Stručný úvod do zpracování výsledků měření Ustav fyziky kondenzovaných látek, PřF MU, Brno Únor 2021 Cílem měření je zjištění správné hodnoty fyzikální veličiny x. Je tedy na místě položit si otázku, jaké informace o této správné hodnotě z jednoho nebo řady opakovaných měření dostáváme. Odhlédneme-li od chyb hrubých (které vedou ke zjištění odlehlých hodnot), je každé měření je zatíženo jednak systematickou chybou, jednak chybou náhodnou. Systematická chyba je způsobena měřícími přístroji či nevhodným postupem a snažíme se ji v maximální možné míře potlačit vhodným plánováním měření. Ale i opakovaná měření za stejných podmínek (označíme je Xi, i = 1... N) se mezi sebou poněkud liší - měření je zatíženo náhoánou chybou. Hypotetický soubor nekonečně mnoha naměřených hodnot se nazývá populace, přičemž předpokládáme, že testovaná veličina se během měření nemění. Chceme-li zjednodušeně popsat získané rozáělení změřených hodnot v populaci, můžeme k tomu využít střední hodnotu populace a její rozptyl. Střeání hoánota (x) populace je dána vztahem ■y N N^oo: (x) = —J2xí, iV i=i kde N je počet měření. Rozptyl a2 populace je veličina M 2 Y,iĹl(xi — (x))2 i V —> oo : a = -—-, N postihující variabilitu změřených dat. My se z našich měření budeme vždy pokoušet o odhad střední hodnoty populace, který pro nás reprezentuje správnou hodnotu měřené veličiny. Naštěstí platí, že pokud je měření ovlivňováno velkým množstvím malých a vzájemně nezávislých náhodných jevů, bude se získané rozdělení měřených hodnot blížit rozdělení normálnímu (Gaussovu). V takovém případě do intervalu (x) ± dopadne přibližně 68,3 % změřených hodnot pro k = 1, 95,5 % pro k = 2 a 99,7 % pro k = 3. Výběr z populace, konečný počet měření. Ve skutečnosti je počet měření vždy konečné číslo N a místo celé populace získáme pouze určitý její výběrový soubor. Můžeme se opět pokusit o zjednodušený popis získaných dat, v tomto případě se bude jednat o 1 výběrový průměr a jeho směrodatnou odchylku. Výběrový průměr x je dán jako aritmetický průměr změřených hodnot, ■y N % — ~77 Yl Xii (^") i=l směrodatná odchylka jednoho měření s(x) je pak K 1 V N-l Zůstává otázka, v jakém vztahu je například výběrový průměr k hledané střední hodnotě celé populace - pokud provedeme několik různých sad měření, jejich výběrové průměry se nepochybně budou vzájemně lišit. Tato myšlenka se dá rozvést a můžeme si namísto hodnot samotné veličiny x představit populaci výběrových průměrů z nekonečně mnoha sad měření. Získaná populace bude mít opět normální rozdělení, jehož střední hodnota se dá odhadnout kterýmkoliv z výběrových průměrů x s nejistotou danou směrodatnou odchylkou průměru s(x) podle s(x) s(x) =- _ *ž2i=l(Xí X)2 /n\ N ~ \ N(N - 1) ' 1 ' Výpočet pravděpodobnosti, se kterou správná hodnota veličiny x leží v intervalu x±ks(x) je nyní komplikován skutečností, že odhad konáme z jediné sady měření. Uspokojivé rozřešení tohoto problému poskytl William Gösset formou opravného koeficientu: správná hodnota veličiny x získaná z jedné sady N měření leží s pravděpodobností p ■ 100% (hovoříme o hladině spolehlivostí) v intervalu x ±tPiN_1s(x), (3) kde íPiAr_i je zmíněný Studentův koeficient (Gösset publikoval pod pseudonymem Student). Výpočet Studentova koeficientu je komplikovaný, pro obvyklé hodnoty pravděpodobnosti je však pohodlně tabelován (viz níže). Veličina tP)N-is(x) bývá označována jako krajní nejistota. Zpracování výsledků opakovaných přímých měření Postup zpracování naměřených hodnot si ukážeme na příkladu. Bylo provedeno N = 10 měření doby kmitu t kyvadla v sekundách: ti[s] : 1,82 1,81 1,79 1,80 1,81 1,81 1,80 1,83 1,80 1,81. Aritmetický průměr dle vztahu (1) je - 1 ^ 1,82 + 1,81 + ...1,81 t = — Y U =--—---■— s = 1,808 s, N f-í 10 ' t=i a střední kvadratická odchylka aritmetického průměru podle vztahu (2) je pro náš případ Y^f-ÁU ~ t)2 /(l, 82-ŕ)2+ (1,81-í)2+ ...