Matematická (pato)fyziologie Jarní semestr 2022 Matematická (pato)fyziologie Michal Šitina 16. března 2022 Ústav patologické fyziologie Lékařská fakulta Masarykova univerzita Brno Obsah 1 Saturační křivka hemoglobinu 3 1.1 Odvození matematického popisu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Formulace řešení v Pythonu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Výsledky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4 Nalezení optimálních hodnot konstant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5 Závěr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2 Měření tlakových gradientů pomocí ultrazvuku 13 2.1 Princip metody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 Odvození vztahu mezi rychlostí a tlakovým gradientem . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3 Limitace metody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 Odvození EKG z Coulombova zákona 18 3.1 Definice plošného a prostorového úhlu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.2 Základní fyzikálních vztahy elektrostatiky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.3 Elektrické pole dipólu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.4 Elektrické pole elektrické dvojvrstvy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.5 Elektrické pole buňky v klidu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.6 Elektrické pole buňky s akčním potenciálem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.7 Elektrický vektor srdeční . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.8 EKG obraz v unipolárních a bipolárních svodech . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.9 Potenciál centrální Wilsonovy svorky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2 1 Saturační křivka hemoglobinu Hemoglobin se skládá ze 4 podjednotek, každá obsahuje hem a může vázat kyslík. Jedna molekula hemoglobinu tedy může vázat až 4 molekuly kyslíku. Veličina zvaná saturace hemoglobinu kyslíkem, SaO2 vyjadřuje procento vazebných míst pro kyslík na všech přítomných molekulách hemoglobinu obsazených kyslíkem. Saturace hemoglobinu kyslíkem závisí na parciálním tlaku kyslíku (pO2), křivkou závislosti je dobře známá signoidní křivka zvaná saturační křivka hemoglobinu (viz obr. 1.3). Často se uvádí, že „signoidnost“ křivka je podmíněná kooperujícím efektem jednotlivých podjednotek hemoglobinu, tedy skutečností, že navázání kyslíku na jednu podjednotku zvyšuje afinitu ostatních podjednotek ke kyslíku. Cílem této kapitoly bude 1. odvodit tvar saturační křivky ze základních fyzikálně chemických úvah 2. zjistit, zda popsaná teorie odpovídá realitě, tedy zda teoretická křivka uspokojivě aproximuje křivku experimentálně změřenou 3. posoudit existenci a vliv fenoménu kooperativity Zaveďme následující terminologii: Hbtot veškerý hemoglobin všech forem Hb deoxyhemoglobin, který neváže žádný kyslík HbO hemoglobin vážící právě 1 molekulu kyslíku HbO2 hemoglobin vážící právě 2 molekuly kyslíku HbO3 hemoglobin vážící právě 3 molekuly kyslíku HbO4 hemoglobin vážící právě 4 molekuly kyslíku Konvence vyjádření koncetrace. Koncentrace x se obvykle vyjadřuje pomocí hranatých závorek jako [x]. Pro zjednodušení zápisu budeme vynechávat závorky, x bude mít tedy dále přímo význam „koncentrace x“. O značí koncentraci (molekul) kyslíku, případně jí přímo úměrný parciální tlak kyslíku pO2 . Platí O = k.pO2, kde k je nějaká konstanta. Místo správného symbolu molekuly O2 budeme zjednodušeně používat pouze O. 1.1 Odvození matematického popisu Hemoglobin reaguje s kyslíkem podle následujících chemických rovnic 1. Hb + O K1 ⇌ HbO (1.1) HbO + O K2 ⇌ HbO2 (1.2) HbO2 + O K3 ⇌ HbO3 (1.3) HbO3 + O K4 ⇌ HbO4 (1.4) Poněvadž kyslík může z hemoglobinu