Matematika pro matematickou (pato)fyziologii Jarní semestr 2022
Matematika pro matematickou (pato)fyziologii
Michal Šitina
22. května 2022
Ústav patologické fyziologie
Lékařská fakulta
Masarykova univerzita Brno
Obsah
1 Stavební kameny matematiky 4
1.1 Množina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Zobrazení, funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Komplexní čísla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Umění zanedbat nepodstatné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Úvod do matematické analýzy 8
2.1 Funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.1 Inverzní funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.2 Transformace funkcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Přehled základních funkcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.1 Polynomické funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.2 Exponenciální a logaritmické funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.3 Goniometrické funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Limita funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4 Derivace funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4.1 Intuitivní představa derivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4.2 Exaktní definice derivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4.3 Derivace elementárních funkcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4.4 Derivace součtu, rozdílu, součinu a podílu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4.5 Derivace složených funkcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4.6 Příklady výpočtu derivace funkcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4.7 Derivace inverzních funkcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4.8 Derivace vyššího řádu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4.9 Geometrický a fyzikální význam derivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4.10 Vyšetřování průběhu funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4.11 Taylorovy řady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.5 Funkce více proměnných . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.5.1 Představa funkce více proměnných . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.5.2 Parciální derivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.5.3 Vyšší a smíšené parciální derivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.5.4 Vyšetřování průběhu funkce více proměnných . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.6 Integrální počet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.6.1 Idea integrálního počtu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.6.2 Neurčitý integrál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.6.3 Metody integrace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.6.4 Určitý integrál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.7 Obyčejné diferenciální rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.7.1 Idea diferenciálních rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.7.2 Základní pojmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.7.3 Metoda separace proměnných . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.7.4 Lineární diferenci rovnice prvního řádu, metoda variace konstant . . . . . 35
2.7.5 Soustavy obyčejných diferenciálních rovnic prvního řádu . . . . . . . . . . 38
2.7.6 Lineární diferenciální rovnice druhého řádu . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2
Obsah
3 Poznámky k numerické matematice 44
3.1 Numerické řešení algebraických rovnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.1.1 Metoda půlení intervalů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.1.2 Metoda prosté iterace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.1.3 Newtonova metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2 Numerické řešení diferenciálních rovnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2.1 Eulerova metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2.2 Metoda Rungeho a Kutty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.3 Numerické řešení soustav diferenciálních rovnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.3.1 Eulerova metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.3.2 Runge-Kuttova metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4 Poznámky k lineární algebře 58
4.1 Vektory a vektorové prostory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.1.1 Operace s vektory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.1.2 Lineární kombinace, lineární závislost a nezávislost vektorů . . . . . . . . 61
4.1.3 Báze a dimenze vektorového prostoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.2 Matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.2.1 Typy matic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.2.2 Hodnost a determinant matic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.2.3 Operace s maticemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.2.4 Geometrická interpretace násobení vektoru maticí . . . . . . . . . . . . . 64
4.2.5 Příklady aplikací matic v biologii a medicíně . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.2.6 převedení z teorie grafů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.2.7 popis sítí - metabolické, genové regulační ... . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.2.8 analýza vícerozměrných dat. Principal component analysis . . . . . . . . . 65
4.2.9 klasické fyzikální uplatnění . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.2.10 analýza obrazu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.3 Soustavy lineárních algebraických rovnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3
1 Stavební kameny matematiky
V této úvodní kapitole stručně popíšeme některé základní matematické pojmy a představy, které
se vyskytují ve všech speciálních oblastech matematiky, jako jsou např. matematická analýza,
algebra, teorie pravděpodobnosti nebo numerická matematika. Učebnice vyšší matematiky jsou
většinou psány systémem Definice – Věta – Důkaz. V našem kurzu budeme postupovat méně
precizně, intuitivní cestou. Přesto je vhodné základním principům dobře rozumět.
Definice je přiřazení názvu jisté přesněji vymezené entitě. Sama o sobě neobsahuje žádnou
novou informaci, žádný poznatek. Definice bývají často psány nepřesně jako implikace, tedy
„Pokud platí to a ono, označujeme jej jako abc“. Vždy je ve skutečnosti rozuměna ekvivalence,
tedy „Právě když platí to a ono, označujeme jej jako abc“.
Příklad definice: Reálná funkce jedné reálné proměnné je každé zobrazení z množiny R do množiny
R. V tomto případě jsme entitě „zobrazení z množiny R do množiny R“ přiřadili název
„reálná funkce jedné reálné proměnné“.
1.1 Množina
Množinou rozumíme souhrn jakýchkoli vzájemně odlišitelných elementů, prvků množiny, do
jednoho celku. Představu množin prvně zformuloval německý matematik Georg Cantor1. Založil
oblast matematiky dnes označovanou jako Teorie množin. V originále definuje Cantor množinu
takto:
Unter einer „Menge“ verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen
Objekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die „Elemente“ von M
genannt werden) zu einem Ganzen.
Původní Cantorovu verzi označujeme jako Naivní teorii množin, jejíž nedostatky byly odhaleny
na počátku 20. století a byla zprecizována v tzv. Axiomatické teorii množin, spojené se jmény
Zermelo a Fraenkel. Teorie množin je absolutním základem matematiky, snad vše v matematice
lze převést na operace s množinami.
1.2 Zobrazení, funkce
Často nás zajímá vztah dvou množin A a B, tedy souvislost mezi jednotlivými prvky. Taková
souvislost se velmi obecně označuje jako relace. Každému prvku jedné množiny může být přiřazeno
více prvků druhé množiny nebo nemusí být některému prvku přiřazen žádný prvek. Velmi
speciální, ale nejdůležitější relace, kdy je každému prvku množiny A přiřazen právě jeden prvek
množiny B, se označuje jako zobrazení nebo funkce. Funkce a zobrazení jsou obvykle vnímána
jako synonyma. Pokud prvky množiny A označíme x a množiny B y, pak zápis
f : A → B; x → y
1
Georg Cantor, 1845-1918, německý matematik, založil Teorii množin
4
1.3 Komplexní čísla
znamená zobrazení f z množiny A do množiny B, které každému x ∈ A přiřazuje y ∈ B.
Množinou A mohou být např. všichni občasné České republiky, množinou B reálná čísla (B = R).
Zobrazení „měření výšky“ zapíšeme jako
měření výšky : občané ČR → R; občan → výška
.
1.3 Komplexní čísla
Známe několik nekonečných množin čísel, např. přirozená čísla N, celá čísla Z, racionální čísla
Q nebo reálná čísla R. Nad těmito množinami jsou definované jisté operace, t.j. co můžeme s
čísly dělat. Přirozená čísla můžeme sčítat a násobit, přičemž výsledek je opět přirozené číslo, ale
nemůžeme např. odečíst větší číslo od menšího. To můžeme provádět s celými čísly, ta ale např.
nemůžeme libovolně dělit. K tomu už potřebujeme ještě větší množinu čísel, totiž racionální
čísla, která jsou vyjádřitelná zlomkem. Racionální čísla jsou první nekonečnou množinou čísel, s
nimiž můžeme provádět všechny běžné operace s čísly a výsledek je vždy racionální číslo. Jak už
ale zjistili v antickém Řecku, některá čísla, např.
