1
Ústav fyzikálního inženýrství
Fakulta strojního inženýrství
VUT v Brně
GEOMETRICKÁ OPTIKA
Přednáška 1
2
Úvod
Quidquid discis tibi discis.
Čemukoli se učíš, učíš se pro sebe.
Cyclopaedia: or, An Universal Dictionary of Arts and
Sciences
was an encyclopedia published by Ephraim Chambers in
London in 1728, and reprinted in numerous editions in the
18th Century. The Cyclopaedia was one of the first general
encyclopedias to be produced in English.
Zdroj: http://en.wikipedia.org/
3
Obsah
• Informace o kurzu
Cíl, osnova a hodnocení kurzu.
Učební texty.
Podmínky k získání zápočtu a ke zkoušce.
• Základy geometrické (paprskové) optiky
Historie optiky
4
Vyučující
• Přednášky
prof. Ing. Jozef Kaiser, Ph.D.
Ústav fyzikálního inženýrství
A2-5.NP, kancelář 519c
Tel.: 5 4114 2846
E-mail: kaiser@fme.vutbr.cz
Konzultační hodiny: čtvrtek 15.00 – 16.00 (po předchozí domluvě)
• Cvičící
Ing. Jan Novotný, Ph.D.
Ústav fyzikálního inženýrství
A2-5.NP, kancelář 519c
Tel.: 5 4114 2828
E-mail: jan.novotny@ceitec.vutbr.cz
Konzultační hodiny: úterý 15.00 – 16.00 (po předchozí domluvě)
5
Cíl kurzu
• Anotace
Výuka geometrické (paprskové) optiky vychází v podstatě ze základních
principů geometrie. Řeší zákonitosti šíření světelného paprsku optickým
prostředím a rozhraním optických prostředí s odlišnými optickými vlastnostmi
a geometrii plochy na jejich rozhraní. Rozsah předmětu je přizpůsoben
bakalářskému studiu optometrie.
6
Učební Text
http://www.opto.cz/havelkaI/index.html http://www.opto.cz/fuka_havelka/index.html
7
Učební Text
8
Hodnocení kurzu
• Podmínky k udělení zápočtu
1. Aktivní účast na cvičeních. Tolerují se maximálně 2 absence (ve
výjimečných případech náhrada možná při domluvě se cvičícím).
2. Získání 60% bodů ze dvou povinných písmenek (v odůvodněních
případech možnost získat chybějící body na zápočet vypracováním
speciálních úkolů po domluvě se cvičícím).
• Podmínky pro získání zkoušky ( 2. semestr)
1. Písemní test s úlohami, sestavený z učiva probíraného na přednáškách a
cvičeních.
2. Při získání alespoň 60% bodů z testu postup do druhého kola – ústní
zkouška.
3. Výsledné hodnocení se skládá z hodnocení ze cvičení (20 %) a zkoušky
(80 %).
9
Osnova kurzu
• Geometrická optika – 1. semestr, 1/2
1.Historie optiky.
2.Zákony geometrické optiky, index lomu prostředí, index lomu vzduchu, vzájemné
vztahy. Fermatův princip, odvození zákona lomu a odrazu z tohoto principu.
3.Disperze, Abbéovo číslo, katalogy optických materiálů.
4.Planparalelní destička, hranol pro lom.
5.Minimální deviace, použití, optický klín.
6.Zobrazení kulovou plochou obecně a v paraxiálním prostoru.
7.Základní body jedné kulové plochy.
8.Zobrazení soustavou kulových ploch, polohy základních bodů soustavy, ohniskové
vzdálenosti.
9.Zobrazovací rovnice (pro paraxiální prostor).
10.Zobrazení čočkou tenkou, reálné zobrazení čočkou tlustou.
11.Zobrazení soustavou čoček.
12.Stručné zopakování probrané látky.
10
Úvod
• Světlo je:
Elektromagnetické vlnění. Šíří se ve tvaru dvou navzájem spjatých
vektorových vln, vlny elektrického pole a vlny pole magnetického.
• Mnohé optické jevy je možné popsat skalární teorií, ve které světlo lze
popsat pomocí jediné skalární funkce – vlnová optika.
• Když se světelné vlny šíří skrze předměty, jejichž rozměry jsou mnohem
vetší něž je vlnová délka a okolo nichž je vlnová podstata slabě
rozeznatelná -> může být jeho chování popsáno pomocí paprsků
splňujících geometrická pravidla – paprsková (geometrická) optika.
11
Historie optiky - Mezopotámie
• Klínové písmo, Mezopotámie (dnešní Irak), 4 000 let před n.l.
První, kdo použil tento způsob písma, byli Sumerové.
Znaky byly otiskovány rákosovým pisátkem do hlíny, která mohla být následně vypálena.
Některé znaky jsou menší
něž několik mm.
Jak se vytvořili?
? Čočka z křišťálu (nalezena při vykopávkách v 1885) – zvětšení 2x ?