i disociovat, jedná se o vratné reakce. Místo symbolu → 1 zde výjimečně Hb, O... znamenají přímo molekuly, nikoli jejich koncentraci 3 1 Saturační křivka hemoglobinu proto používáme ⇌. Ve stacionárním stavu je celým systém reakcí (1.1)-(1.4) v rovnováze a každou jednotlivou reakci můžeme popsat rovnovážnou konstantu. Zaveďme tedy rovnovážné konstanty K1,K2,K3,K4. Platí vztahy známé z chemie K1 = HbO Hb.O (1.5) K2 = HbO2 HbO.O (1.6) K3 = HbO3 HbO2.O (1.7) K4 = HbO4 HbO3.O (1.8) Fenomén kooperativity by znamenal, že každá další reakce od (1.1) po (1.4) probíhá stále intenzivněji doprava. Proto bychom očekával rostoucí hodnoty rovnovážných konstant K1-K4. Naopak absenci kooperativity budeme modelovat podmínkou K1 = K2 = K3 = K4. Ze zákona zachování hmoty musí platit Hbtot = Hb + HbO + HbO2 + HbO3 + HbO4 (1.9) Celkový počet všech vazebných míst pro kyslík na hemoglobinu je 4.[Hbtot]. Celkový počet všech kyslíkem obsazených vazebných míst je HbO + 2 HbO2 + 3 HbO3 + 4 HbO4 (1.10) protože HBO nese 1 molekulu kyslíku, HbO2 2 molekuly atd. Pro saturaci hemoglobinu tedy platí SaO2 = počet obsazených vazebných míst počet všech vazebných míst = HbO + 2 HbO2 + 3 HbO3 + 4 HbO4 4 Hbtot (1.11) Považujme nyní konstanty K1 - K4, celkovou koncentraci hemoglobinu Hbtot a parciální tlak kyslíku O za známé. Pak rovnice (1.5) a (1.8)-(1.11) představují soustavu 5 rovnice o 5 neznámých Hb, HbO, HbO2, HbO3 a HbO4, které nyní můžeme vyjádřit. Z rovnice (1.8) plyne HbO = K1.Hb.O (1.12) Dosazením HbO do rovnice (1.9) získáme HbO2 = K1.K2.Hb.O2 (1.13) Postupným dosazení do rovnice (1.10) a (1.11) dostaneme HbO3 = K1K2K3Hb.O3 (1.14) HbO4 = K1K2K3K4Hb.O4 (1.15) Dosazením z rovnic do rovnice (1.5) a dostaneme po vyjádření Hb Hb = Hbtot 1 + K1O + K1K2O2 + K1K2K3O3 + K1K2K3K4O4 (1.16) 4 1.2 Formulace řešení v Pythonu Označme si jmenovatele jako f(O), jistou funkci koncentrace kyslíku, tedy f(O) := 1 + K1O + K1K2O2 + K1K2K3O3 + K1K2K3K4O4 (1.17) Symbol := se v matematice používá pro rovnost danou definicí, definiční rovnost, kdy se definuje něco nového, v tomto případě f(O). Pokud nás zajímá pouze podíl Hb z celkového hemoglobinu, platí %Hb = Hb Hbtot = 1 f(O) (1.18) Dosazením Hb do rovnic (1.12)-(1.15) po úpravě dostaneme %HbO = K1O f(O) (1.19) %HbO2 = K1K2O2 f(O) (1.20) %HbO3 = K1K2K3O3 f(O) (1.21) %HbO4 = K1K2K3K4O4 f(O) (1.22) Pro saturaci hemoglobinu pak dosazením do rovnice (1.7) dostáváme SaO2 = K1O + 2K1K2O2 + 3K1K2K3O3 + 4K1K2K2K3K4O4 4f(O) (1.23) Vyjádřili jsme tak všechny jednotlivé komponenty hemoglobinu i saturaci jako funkci koncentrace kyslíku. Rovnovážné konstanty nyní vystupují jako parametry. Dalším cílem bude určit jejich hodnoty tak, aby predikovaná saturační křivka odpovídala realitě. 1.2 Formulace řešení v Pythonu Nejprve importujeme knihovny NumPy a matplotlib a vytvoříme vektor parciálního tlaku kyslíku pomocí příkazu linspace. Normální PaO2 v arteriální krvi se pohybuje okolo 100 mmHg. Postačuje proto vektor [0,150]. import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt o = np.linspace(0,150,200) Pro možnost porovnání teoretické predikce saturační křivky s realitou použijeme dvojice hodnot pp (PaO2) a sat (SaO2) převzaté z literatury, které vyjadřují experimentálně změřenou saturační křivku, viz obr. 1.1. fig, ax = plt.subplots() ax.set_xlabel(’pO2’) ax.set_ylabel(’SaO2’) 5 1 Saturační křivka hemoglobinu ax.set_title(’Změřená saturační křivka hemoglobinu’) pp = np.array([10.0,20.0,30.0,40.0,50.0,60.0,70.0,80.0,90.0,100.0]) sat = np.array([13,35,57,75,83,89,92.7,94.5,96.5,97.5])/100 ax.plot(pp, sat, ’r’, pp, sat,’oy’) Obrázek 1.1: Změřená saturační křivka hemoglobinu Dále si definujeme funkce, které přesně odpovídají rovnicím (1.17)-(1.23). Jako argumenty funkcí