√
2, mezi racionální nepatří. Pokud racionální
čísla obohatíme o tato tzv. iracionální čísla, dostaneme reálná čísla. Na okraj poznamenejme, že
iracionálních čísel je mnohem více než čísel racionálních.
Kromě reálných čísel ale existuje ještě jedna (a už žádná další!!) nekonečná množina poněkud
zvláštních čísel, označovaných jako komplexní čísla, s nimiž lze počítat jako s „normálními“
čísly. Neexistuje žádné reálné číslo, které umocněno na druhou dá −1. Definujme si proto nějaké
nové číslo i, které není reálné, říkejme mu imaginární, pro nějž platí i2 = −1. Vezměně dvě
reálná čísla a, b ∈ R a definujme nové číslo jako
z = a + bi
Množinu všech takových čísel označme jako komplexní čísla C. Pokud s nimi budeme „normálně“
počítat, zjistíme, že vše bez problémů funguje. Dvě komplexní čísla vynásobíme např. takto
(3 + 2i) . (4 − 3i) = 12 − 9i + 8i − 6i2
= 12 − i − 6.(−1) = 18 − i
Komplexní číslo obsahuje dvě „proměnné“ a a b, dá se proto zobrazit jako bod v plošném grafu,
v tzv. Gaussově2 rovině (obr. 1.1), kdy reálnou část a vynášíme na osu x a imaginární část b na
osu y. Velikost neboli absolutní hodnota komplexního čísla ∥z∥ je vzdálenost bodu od počátku,
platí
∥z∥ = a2 + b2
Spojnice bodu a počátku svírá s osou x úhel φ, označovaný jako fáze komplexního čísla. Platí
proto a = ∥z∥. cos φ a b = ∥z∥. sin φ. Komplexní číslo tedy můžete vyjádřit pomocí goniometrikých
funkcí jako
z = a + bi = ∥z∥ cos φ + i∥z∥ sin φ = ∥z∥ (cos φ + i sin φ)
Absolutní hodnota ∥z∥ bývá též označována jako amplituda komplexního čísla A.
2
Carl Friedrich Gauss, 1777-1855, německý matematik a fyzik
5
1 Stavební kameny matematiky
−1 1 2
−1
1
2 1 + 2i
φ
∥z∥
a = 1
b = 2
Re(z)
Im(z)
Obrázek 1.1: Komplexní číslo v Gaussově rovině
1.4 Umění zanedbat nepodstatné
Umění rozpoznat a zanedbat nepodstatné je cenná dovednost v životě i v matematice. V matematice
vhodné zanedbání vede ke zjednodušení výrazu bez podstatného nárůstu chyby výsledku.
Zanedbat můžeme v součtu, je-li jeden ze sčítanců podstatně menší. V součinu pochopitelně zanedbávat
nelze. Pokud tedy d ≪ x, platí
x + d ≈ x
Zanedbat můžeme zejména mocniny malých hodnot. Pokud totiž d ≈ 0, pak
d ≫ d2
≫ d3
≫ . . .
Ilustrujme si zanedbávání na následujícím příkladu. Chceme určit hodnotu výrazu
y =
x
(x + d)2
Nechť d ≪ x, např. x = 1 a d = 0, 01. Pak y = 1
(1+0,01)2 = 0, 980296. Pokud bychom zanedbali
přímo d, bude y = 1, vznikne tedy chyba asi 2 %. Úpravou vztahu a zanedbáním druhé mocniny
d2 dostaneme
y =
x
(x + d)2
=
x
x2 + 2dx + d2
≈
x
x2 + 2dx
=
1
x + 2d
Po dosazení y ≈ 1
1+0,02 = 0, 980392. Chyba je zhruba 0, 1 ‰, ale výraz je podstatně jednodušší.
Pokud nás snad je3t2 obtěžuje součet ve jmenovateli, pak výraz rozšíříme a znovu zanedbáme
6
1.4 Umění zanedbat nepodstatné
druhé mocniny.
y ≈
1
x + 2d
=
1
x + 2d
.
x − 2d
x − 2d
=
x − 2d
x2 − 4d2
≈
x − 2d
x2
Po dosazení y ≈ 1−0,02
1 = 0, 98. Nyní už nepotřebujeme kalkulačku, ale chyba je přesto stále pod
1 ‰.
7
2 Úvod do matematické analýzy
2.1 Funkce
Pojmy zobrazení a funkce jsou většinou chápány jako synonyma. V užším smyslu rozumíme pod
reálnou funkcí jedné reálné proměnné zobrazení f : R → R : x → y = f(x). Některé
funkce jsou definované na podmnožině R, např. logaritmická funkce na R+. x a y se označují
jako argument a hodnota (či obraz) funkce. Argument pochází z definičního oboru funkce D,
x ∈ D, obraz z oboru hodnot H, y ∈ H. Ve výše uvedeném případě platí D = H = R.
2.1.1 Inverzní funkce
Funkce f přiřazuje jistému x hodnotu y, y = f (x). Mohla by nás však zajímat i opačná otázka,
totiž kterému x byla přiřazena hodnota y. Hledáme tedy vlastně funkci, která dělá opak než
funkce f. Označujeme ji jako inverzní a značíme f−1. Platí
y = f (x) ⇔ x = f−1
(y)
Ne vždy lze inverzní funkci vytvořit. Pokud existuje více hodnot x, jimž funkce f přiřazuje stejné
y, pak nemůžeme určit, které x by měla inverzní funkce přiřadit tomuto y. Pro invertabilitu tedy
musí být funkce f prostá a navíc musí pokrývat celý obor hodnot, x a y tedy musí být vzájemně
jednoznačné. Např. funkce y = x2 není prostá v celém definičním oboru D = R. Pokud ji však
omezíme na R+, prostá již je a jí odpovídající inverzní funkce je f−1 (x) =
√
y. Poznamenejme, že
je lhostejné, jakými písmeny označíme argument a obraz, určující pro funkci
√
y je
√
. Protože
je zvykem používat x pro argument a y pro obraz, píšeme y = f−1 (x) =
√
x. Pokud takto
zakreslíme f i f−1 do společného grafu, jsou oba grafy symetrické podle osy y = x (poněvadž
jsme zaměnili x a y), viz obr. 2.4.
2.1.2 Transformace funkcí
Drobnou úpravou funkce můžeme dosáhnout úpravy jejího „tvaru“, např. posunout na osách x
a y nebo roztáhnout či zúžit. Mějme funkci y = f (x). Novou, transformovanou funkci označme
jako g (x).
1. Posunutí na ose y o konstantu c nahoru dosáhneme přičtením c, g (x) = f (x) + c
2. Posunutí na ose x o konstantu c doleva dosáhneme přičtením c v argumentu funkce,
g (x) = f (x + c)
3. Zvětšení na ose y k-krát dosáhneme vynásobením funkce konstantou k, g (x) = kf (x)
4. Zkrácení na ose x k-krát dosáhneme vynásobením argumentu funkce konstantou k,
g (x) = f (kx)
Kombinací všech úprav získáme funkci
g (x) = af (bx + c) + d
která je oproti původní funkci f posunuta o d nahoru, a-krát roztažena na ose y, b-krát užší na
ose x a posunuta na ose x o c/b doleva.
