Hodnota sférické korekce z měření Zernikových aberací
Uvažujme idealizovaný osově souměrný optický systém. Vlnoplochy z bodového předmětu, které takový
systém opouští, mají podobu koulí, soustředných v Gaussově ohnisku. Pro reálný systém bude tato
vlastnost splněna pouze pro paraxiální paprsky.
Pro jednoduchost uvažujme bodový zdroj světla na optické ose, v bodě z = −a. Budeme-li uvažovat
výstupní aperturu zvoleného optického systému v rovině z = 0, potom vlnoplocha (koule) této apertury
se dotýkající v místě optické osy má tvar
x2
+ y2
+ (z − a )2
= a
2
.
Rozborem poslední rovnice vidíme, že Gaussovo ohnisko podle očekávání leží také na optické ose, v bodě
z = a . Uvažujme jiný sytém vlnoploch, které optickou soustavu opouští a fokusují se do osového bodu
z = ˜a ; takový systém musí být popsán vztahem
x2
+ y2
+ (˜z − ˜a )2
= (˜a )2
.
y z
x
a˜a
y
Rozdíl mezi dvěma zvolenými vlnami popíšeme pomocí
chybové vlnoplochy H(x, y), čili H(x, y) =
˜z − z v rovině apertury. Na obrázku vlevo je znázorněna
výstupní apertura optického systému v z =
0 a dva systémy vlnoploch: modře pro idealizované,
červeně pro reálné paprsky. Všimněme si,
že každý systém vlnoploch představuje posloupnost
koulí, soustředných v příslušných ohniskových bo-
dech.
Protože platí všeobecný rozvoj
a 2
− (x2 + y2) ≈ a −
x2
+ y2
2a
+ . . .
dostáváme
H(x, y) ≈ ˜a − a −
x2
+ y2
2
1
˜a
−
1
a
− . . .
V úvodu jsme předpokládali, že první z vln by vznikla v idealizované optické soustavě, a druhá že
představuje vlnoplochu, která optickým systémem skutečně prošla. Za těchto okolností ovšem musely
obě vlny vzniknout z jednoho zdroje (˜a = a). Ze všeobecné zobrazovací rovnice
1
a
+
1
a
=
1
f
pak musí platit
1
˜a
−
1
a
=
1
˜f
−
1
f
= ∆φ.
Můžeme tedy celkem napsat
H(x, y) ≈ ˜a − a −
x2
+ y2
2
∆φ
a chybovou vlnoplochu tak již máme vyjádřenu pomocí rozdílu mohutností v dipotriích. Pokud chceme
získaný výraz porovnat s Zernikovým rozvojem, musíme z něj extrahovat všechny členy, které přispívají
1
k činiteli ρ2
= (x2
+ y2
)/R2
p: z nižších aberací tak přímo činí polynom Z0
2 , ale nepřímo také přispějí
členy Z−2
2 a Z2
2 . Jak uvidíme, tyto nepřímé příspěvky budou realizovány prostřednictvím operací s
goniometrickými funkcemi. Vypíšeme-li ze všech členů pouze jejich relevantní části, dostáváme
H(x, y) = 2
√
3W0
2 +
√
6W−2
2 sin(2θ) +
√
6W2
2 cos(2θ) ρ2
.
S využitím obecně platného vztahu
A cos(2θ) + B sin(2θ) = A2 + B2 cos 2θ − arctan
B
A
můžeme po úpravě naspat
√
6W−2
2 sin(2θ) +
√
6W2
2 cos(2θ) = (
√
6W−2
2 )2 + (
√
6W2
2 )2 2 cos2
θ −
1
2
arctan
W−2
2
W2
2
− 1 .
K defokusu přispěje zjevně až druhý člen v hranaté závorce, první vzhledem ke svému tvaru (ρ2
cos2
θ)
bude představovat příspěvek k astigmatismu.
Celkem tedy pro příspěvek defokusu k rozdílu vlnového chodu dostáváme
H(x, y) = 2
√
3W0
2 − (
√
6W−2
2 )2 + (
√
6W2
2 )2
x2
+ y2
R2
p
.
Uvážíme-li hodnoty, naměřené přístrojem WASCA,
√
3W0
2 = −14.059 µm,
√
6W−2
2 = 0.584 µm a√
6W2
2 = −1.315 µm, dostáváme pro výpočetní poloměr zornice Rp = 2.75 mm hodnotu
∆φ = − −28.118 − (0.545)2 + (−1.843)2
2
7.5625
= 7.82 dpt.
Hodnota, kterou z měřených dat vypočetl sám aberometr (7.85 dpt) je v dobré shodě s naším výsledkem.
K tomu je potřeba podotknout, že v případě aberometru WASCA jsou normalizační faktory (odmocniny
v Zernikových polynomech) již zahrnuty do číselných hodnot, narozdíl od definice, kterou jsme použili
my. Podobně lze zvážit, že naše definice chybové vlnoplochy H(x, y) má opačně definované znaménko,
než je tomu u přístroje WASCA, kde se zřejmě odečítá vlnoplocha reálná od vlnoplochy idealizované.
2