vystupují koncentrace kyslíku a rovnovážné konstanty. def f_o(o, K1 = 1, K2 = 1, K3 = 1, K4 = 1): return(1 + K1∗o + K1∗K2∗np.power(o, 2) +K1∗K2∗K3∗np.power(o, 3) + K1∗K2∗K3∗K4∗np.power(o, 4)) def Hb(o, K1 = 1, K2 = 1, K3 = 1, K4 = 1): return(1/f_o(o, K1, K2, K3, K4)) def HbO(o, K1 = 1, K2 = 1, K3 = 1, K4 = 1): return(K1∗o/f_o(o, K1, K2, K3, K4)) def HbO2(o, K1 = 1, K2 = 1, K3 = 1, K4 = 1): return(K1∗K2∗np.power(o, 2)/f_o(o, K1, K2, K3, K4)) 6 1.2 Formulace řešení v Pythonu def HbO3(o, K1 = 1, K2 = 1, K3 = 1, K4 = 1): return(K1∗K2∗K3∗np.power(o, 3)/f_o(o, K1, K2, K3, K4)) def HbO4(o, K1 = 1, K2 = 1, K3 = 1, K4 = 1): return(K1∗K2∗K3∗K4∗np.power(o, 4)/f_o(o, K1, K2, K3, K4)) def SaO2(o, K1 = 1, K2 = 1, K3 = 1, K4 = 1): return((HbO(o,K1,K2,K3,K4) + 2∗HbO2(o,K1,K2,K3,K4) + 3∗HbO3(o,K1,K2,K3,K4) + 4∗HbO4(o,K1,K2,K3,K4))/4) Pro ověření správnosti definice funkcí zkontrolujeme, že součet frakcí všech hemoglobinů pro všechny koncentrace kyslíku je 1. >>> HbO2(o)+HbO3(o)+HbO(o)+HbO4(o)+Hb(o) array([1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., ........................................................., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1.]) Vykreslíme závislost frakcí jednotlivých hemoglobinů na koncentraci kyslíku, viz obr. 1.2. Předpokládejme absenci kooperativního efektu a zvolme K1 = K2 = K3 = K4 = 0.04. K1 = 0.04 K2 = 0.04 K3 = 0.04 K4 = 0.04 fig, ax = plt.subplots() ax.plot(o, HbO4(o,K1,K2,K3,K4), ’b’, label = ’HbO4’) ax.plot(o, HbO3(o,K1,K2,K3,K4), ’r’, label = ’HbO3’) ax.plot(o, HbO2(o,K1,K2,K3,K4), ’g’, label = ’HbO2’) ax.plot(o, HbO(o,K1,K2,K3,K4), ’y’, label = ’HbO’) ax.plot(o, Hb(o,K1,K2,K3,K4), ’brown’, label = ’Hb’) ax.set_xlabel(’pO2’) ax.set_ylabel(’Procento hemoglobinu’) ax.set_title(’Procenta jednotlivých hemoglobinů v závislosti na pO2’) ax.legend() 7 1 Saturační křivka hemoglobinu Obrázek 1.2: Procenta jednotlivých hemoglobinů v závislosti na pO2 Nakonec vykreslíme (teoretickou) saturační křivku plynoucí z našeho modelu (obr. 1.3). Do stejného grafu vložíme i experimentální křivku z obr. 1.1, abychom mohli obě snadno porovnat. fig, ax = plt.subplots() ax.plot(o, SaO2(o,K1,K2,K3,K4), ’b’, label = ’model’) ax.set_xlabel(’pO2’) ax.set_ylabel(’SaO2’) ax.set_title(’Saturace hemoglobinu’) pp = np.array([10.0,20.0,30.0,40.0,50.0,60.0,70.0,80.0,90.0,100.0]) sat = np.array([13,35,57,75,83,89,92.7,94.5,96.5,97.5])/100 ax.plot(pp, sat, ’r’, label = ’realita’) ax.plot(pp, sat,’oy’) ax.legend() 8 1.3 Výsledky Obrázek 1.3: Teoretická saturační křivka hemoglobinu 1.3 Výsledky Z obrázku 1.3 je patrné, že náš model dobře vystihuje tvar saturační křivky, ale podhodnocuje její hodnoty pro vyšší koncentrace kyslíku. Můžeme zkusit manuálně najít jinou hodnotu konstant lépe aproximující experimentální křivku. Ukáže se však, že pokud zůstanou všechny rovnovážné konstanty stejné, hodnota okolo 0.04 je nejlepší. Odtud plyne, že předpoklad rovnosti konstant, tedy absence kooperativního efektu, není správný. Zkusíme tedy hledat hodnoty konstant navzájem odlišné. Pokud ani poté nedocílíme dobré shody, můžeme náš matematický model zavrhnout jako nesprávný. Pokud shody docílíme, model může (ale přesto nemusí!) být správný. Manuální hledání optimálních hodnot konstant je však téměř nemožné, protože možných kombinací všechn konstant je obrovské množství. Je to typická úloha pro algoritmické hledání optimálních hodnot. 