostní charakteristiky
Euklidova m., Hammingova (manhattanská) m., Minkovského m., Čebyševova m., Mahalanobisova m.,
Canberrská m.
Skalární součin, m. kosinové podobnosti, Pearsonův korelační koeficient, Tanimotova m.
Hammingova m.
Chernoffova m., Bhattacharyyova m. atd.
Tanimotova m., Jaccardův-Tanimotův a.k., Russelův-
Raovův a.k., Sokalův-Michenerův  a.k., Dicův k.,
Rogersův-Tanimotův k., Hamanův k.
Metoda nejbližšího souseda, k nejbližších sousedů, nejvzdálenějšího souseda, centroidová metoda, m.
průměrné vazby, Wardova metoda
MEZI DVĚMA SKUPINAMI OBJEKTŮ

logo-MU logo-IBA
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Metriky pro určení podobnosti 2 objektů s kvalitativními prom.
33
1.případy obecné
2.případy s dichotomickými příznaky, pro které je definována celá řady tzv. asociačních
koeficientů.
(Asociační koeficienty až na výjimky nabývají hodnot z intervalu á0, 1ñ,
 hodnoty 1 v případě shody vektorů, 0 pro případ nepodobnosti.)

logo-MU logo-IBA
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
x = (0, 1, 2, 1, 2, 1)T
y = (1, 0, 2, 1, 0, 1)T
34
Obecné metriky – Hammingova metrika podobnosti
Příklad:
dHQ(x,y) = 3
liší se ve 3 souřadnicích
dHQ(x,y) = 3
3 prvky mimo diagonálu
sHQ(x,y) = 6 – 3 = 3
sHQ(x,y) = 6 – 3 = 3
x = (0, 1, 2, 1, 2, 1)T
y = (1, 0, 2, 1, 0, 1)T
shoda ve 3 souřadnicích
součet prvků na diagonále roven 3

logo-MU logo-IBA
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
35
Obecné metriky – Tanimotova metrika
Pro výpočet Tanimotovy podobnosti dvou vektorů s kvalitativními příznaky jsou použity všechny páry
složek srovnávaných vektorů, kromě těch, jejichž hodnoty jsou obě nulové.
x=0
x=1
x=2
y=0
y=1
y=2

vyřazujeme dvojité nuly proto, aby se nám nestalo, že řekneme, že Antarktida a ČR jsou podobné,
protože tady nežije slon, žirafa, krokodýl atd.

logo-MU logo-IBA
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
36
Obecné metriky – Tanimotova metrika – příklad
Určete hodnoty Tanimotových podobností sTQ(x,x), sTQ(x,y) a sTQ(x,z), když:
x = (0, 1, 2, 1, 2, 1)T a
y = (1, 0, 2, 1, 0, 1)T a
z = (2, 0, 0, 0, 0, 2)T.
Ze zadání je množina symbolů F = {0, 1, 2}, k = 3, p = 6.
Kontingenční tabulky jsou:

kolik bude Tanimotova podobnost s[TQ](x,x)?
a jaká asi bude podobnost s[TQ](x,z)?

logo-MU logo-IBA
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
37
•definovány pomocí různých prvků kontingenční matice A(x,y)
Další obecné metriky
•některé z nich používají pouze počet shodných pozic v obou vektorech (ovšem s nenulovými
hodnotami):
•některé z nich používají i shodu s nulovými hodnotami:

logo-MU logo-IBA
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
38
Asociační koeficienty
•A - u obou objektů sledovaný jev nastal (obě odpovídající si proměnné mají
•      hodnotu true, resp.1) – pozitivní shoda;
•B - u objektu xi jev nastal (xik = true), zatímco u objektu xj nikoliv (xjk = false, resp.0);
•C - u objektu xi jev nenastal (xik = false), zatímco u objektu xj ano (xjk = true);
•D - sledovaný jev nenastal ani u jednoho z objektů (obě odpovídající si
•      proměnné mají hodnotu false, resp. 0) – negativní shoda.
A
D
B
C
Při výpočtu podobnosti dvou objektů sledujeme, kolikrát pro všechny souřadnice obou vektorů xj a
xj nastaly případy shody či neshody:
• A+D určuje celkový počet shod
• B+C celkový počet neshod
• A+B+C+D = p (tj. celk. počet souřadnic obou vektorů –  tzn. počet proměnných)

tohle do budoucna upravit

logo-MU logo-IBA
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
39
Jaccardův – Tanimotův asociační koeficient
•což je díky zjednodušení i dichotomická varianta metriky podle vztahu:
Tento vztah se dominantně používá v ekologických studiích.

logo-MU logo-IBA
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
40
Další asociační koeficienty I
•dichotomická varianta
•metriky:
Russelův – Raoův asociační koeficient
Sokalův – Michenerův asociační koeficient
•dichotomická varianta
•metriky:

logo-MU logo-IBA
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
41
Další asociační koeficienty II
Diceův (Czekanowského) asociační koeficient
V případě Jaccardova a Diceova koeficientu pokud nastane úplná negativní shoda (tzn. A = B = C =0),
pak často: SJT(x,y) = SDC(x,y) = 1.
Rogersův – Tanimotův asociační koeficient
Hamanův asociační koeficient
nabývá na rozdíl od všech dříve uvedených koeficientů hodnot z intervalu á-1, 1ñ. Hodnoty -1, pokud
se příznaky pouze neshodují; hodnoty 0, když je počet shod a neshod v rovnováze; +1 v případě úplné
shody všech příznaků