? Krátkozrací zapisovatelé – krátkozraké (myopické) oko může promítat na sítnici (retina)
větší obraz než oko zdravé. Když vzdálenost b mezi oční čočkou a sítnici je konstantní,
pak zvětšení m kterým je obraz zobrazován na sítnici je m = b/f -1, kde f je ohnisková
vzdálenost oční čočky. Zvětšení myopického oka může dosáhnout 1,7 násobek oka
zdravého.
12
Historie optiky – Mezopotámie, Egypt, Řecko
• Další optické vynálezy
Svítilny.
1 svíčka -> 15 svíček
(ze začátku a konce řecké říše,
750 př. n.l. – 146 př. n.l.)
Zrcadla – kovová, nalezená v
hrobkách mumií (Egypt, 2000 př. n. l.),
Zdroj:
13
Historie optiky – antické Řecko
• Řecká říše – území dnešní Itálie, Sýrie, Egyptu, Iránu až severní Indie
Thales (Thalés z Milétu 640 – 546 př. n.l.)
Jeho jméno je spojováno s pěti důležitými
geometrickými větami:
• každý průměr dělí kružnici na dvě stejné části
• základové úhly rovnoramenného trojuhelníku jsou shodné
• úhly mezi dvěma protínajícími se přímkami jsou shodné
• dva trojúhelníky jsou shodné, pokud mají stejné dva úhly a jednu stranu
• trojúhelník vepsaný do oblouku nad průměrem kružnice je pravoúhlý (tzv. Thaletova věta).
Thalés změřil výšku pyramid v Gíze. Využil stínů, které pyramidy
vrhaly. Postupoval takto: Nejprve změřil svůj stín a zjistil, že má
délku 4/3 Thalétovy výšky. Neprodleně potom změřil stín
nejvyšší, Chufovovy, pyramidy. Naměřil délku 183 m. Poté přešel
k nejmenší, Menkaureově, pyramidě. Jelikož se za tu dobu
Slunce posunulo, přeměřil svůj stín a zjistil, že jeho délka je
11/10 délky stínu, kterou zaznamenal při prvním měření.
Neprodleně změřil délku stínu Menkaureovy pyramidy 97,5 m.
a) Jak vysoká je Chufovova pyramida?
b) Jak vysoká je Menkaureova pyramida?
14
Historie optiky – antické Řecko
Euclid (Eukleidés též Euklides nebo Euklid z Alexandrie, 315 – 250 př. n.l.) a jeho student
Archimedes (Archimédés ze Syrakus, 287 – 212 př. n.l.) dále Democritus (Démokritos z
Abdér 460 – 347 př. n.l.) a Plato (Platón, Aristoklés 428 – 347 př. n.l.)
– vývoj geometrie spolu s optikou, základy geometrické optiky,
– mylná představa o vidění - šíření paprsků z „oka“ a jejich odrazu na objektech (princip
dnešních radarů) která přežila asi 1400 let, směr šíření
paprsků „obrátil“ Alhazen v roce 1026.
- Democritus – základy korpuskurální teorie světla:
Světelné paprsky „odlupují“ extrémně malé částice
z objektu, které vytvářejí malý obraz v „mlze“ před
okem. (Aristotle - Aristotelés ze Stageiry, 384 -322
př. n.l., učeň Platóna: proč ale pak nevidíme ve tmě?)
15
Historie optiky – antické Řecko
Hero (Hérón z Alexandrie) – vysvětlení přímého šíření paprsků (paprsek se šíří vždy podél
nejmenší vzdálenosti) – podobná myšlenka která vedla k Fermatově principu.
Zrcadlový obraz – intenzivně zkoumán řeckými filozofy, Platón jeho
vznik nevysvětlil, Herón konstruoval rohové zrcadlo pro přímý obraz
(směr šíření paprsků pořád špatně).
Kvantitativní studie – Ptolemy (Ptolemaios,
100-160) vysvětlení experimentu mince ponořené v hrnku.
Lom paprsku na rozhraní voda- vzduch,
odvodil (empiricky) vzorec pro lom asi 1500 let před
formulováním Snellova zákona lomu (1620).
Kolem 500 n.l. konec Řecké říše a začátek doby temna,
(alespoň z pohledu optiky), která trvala až do
renesance, tj. do 14 – 16 století.
16
Historie optiky – zářící hvězda v době temna
Abu Ali Al-Hasen ibn Al-Hasan ibn Al-Haytham (Alhazen, 965 – 1039), arabský vědec, který
se zabýval astronomií, optikou a matematikou.
• Z měření délky trvání soumraku (soumrak je vlastně rozptyl slunečného záření v atmosféře)
odhadl tloušťku atmosféry (na 80 km, dnes je akceptována hodnota 320 km).
• Z odrazu světla na nerovinných površích (konvexní, konkávní, sférické, cylindrické atd.)
formuloval zákon odrazu, tj. dopadající paprsek, normála k ploše v bodě dopadu a
odražený paprsek leží v jedné rovině.