1.4 Nalezení optimálních hodnot konstant Existuje množstí efektivních a propracovaných algoritmů, které hledají hodnoty optimalizující nějakou funkci. My si zde představíme „na koleně sestavený“ primitivní algoritmus (takový algoritmus se v informatice často označuje jako naivní), který ale dobře ilustruje některé principy. Hledáme tedy takové hodnoty rovnovážných konstant K1-K4, při nichž bude teoretická saturační křivka nejlépe aproximovat křivku experimentální. Tu známe pouze v 10 bodech (zelené kruhy na 1.3). Jak tedy posoudíme shodu obou křivek? Můžeme např. sečíst absolutní hodnoty nebo 9 1 Saturační křivka hemoglobinu kvadráty odchylek mezi oběma křivkami v oněch 10 bodech. Hledáme konstantky minimalizující tuto chybu. Princip se obecně označuje jako metoda nejmenších čtverců. Definujme si nejprve funkci chyba, která součet čtverců odchylek počítá. def chyba(K1,K2,K3,K4): global sat d = (SaO2(10.0,K1,K2,K3,K4)−sat[0])∗∗2 \ +(SaO2(20.0,K1,K2,K3,K4)−sat[1])∗∗2 \ +(SaO2(30.0,...)−sat[2])∗∗2+(SaO2(40.0,...)−sat[3])∗∗2 \ +(SaO2(50.0,...)−sat[4])∗∗2+(SaO2(60.0,...)−sat[5])∗∗2 \ +(SaO2(70.0,...)−sat[6])∗∗2+(SaO2(80.0,...)−sat[7])∗∗2 \ +(SaO2(90.0,...)−sat[8])∗∗2+(SaO2(100.,K1,K2,K3,K4)−sat[9])∗∗2 return(d) Použijme nyní následující iterativní algoritmus: 1. zvolíme velmi nízkou hodnotu „kroku“ delta 2. zvolíme nějaké počáteční hodnoty konstant K1-K4 3. spočítáme chybu při těchto hodnotách konstant 4. poté zkusíme postupně jednotlivě zvýšit i snížit hodnotu všech konstant o delta, vždy přitom znovu spočítáme chybu a zjistíme, která změna které konstanty nejvíce snížila chybu 5. tuto změnu u příslušné konstanty provedeme (např. zvýšíme K2 o delta) 6. znovu se vrátíme k bodu 3 Celý cyklus drobných úprav opakuje např. 10000-krát. Výsledné hodnot použijeme jako opti- mální. # po č á t e č n í hodnoty K1 = 1.0 K2 = 2.0 K3 = 4.0 K4 = 8.0 delta = 0.005 # krok v h l e d án í optim á l n í hodnoty for j in range(10000): i = 0 maxim = chyba(K1,K2,K3,K4) if chyba(K1+delta,K2,K3,K4) p2. Připomeňme, že práce, kterou síla koná je definována jako součin působící síly a dráhového posunu W = F.∆s (2.3) 14 2.2 Odvození vztahu mezi rychlostí a tlakovým gradientem vao vLK pLK pao Obrázek 2.3: Tok krve z levé komory stenotickou aortální chlopní Pokud tlakový gradient p1 − p2 posune úsek krve o ∆x1 z pozice 1 do pozice 2, vykoná práci ∆W1 = (p1 − p2)S1∆x1 (2.4) Při posunu z pozice 2 do pozice 3 (červené šrafování na obrázku) bude úsek krve vystaven tlaku p2 a protitlaku p3 a bude platit ∆W2 bude platit ∆W2 = (p2 − p3)S2∆x2 (2.5) Poněvadž sledujeme stále stejný úsek krve, uvědomíme si, že pro všechna i platí Si∆xi = ∆V . Podobné rovnice sestavíme po celém průběhu proudnice až do aortální chlopně k pozici n. Máme tedy rovnice ∆W1 = (p1 − p2)∆V (2.6) ∆W2 = (p2 − p3)∆V (2.7) ... (2.8) ∆Wn−1 = (pn − pn−1)∆V (2.9) Sečtením všech rovnice získáme práci vykonanou během celé proudnice, která se přemění na kinetickou energii úseku krve. Zároveň si povšimneme, že veškeré „vnitřní“ pi se odečtou a zbydou pouze počáteční koncový tlak, tedy W = n−1 i=1 ∆Wi = (p1 − pn)∆V (2.10) Ovšem p1 = pLK a pn = pao. Že pn = pao, není zcela samozřejmé. Tlak v aortě nad aortální chlopní v místě, kde „neteče“ krev, tlačí z boku na proudící krev (dvojitá šipka na pao v obr. 2.4). Pokud by byl tento tlak vyšší než tlak proudící krve, proudnice by byla ze stran „utlačena“ a proud by se zastavil. Pokud by byl naopak nižší, rozšiřovala by se proudnice, až by se tlaky vyrovnaly. Proto platí pn = pao. Poznamejme, že stále předpokládáme laminární proudění. Veškerá vykonaná práce W se přemění v nárůst kinetické energie úseku krve ∆Ek = Ek,ao − Ek,LK. 15 2 Měření tlakových gradientů pomocí ultrazvuku pao pn pn−1 p1 p2 p3 S1 S2 S3 Sao ∆V ∆x2 ∆x1 ∆xn−1 Obrázek 2.4: Výpočet tlakového gradientu z rychlosti průtoku Když m je hmotnost úseku krve a ρ její hustota, platí ∆Ek = 1 2 m(v2 ao − v2 LK) = 1 2 ρ∆V (v2 ao − v2 LK) (2.11) Jistě je rychlost toku v aortální chlopni podstatně vyšší než u stěn levé komory, vao ≫ vLK a lze proto Ek,LK. Spojením všech rovnice tedy