Integrály.
Lenka Přibylová 6. října 2010
EB1   Q   Q fSS
©Lenka Přibylová, 2010 Q
Obsah
Integrujte funkci f (x, t) = x2 + t podle x............. 5
Integrujte funkci f (x, t) = x2 + t podle t.............. 7
Integrujte funkci f (x) = cos(2x - 1) podle x........... 9
Integrujte funkci f (x) = e2x-1 podle x............... 11
Integrujte funkci f (x) = e-ikx podle x............... 13
Integrujte funkci f (x, t) = x cos(x + t) podle x.......... 16
Integrujte funkci f (x, t) = x cos(x + t) podle t.......... 19
Integrujte funkci f (x) = cos2 (x).................. 22
BB1   Q   Q fSS
©Lenka Přibylová, 2010 Q
Primitivní funkce, tedy "čeho je to derivace":
/
J ldx = x + c r xn+1
f-áx = h\\x\+c x
sin x dx = - cos x + c
0dx = c
+ c
cos x dx = sin x + c
i i
J dx = - cotg x + c
: dx = tg x + c
J ex dx = ex + c
ax
1 1
i
j cř dx = ^— + c, 1 f a > 0
X2 + A2~ A^S^+C
,_ arcsin — + c
V A1 - x2 A
1
vx2±B
1      , 1
■ dx = — ln
A2 _ x2 ax 2A
]n\x+Vx2±B\+c A + x
A-x
+c
J Q^dx = ]n\f(x)\+c
f (x)
EE1   Q   □ Ba
©Lenka Přibylová, 2010 Q
Pro speciální případ složené funkce, můžeme použít vzorec
í f(ax + b)dx = -F(ax + b), J a
kde f je funkce integrovatelná na I a F je její primitivní funkce.
V případe funkcí In a cyklometrických funkcí zacínajících na arc nebo
soucinů integrovatelnych funkcí s polynomem používame metody per
partes:
(u • v)' = u'v + uv< J(u • v)' dx = f Uv dx + j uV dx
uv = j u! v dx + y uv' dx
J uv' dx = uv - j u'v dx
jinak substituční metody nebo dalších speciálních metod
EB1   Q   Q fSS
©Lenka Přibylová, 2010 Q
Integrujte funkci f (x, t) = x2 + t podle x.
J x2 + tdx =
EB1   Q   Q fSS
©Lenka Přibylová, 2010 Q
Integrujte funkci /(x, t) = x2 + t podle x.
J x2 + tdx= š^ + t-x + c.
J xn dx = gj, kde n = 2, t nezávisí na x, je tedy konstantou vzhledem k x a mužeme jej tedy vytknout. ^ t dx = t j 1 dx = t • x.
EBl—II   M   IJJ-I^ILeilká MlyliWá, 2U1U Q
Integrujte funkci /(x, t) = x2 + t podle ŕ.
J x2 + t dt =
EB1   Q   Q fSS
©Lenka Přibylová, 2010 Q
Integrujte funkci /(x, t) = x2 + t podle ŕ.
j x2 + ŕdŕ = x2-ŕ+f +c.
x nezávisí na t, je tedy konstantou vzhledem k t a můžeme jej tedy vytknout.y x2 dt = x2 J 1 dŕ = x2 ■ t, j ŕ" dŕ =       kde n = 1.
xl
<K.
EB1   Q   Q fSS
©Lenka Přibylová, 2010 Q
Jde o složenou funkci s lineární vnitřní složkou, použijeme tedy vzorec j f(ax + b)dx= ^F(ax + b), kde / je funkce cos, a = 2 a b=-l. Primitivní funkce ke cos je sin.
B Ju    bi   ■«   wa (ll>\ ,etika |-nbvlovíi. zu lu| J
Integrujte funkci f (x) = e2x-í podle x.
je2x-1dx =
EB1   Q   Q fSS
©Lenka Přibylová, 2010 Q
Integrujte funkci f (x) = e2x-1 podle x.
y>-idx = ^+c.
Jde o složenou funkci s lineární vnitřní složkou, použijeme tedy
vzorec j f(ax + b)dx= -F(ax + b), kde / je funkce exp, a = 2 a b = -1. Primitivní funkce k exp je exp.
B Ju    bi   ■«   wa i^il .etika |-nbvlovíi. zu lu| J
Integrujte funkci f (x) = e-ikx podle x.
J e-ikxáx =
EB1   Q   Q fSS
©Lenka Přibylová, 2010 Q
Integrujte funkci f (x) = e-ikx podle x.
Jde o složenou funkci s lineární vnitřní složkou, použijeme tedy
vzorec J f(ax + b)dx= -^{ax + b), kde / je funkce exp, a = -ík a b = 0. Primitivní funkce k exp je exp.
| Si    bi   ■«   wa <t!> \ ,etika l-nbylova. zu lu| ]
Integrujte funkci f {x) = e-ikx podle
x.
= + C
ie-ikx
+ c.
I Rozšíříme zlomek i, -í2
bbi    bi   ■« wa
1.
(ICj Lenka Jrnbylo'
_
k
_
EB1   Q   Q fSS
©Lenka Přibylová, 2010 Q
Integrujeme per partes pomocí vzorce y uv' dx = uv -J u'v dx, kde u = x a v' = cos(x + t), tedy U = 1a v = J cos(x + t) dx = sin(x + t).
pcSi    bi   ■«   wa i íl > I ,etika knbylova. zu lif|
EB1   Q   Q fSS
©Lenka Přibylová, 2010 Q
EB1   Q   Q fSS
©Lenka Přibylová, 2010 Q
Integrujte funkci f (x) = x cos(x + t) podle t.
J x cos(x + t) dt = x J cos(x + t) dt
| Vytkneme konstantu x.__
bbi    bi   ■«   wa 111 > I .enka l-nbylova. zu lu | |
EB1   Q   Q fSS
©Lenka Přibylová, 2010 Q
Integrujte funkci f (x) = cos2(x).
/cos2(x)dx =
EB1   Q   Q fSS
©Lenka Přibylová, 2010 Q
Integrujte funkci f (x) = cos2(x).
jcos2(x)dx = j 1-+^dx
Sectením rovností sin2 x + cos2 x = la cos2 x - sin2 x = cos(2x) dostaneme 2 cos2 x = 1 + cos 2x._
Integrujte funkci f (x) = cos2(x).
J cos2(x) dx = j 1±^2í dx = i (x + i sin(2x)) + c.
EB1   Q Q
©Lenka Přibylová, 2010 Q
Konec
EB1   Q   Q fSS
©Lenka Přibylová, 2010 Q