(1,81-í)2 s í = ^'-ly-f- = \ —-; V '-—-—-- s = 0,00359 s. w \ N(N-l) V 9-10 2 Pro hladinu spolehlivosti 68,3 % a počet měření N = 10 dostáváme z tabulky níže Studentův koeficient ío,683,9 = 1,059 a tedy náhodná krajní nejistota aritmetického průměru jer0,683,9 s(x)=0,003 802 s. Výsledek našeho měření zapíšeme podle vztahu (3) následovně: t = i± rpiJV-is(í) = (1,808 ± 0,004) s. Jinými slovy, s pravděpodobností 68,3 % leží zjištovaná doba kmitu kyvadla v intervalu (1,804; 1,812) s: 1.808 1.804 1.812 ^ 1.808 ^ • V konečném výsledku se stanovená krajní nejistota se uvádí na jednu až dvě platné cifry a počet desetinných míst aritmetického průměru se zaokrouhluje na stejný řád, jako uvedená krajní nejistota. Výsledek našeho příkladu tak mohl být eventuálně uveden také jako t = (1,808 0 ±0,003 8) s. Důvodem k zavedení této úmluvy je přehlednost zápisu, výsledky uvádíme v závěru protokolu výhradně tímto způsobem. • Pokud je v dané úloze několik různých měření, volíme libovolnou, ale pro všechna měření stejnou hladinu spolehlivosti. Samotný Studentův koeficient se však už měření od měření může lišit, nebot každé z nich mohlo mít jiný počet opakování. • Máme-li porovnat dvě (či více) měření, můžeme tak vždy činit pouze na základě srovnání jejich výsledných intervalů na stejné hladině spolehlivosti - pokud se intervaly alespoň částečně překryjí, řekneme, že měření si na zvolené hladině spolehlivosti odpovídají: Není-li mezi intervaly překryv, řekneme, že měření si na zvolené hladině spolehlivosti neodpovídají: V krajním případě lze porovnávat interval proti jedné hodnotě (například při srovnání měření s tabelovanou hodnotou): 3 Srovnání dvou hodnot (bez intervalů) nedává smysl. Důvodem k zavedení této úmluvy je objektivita hodnocení měření (nikdy nepoužíváme subjektivní spojení typu 'výsledky jsou si blízké', apod.). Zpracování výsledků nepřímých měření Může nastat případ, že žádanou hodnotu veličiny dostaneme nepřímo z měření jiných veličin. Jako jednoduchý příklad může sloužit stanovení plochy obdélníka z opakovaného měření jeho stran. Konkrétně, je-li veličina C součtem či rozdílem veličin A a B, platí C = A ± B : s(Č) = \js(A)2 + s(B)2. Je-li veličina C dána součinem či podílem veličin A a B, platí C = AB,C = A/B: s(č) = C +'?B1. V obou uvedených případech je tedy možné krajní nejistotu nepřímého měření dopočítat z nejistot určených pro přímo měřené veličiny. 4 Tabulka koeficientů Studentova rozdělení Počet měření N Hladina s Dolehlivosti P 0,500 0,683 0,900 0,955 0,980 0,990 2 1,000 1,838 6,314 13,968 31,821 63,657 3 0,816 1,321 2,920 4,527 6,965 9,925 4 0,765 1,197 2,353 3,307 4,541 5,841 5 0,741 1,142 2,132 2,869 3,747 4,604 6 0,727 1,111 2,015 2,649 3,365 4,032 7 0,718 1,091 1,943 2,517 3,143 3,707 8 0,711 1,077 1,895 2,429 2,998 3,500 9 0,706 1,067 1,860 2,366 2,896 3,355 10 0,703 1,059 1,833 2,320 2,821 3,250 11 0,700 1,053 1,812 2,284 2,764 3,169 12 0,697 1,048 1,796 2,255 2,718 3,106 13 0,696 1,043 1,782 2,231 2,681 3,055 14 0,694 1,040 1,771 2,212 2,650 3,012 15 0,692 1,037 1,761 2,195 2,625 2,977 16 0,691 1,034 1,753 2,181 2,603 2,947 17 0,690 1,032 1,746 2,169 2,584 2,921 18 0,689 1,030 1,740 2,158 2,567 2,898 19 0,688 1,029 1,734 2,149 2,552 2,878 20 0,688 1,027 1,729 2,141 2,540 2,861 25 0,684 1,020 1,708 2,105 2,485 2,787 30 0,683 1,017 1,697 2,087 2,457 2,750 40 0,681 1,013 1,684 2,064 2,423 2,704 50 0,679 1,010 1,676 2,051 2,403 2,678 100 0,677 1,005 1,660 2,025 2,364 2,626 oo 0,675 1,000 1,645 2,000 2,326 2,576 Table 1: Hodnoty Studentova koeficientu rP)jv-i- Literatura V. Mitvalský, Zpracováni naměřených hodnot, VUT Brno (1978) P. Pánek, Úvod do fyzikálních měření, MU Brno (2001) 5