• Vyvrátil některé chybné antické představy o vidění a ukázal, že se světlo odráží od povrchu
předmětů a vstupuje do našeho oka (obrátil v tom čase zavedený směr šíření paprsků).
• Věřil, že světlo má konečnou rychlost.
• Intenzívně studoval mechanismus vidění propojením anatomických, fyzických a
matematických hledisek – z dnešního pohledu s interdisciplinárním způsobem.
• Vytvořil jednoduchý model oka (camera obscura – temná
komora) a dokázal přímočaré šíření světla.
• I když tvrdil, že obraz v oku se vytváří na první ploše (oční
čočka), jeho anatomický obraz oka už správně obsahuje sítnici
(s nervovou strukturou).
17
Historie optiky – Renesance
Renesance (znovuzrození), která znamenala oživení vědeckých oborů včetně optiky začala
v Itálií v 14. století a rychle se rozšířila do dalších krajin.
Leonardo da Vinci (1452 – 1519) významný malíř, sochař, architekt, přírodovědec, hudebník,
spisovatel vynálezce a konstruktér navázal na práci Alhazena a zdokonaloval cameru
obscuru.
• Poukázal na analogií mezi akustickými a světelnými vlnami. Věřil, že světlo je tvořeno z
kmitajících částeček a barva světla je determinována frekvencí těchto kmitů.
V době da Vinciho byla objevena technologie mechanického knihtisku (J. Guttenberg) pomocí
pohyblivých liter. Důsledkem rozšíření jeho objevů byla masová produkce knih a zlom v
možnostech šíření informací.
Galileo Galilei (1565 – 1642) na základě zprávy že
v Nizozemsku vytvořili (buď H. Lippershey, nebo De Waard)
nástroj na zobrazení vzdáleních předmětů se značným
zvětšením zkonstruoval astronomický dalekohled a provedl
pozorování hvězd. Z pozorování Jupiteru a jeho měsíců
dospěl k závěru, že právě tyto měsíce obíhají kolem Jupiteru.
Jeho dalekohled ale měl značnou komu a další optické vady.
18
Historie optiky – Renesance
Galilei představil svůj teleskop slavnému astronomovy Keplerovy (Johann Kepler, 1571 – 1630)
a přesvědčil ho o schopnostech tohoto přístroje.
(Kepler několik let působil v Praze na dvoře císaře Rudolfa. V Praze také formuloval dva ze tří Keplerových
zákonů.)
• Kepler se kromě astronomie zabýval i jinými aspekty optiky. Navázal na předešlé práce
Ptolemaiose a Alhazena a s pomocí svých experimentů upravil některé jejich mylné závěry.
Pozoroval například úhel totálního odrazu a identifikoval sítnici jako fotocitlivý povrch oka.
René Descrates (Renatus Cartesius, 1596 – 1650) vysvětloval chování světla pomocí
světlonosného éteru – média, který může procházet průhledným prostředím bez toho, že by
jej toto prostředí nějak ovlivňovalo (Descartův sud – tekutina přeteče přes bobule a vyteče
ven spodkem sudu).
Později od tohoto vysvětlení opustil a chování světla
(odraz a lom) vysvětloval pomocí kinematiky – pohybu
částic světla (bobule).
19
Historie optiky – Dlouhá cesta k Snellova zákonu
Zákon lomu byl formulován kolem 1620 nizozemským professorem Villebordem
Snellem (1591 – 1626). Snellův zákon je jedním ze základních a nejdůležitějších
zákonů optiky.
Exaktní matematický důkaz byl poskytnut Pierre de Fermatem (1601 – 1665)
(prosazoval koncept nejmenšího času namísto nejkratší dráhy při šíření světla z
bodu v prvním prostředí do bodu v prostředím druhém)
20
Paprsková (geometrická) optika - POSTULÁTY
• Světlo se šíří ve formě paprsků. Paprsky jsou emitovány světelnými
zdroji a mohou být pozorovány, když dosáhnou optického detektoru.
• Optické prostředí je charakterizováno veličinou n ≥ 1, která se nazývá
(absolutní) index lomu. Je poměrem rychlosti světla ve vakuu c0 a
rychlosti světla v prostředí c. V důsledku toho čas, který světlo potřebuje,
aby prošlo vzdálenost d, se rovná d/c = nd/c0. Je tedy úměrné součinu
nd, známému jako délka optické dráhy.
• V nehomogenním prostředí je index lomu n(r) funkcí polohy r = (x,y,z).
Délka optické dráhy mezi dvěma body A a B je tedy
délka optické dráhy = kde
ds je diferenční element délky podél dráhy. Čas potřebný k tomu aby
světlo prošlo z A do B je úměrný délce optické dráhy.
( ) ,
B
A
n r dsò
!
21
Fermatův princip
• Délka optické dráhy
kterou se šíří paprsek světla mezi dvěma body P1 a P2 je stacionární,
tzn. že první variace dL vzhledem k sousedním délkám křivek je rovna
nule. Protože dl/c = dt je čas, který potřebuje světlo šířící se rychlostí c
na uražení dráhy dl, a jelikož pak kde
integrál je roven času který potřebuje světlo
k uražení dráhy mezi body P1 a P2.