dostaneme W = (pLK − pao)∆V = Ek = 1 2 ρ∆V v2 ao (2.12) Po zkrácení ∆V dostáváme rovnici ∆p = pLK − pao = 1 2 ρv2 ao (2.13) běžně známou jako Bernoulliho rovnice 1. Výsledek samozřejmě platí pro tlakový gradient na jakékoli chlopni, nejen na aortální. Pokud zadáme rychlost v m.s−1 a hustotu v kg.m−3, získáme tlakový gradient v Pa. Dosaďme ρ = 1000 kg.m−3 a převeďme výsledek na mmHg. Odvodíme tak rovnici (2.1), jak jsme měli v úmyslu. ∆p = 1 2 ρv2 Pa = 1 2 .7, 6.v2 mmHg ≈ 4v2 mmHg (2.14) 1 Daniel Bernoulli, 1700-1782, švýcarský matematik a fyzik. Jeho strýcem byl Jacob Bernoulli, který odvodil vztah pro pravděpodobnostní funkci binomického rozdělení 16 2.3 Limitace metody 2.3 Limitace metody Popsaná metoda umožňuje pouze přibližně změřit tlakové gradienty, pro klinické účely je ale dostatečně přesná a slušně koreluje s přímým invazívním měřením tlakových gradientů. Zásadní výhodou je její výrazná jednoduchost oproti invazívnímu měření. Zdrojů nepřesnosti je několik, všechny vedou k podhodnocení gradientů. Je možná podezřelé, že jsme v celém výpočtu nikde nepoužili viskozitu, ačkoli se snad zdá, že právě ona je příčinou odporu toku krve přes stenotickou chlopeň. To je ovšem omyl. Převážná většina tlakové energie se skutečně využije na zrychlení toku krve, je tedy převedena na kinetickou energii. Jen menšina se ztratí třením v důsledku viskozity. Dále jsme předpokládali laminární proudění. Při výrazné stenoze chlopně s rychlým průtokem však hraje roli turbulentní proudění, které vyžaduje větší tlakové gradienty, větší část tlakové energie se přeměňuje třením v teplo. Konečně hraje roli orientace ultrazvukové sondy vůči směru toku krve. Dopplerovský ultrazvuk měří rychlost toku krve směrem k sondě. Je-li tok orientován šikmo vůči sondě (vůči směru šíření ultrazvuku), změří se arteficiálně nižší rychlost. Pokud označíme rychlost toku v0 a úhel mezi směrem toku a šířením ultrazvuku α (obr. 2.5 ), platí pro měřenou rychlost v v = v0 cos α vo UZ sonda α v Obrázek 2.5: Dopplerovské měření rychlosti toku 17 3 Odvození EKG z Coulombova zákona EKG obraz je generován proměnlivým elektrickým polem srdce. V základním kurzu biofyziky a fyziologie se zavádí představa elektrického vektoru srdečního, který míří ve směru aktuálního průměrného směru šíření akčního potenciálu po myokardu. Popisují se určitá pravidla, jak lze ze směru vektoru určit výchylky potenciálu zaznamenané jednotlivých svodech EKG: 1. Pokud vektor míří k elektrodě unipolárního svodu, zaznamenává svod pozitivní výchylku. 2. Pokud vektor míří od elektrody unipolárního svodu, zaznamenává svod negativní výchylku. 3. Pokud vektor míří ve směru od „-“ k „+“ elektrodě bipolárního svodu, zaznamenává svod pozitivní výchylku. 4. Pokud vektor míří ve směru od „+“ k „-“ elektrodě bipolárního svodu, zaznamenává svod negativní výchylku. 5. Pokud vektor míří kolmo k bipolárnímu svodu, žádná výchylka se nezaznamená. Pomocí těchto jednoduchých pravidel lze z 12-svodového EKG zrekonstruovat průběh elektrického srdečního vektoru v čase, hodnotit jeho průměrný směr, tzv. elektrickou osu srdeční, nebo identifikovat poruchy šíření vzruchu, např. blokádu levého či pravého Tawarova raménka. Původ elektrického srdečního vektoru se většinou vysvěluje intuitivně takto: Povrch již zdepolarizovaného myokardu je záporně nabitý, povrch dosud klidového myokardu je kladně nabitý. Mezi oběma oblastmi je rozhraní, kde se právě šíří akční potenciál. Tato dvojice oblastí kladných a záporných nábojů je příčinou eletrického pole srdce. Lze jí přiřadit vektor elektrického dipólu, který je kolmý na rozhraní záporné a kladné oblasti a směřuje ze záporné oblasti do kladné. Takové vysvětlení je pro praktické účely postačující. Pokud si ovšem uvědomíme, že