8
2.2 Přehled základních funkcí
−4 −2 2 4
−4
−2
2
4
−2x + 4
0, 3x + 1
1
−10
3 x
y
Obrázek 2.1: Lineární funkce
2.2 Přehled základních funkcí
Známe řadu tzv. elementární funkcí, z nichž jsou „sestaveny“ ostatní funkce. Existují však i
funkce, které nelze takovou kombinací vyjádřit. Např. primitivní funkce (neurčitý integrál) ke
Gaussově „zvonové“ funkci existuje, ale není vyjádřitelná pomocí elementárních funkcí. Jiné
funkce, např. exponenciální nebo goniometrické, mohou být formálně definovány pomocí nekonečné
řady mocninných funkcí. Dále je uveden přehled vybraných elementárních funkcí, s nimiž
se běžně setkáváme.
2.2.1 Polynomické funkce
Nejjednodušší polynomickou funkcí je konstantní funkce y = c. Další v řadě je lineární funkce
y = ax + b (obr. 2.1). Funkce protíná osu y v hodnotě b, kdy platí f(0) = a.0 + b = b, a osu
v bodě −b/a, kdy platí 0 = ax + b. a označujeme jako směrnici přímky, platí a = tan φ, značí
rychlost růstu přímky. Poznamenejme, že lineární funkce je prvního řádu, t.j. nejvyšší exponent
u x je 1, a funkce protíná osu x v právě 1 bodě.
Kvadratická funkce y = ax2 + bx + c je druhého řádu a protíná osu x nejvýše ve 2 bodech,
tzv. kořenech kvadratické rovnice
ax2
+ bx + c = 0
Jsou jimi
x1,2 =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
V oboru komplexních čísel má kvadratická rovnice vždy 2 řešení. Křivka kvadratické funkce se
označuje jako parabola, několik parabol zobrazuje obr. 2.2.
9
2 Úvod do matematické analýzy
−8 −6 −4 −2 2 4 6
−4
−2
2
4
6
8
−0, 6x2 + 2x + 1
x2
0, 3x2 + 2x + 5
x
y
Obrázek 2.2: Kvadratické funkce
10
2.2 Přehled základních funkcí
−4 −2 2 4 6
−4
−2
2
4
6
8
−x3 + 2x2 + 1
0, 4x3 − x2 − 3x + 4
x3
x
y
Obrázek 2.3: Kubické funkce
Kubická funkce y = ax3 + bx2 + cx + d je třetího řádu a protíná osu x nejvýše ve 3 bodech,
kořenech kubické rovnice
ax3
+ bx2
+ cx + d = 0.
Několik kubických funkcí je na obr. 2.3. S rostoucím řádem funkce je „stále obtížnější vymýšlet“
názvy koeficientů a je snazší používat indexy. Můžeme tedy napsat
y = a3x3
+ a2x2
+ a1x + a0
Polynom n-tého stupně je
y = anxn
+ an−1xn−1
+ . . . + a2x2
+ a1x + a0
Pokud použijeme symbol součtu , můžeme stejný polynom elegantně zapsat takto:
y =
n
i=0
aixi
Polynom n-tého stupně má n kořenů v oboru komplexních čísel. Lze jím přesně proložit n+1
body.
11
2 Úvod do matematické analýzy
−4 −2 2 4 6
−4
−2
2
4
6
y = x
f(x) = ex
f−1(x) = ln x
x
y
Obrázek 2.4: Exponenciální a logaritmická funkce
2.2.2 Exponenciální a logaritmické funkce
Řadu procesů, jako např. eliminaci léku ledvinami, lze popsat exponenciální funkcí y = ax.
Jako a se obvykle používá Eulerovo číslo1 e ≈ 2, 718, tedy y = ex. Exponenciální funkce, viz obr.
2.4, roste extrémně rychle. Inverzní k exponenciální funkci je logaritmická funkce y = loga x,
viz obr. 2.4, a se označuje jako základ logaritmu. Platí
y = ax
⇔ x = loga y
Pokud a = e, označuje se logaritmus jako přirozený a značí se ln, tedy y = ln x.
2.2.3 Goniometrické funkce
Pro popis periodických dějů se používají periodické goniometrické funkce sinus a cosinus (obr.
2.5), které se liší pouze posunutím o π/2 na ose x. Perioda obou funkcí je 2π. Pomocí těchto
funkcí lze vyjádřit i komplexní číslo z jako
z = A (cos φ + i sin φ)
A se označuje jako amplituda a φ jako fáze komplexního čísla. Euler zjistil mimořádnou souvislost
mezi komplexní exponenciální funkcí a goniometrickým vyjádřením komplexního čísla. Eulerův
1
Leonhard Euler, 1707-1783, švýcarský matematik a fyzik
12
2.3 Limita funkce
−7.85 −6.28 −4.71 −3.14 −1.57 1.57 3.14 4.71 6.28 7.85
−1
−0.5
0.5
1 f(x) = sin xf(x) = cos x
x
y
Obrázek 2.5: Goniometrické funkce
vztah, někdy popisovaný jako nejkrásnější vztah matematiky, zní
A (cos φ + i sin φ) = Aeiφ
2.3 Limita funkce
Intuitivně zformulováno představuje limita funkce v bodě x0 hodnotu, jakou by funkce v bodě
x0 nabyla, kdyby se v tomto bodě chovala stejně, jako se chová v jeho blízkém okolí. Limitu
funkce f „pro x jdoucí k x0“ značíme
lim
x→x0
f(x)
Z grafů na obr. 2.6 je zřejmých několik možností „vztahu“ limity v bodě k průběhu funkce:
(a) Funkce je v bodě x0 definována a spojitá. Zprava i zleva se funkce blíží k hodnotě f(x0).
Platí limx→x0 f(x) = f(x0).
(b) Funkce není v bodě x0 definována. To ale limitu „nelimituje“, poněvadž odvozuje chování v
bodě na základě chování v okolí. Platí tedy totéž, co v předchozím případě, limx→x0 f(x) =
fa(x0). fa(x0) znamenná hodnotu f(x0) z případu a). f(x0) nyní nelze psát, poněvadž f
není v x0 definována.
(c) Funkce je v bodě x0 definována, má ale jinou hodnotu, než předpovídá její chování v okolí.
Proto se limita nemění a platí limx→x0 f(x) = fa(x0)
(d) Funkce je v bodě x0 definována, ale chování funkce zprava a zleva se liší (liší se limita
zprava a limita zleva), proto nelze limitu definovat.
Ve většině případů je určení limity snadné, stačí pouze dosadit x0 za x, např.
lim
x→0
x3
+ 2x2
+ 4 = 03
+ 2.02
+ 4 = 4
Jindy prosté dosazení vede k neurčitému výsledku 0
0 nebo ∞
∞ . Např.
lim
x→1
x2 − 2x + 1
x2 − 1
=
0
0
=?