Fermatův princip: Světelné paprsky spojují dva body podél
takových čar, které odpovídají stacionárnímu času, potřebnému
k uražení potřebné optické dráhy.
( )
2
1
,
P
P
L n r dl= ò
!
( ) ( )0 / ,n r c c r=
! ! 2
1
0
1
,
P
P
L c dl
c
= ò2
1
1
P
P
dl
cò
22
Fermatův princip
Světelné paprsky spojují dva body podél takových čar,
které odpovídají stacionárnímu času, potřebnému k uražení
potřebné optické dráhy.
Toto vyjadřuje extremální charakter času (maximum nebo minimum) a
nevylučuje možnost existence několika cest, spojující dva body během
stejného času, tedy cest, majících stejnou optickou délku.
23
Odraz a lom na rozhraní dvou prostředí
Pozn.: úhly αi a αr měříme od kolmice k
paprsku ve směru (proti směru)
hodinových ručiček. Příslušný úhel je
kladný (záporný). V obrázku αi je záporný
a αr kladný.
24
Lom na rozhraní dvou prostředí
Fermatův princip: Extremální hodnota t(x) vzhledem k změně x
vede k podmínce dt/dx = 0, tzn.:
( )
( )
( )
1/ 2 1/ 22 2 22
0;
i i t t
a xdt x
dx c l x c l a x
- =
+ =
é ù+ + ë
û
1 1
sin sin , tak sin sie nž .i t
i t
i i t t
c
n n
c
a aa a==
Matematickou formulaci
zákona lomu podal první
nizozemský fyzik Willebrord
Snell (1591 – 1626); k
uveřejnění došlo až r.
1662.
Zdroj:
http://en.wikipedia.org/
25
Historie optiky – Časovaná bomba moderní optiky
Francesco Maria Grimaldi (1618 – 1663) ve své knize „Physico – Mathesis de Lumine coloribus
et iride, aliisque annexis libri (Fyzika světla, barev a duhy)“ píše: „… úpřimně řečeno, nevíme
nic o vlastnostech světla a je neupřímné používat v této souvislosti veliká slova, která jsou
bezvýznamná.“ Toto tvrzení vyslovil na základě svých pozorování, a to zejména při popisu
jevu difrakce.
Poprvé se o difrakci zmínil Leonardo da Vinci. První přesnější pozorování difrakce světla na
tyčince a mřížce provedl kolem roku 1660 Francesco Maria Grimaldi, učitel matematiky na
jezuitské koleji v Bologni. Od něj pochází název difrakce. Do zatemněné místnosti pouštěl
malým kruhovým otvorem sluneční světlo, do světelného kužele stavěl různé předměty a na
protější stěně pozoroval jejich stíny. Zjistil, že jsou neostré, ohraničené barevnými proužky.
Jemné proužky se objevovaly i uvnitř stínu.
Až v roce 1818 se Augustinu Jean Fresnelovi podařilo ukázat, že vznik difrakce je možné popsat
pomocí Huygensova principu vlnění a Youngova principu interference. Proto se tento princip
platný pro jakékoli vlnění označuje Huygensův-Fresnelův princip. Jím popsané difrakční jevy
se dnes označují jako Fresnelovy ohybové jevy. Jestliže do předchozího pokusu přidáme
čočky, pak získáme tzv. Fraunhoferovy ohybové jevy pojmenované podle německého fyzika
Josepha von Fraunhofera. Zjednodušeně můžeme říct, že Fraunhoferova difrakce vzniká
ze vzdáleného zdroje – tedy z rovinných vlnoploch, kdežto Fresnelova difrakce vzniká
z blízkého zdroje – tedy z kulových vlnoploch. Díky Fraunhoferově difrakci na dvou
obdélníkových otvorech byla poprvé změřena vlnová délka světla. http://www.techmania.cz/
26
Historie optiky – Newtonovy proužky a jeho
korpuskulární teorie
Sir Isaac Newton (1642 – 1726) byl zručným experimentátorem a zastáncem korpuskulární
teorie světla. Pomocí experimentů a aplikací částicové teorie světla dospěl např. k názoru, že
monochromatické složky světla se dál dělit nedají – a to je základem dnešní spektroskopie.
I brilantní Newton ale dělal seriozní chyby, např. když tvrdil
(nesprávně), že je nemožné vytvořit prakticky použitelný
astronomický čočkový teleskop kvůli značné barevné vadě
čoček. Na druhou stranu tato jeho chyba vedla k tomu, že
konstruoval astronomický dalekohled pomocí zrcadel.