-DC a RT zvyšují význam shod v datech - Diceův koeficient zvýšením váhy počtu pozitivních shod
v čitateli i jmenovateli, v druhém případě zvýšením váhy počtu neshod ve jmenovateli
-ta poznámka u Diceova koeficientu je divná, protože to by právě znamenalo, že ČR a Antarktida jsou
si hodně podobné – já bych to spíš nastavila na 0 nebo na “nehodnotitelné”

logo-MU logo-IBA
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
42
Asociační koeficienty – poznámka
Na základě četností A až D lze pro případ binárních příznaků vytvářet i zajímavé vztahy pro již
dříve uvedené míry:
Hammingova metrika
Euklidova metrika
Pearsonův korelační koeficient

do budoucna ukázat lépe (nějaký obrázek nebo aspoň barevné odlišení)

logo-MU logo-IBA
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
43
Výpočet vzdáleností z asociačních koeficientů
Z asociačních koeficientů, které vyjadřují míru podobnosti, lze jednoduše odvodit i míry
nepodobnosti (vzdálenosti) pomocí:

logo-MU logo-IBA
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
44
Výpočet vzdáleností v Matlabu
Funkce:
•pdist (vzdálenost mezi páry objektů matice X či páry proměnných matice XT)
•pdist2 (vzdálenost mezi maticemi X a Y)
Výběr metrik vzdáleností u obou těchto funkcí:
•‘euclidean’ – Euklidova vzdálenost
•‘squaredeuclidean’ – čtverec Euklidovy vzdálenosti
•‘seuclidean’ – standardizovaná Euklidova vzdálenost
•‘cityblock’ – Hammingova (manhattanská) vzdálenost
•‘minkowski’ – Minkovského vzdálenost
•‘chebychev’ – Čebyševova vzdálenost
•‘mahalanobis’ – Mahalanobisova vzdálenost
•‘cosine’ – 1 mínus kosinová podobnost
•‘correlation’ – 1 mínus Pearsonův korelační koeficient
•‘spearman’ – 1 mínus Spearmanův korelační koeficient
•‘hamming’ – Hamminova vzdálenost (pro kvalitativní proměnné)
•‘jaccard’ – 1 mínus Jaccardův koeficient
•lze případně nadefinovat i jinou metriku

Ukázat nápovědu na webu:
https://www.mathworks.com/help/stats/pdist.html
https://www.mathworks.com/help/stats/pdist2.html

logo-MU logo-IBA
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
45
Výpočet vzdáleností v R
•Funkce dist na výpočet vzdáleností objektů (či subjektů) s výběrem metrik:
–„euclidean“ – Euklidovska metrika
–„maximum“ – Čebyševova metrika
–„manhattan“ – Hammingova (manhattanská) metrika
–„canberra“ – Canberrská metrika
–„minkowski“ – Minkovského metrika

Ukázat nápovědu na webu:
https://stat.ethz.ch/R-manual/R-devel/library/stats/html/dist.html
Výpočet vzdáleností v SPSS nebudu takto samostatně ukazovat, bude to až příště u shlukovek.

logo-MU logo-IBA
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Metriky pro určení vzdálenosti mezi dvěma skupinami objektů
46

logo-MU logo-IBA
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Typy metrik a konkrétní příklady
47
Metriky pro určení vzdálenosti mezi
2 objekty s kvantitativními proměnnými
Deterministické metriky pro určení vzdálenosti mezi 2 množinami objektů
MEZI DVĚMA OBJEKTY
Metriky pro určení podobnosti 2 objektů
s kvantitativními proměnnými
Metriky pro určení podobnosti 2 objektů
s kvalitativními proměnnými
Metriky pro určení vzdálenosti mezi
2 objekty s kvalitativními proměnnými
Metriky pro určení vzdálenosti mezi
2 množinami objektů používající jejich pravděpodobnostní charakteristiky
Euklidova m., Hammingova (manhattanská) m., Minkovského m., Čebyševova m., Mahalanobisova m.,
Canberrská m.
Skalární součin, m. kosinové podobnosti, Pearsonův korelační koeficient, Tanimotova m.
Hammingova m.
Chernoffova m., Bhattacharyyova m. atd.
Tanimotova m., Jaccardův-Tanimotův a.k., Russelův-
Raovův a.k., Sokalův-Michenerův  a.k., Dicův k.,
Rogersův-Tanimotův k., Hamanův k.
Metoda nejbližšího souseda, k nejbližších sousedů, nejvzdálenějšího souseda, centroidová metoda, m.
průměrné vazby, Wardova metoda
MEZI DVĚMA SKUPINAMI OBJEKTŮ