13
2 Úvod do matematické analýzy
x0
2
4
f(x) = sin xos x
x
y
(a) limx→x0 f(x) = f(x0)
x0
2
4
f(x) = sin xf(x) = cos x
x
y
(b) limx→x0 f(x) = fa(x0)
x0
2
4
f(x) = sin xos x
x
y
(c) limx→x0 f(x) = fa(x0)
x0
2
4
f(x) = sin xf(x) = cos x
x
y
(d) limx→x0 f(x) není definovaná
Obrázek 2.6: Různé případy limity funkce v bodě x0
Pak je třeba výraz nejprve vhodně upravit, např.
lim
x→1
x2 − 2x + 1
x2 − 1
= lim
x→1
(x − 1)2
(x + 1)(x − 1)
= lim
x→1
x − 1
x + 1
=
0
2
= 0
2.4 Derivace funkce
Speciálním případem limity je derivace funkce. Určuje strmost nárůstu funkce.
2.4.1 Intuitivní představa derivace
Chceme posoudit, jak rychle narůstá funkce f(x) v bodě x0, viz obr. 2.7. Řešení je v principu
zřejmé: přiložíme k funkci v bodě [x0, f(x0)] tečnu (červená přímka na obrázku) a určíme úhel
α, který svírá s osou x, případně její směrnici tan α. Jak ale tuto tečnu a její směrnici určit?
Můžeme najít přibližné řešení. Z obrázku je vidět, že směrnice tan α modré úsečky, spojující
14
2.4 Derivace funkce
1 2 3
2
4
f(x)
∆x
∆y
α
α′
x
y
Obrázek 2.7: Derivace funkce f(x) v bodě x0 = 2
body [x0, f(x0)] a [x0 + ∆x, f(x0 + ∆x)], je jen o trochu vyšší než sklon tečny. Platí tedy
tan α ≈ tan α′
=
∆y
∆x
=
f(x0 + ∆x) − f(x0)
∆x
Je zároveň patrné, že se modrá a červená přímka budou postupně přibližovat, jak klesá ∆x, až
v limitním přechodu pro limx→x0 splynou.
tan α = lim
∆x→0
∆y
∆x
= lim
∆x→0
f(x0 + ∆x) − f(x0)
∆x
2.4.2 Exaktní definice derivace
Často se místo symbolu ∆x používá h. Derivace funkce v bodě x se značí f′(x) nebo df(x)
dx .
Derivace funkce f v bodě x je tedy definována jako
f′
(x) ≡
df(x)
dx
:= lim
h→0
f(x + h) − f(x)
h
(2.1)
Derivace je právě tím případem limity, kdy prosté dosazení vede k neurčitému výrazu typu 0
0.
Je proto nejprve potřeba použít nějakou úpravu či „trik“. Např.
dx2
dx
= lim
h→0
(x + h)2 − x2
h
=
(x + 0)2 − x2
h
=
0
0
=? (2.2)
15
2 Úvod do matematické analýzy
Po předchozí úpravě však dostaneme
dx2
dx
= lim
h→0
(x + h)2 − x2
h
= lim
h→0
x2 + 2hx + h2 − x2
h
= lim
h→0
2hx + h2
h
= lim
h→0
2x + h = 2x (2.3)
2.4.3 Derivace elementárních funkcí
Obdobnými (většinou složitějšími) úpravami lze odvodit následující vztahy pro derivace elementárních
funkcí, k je libovolná konstanta.
k′
= 0 (2.4)
k.f(x)
′
= k.f′
(x) (2.5)
(xn
)′
= n.xn−1
(2.6)
(sin x)′
= cos x (2.7)
(cos x)′
= − sin x (2.8)
(ex
)′
= ex
(2.9)
2.4.4 Derivace součtu, rozdílu, součinu a podílu
Pro derivaci součtu, rozdílu, součinu a podílu platí
f(x) + g(x)
′
= f′
(x) + g′
(x) (2.10)
f(x) − g(x)
′
= f′
(x) − g′
(x) (2.11)
f(x).g(x)
′
= f′
(x).g(x) + f(x).g′
(x) (2.12)
f(x)
g(x)
′
=
f′(x).g(x) − f(x).g′(x)
g2(x)
(2.13)
2.4.5 Derivace složených funkcí
Složenou funkcí se rozumí kombice dvou (nebo více) funkcí f(x) a g(x), přičemž jedna z nich
je „uvnitř“ druhé, výsledek vnitřní funkce je argumentem vnější funkce. Ve výrazu f(g(x)) je f
vnější a g vnitřní funkce. Uznačme výsledek vnitřní funkce jako y, tedy y = g(x). Pro derivaci
složené funkce pak platí
f(g(x))
′
=
df(g(x))
dx
=
df(y))
dx
=
df(y)
dy
.
dy
dx
= f′
(g(x)).g′
(x) (2.14)
Slovy formulováno: „derivace složené funkce je derivace vnější funkce krát derivace vnitřní
funkce“. Pravidlo je nutno uplatnit opakovaně, pokud je vnořeno více úrovní funkcí.
2.4.6 Příklady výpočtu derivace funkcí
Příklad 1: Derivace složené funkce
ex2−2x
′
= ex2−2x
.(2x − 2)
Příklad 2: Derivace součtu funkcí
sin2
x + cos2
x
′
= 2 sin x. cos x + 2 cos x.(− sin x) = 0
16
2.4 Derivace funkce
Výsledek nás samozřejmě nepřekvapil, poněvadž víme, že derivace konstanty je nula a že
sin2
x + cos2
x = 1
Příklad 3: Derivace součinu funkcí
Podobně si ověříme pravidlo pro derivaci mocninné funkce, neboť
x5
.x4
′
= 5x4
.x4
+ x5
.4x3
= 5x8
+ 4x8
= 9x8
= x9
′
Příklad 4:Derivace podílu funkcí
ex
sin x
′
=
ex sin x − ex cos x
sin2 x
2.4.7 Derivace inverzních funkcí
Derivace inverzní funkce f−1(x) k f(x) je rovna převrácené hodnotě derivace funkce f(x) v bodě
f−1(x),
f−1
(x)
′
=
1
f′ f−1(x)
Příklad: Derivace logaritmu
Princip si ukážeme na derivaci logaritmu ln x, inverzní funkci k ex. Výraz v hranatých závorkách
znamená „v bodě“, např. [ln x] znamená v bodě [ln x].
(ln x)′
=
1
(ex)′
[ln x]
=
1
ex[ln x]
=
1
eln x
=
1
x
2.4.8 Derivace vyššího řádu
Dosud byla popsána derivace prvního řádu, tzv. první derivace, která popisuje rychlost růstu
funkce. Derivace sama je ovšem též funkcí a je proto (většinou) možné ji znovu derivovat.
Docházíme tak k druhým, třetím... derivacím, které se značí f′′(x), f′′′(x) nebo d2f(x)
dx2 , d3f(x)
dx3 .
N-tá derivace je f(n)x nebo dnf(x)
dxn .
Příklad: Třetí derivace
d3xex
dx3
= [xex
]′′′
= [ex
+ xex
]′′
= [2ex
+ xex
]′
= 3ex
+ xex
= ex
(x + 3)
2.4.9 Geometrický a fyzikální význam derivace
Geometrický význam derivace první derivace byl již naznačen. Derivace je směrnice tečny ke
grafu funkce, určuje strmost nárůstu funkce.