27
Historie optiky – Newtonovy proužky a jeho
korpuskulární teorie
Newton byl takovým zastáncem korpuskulární teorie, že se její pomocí snažil vysvětlit i vznik
interferenční struktury - Newtonových kroužků.
http://en.wikipedia.org/
28
Historie optiky – úpadek částic a povýšení vln
Newton získal tak silnou reputaci, že bylo težké prosadit teorii, která by byla proti Newtonem
preferované korpuskulární. Poprvé se to povedlo jemu dobrému příteli, Christiaanu
Huygensovy (1629 – 1695) .
Huygens předpokládal, že světlo se šíří jako vlna a v každém okamžiku lze každý bod na
čele této šířící se vlny chápat jako nový zdroj vlnění (sekundárních vln). Nový tvar čela vlny v
čase o malý okamžik pozdějším lze pak určit jako vnější obálku vln, šířících se z těchto
zdrojů.
Huygensův princip není zcela správný, neboť podle něj by se například vlna procházející
vzduchem či vodou ze všech bodů vracela zpět do zdroje, aniž by se odrazila od nějaké
překážky. Huygensovy představy doplnil francouzský fyzik Augustin-Jean Fresnel. Upřesněný
Huygensův-Fresnelův princip doplňuje původní představu o interferenci sekundárních vln.
www.wikipedia.org
29
Historie optiky – úpadek částic a povýšení vln
Thomas Young (1773 – 1892) byl dalším úspěšným následovatelem Newtona a Huygense.
Původně se zajímal o optiku jako doktor medicíny. Zavedl princip tří základních barev a dospěl
k závěru, že pro každou barevnou složku existuje na sítnici oka samostatný senzor.
Největších úspěchů ale dosáhl při vysvětlení interference. Jeho slavný experiment se dvěma
štěrbinami provedl v roku 1801, když nechal procházet svazek světla dvěma rovnoběžnými
štěrbinami za které umístil stínítko.
http://en.wikipedia.org/ http://physics.about.com/
30
Historie optiky – bloky moderní optiky
James Clerk Maxwell (1831 – 1879) jeho nejvýznamnějším objevem je obecný matematický
popis elektromagnetického pole dnes známý jako Maxwellovy rovnice. Zjistil existenci
elektromagnetických vln i to, že světlo je také elektromagnetické vlnění.
Položil fyzikální základy teorie barevné fotografie v Londýně 17. května 1861. Promítl na plátno
současně tři černobílé snímky barevné řádové stuhy přes červený, zelený a modrý filtr, které
byly předtím exponovány přes filtry stejných barev. Prokázal tak princip aditivního míchání
barev.
http://en.wikipedia.org/
31
Historie optiky – bloky moderní optiky
Albert Abraham Michelson (1852 – 1931) a Edward Williams Morley (1838 – 1923) vyvrátili
experimentálně existenci éteru. Výsledky jejich experimentů položili základy vytvoření teorie
realtivity Alberteim Einsteinem.
- předpoklad: když existuje éter, musí existovat i éterový
vítr na zemi, poněvadž zeměkoule se pohybuje rychlostí
asi 30 km/s. Když tento vítr existuje, musí ovlivnit
rychlost světla.
- experiment: měřili rychlost světla otočným
Michelsonovým interferometrem. Jeden směr šíření
paprsků byl rovnoběžný směrem otáčení zeměkoule.
- závěr: interferenční struktury pozorovány v původním
uspořádání a o 180° otočeným interferometrem byly
stejné, z toho vyplývá, že neexistuje éterový vítr.
32
Historie optiky – Kvanta a fotony
• V období mezi 16. a 19. století se zdálo, že všechny přírodní jevy se dají
vysvětlit pomocí „klasických“ fyzikálních zákonů (např. Newtonových
pohybových zákonů a s nimi souvisejících pohybových rovnic nebo
Maxwellových rovnic v elektrodynamice).
• Na přelomu 19. a 20. století tato doba skončila. Začaly se objevovat situace
a jevy, které klasická fyzika řešila jen s největším vypětím. Za všechny zde
uvedu objev katodového, či rentgenového záření.
• Nakonec se objevil problém, se kterým si klasická fyzika neporadila vůbec.
Jednalo se o záření absolutně černého tělesa.
http://koch.chemi.muni.cz/vyuka/vazby/kapitola11.htm
Při doutnavém výboji v plynu se elektrony pohybují směrem ke
katodě a kladné ionty k anodě. Pokud uděláme v katodě i v
anodě otvor, elektrony i ionty se šíří za elektrody. Proud
elektronů se nazývá katodové záření, proud kladných iontů za
anodou se nazývá kanálové záření.Katodové záření se využívá
v obrazovkách - dopadá na luminofor na přední stěně obrazovky
a ten pak září.