nitro buňky je nabito přesně opačně a tedy vyvolává přesně opačné elektrické pole, není již intuitivně vysvětlený původ elektrického pole tak nesporný. Snad se můžeme spokojit s představou, že vnější plocha je trochu blíže k elektrodám než vnitřní plocha a proto její vliv převáží, ačkoli rozdíl vzdáleností je nepatrný, řádově nanometry (šířka biomembrány). V následující kapitole se budeme zabývat detailním rozborem původu elektrického pole srdce a pokusíme se vysvětlit původ elektrického srdečního vektoru. Vyjdeme ze základních fyzikálních zákonů, konkrétně z Coulombova zákona. Budeme postupovat tzv. „kvazistatickou“ metodou. Použijeme tedy postupy elektrostatiky, která předpokládá, že se náboje nepohybují. To samozřejmě není pravda, naopak v organizmu tečou elektrické proudy v podobě pohybu iontů. Pokud je však tento pohyb relativně pomalý oproti rychlosti změn elektrického pole, přináší i statický přístup dobré výsledky. Organizmus si představujeme jako tzv. objemový vodič, který uvnitř obsahuje zdroj elektrického pole, srdce. Tělesná voda svou relativní permitivitou ϵr = 81 zeslabuje sílu elektrického pole 81-krát oproti situaci, kdyby bylo srdce obklopeno vzduchem 3.1 Definice plošného a prostorového úhlu Běžné měříme úhly a vyjadřujeme ve stupních či v radiánech. Jak je však vůbec definován úhel? Vezměmě si kruhovou výseč a pokusme se nějak rozumně definovat její úhel, viz obr. 3.1. Je zřejmé, že prodloužení poloměru z r1 na r2 úhel kruhové výseče nezmění, ale zvětší její kruhový 18 3.1 Definice plošného a prostorového úhlu 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 r1 r2 o1 o2 α Obrázek 3.1: Definice plošného úhlu odvod ve stejném poměru, platí tedy o1 r1 = o2 r2 Poměr zůstává konstantní a je tedy mírou velikosti úhlu. Definujeme proto úhel jako poměr kruhového obvodu výseče a jejího poloměru α := o r Pro plný kruh s obvodem 2πr dostaneme známou velikost plného úhlu α = 2πr r = 2π radiánů. Použijeme nyní stejný postup pro definici prostorového úhlu. Představme si výseč koule, jakýsi kornout s vrcholem ve středu koule (obr. 3.2). Chceme definovat prostorový úhel, který kornout svírá. Kornout nechť má poloměr r1 a je ohraničen částí kulové plochy o velikosti S1. Pokud poloměr kornoutu zvětšíme na r2, zvětší se i ohraničující kulová plocha na velikost S2, ale sevřený úhel se nezmění. Protože je však kulocha plocha úměrná druhé mocnině poloměru, musí platit S1 S2 = r2 1 r2 2 Konstantní je tedy poměr S r2 , jímž definuje prostorový úhel a vyjadřujeme ve steradiánech. φ := S r2 Pro plný úhel koule dostaneme známou velikost φ = 4πr2 r2 = 4π steradiánů. 19 3 Odvození EKG z Coulombova zákona r φ S x y z Obrázek 3.2: Definice prostorového úhlu 3.2 Základní fyzikálních vztahy elektrostatiky Úvodem si připomeňme několik základních vztahů elektrostatiky. Coulombův zákon F = 1 4πϵϵr q1q2 r2 udává sílu, jíž se dva bodové náboje vzdálené r přitahují. Relativní permitivita ϵr popisuje schopnost okolního prostřední zeslabovat elektrické pole. Pro vakuum platí ϵr = 1, pro vodu ϵr = 81. Voda tedy oproti vakuu 81-krát zeslabuje elektrické pole. Elektrické pole, nejen to vytvářené bodovým nábojem, můžeme popsat tak, že do každého bodu prostoru vložíme jednotkový testovací náboj (o velikosti 1 C) a změříme sílu, kterou pole na testovací náboj působí. Tuto sílu označujeme jako intenzita elektrického pole E. Pro intenzitu pole bodového náboj q tedy platí E = 1 4πϵϵr q r2 Z důvodu symetrie musí vektor intenzity v každém mířit k nebo od bodového náboje. Alternativně můžeme elektrické pole popsat pomocí potenciálu. Položme pomyslně jednotkový návoj (o velikosti 1 C) nekonečně daleko od zdrojů elektrického pole (jiných nábojů). Postupně jej posuňme do nějakého bodu prostoru a měřmě během posouvání vykonanou práci. Vykonanou práci označujeme jako potenciál φ pole v daném bodu. Popisy pole pomocí intenzity a potenciálu jsou ekvivalentní. Pro potenciál pole bodového náboje platí φ = 1 4πϵϵr q r Povšimněme si, že potenciál bodového náboje klesá s první mocninou r. Příjemnou vlastností intenzity i potenciálu je jejich aditivita. Potenciál pole 2 bodových je v každém bodě roven součtu potenciálů jednotlivých nábojů. 