Pokud se jedná o závislost nějaké proměnné na čase, určuje derivace okamžitou rychlost změny
proměnné. Pokud je proměnnou dráha s(t), kterou cyklista do doby t ujel, pak okamžitá rychlost
cyklisty v čase t je
v =
ds(t)
dt
17
2 Úvod do matematické analýzy
Pokud c(t) je koncentrace léčiva v plazmě v čase t, pak
−
dc(t)
dt
je okamžitá rychlost poklesu plazmatické koncentrace léčiva.
Geometrickým významem druhé derivace je míra konvexity nebo konkavity funkce. První derivace
funkce je v (lokálním) maximu i minimu nulová. V maximu je však funkce konkávní se
zápornou druhou derivací. Velmi záporná druhá derivace značí velmi „ostré, špičaté“ maximum.
Druhá derivace těsně pod nulou značí ploché maximum. V minimu je funkce naopak konvexní s
kladnou druhou derivací. Vysoká druhá derivace znamená ostré minimum, nízká druhá derivace
ploché minimum.
Fyzikálním významem druhé derivace je zrychlení. Nechť je s(t) opět dráha, kterou cyklista do
doby t ujel. Jeho okamžitá rychlost je
v =
ds(t)
dt
Zrychlení a je nárůst okamžité rychlosti, proto
a =
dv(t)
dt
=
d2v(t)
dt2
Druhá derivace je pro fyziku velmi důležitá, protože hned druhý Newtonův zákon popisuje vztah
síly a zrychlení, tedy síly a druhé derivace polohy.
F = m.a = m.
d2v(t)
dt2
Druhá derivace též popisuje oscilace a vlnění. Vlnová rovnice, popisující např. šíření elektrického
vzruchu po axonu zní
1
v2
∂2z(x, t)
∂t2
=
∂2z(x, t)
∂x2
kde v je rychlost šíření vlny. Tím pomalu přecházíme k funkcím více proměnných.
2.4.10 Vyšetřování průběhu funkce
Věnujme se však ještě krátce možnostem vyšetření průběhu funkce. Jak jsme již řekli, nulová
derivace v bodě x0 značí v tomto bodě 3 možné situace (obr. 2.8), které rozlišíme druhou derivací:
df(x0)
dx
= 0 a zároveň



d2f(x0)
dx2
> 0. . . lokální minimum
d2f(x0)
dx2
= 0. . . inflexní bod
d2f(x0)
dx2
< 0. . . lokální maximum
2.4.11 Taylorovy řady
Mějme za cíl přibližně nahradit nějakou složitou funkci f(x) v bodě x0 a jeho blízkém okolí
nějakou jednodušší funkcí g(x). Například funkci f(x) = ex můžeme v okolí bodu x0 = 0
aproximovat funkcí g(x) = 1+x+ x2
2 + x3
6 , jak ukazuje obr. 2.9. Vidíme, že v blízkém okolí bodu
x0 = 0 je aproximace téměř přesná,
18
2.4 Derivace funkce
1 2
1
2
3
f′(x) = 0
f′′(x) > 0
x
y
(a) Lokální minimum
1 2
1
2
f′(x) = 0
f′′(x) = 0
x
y
(b) Inflexní bod
1 2
−1
1
2 f′(x) = 0
f′′(x) < 0
x
y
(c) Lokální maximum
Obrázek 2.8: Vyšetření průběhu funkce
−2 −1 1
1
2
3
4
5
f(x) = ex
g(x) = 1 + x + x2
2 + x3
6
x
y
Obrázek 2.9: Aproximace funkce ex polynomem
Pokusme se nyní konkrétně aproximovat funkci f(x) v okolí bodu x0 polynomem řádu n „centrovaným“
do bodu x0, tedy
g(x) =
n
i=0
ai(x − x0)i
= a0 + a1(x − x0) + a2(x − x0)2
+ a3(x − x0)3
. . . + a(x − x0)n
Chceme, aby se v bodě x0 shodovaly hodnoty obou funkcí i všech jejich (prvních) n derivací,
19
2 Úvod do matematické analýzy
tedy požadujeme platnost následujích rovností:
f(x0) = g(x0) (2.15)
f′
(x0) = g′
(x0) (2.16)
f′′
(x0) = g′′
(x0) (2.17)
... (2.18)
f(k)
(x0) = g(k)
(x0) (2.19)
Spočítejme všechny potřebné derivace funkce g.
g′
(x) = a1 + 2.a2(x − x0) + 3.a3(x − x0)2
. . . + n.an(x − x0)n−1
g′′
(x) = 2.a2 + 3.2.a3(x − x0) . . . + n.(n − 1).an(x − x0)n−2
g′′′
(x) = 3!.a3 + 4.3.2.a4(x − x0) . . . + n.(n − 1).(n − 2).an(x − x0)n−3
...
g(k)
(x) = k!.ak + (k + 1)!.ak+1(x − x0) . . . + n(n − k + 1).an(x − x0)n−k
...
g(n)
(x) = n!.an
Dosadíme nyní derivace v bodě x0 do rovností (2.15-2.18). Hrůza opadne, jakmile si uvědomíme,
že pro x = x0 jsou všechny členy obsahující x−x0 nulové, čímž zmizí. Dostaneme tedy jednoduché
vztahy
f(x0) = a0
f′
(x0) = a1
f′′
(x0) = 2a2
f′′′
(x0) = 3!a3
...
f(n)
(x0) = n!.an
Tudíž a0 = f(x0), a1 = f′(x0), a2 = f′′(x0)
2 , . . ., ak = f(k)(x0)
k! Dospěli jsme tak k požadovanému
polynomu
g(x) =
n
i=0
f(i)(x0)
i!
(x − x0)i
= f(x0) + f′
(x0)(x − x0) +
f′′(x0)
2
(x − x0)2
+
f′′′(x0)
6
(x − x0)3
. . . +
f(n)
n!
(x0)(x − x0)n
Co kdybychom se neomezili na polynom řádu n a shodu v n derivacích, ale použili bychom hned
polynom řádu ∞, tedy nekonečnou mocninnou řadu. Opět bychom požadovali shodu v bodě x0
i ve všech derivacích v bodě v bodě x0,
g(x) =
∞
i=0
f(i)(x0)
i!
(x − x0)i
Lze ukázat, že za určitých podmínek pro některé funkce f(x) polynom konverguje k funkci f(x)
20
2.5 Funkce více proměnných
ve všech bodech x, tedy že lze funkci f(x) zcela a všech bodech nahradit polynomem g(x).
Ilustrujme si použití polynomu na 2 příkladech:
Příklad 1: Aproximace funkce f(x) = ex v okolí bodu 0.
Spočítejme jednotlivé derivace. Pro funkci f(x) = ex platí, že f(x) = ex, f′(x) = ex, f′′(x) = ex,
. . . , f(n)(x) = ex. Pro x0 = 0 jsou tedy všechny derivace rovny 1. Po dosazení do rovnice ...
dostaneme
ex
≈ 1 + x +
x2
2
+
x3
6
. . . +
xn
n!