33
Záření černého tělesa
• V podstatě platí, že látky všech skupenství vyzařují elektromagnetické
vlnění, jehož vznik souvisí s neuspořádaným pohybem elektricky nabitých
částic v elektronových obalech jejich atomů. Takové záření označujeme jako
tepelné záření. Je-li teplota látky nižší než 525 °C (798,15 °K), není toto
záření viditelné a leží v infračervené oblasti.
http://www.gymhol.cz/projekt/fyzika/13_act/13_act.htm
• Kromě vyzařování záření může každé
těleso záření také odrážet, propouštět a
pohlcovat. Pohlcené záření se zejména
mění na tepelnou energii. Množství
pohlceného záření závisí na vlastnostech
tělesa, zejména na barvě (černá tělesa
pohltí více záření než bílá) a na povrchové
úpravě (od lesklých těles se záření odráží,
kdežto matná tělesa více pohlcují záření).
34
Záření černého tělesa
• Pro popis těchto vlastností těles byl zaveden model tělesa – absolutně
černé těleso. Je to takové myšlené těleso, které pohltí veškeré dopadající
záření. Můžeme si jej představit jako dutou kostku s velmi malým otvorem –
Jestliže záření projde malým otvorem do dutiny, jejíž vnitřní povrch je černý
a matný, pak se po několika odrazech pohltí – tzn., malý otvor se navenek
jeví jako absolutně černé těleso – veškeré záření projde otvorem dovnitř, ale
žádné záření otvorem nevyjde ven.
http://www.gymhol.cz/
projekt/fyzika/13_act/13_act.htm
První zmínky o tzv. tepelném záření se objevují ve druhé
polovině 18. století (Karl Scheele (1742-86), první pokusy
prováděl Marcus Pictet (1752-1825) a Pierre Prévost (1751-
1839) na jejich základě vyslovil domněnku, že každé těleso
vyzařuje nezávisle na svém okolí). Další posun přinesly práce
německého fyzika Gustava Kirchhoffa, který dokázal vztah mezi
emisí a absorpcí záření a založil spektrální analýzu látek a
definoval pojem černého tělesa.
35
Záření černého tělesa – Wienův posunovací
zákon
• Čím více záření černé těleso pohltí, tím více se zvětší jeho teplota – tzn., že
černé těleso bude vyzařovat tepelné záření. Čím bude vyšší teplota, tím se
bude zkracovat vlnová délka vyzařovaného záření. Této závislosti si povšiml
v roce 1893 německý fyzik Wilhelm Wien, který ji zformuloval do tzv.
Wienova posunovacího zákona.
Součin vlnové délky, na kterou připadá maximální
intenzita vyzařování černého tělesa při termodynamické
teplotě T, a této teploty je konstantní.
,mT bl =
kde T je termodynamická teplota černého tělesa, lm vlnová
délka, na kterou připadá maximální intenzita vyzařování při
dané teplotě, a b je konstanta, jejíž hodnota je
b = 2,9 x10-3 m.K.
36
Záření černého tělesa
• Při nižších teplotách připadá maximální intenzita vyzařování na ,,delší“
vlnové délky, při zvyšování teploty se lm posunuje ke krátkovlnnému konci
spektra.
• Je třeba si uvědomit, že černé těleso vždy vyzařuje na všech vlnových
délkách, pouze se liší intenzita záření.
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/radfrac.html
37
• Další vlastnost zdokumentoval roku 1879 Josef Stefan. Ten vyjádřil
celkovou energii záření. Energie záření uvnitř dutiny s rostoucí
teplotou roste podle vztahu:
• Tento vztah se nazývá Stefanův-Boltzmannův zákon a konstanta σ
(= 5,67.10-8 W.m-2.K-4) Stefan-Boltzmannova konstanta, T je
termodynamická teplota. Jméno Ludwiga Boltzmanna je s tímto
zákonem spojeno teoretickým potvrzením.
• Stále však nebyla nalezena funkce ρ (ν ,t) pro distribuci energie.
Z klasického pohledu toto studoval lord Rayleigh. Ten uvažoval
stěny nádoby, jako soubor oscilátorů se všemi různými
frekvencemi. Oscilátorům přiřadil, podle ekvipartičního teorému,
stejnou energii kT (k je Boltzmannova konstanta k = 1,381.10-23).
Záření černého tělesa
4
.E Ts=
38
Záření černého tělesa
• Ekvipartiční teorém je nástroj klasické fyziky, podle kterého mají všechny
stupně volnosti v rovnovážném systému stejnou energii E=1/2kT. Lord
Rayleigh s pomocí Jamese Jeanse dospěl ke vztahu:
Kde c je rychlost světla ve vakuu, ν je frekvence záření, k Boltzmanova
konstanta a T termodynamická teplota.
• Tento zákon byl úspěšný pro nízké frekvence, ale naprosto zklamal pro
vyšší frekvence. Jak roste frekvence, tak by se podle něj měla energie
zvyšovat a někde okolo frekvence odpovídající ultrafialovému záření by
měla být nekonečná. Tento výsledek se nazývá ultrafialová katastrofa.
