10. Ověřování předpokladů parametrických testů



Normalita dat
-Normální rozložení vstupních dat – klíčový předpoklad pro použití parametrických metod
-Pokud data nejsou normální, neodpovídají ani modelovému rozložení, které je použito pro výpočet
(t‐rozložení) a test tak může lhát
-Řešení:
-a) transformace dat
-b) neparametrické metody
-
-
-

Parametrické a neparametrické testy
Typ srovnání
Parametrický test
Neparametrický test
2 skupiny dat nepárově
Nepárový t-test
Mann-Whitney test
2 skupiny dat párově
Párový t-test
Wilcoxonův test, znaménkový test
Více skupin nepárově
ANOVA
Kruskal-Wallis ANOVA
Korelace
Pearsonův koeficient
Spearmanův koeficient

Testy normality
-H0: není rozdíl mezi zpracovávaným rozložením a normálním rozložením
-Kombinovat test a grafickou reprezentaci zkoumaných dat
-Testy:
-Test dobré shody
-Kolmogorov-Smirnov test (K-S test, Lilieforsův test)
-Shapiro-Wilk’s test
-
-
-

Šikmost a špičatost



Grafická diagnostika normality
- histogram


Grafická diagnostika normality
- Normální graf


Test shody rozptylů
-F-test
-H0: σ12 = σ22
-H1: σ12   σ22
-
» v čitateli je větší z obou s2!
»
»
»
-
-
-F má Fisher-Snedecorovo (F) rozdělení se dvěma parametry: stupni volnosti čitatele a jmenovatele
-H0 zamítáme pro
-

11. Neparametrické metody



Neparametrické metody
-Parametrické metody – předpoklady o rozložení dat
-Neparametrické metody – nepředpokládají konkrétní rozložení
-Pro data nevyhovující předpokladům parametrických metod
-Ordinální data, pořadí nebo četnosti
-Mohou vyžadovat velmi obecné předpoklady na rozložení dat výběru – např. symetrie
-Slabší než odpovídající parametrické testy
-
-
-

Pořadí
-Reálná čísla uspořádaná podle velikosti x1, x2, … xn
-Pro různá čísla je pořadí čísla xi dáno indexem i
-Pořadí Ri udává počet čísel x1, x2, … xn, která jsou menší nebo rovna číslu xi
-
-Čísla x1, x2, … xn nejsou různá, vytvářejí shody => průměrné pořadí
-
•
-
-
Vzestupně uspořádané hodnoty xi
-2
0
5
7
18
 Pořadí Ri
1
2
3
4
5
Vzestupně uspořádané hodnoty xi
-5
-5
0
0
0
10
21
21
Očíslování hodnot xi
1
2
3
4
5
6
7
8
Pořadí Ri
1,5
1,5
4
4
4
6
7,5
7,5

Kvantilový test
• H0: xq = c
-100q% kvantil základního souboru xq je roven konstantě c
-Z rozsahu výběru n stanovíme počet členů m, kde x<c (odstranit hodnoty rovny c a zmenšit n)
-
-
-Předpoklady: n > 30 a 0,10 < q < 0,90
-
-

Kvantilový test
-Kritická hodnota: z1-α/2 = kvantil standardizovaného normálního rozložení
-H0 zamítáme pro
-
-Kritická hodnota: zα
-H0 zamítáme pro
-
-Kritická hodnota: z1-α
-H0 zamítáme pro

Mediánový test
-q = 0,50
-

Mediánový test - příklad
•Ve skupině 49 chlapců ve věku 9,5-10 let dispenzarizovaných v roce 1960 po dobu
•nejméně čtyř let pro jisté onemocnění bylo nalezeno 27 chlapců menších než
•138,5 cm, kde 138,5 cm je zjištěný průměr tělesné výšky v populaci chlapců
•stejného věku při celostátním šetření. Ověřte na 5% hladině významnosti, zda
•u nemocných dětí je průměrná výška menší než v odpovídající věkové skupině
•zdravých dětí.
•Řešení: H0: x0,50 = 138,5; H1: x0,50 < 138,5
•
•
•
•Pro jednostrannou alternativu a α=0,05 je kvantil z1-α=1,645
•Na 5% hladině významnosti nelze zamítnout nulovou hypotézu => naše pozorování
•neprokázalo, že onemocnění brzdí růst dětí
•