Shodu pro polynom řádu 3 vidíme na obr. 2.9. Funkce ex je právě jednou z funkcí, které lze
zcela nahradit polynomem. Platí
ex
=
∞
i=0
xi
i!
Speciálně pro x = 1 dostaneme vyjádření Eulerova čísla e = 2, 7182818285 . . . pomocí nekonečné
řady. Můžeme tak toto iracionální číslo vyjádřit s libovolnou přesností.
e =
1
0!
+
1
1!
+
1
2!
+
1
3!
. . .
Prvních 5 členů např. dává součet 1 + 1 + 1
2 + 1
6 + 1
24 = 2, 708, již docela blízký hodnotě e.
Příklad 2: Aproximace funkce sin x v okolí bodu 0.
Jednotlivé derivace pro f(x) = sin x jsou f′(x) = cos x, f′′(x) = − sin x, f(3)(x) = − cos x,
f(4)(x) = sin x, a dále stále periodicky. Pro x0 = 0 jsou tedy derivace (včetně 0. derivace)
postupně rovny 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1 . . . . Po dosazení do rovnice ... dostaneme
sin x ≈ x −
x3
6
+
x5
5!
+ . . .
Shodu pro polynom řádu 5 vidíme na obr. 2.10. Vidíme typickou vlastnost polynomu - na okraji
intervalu polynom rychle uniká k ±∞. I funkci sin x lze zcela nahradit polynomem. Platí
sinx
=
∞
i=0
sin π(i mod 4)
xi
i!
Použili jsme operaci modulo, t.j. zbytek po dělení. i mod 4 je zbytek po dělení čtyřmi.
2.5 Funkce více proměnných
2.5.1 Představa funkce více proměnných
Reálná funkce n reálných proměnných přiřazuje n-tici reálných čísel reálné číslo, je to tedy
zobrazení
f : Rn
→ R : (x1, x2, . . . , xn) → f(x1, x2, . . . , xn)
Funkce dvou proměnných má jasnou vizuální představu, např. kopce a údolí nad krajinou, viz
obr. 2.11. Dva rozměry, x a y, „leží“ v rovině podstavy, funkční hodnotou je např. nadmořská
výška. Funkce 3 proměnných je ještě představitelná, např. rozložení teploty v prostoru místnosti,
kde je každému bodu přiřazena určitá teplota. Funkce více než 3 proměnných již nejsou vizuálně
představitelné, ale matematicky s nimi lze nadále operovat.
21
2 Úvod do matematické analýzy
−4 −2 2 4
−1
1
f(x) = sin x
g(x) = x − x3
6 + x5
5!
x
y
Obrázek 2.10: Aproximace sin x polynomem
2.5.2 Parciální derivace
Parciální derivace je obdoba jednoduché derivace pro případ více proměnných. Parciální derivaci
funkce f podle xx značíme ∂f
∂x . Jak bylo výše popsáno, pokud zjišťujeme derivaci funkce jedné
proměnné v bodě x0, sestrojíme nejprve tečnu k funkci v tomto bodě a pak určíme její směrnici.
Významem je tedy rychlost nárůstu funkce. Podobnou úlohu má i parciální derivace. Představme
si pro jednoduchost funkci dvou proměnných, tedy hory v krajině. Problémem je, že u funkce
dvou proměnných neexistuje jen jedna tečna, nýbrž celá tečná rovina. Kterákoli přímka v ní
ležící a procházející bodem dotyku roviny s funkcí, je tečnou k funkci. Vyberme si dvě speciální
tečny. První tečna bude mířit ve směru osy x, její projekce do podstavy (t.j. roviny x-y) bude
rovnoběžná s osou x. Druhá tečna bude naopak mířit ve směru osy y, její projekce je rovnoběžná
s osou y. Směrnice těchto dvou tečen označujeme jako parciální derivaci podle x, resp. podle
y. Výhoda těchto speciálních tečen je v tom, že se při pohybu ve směru tečny mění jen jedna
proměnná (x nebo y), ale druhá zůstává konstantní. Parciální derivace podle x a y k funkci
f(x, y) v bodě (x0, y0) tedy stejně jako obyčejnou derivaci definujeme jako
∂f
∂x
(x0, y0) := lim
h→0
f(x0 + h, y0) − f(x0, y0)
h
∂f
∂y
(x0, y0) := lim
h→0
f(x0, y0 + h) − f(x0, y0)
h
Jak je vidět přímo v definici, druhá proměnná se „v rámci pacientální derivace“ chová jako
konstanta. Můžeme tedy použít známá pravidla pro derivování, pouze druhou proměnnou považujeme
za konstantu. Geometrickým významem parciální derivace funkce dvou proměnných je
strmost funkce ve směru příslušné osy. Fyzikálním významem parciální derivace je rychlost nárůstu
funkce se změnou jedné proměnné, přičemž ostatní proměnné zůstávají konstantní. Tento
fyzikální význam je zachován i pro funkce 3 a více proměnných, ačkoli vizuální představu „tečné
roviny“ již nelze uplatnit.
22
2.5 Funkce více proměnných
Obrázek 2.11: Rotační paraboloid: z = x2 + z2
Ilustrujme si postup na několika příkladech.
Příklad 1: f(x, y) = x3 + y3
∂f
∂x
= 3x2
∂f
∂y
= 3y2
Příklad 2: f(x, y) = sin x. cos y
∂f
∂x
= cos x. cos y
∂f
∂y
= − sin x. sin y
Příklad 3: f(x, y) = x2y. sin x
Platí známé pravidlo pro derivování součinu. Přitom v součinu vystupuje pouze funkce x!
∂f
∂x
= 2xy. sin x + x2
y. cos x
∂f
∂y
= x2
. sin x
23
2 Úvod do matematické analýzy
Příklad 4: f(x, y) = ex2+y2
Platí známé pravidlo pro derivování složené funkce.
∂f
∂x
= ex2+y2
.2x
∂f
∂y
= ex2+y2
.2y
Příklad 5: f(x, y, z) = x5exyz
Stejný postup platí pro funkci 3 a více proměnných.
∂f
∂x
= 5x4
exyz
+ x5
exyz
.yz
∂f
∂y
= x5
exyz
.xz
∂f
∂z
= x5
exyz
.xy
2.5.3 Vyšší a smíšené parciální derivace
Stejně jako v případě derivace funkce jedné proměnné je i výsledkem paciální derivace funkce
více proměnných opět funkce více proměnných. Tuto novou funkci ovšem můžeme opět podrobit
derivování, nyní ovšem máme více možností, podle x, podle y . . .. Dospějeme tak druhým, třetím,
případně smíšeným derivacím.