• Podle klasické fyziky by měla i studená tělesa vyzařovat ve viditelné a
ultrafialové oblasti: podle klasické fyziky by tělesa měla sálat i ve tmě; ve
skutečnosti by neměla žádná tma existovat.
http://koch.chemi.muni.cz/vyuka/vazby/kapitola11.htm
( )
2
3
8
, ,
kT
T
c
pn
r n =
39
Záření černého tělesa
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/radfrac.html
40
• Německý fyzik Max Planck studoval záření absolutně černého
tělesa z pohledu termodynamiky. Nahradil stěny tělesa souborem
harmonických oscilátorů.
• Uvědomil si, že stěny i záření jsou v tepelné rovnováze a proto
musejí mít stejnou hustotu energie, což je hledaná funkce ρ (ν ,T).
Hledal tedy rovnovážné rozdělení energie podle frekvence ν.
Rovnovážné, protože je nejvíce pravděpodobné.
Zrod kvantové teorie
• Dále zjistil, že pokud by se energie měnila spojitě, byl by tento postup
nepoužitelný. Proto vyslovil kvantovou hypotézu. Energie každého oscilátoru
je omezená na určité diskrétní hodnoty a nemůže se libovolně měnit, je
kvantována. Zjistil, že energie oscilátorů jsou celočíselné násobky hν:
kde h je základní přírodní konstanta později známá jako Planckova
(h = 6,656.10-34 J.s = 4.136.10-15 eV.s), ν je frekvence oscilátoru a n je celé
číslo.Tento výsledek posléze ověřil trochu jinou cestou i Albert Einstein.
,E nhn=
41
• Planckovi umožnila jeho hypotéza odvodit Planckův vyzařovací zákon:
• Planckův zákon se velmi podobá Rayleigh-Jeansovu zákonu, vyjma
důležitého exponenciálního členu ve jmenovateli. Pro nízké frekvence je
člen v argumentu exponenciální funkce mnohem menší než jednička a proto
lze čitatel nahradit:
• Pokud takto dosadíme, zjistíme, že Planckův zákon přešel v Rayleigh-Jeansův.
Rayleigh-Jeansův zákon platí dobře právě pro nízké frekvence, čímž jsme určitým
způsobem dokázali správnost našich úvah. Naopak pro vysoké frekvence ν → ∞, jde
exponenciální člen k nekonečnu, ale celá hustota energie k nule ρ(ν ,T) → 0. Takže
zde nedochází k ultrafialové katastrofě.
Zrod kvantové teorie – Planckův vyzařovací
zákon
( )
2
3
8
, .
exp 1
h
T
hc
kT
pn n
r n
n
=
æ ö
-ç ÷
è ø
exp 1
h h
kT kT
n næ ö
- ®ç ÷
è ø
42
• Z Planckova vyzařovacího zákona:
lze získat Stefan-Boltzmanův a Wienův posunovací zákon. První z nich se
získá integrací přes všechny frekvence
kde
což je odvození teoretické hodnoty Stefan-Boltzmanovy konstanty.
• Wienův posunovací zákon spočítáme pokud najdeme frekvenci, při které je
dρ/dν = 0, což je matematická podmínka pro maximum funkce.
Zrod kvantové teorie – Planckův vyzařovací
zákon
( )
2
3
8
, ,
exp 1
h
T
hc
kT
pn n
r n
n
=
æ ö
-ç ÷
è ø
4
0
,E d aTr n
¥
= =ò2 4
2 3
4 2
, přičemž .
15
k
a
c c h
s p
s= =
43
Z uvedeného je zřejmé, proč byl Planckův přístup úspěšný a klasický nikoliv.
Tepelný pohyb atomů ve stěnách excituje oscilátory elektromagnetického pole.
Podle klasické představy (ekvipartiční teorém) sdílejí všechny oscilátory energii
dodávanou stěnami stejným dílem. Z toho plyne, že se stejně „lehce“ excitují
oscilátory s frekvencí tepelného záření jako ty s frekvencí mnohem vyšší
(důsledek → ultrafialová katastrofa).
Naopak Planck říká, že oscilátor se excituje pouze tehdy, pokud získá energii
alespoň E = hν . Tato energie je pro vysoké frekvence příliš velká na to, aby ji
mohly stěny zářiče dodávat a proto
se oscilátory s vysokými frekvencemi
skoro neexcitují.
Planckova hypotéza nastartovala novou oblast fyziky.
Planckův vyzařovací zákon
44
Záření černého tělesa
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hframe.html
45
Vlnově – částicový dualizmus/Fotoefekt
• Ukázali jsme, že energie elektromagnetického záření s frekvencí ν nabývá
pouze celočíselných násobků hodnot hν. Je to podobné jako s nábojem
atomu, ten může nabývat pouze celočíselné násobky elementárního náboje.
Z toho lze usoudit kolik elektronů atomu vlastně chybí.
• Můžeme tedy říci, že elektromagnetické záření se skládá z 0, 1, 2,... částic
podle toho jaký násobek energie naměříme. Každá částice má energii hν.
Pokud je přítomna jedna částice je energie hν, pokud dvě tak 2hν atd.
Částice elektromagnetického záření se nazývají fotony.
• Jedním z důkazů o částicové povaze EM záření je existence
fotoelektrického jevu - fotoefektu.