Znaménkový test
-Mediánový test pro rozdíly párových pozorování
-Jednoduchý, ale velmi slabý
-Pro alespoň ordinální stupnici
-Testová statistika: počet znamének vyskytujících se méně často nebo stejná jako pro mediánový test

Znaménkový test - příklad
• U skupiny 15 dětí byla měřena frekvence mrkání oka v klidové situaci (při volné hře) a při
sledování napínavého televizního programu. Máme rozhodnout, zda při sledování napínavého
televizního programu je frekvence mrkání oka vyšší než v klidové situaci.
Dítě číslo
Frekvence mrkání oka
Změna
V klidu
Při sledování TV
1
10
11
+
2
8
10
+
3
9
8
-
4
15
14
-
5
12
13
+
6
13
15
+
7
11
13
+
8
14
12
-
9
10
11
+
10
11
13
+
11
12
14
+
12
13
14
+
13
17
16
-
14
16
19
+
15
12
15
+
H0: mezi frekvencí mrkání oka v klidové situaci a frekvencí mrkání oka při sledování napínavého
programu není rozdíl (x0,50 = 0)
H1: Frekvence mrkání oka je při sledování napínavého televizního programu vyšší než v klidové
situaci (x0,50 > 0)
α = 0,05; zα = -1,645
Z = -1,81 < -1,645 => zamítáme H0

Wilcoxonův párový test
-Obdoba párového t-testu
-Při nesplnění předpokladu normality rozdílů
-H0: medián rozdílů je nulový (není systematická diference uvnitř párů)
-H1: medián rozdílů je různý od nuly (je systematická diference uvnitř párů)
-Stanovení rozdílů, přiřazení pořadí bez ohledu na znaménko
-Testová statistika = min(T+, T-) – T+ - součet kladných pořadí, T- - součet záporných pořadí
-
-
-

Wilcoxonův párový test
-Oboustranný test: H0 zamítáme
-pro min(T+,T-) < Tα,n

Wilcoxonův párový test - příklad
Osmi rostlinám tabáku byl odebrán druhý list. Jedna náhodně vybraná polovina listu byla ošetřena
přípravkem A, druhá přípravkem B. Potom byly listy potřeny suspenzí agresora a byl sledován počet
skvrn na každé polovině.
Uspořádáme rozdíly:
T- = 2
T+ = 34
min(T-,T+ ) = 2
Počet nenulových rozdílů je n = 8; pro α = 0,05 je kritická hodnota 3
min(T-,T+ ) = 2 < 3 => zamítáme hypotézu stejné účinnosti přípravků A a B

Mann-Whitney U test
-Někdy název dvouvýběrový Wilcoxonův test
-Obdoba dvouvýběrového t-testu
-H0: rozdělení obou skupin je shodné
-H1: rozdělení obou skupin se liší
-Kombinace obou výběrů, vzestupné seřazení hodnot, stanovení pořadí jednotlivých pozorování,
stejným hodnotám dáváme průměrné pořadí
-

Mann-Whitney U test
-Si – součet pořadí v souboru i
-ni – počet prvků v souboru i
-U1 + U2 = n1n2
-min(U1,U2) porovnáváme s kritickou hodnotou
-Pro min(U1,U2) < kritická hodnota zamítáme H0

Mann-Whitney U test
-Pro n1 > 30 a n2 > 20 lze použít normální aproximaci
-
-
-
-
-Kritickou hodnotou je kvantil standardizovaného normálního rozdělení
-H0 zamítáme pro
-

Mann-Whitney U test - příklad
•Výkon 18 gymnastek byl ohodnocen stanovením jejich pořadí od nejlepší (pořadí 1) po nejslabší
(pořadí 18). V této skupině bylo n1 = 11 žákyň trenérky A a n2 = 7 žákyň trenérky B. Na základě
výsledků (pořadí) shrnutých v tabulce se má posoudit nulová hypotéza H0: „účinnost výukových metod
obou trenérek se neliší“
-
A
B
1
2
4
3
5
6
7
9
8
12
10
15
11
18
13
14
16
17
Trenérka:
n1 = 11
n2 = 7
S1 = 106
S2 = 65
Min(U1,U2) = 37
U0,05(7,11) = 16
37 > 16 => nelze zamítnout H0, že účinnost
výukových metod obou trenérek se neliší