∂2f
∂x2
,
∂2f
∂y2
,
∂2f
∂x∂y
Příklad: f(x, y) = ex2+y2
∂f
∂x
= ex2+y2
.2x
∂f
∂y
= ex2+y2
.2y
∂2f
∂x2
= ex2+y2
.4x2
+ 2ex2+y2
∂2f
∂y2
= ex2+y2
.4y2
+ 2ex2+y2
∂2f
∂x∂y
=
∂ex2+y2
.2x
∂y
= ex2+y2
.4xy
V případě smíšených druhých derivací máme dvě možnosti: derivovat nejprve podle x a poté
podle y, nebo opačně. Dostaneme tak ∂2
∂x∂y nebo ∂2
∂y∂x . V matematické analýze se dokazuje Schwarzova
věta, která tvrdí, že nezáleží na pořadí derivování ve smíšených parciálních derivacích,
tedy že
∂2f
∂x∂y
=
∂2f
∂y∂x
24
2.6 Integrální počet
Vidíme např., že platí
∂2f
∂x∂y
=
∂ ex2+y2
.2x
∂y
= ex2+y2
.4xy
∂2f
∂y∂x
=
∂ ex2+y2
.2y
∂x
= ex2+y2
.4xy
2.5.4 Vyšetřování průběhu funkce více proměnných
Průběh funkce více proměnných může být podstatně složitější než průběh funkce jedné proměnné.
V určitém bodě se například může nacházet lokální maximum nebo lokální minimum.
Nebo se v určitém směru může nacházet minimum a v kolmém směru maximum, pak se jedná
o tzv. sedlový bod. Obecně ale může být situace ještě komplikovanější. Podobně jako v případě
funkcí jedné proměnné je nutnou podmínkou pro extrém funkce f(x, y) v bodě (x0, y0) nulovost
obou parciálních derivací, tedy
∂f(x0, y0)
∂x
= 0;
∂f(x0, y0)
∂y
= 0
Není to však podmínka postačující. Může se stát, že jsou obě parciální derivace nulové, ale ve
směru „mezi osami“ funkce roste a nejedná se tedy o lokální extrém. V reálných problémech
však podmínka většinou „postačující“ je.
Příklad: Najděme lokální extrémy funkce f(x, y) = x2 + y2 (obr. 2.11).
Pro extrém musí platit
∂(x2 + y2)
∂x
= 2x = 0
∂(x2 + y2)
∂y
= 2y = 0
Jediným řešením je zjevně bod (0,0), kde funkce dosahuje minima.
2.6 Integrální počet
2.6.1 Idea integrálního počtu
Pokud zderivujeme x2, získáme 2x. Položme si opačnou úlohu. Co jsme museli zderivovat,
abychom dostali 2x? Snadné. x2. Ovšem též x2 + c, kde c je libovolná konstanta. Integrování
je právě ta zpětná cesta, určitý opak derivace. Takový integrál, opak derivace, se označuje jako
neurčitý integrál a značí se symbolem . Dále existuje určitý integrál, který „počítá“ plochu
pod křivkou, a úzce souvisí s neurčitým integrálem. Dále si přesněji definujeme oba integrály,
popíšeme si jejich vlastnosti a způsoby výpočtu. Budeme se zabývat pouze funkcemi jedné pro-
měnné.
2.6.2 Neurčitý integrál
Mějme funkci F(x). Její derivaci označme f(x), tedy f(x) := F′(x). F(x) označujeme jako
primitivní funkci nebo synonymně jako neurčitý integrál k funkci f(x) a značíme
F(x) = f(x) dx
25
2 Úvod do matematické analýzy
dx značí proměnnou, podle níž integrujeme, podobně jako dx značilo proměnnou, podle níž jsme
derivovali. Protože pro jakoukoli funkci F(x)+c platí (F(x)+c)′ = f(x), měli bychom správněji
psát
F(x) = f(x) dx + c
čímž vyznačíme, že řešením integrace není jedna funkce, ale celá nekonečná množina funkcí,
které se navzájem liší o konstantu.
2.6.3 Metody integrace
Integrování je podstatně složitější činnost, než derivování. Pomocí pravidel pro derivování lze
víceméně snadno zderivovat jakoukoli (běžnou) funkci. Integrovat jakoukoli funkci obecně nejen
není snadné, ale ani možné. Např. integrál ze statistiky známé Gaussovy funkce
ex2
dx
sice existuje, ale není vyjádřitelný v uzavřené formě pomocí elementárních funkcí jako ex, ln x
nebo sin x. Existuje několik metod integrace, ani s nimi však řada funkcí není snadno integro-
vatelná.
Přímá integrace
U základních elementárních funkcí, kde „původní derivaci přímo vidíme“, je intergrace snadná.
Příklady:
1 dx = x + c
x dx =
1
2
x2
+ c
xn
dx =
1
n + 1
xn+1
+ c
cos x dx = sin x + c
sin x dx = − cos x + c
sin x dx = − cos x + c
ex
dx = ex
+ c
e2x
dx =
1
2
e2x
+ c
1
x
dx = ln x + c
1
x2
dx = −
1
x
+ c
f(x) ± g(x) dx = f(x) dx ± g(x) dx + c
k.f(x) dx = k. f(x) dx + c
Cokoli dalšího už je složitější. Podobný jednoduchý vztah jako pro derivaci součinu a další
podobné pro integrování neexistuje. Někdy pomůže substituční metoda nebo metoda per partes.
26
2.6 Integrální počet
Substituční metoda
Pomocí substituční metody nahradíme, subsituujeme, komplikovanější část integrované funkce
jinou funkcí, čímž získáme jednodušší tvar, který už umíme přímo integrovat.
Příklad: Řešme integrál x sin x2 dx
„Uhádnout“ správné řešení neumíme. Použijme však následující substituci: nahradíme funkci
x2 funkcí t, tedy t := x2. Pak platí
dt
dx
= 2x → x dx =
1
2
dt
Je to podivné, ale s diferenciály d můžeme operovat jako v jinými výrazy, násobit, dělit . . . .
Dosaďme nyní vše do původního výrazu a upravme. Dostaneme
x sin x2
dx =
1
2
sin t dt =
1
2
sin t dt = −
1
2
cos t = −
1
2
cos x2
Tímto „trikem“ jsme integrál převedli na známý tvar a přímo vyřešili. Derivací ověříme, že
d
dx
−
1
2
cos x2
= −
1
2
d cos x2
dx
= x sin x2
Příklad: Zkusme ještě vyřešit integrál ln x
x dx
Použijeme substituci t := ln x, odkud dt = dx
x . Proto
ln x
x
dx = t dt =
1
2
t2
=
1
2
ln2
x
Derivací ověříme, že
d
dx
1
2
ln2
=
1
2
d ln2
dx
=
ln x
x
Metoda per partes
Druhou metodou, kterou si představíme, je metoda integrování „po částech“, per partes. Je
aplikací pravidla pro derivování součinu.
(f.g)′
= f′
.g + f.g′
→ f′
.g = (f.g)′
− f.g′
Nyní obě strany zintegrujem a využijeme skutečnosti, že „integrál z derivace“ se rovná původní
funkci.
f′
(x).g(x) dx = (f(x).g(x))′
dx − f(x).g′
(x) dx
Tedy
f′
(x).g(x) dx = f(x).g(x) − f(x).g′
(x) dx
Zdánlivě jsme mnoho nezískali. Funkce g se však po derivaci může výrazně zjednodušit. Ukažme
si postup na příkladech.
Příklad: Vypočítejme sin x.x dx.