logo-MU logo-IBA
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
48
•vzdálenost mezi skupinami dána:
Vzdálenost mezi skupinami objektů
•jednotlivé deterministické metriky pro určení vzdálenosti mezi dvěma množinami objektů si
probereme v rámci shlukové analýzy na příští přednášce
–„vzdáleností“ jednoho objektu s jedním či více objekty jedné skupiny (třídy) – použitelné při
klasifikaci
–„vzdáleností“ skupin (třídy, shluku) obrazů či „vzdáleností“ jednoho obrazu z každé skupiny –
použitelné při shlukování

logo-MU logo-IBA
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Typy metrik a konkrétní příklady
49
Metriky pro určení vzdálenosti mezi
2 objekty s kvantitativními proměnnými
Deterministické metriky pro určení vzdálenosti mezi 2 množinami objektů
MEZI DVĚMA OBJEKTY
Metriky pro určení podobnosti 2 objektů
s kvantitativními proměnnými
Metriky pro určení podobnosti 2 objektů
s kvalitativními proměnnými
Metriky pro určení vzdálenosti mezi
2 objekty s kvalitativními proměnnými
Metriky pro určení vzdálenosti mezi
2 množinami objektů používající jejich pravděpodobnostní charakteristiky
Euklidova m., Hammingova (manhattanská) m., Minkovského m., Čebyševova m., Mahalanobisova m.,
Canberrská m.
Skalární součin, m. kosinové podobnosti, Pearsonův korelační koeficient, Tanimotova m.
Hammingova m.
Chernoffova m., Bhattacharyyova m. atd.
Tanimotova m., Jaccardův-Tanimotův a.k., Russelův-
Raovův a.k., Sokalův-Michenerův  a.k., Dicův k.,
Rogersův-Tanimotův k., Hamanův k.
Metoda nejbližšího souseda, k nejbližších sousedů, nejvzdálenějšího souseda, centroidová metoda, m.
průměrné vazby, Wardova metoda
MEZI DVĚMA SKUPINAMI OBJEKTŮ

logo-MU logo-IBA
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Metriky založené na pstních charakteristikách
50
Konkrétní metriky: Chernoffova metrika, Bhattacharyyova metrika atd.
Základní myšlenkou je využití pravděpodobnosti způsobené chyby při klasifikaci (tzn. zařazení
objektu do skupiny). Čím více se hustoty pravděpodobnosti výskytu obrazů x v jednotlivých množinách
překrývají, tím je větší pravděpodobnost chyby.
Tzn. tyto metriky splňují následující vlastnosti:
3. J nabývá maxima, pokud jsou obě množiny disjunktní, tj. když
1. J = 0, pokud jsou hustoty pravděpodobnosti obou množin identické, tj. když
p(x|w1) = p(x|w2)
2. J > 0
x1
f(x1)
x1
x2
x1
f(x1)
x1
f(x1)
x1
x2
x1
x2

logo-MU logo-IBA
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Asociační matice
51

logo-MU logo-IBA
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
objekt 1
objekt 2
objekt 3
objekt 4
objekt 5
objekt 6
Asociační matice – Q mode analýza
52
Hodnoty proměnných pro jednotlivé objekty
NxP MATICE
ASOCIAČNÍ MATICE
Výpočet metriky podobností/
vzdáleností
Vzdálenost, podobnost, korelace, kovariance mezi objekty
objekt 1
objekt 2
objekt 3
objekt 4
objekt 5
objekt 6

logo-MU logo-IBA
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Asociační matice – R mode analýza
53
Hodnoty proměnných pro jednotlivé objekty
NxP MATICE
ASOCIAČNÍ MATICE
Výpočet metriky podobností/
vzdáleností
proměnná 1
proměnná 2
proměnná 3
Vzdálenost, podobnost, korelace, kovariance mezi proměnnými
objekt 1
objekt 2
objekt 3
objekt 4
objekt 5
objekt 6

logo-MU logo-IBA
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Asociační matice – ukázka
54
evropa.jpg
Vzdálenost měst v mapě není ničím jiným než maticí vzdálenosti v 2D prostoru

logo-MU logo-IBA
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Asociační matice – shrnutí
•Typická asociační matice je čtvercová matice
•Typická asociační matice je symetrická kolem diagonály
–Ve speciálních případech existují i asymetrické asociační matice
55
•Diagonála obsahuje:
–0 (v případě vzdáleností)
–identitu objektu se sebou samým (v případě podobnosti, obvykle 1 nebo 100%)
•Asociační matice může být spočtena mezi objekty (Q mode analýza) nebo mezi proměnnými (R mode
analýza)
•Asociační matice mohou být jak vstupem do vícerozměrných analýz, tak vstupem pro klasické
jednorozměrné statistické výpočty, kdy základní jednotkou  není jeden objekt, ale
podobnost/vzdálenost dvojice objektů

logo-MU logo-IBA
Koriťáková, Dušek: Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách
Poděkování
Příprava výukových materiálů předmětu
„DSAN02 Pokročilé metody analýzy dat v neurovědách“
byla finančně podporována prostředky projektu FRMU
č. MUNI/FR/0260/2014 „Pokročilé metody analýzy dat
v neurovědách jako nový předmět na LF MU“
56