3.3 Elektrické pole dipólu Elektrickým dipólem se rozumí dvojice opačných nábojů stejné velikosti vzdálených d od sebe (obr. 3.3). Např. velmi drobný úsek biomembrány můžeme dobře považovat za dipól, kde d odpovídá tloušťce biomembrány. Odvoďme nyní s využitím obr. 3.3 vztah pro potenciál elektrického pole dipolu v bodě P velmi vzdáleném oproti vzdálenosti d, nechť tedy platí tedy r ≫ d. 20 3.4 Elektrické pole elektrické dvojvrstvy ⃗p d r1 r2 ⃗r P θ r2 − r1 = d. cos θ Obrázek 3.3: Potenciál elektrického pole dipólu Potenciál je součtem jednotlivých potenciálů φ = φ1 + φ2 = 1 4πϵϵr . +q r1 + −q r2 = q 4πϵϵr . 1 r1 − 1 r2 = q 4πϵϵr . r2 − r1 r1r2 Poněvadž jsou r1 ≫ d i r2 ≫ d, platí, že r1r2 ≈ r2. Vektor ⃗r míří od dipólu k bodu P. Z obr. 3.3 je též patrné, že platí r2 − r1 = d. cos θ. Rovnice tedy přechází na tvar φ = q 4πϵϵr d. cos θ r2 Vidíme, že narozdíl o bodového náboje klesá potenciál dipólu s r2 a je ovlivněn orientací bodu P vůči směru dipólu. Zaveďme dva vektory. Jednak vektor ⃗d, který vede od záporného náboje ke kladnému a má délku d, jednak vektor zvaný elektrický dipólový moment, definovaný jako ⃗p = q.⃗d. Pak můžeme vztah přepsat pomocí skalárního součinu ⃗p.⃗r = p.r. cos θ jako φ = 1 4πϵϵr q.d.r. cos θ r3 = 1 4πϵϵr ⃗p.⃗r r3 Vzpomeňme, že skalární součin dvou vektorů ⃗a.⃗b znamená součin délky vektoru a a délky kolmé projekce vektoru b do vektoru a, t.j. b. cos θ. Docházíme tak k důležitému závěru: Potenciál v bodě P je největší, když dipólový moment míří k bodu P a nulový, když míří kolmo na tento směr! 3.4 Elektrické pole elektrické dvojvrstvy Příkladem elektrické dvojvrstvy je biomembrána. Jde o opačně nabité plochy blízko u sebe. Každý drobný úsek dvojvrsty představuje malý elektrický dipól. Princip ukazuje obr. 3.4. Dívejme se není na buňku z bodu P pod malým prostorovým úhlem α (jakovy úzkým kornoutem) a věnujme se úseku horní membrány, který vidíme. Jeho vzdálenost od bodu P je r, jeho plocha S. Z definice prostorového úhlu víme, že kolmá projekce plochy S do směru k P, kterou označíme S′, je rovna S′ = α.r2 21 3 Odvození EKG z Coulombova zákona P θ θ α S S′ Obrázek 3.4: Potenciál klidové buňky Dále zjevně platí S′ = S. cos θ. Při konstantní hustotě náboje na povrchu buněčné membrány σ obsahuje studovaný úsek náboj q = S.σ = S′.σ cos θ = α.r2.σ cos θ Dosazením do vztahu pro potenciál dipólu plyne, že úsek membrány, který sledujeme pod malým prostorovým úhlem α generuje v bodě P potenciál φ = q 4πϵϵr d. cos θ r2 = 1 4πϵϵr . α.r2.σ cos θ . d. cos θ r2 = 1 4πϵϵr dασ Výsledek je úchvatný. r2 i cos θ se zkrátily. Jinými slovy, pro daný úhel α nezávisí potenciál generovaný membránou na její vzdálenosti ani orientaci od bodu P. 3.5 Elektrické pole buňky v klidu Zjištění právě odvozené ihned aplikujeme na klidovou buňku. Uvědomíme si, že po stejným prostorovým úhlem α vidíme horní i spodní membránu buňky, obě však mají opačně rozložené náboje. Obě tedy působí v bodě P stejným potenciálem, ale opačného znaménka. Výsledné působení „v každém kuželu“ je tedy nulové. Přitom je jasné, že kdykoli bude kuželem procházet horní membrána, bude jím níže procházet i dolní membrána. Takto můžeme „proscanovat“ celou buňku. Klidová buňka tedy nevytváří žádné elektrické pole, potenciál je všude nulový. 