Alexandre Edmond
Becquerel
1839 – pozorování
fotoelektrického jevu
pomocí elektrody
ponořeného do
světlem ozářeného
vodivého roztoku.
Heinrich Hertz
1887 – pracoval na
buzení EM vln. Po
pozorování dospěl
k názoru, že izolovaný
ozářený vodič se nabíjí
kladně, což znamená, že
se zbavuje elektronů.
Willoughby Smith
1873 – pozoroval,
že selen (Se)
vykazuje
fotoelektrickou
vodivost.
46
Fotoefekt
• Důkladně se studiu jevu věnoval Alexender G. Stoletov
Jeho zařízení se dá schematicky nakreslit jako
Po vykonání experimentu byl schopen napsat tři pravidla pro tento nový
jev:
1. zvýšení intenzity záření vede ke zvýšení elektrického proudu .
2. elektrický proud teče okamžitě po ozáření.
3. pro každý materiál existuje frekvence ν0 záření, při které se jev projeví,
jedná se o tzv. červený práh.
http://koch.chemi.muni.cz/vyuka/vazby/kapitola11.htm
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hframe.html
47
• Klasická fyzika jev opět nevyřešila a tak tento zůstal pár let
neobjasněn. V roce 1905 se do něj „pustil“ Albert Einstein.
• Podle něj foton předá celou svou energii jednomu
elektronu v látce. Mohou nastat dvě situace.
1. V první měl foton energii menší než jaká stačí elektronu
k překonání přitažlivých sil jádra a elektron zůstane v látce, odtud existence
červeného prahu.
2. Druhá situace nastane pokud foton nese energii postačující elektronu
k překonání sil. Část energie se spotřebuje na výstupní práci, to je ta část
energie, která elektron „vytrhává“ z obalu. Část energie, která se
nespotřebuje si elektron odnáší ve formě kinetické energie. Toto lze napsat:
kde na levé straně rovnice je kinetická energie (m je
hmotnost elektronu, v je jeho rychlost) elektronu a na pravé rozdíl energie
fotonu a výstupní práce A. Výstupní práce se spočítá A = hν0.
Fotoefekt
2
1/ 2 ,mv h An= -
1921 – Nobelova cena za Fyziku "for his services to Theoretical Physics, and especially for his discovery of
the law of the photoelectric effect"
48
• Rovnice odpovídá všem třem pravidlům vyřčeným
Stoletovem.
1. Čím víc fotonů, tím víc elektronů a tím větší elektrický proud.
2. Foton předá svou energii okamžitě, není tedy pozorováno žádné zpoždění
proudu.
3. Pokud má foton nižší energii (záření s nižší frekvencí) než odpovídá
výstupní práci, žádný elektron se neuvolní.
Fotoefekt
2
1/ 2 ,mv h An= -
49
Fotoefekt – výstupní práce některých prvků
50
Vlnový charakter částic
• Názor, že světlo není pouze vlnění už padl v 19. století. Žádný vědec ze
začátku 20. století si však nemyslel, že by částice mohly být vlněním. Pouze
Francouz Louis de Broglie byl v roce 1924 tak troufalý, že si dovolil vyslovit
později velmi slavnou hypotézu. Předpokládal totiž, že každé částici
s hybností p náleží vlnová délka λ podle vztahu:
• Experimentální potvrzení hypotézy bylo
uskutečněno roku 1925 Američany
Clintonem Davissonem* a Lesterem
Germerem.
Těm tento jev nastal víceméně náhodou při práci na jiném problému. Tehdy
pozorovali difrakci elektronů na krystalu niklu. Přitom difrakce je jak víme
záležitost vlastní pouze vlnám.
.
h
p
l =
*1937 – Nobelova cena za Fyziku s G.P. Thomsonem "for their experimental discovery of the diffraction of
electrons by crystals“
51
Vlnový charakter částic
52
Vlnově-částicový dualismus
Interference
Difrakce
Polarizace
Světlo jako vlnění
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hframe.html
53
Vlnově-částicový dualismus
Phenomenon
Can be explained in terms of
waves.
Can be explained in terms of
particles.
Reflection
Refraction
Interference
Diffraction
Polarization
Photoelectric
effect
Odraz (reflection) Lom (refraction)
54
Na závěr…
• Je tu otázka: jak to, že nepozorujeme vlnové vlastnosti u
pohybujících se objektů našeho světa, když každé těleso
s hybností má určitou vlnovou délku?
• Odpověď najdeme ve velikosti Planckovy konstanty.
Makroskopické objekty mají ve srovnaní s ní obrovské
hybnosti (p = mv), i když se pohybují velmi pomalu. Výsledné
vlnové délky jsou tedy velmi malé a vlnové vlastnosti jsou
nepozorovatelné.
h
p
l = h = 6,656.10-34 J.s
55
Na závěr…
A při přehledu historie optiky by jsme neměli zapomenout, že rok
2020 bude znamenat 60. výročí objevení laseru…