3.6 Elektrické pole buňky s akčním potenciálem Věnujme se nyní buňce, např. kardiomyocytu, kde právě probíhá akční potenciál. Na obr. 3.5 vyznačuje rozhraní membrány již depolarizované (vlevo) a ještě nezdepolarizované-klidové (vpravo) dvojitá vlnovka.Akční potenciál probíhá zleva doprava. V klidové části je nitro negativní,ve zdepolarizované části pozitivní. 22 3.6 Elektrické pole buňky s akčním potenciálem ++ − + + + + − − −− − − + P ⃗p S Obrázek 3.5: Potenciál aktivované buňky Spusťme opět z bodu P úzký kužel. Mohou nastat tři možnosti: 1. Kužel prochází horní i dolní membránou v klidové oblasti. Pak se vliv obou membrán vyruší, jako tomu bylo výše. 2. Kužel prochází horní i dolní membránou ve zdepolarizované oblasti. Zde jsou obě membrány nabity opačně, i zde se však vliv obou membrán vyruší. 3. Kužel, vyznačen v obr. 3.5 tučně, prochází horní membránou klidovou, ale dolní membránou již zdepolarizovanou. Obě membrány jsou tudíž nabity „stejným směrem“, jejich efekt je sčítá a vytváří nenulový potenciál v bodě P. Je jasné, že kdykoli nastana situace č. 3, musí kužel procházet i rozhraním obou částí buňky. Představme si následující hypotetickou situaci: náboje, které se nacházejí na horním a dolním úseku membrány v kuželu přesuneme na „zvlněné“ rozhraní klidové a zdepolarizované části obsažené v kuželu, přičemž se přesunuté pozitivní náboje budou nacházet těsně vpravo od rozhraní a negativní těsně vlevo od rozhraní. Rozhraní nechť má tloušťku biomembrány. Jaký potenciál bude vytvářet úsek takto vzniklého nabitého rozhraní v kuželu? Výše jsme dokázali, při daném úhlu α membránou vytvářený potenciál nezávisí na její orientaci. Z toho plyne, že rozhraní bude vytvářet stejný potenciál, jako původně vytvářely dohromady horní a dolní membrána. Když sečteme všechny kužely splňující podmínku č. 3, „pokryjeme“ tak celou plochu rozhraní klidové a zdepolarizované části. Jinými slovy, celkový potenciál vytvářený buňkou, kde právě probíhá akční potenciál je stejný, jako kdyby existovala nabitá membrána na rozhraní zdepolarizované a klidové části. Dipólový moment, který bychom této pomyslné membráně mohli přiřadit je úměrný ploše rozhraní a směřuje kolmo na rozhraní, tedy ve směru šíření akčního potenciálu. Na obrázku je vyznačen šedou šipkou. Jako platilo pro případ dipólu, platí i zde: Potenciál v bodě P je největší, když dipólový moment míří k bodu P, tedy když se vzruch šíří k bodu P, a nulový, když míří kolmo na tento směr. 23 3 Odvození EKG z Coulombova zákona 3.7 Elektrický vektor srdeční Ukázali jsme tedy, že to, co generuje elektrický dipól, je rozhraní zdepolarizované a ještě klidové části buňky. Pokud budeme sledovat srdce z dostatečné vzdálenosti, bude totéž platit pro každou buňku a tedy i pro celé rozhraní zdepolarizovaného a ještě klidového myokardu. Každé drobné oblasti rozhraní můžeme přiřadit drobný dipólový moment. Jejich vektorový součet dává celkový dipólový moment ⃗P, zvaný elektrický vektor srdeční. Míří ve směru aktuálního průměrného šíření akčního potenciálu po myokardu. Pro potenciál pole jím vytvářeného platí stejný vztah jako pro potenciál elektrického dipólu, pouze různé konstanty jako q, d apod. shrneme do jedné globální konstanty k. ⃗P je elektrický vektor srdeční, ⃗r je polohový vektor bodu, kde určujeme potenciál (obr.3.6). Podstatná je kolmá projekce vektoru ⃗P do směru vektoru ⃗r (červená šipka), kterou vyjadřuje skalární součin obou vektorů ⃗P.⃗r. φ = k ⃗P.⃗r r3 = k P. cos θ r2 ⃗P ⃗r θ Obrázek 3.6: Elektrický vektor srdeční 3.8 EKG obraz v unipolárních a bipolárních svodech viz úlohy 3.9 Potenciál centrální Wilsonovy svorky viz úlohy 24 3.9 Potenciál centrální Wilsonovy svorky RH LH F ⃗p θ CWS R R R φ =? Obrázek 3.7: Potenciál centrální Wilsonovy svorky 25