Představme si, že f′(x) = sin x a g(x) = x. Pak f(x) = − cos x a g′(x) = 1. Dosadíme do vyše
uvedeného vzorce.
sin x.x dx = −x cos x − − cos x dx = −x cos x + sin x
27
2 Úvod do matematické analýzy
Derivací ověříme, že
d
dx
(−x cos x + sin x) = − cos x + x sin x + cos x = x sin x
Příklad: Vypočítejme nyní ln x dx.
Integrál si představme jako ln x.1 dx a definujme f′(x) = 1 a g(x) = ln x. Pak f(x) = x a
g′(x) = 1
x. Dosadíme do vyše uvedeného vzorce.
ln x dx = x ln x −
x
x
dx = x ln x − x = x(ln x − 1)
Derivací ověříme, že
d
dx
(x ln x − x) = ln x +
x
x
− 1 = ln x
2.6.4 Určitý integrál
Určitý integrál, též označovaný jako Riemannův integrál, historicky vznikl nezávisle na integrálu
neurčitém a nemá s ním na první pohled žádnou souvislost. Úkolem bylo určit velikost plochy
pod křivkou. Princip spočíval v tom, že celá plocha pod křivkou rozdělí na úzké obdélníky a
sečte se plocha všech obdélníků. Je přitom jasné, že jak roste počet obdélníků a klesá jejich šířka,
součet plochy obdélníků se stále více blíží ploše pod křivkou, až v limitě obě plochy splynou.
Určitý integrál je vlastně „sčítání nekonečně velkého počtu nekonečně malých čísel“. Výpočet
plochy pod křivkou jako limity součtu je ovšem velmi obtížný. Elegantním řešením je výpočet
určitého integrálu pomocí neurčitého integrálu.
Vztah neurčitého a určitého integrálu
Pokusíme se odvodit vztah mezi určitým a neurčitým integrálem. Chceme určeme plochu pod
křivkou na obr. 2.12, přičemž plochu budeme měřit od nějakého konkrétního, ale libovolného
bodu vlevo, např. od x = −2. V takovém případě je změřená plocha funkcí x. Např. v bodě X0
je to S = S(x0). O malý úsek h dále je obsah roven S(x0 + h). Rozdíl mezi oběma obsahy je na
obr. 2.12 vyznačen žlutě. Je zjevné, že je tento rozdíl téměř roven obsahu červeně vyšrafovaného
obdélníku o rozměrech h a f(x0). Platí tedy
f(x0).h ≈ S(x0 + h) − S(x0)
Jak se h blíží nule, „žlutá a červená plocha“ si jsou stále bližší, až v limitě pro h → 0 splynou.
Tedy
lim
h→0
f(x0).h = lim
h→0
S(x0 + h) − S(x0)
Po úpravě dostaneme
f(x0) = lim
h→0
S(x0 + h) − S(x0)
h
Výraz na pravé straně rovnice je ale právě definice derivace S podle x. Tedy
f(x) =
dS(x)
dx
Po integraci platí
28
2.6 Integrální počet
S(x) = f(x)dx + C
Konstanta C je libovolná, určena bodem, kde jsme „začali měřit“ plochu. Pro plochu mezi body
x = a a x = b platí
S(b) − S(a) = f(x)dx
(b)
+ C − f(x)dx
(a)
− C =:
b
a
f(x)dx
Tím dostáváme způsob, jak vypočítat určitý integrál pomocí neurčitého. Stačí určit libovolnou
primitivní funkci (neurčitý integrál), určit její hodnoty v horní i dolní integrační mezi a obě
hodnoty odečíst. Jestliže primitivní funkci k f(x) označíme F(x), tedy
F(x) = f(x)dx
platí
b
a
= [F(x)]b
a = F(b) − F(a)
V kontextu výpočtu integrálu bývá zvykem rozdíl F(b) − F(a) označovat [F(x)]b
a.
2
4
6
x0
h
S(x0) S(x0 + h)
x
y
Obrázek 2.12: Odvození vztahu určitého a neurčitého integrálu
Příklady aplikací určitého integrálu
Příklad 1: Výpočet plochy pod grafem funkce
Chceme zjistit plochu pod grafem funkce y = x2 pro x ∈ [0, 1] (obr. 2.13).
S =
1
0
x2
dx =
1
3
x3
1
0
=
1
3
Příklad 2: Výpočet obsahu kruhu
Chceme odvodit známý vztah pro výpočet obsahu kruhu S = πr2. Postupujme podle obr.
2.14. Máme kruh o poloměru r, který si celý rozložíme na infinitezimálně úzké rovnoramenné
trojúhelníky, které každý svírají úhel dφ, mají ramena délky r a základnu dr. Umědomíme
si, že úzký romnoramenný trojúhelník je vpodstatě pravoúhlý. Pro jeho obsah dS tedy platí
dS = r.dr/2. Z definice úhlu víme, že dr = r.dφ. Nyní stačí sečíst, tedy zintegrovat, všechny
trojúhelníky přes celý kruh, tedy pro φ ∈ [0, 2π].
29
2 Úvod do matematické analýzy
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
S
x
y
Obrázek 2.13: Plocha pod grafem funkce
S =
S
0
dS =
2π
0
1
2
r2
dφ =
1
2
r2
2π
0
dφ =
1
2
r2
.2π = πr2
−3 211 2 3
−3
−2
−1
1
2
3
r
drdφS
Obrázek 2.14: Výpočet plochy kruhu
Příklad 3: Biologická dostupnost léku a AUC (area under curve)
Víme, kolik léku jsme podali (D). Nevíme však, jaká jeho část se vstřebala do plazmy (Dr).
Můžeme tuto vstřebanou část, označovanou jako biologická dostupnost léku, nějak zjistit? Je
jasné, že veškeré množství léku, které se z plazmy eliminovalo, musí být právě tomu množství do
ní vstřebaného. Eliminaci samu ale také měřit nemůžeme. Můžeme však měřit koncentraci léku
opakovaně v čase a eliminaci z křivky koncentrace léku v čase dopočítat (obr. 2.15), když známe
nějaké farmakokinetické parametry léku, např. jeho clearance. Clearance, Cl je definována jako
objem plazmy, který je od léku úplně očištěn za jednotku času, má tedy rozměr např. ml.s−1.
Za čas dt se tedy očistí Cl.dt plazmy. Pokud v tu chvíli činila plazmatická koncentrace léku c,
odstranilo se množstí c.Cl.dt léku. Pokud clearanci považujeme za konstantní, odstranilo se od
okamžiku podání léku za dostatečně („nekonečně“) dlouhou dobu
Dr =
∞
0
c.Cl.dt = Cl.
∞
0
cdt
léku. Integrál ∞
0 cdt je přitom plocha pod koncentrační křivkou a označuje se jako area under
30
2.6 Integrální počet
curve (AUC). Pro biologickou dostupnost tedy platí
Dr
D
=
Cl.AUC
D
2 4 6 8
0.2
0.4
AUC
t
c
Obrázek 2.15: Plocha pod křivkou plazmatické koncentrace léku v čase
Příklad 4: Měření srdečního výdeje pomocí Swan-Ganzova katetru
Swan a Ganz vyvinuli svůj po nich pojmenovaný plovoucí katetr v roce 1970. Katetr se cestou
centrální žíly (např. v. jugularis interna) zavede přes pravou síň a komoru do a. pulmonalis (obr.
2.16).
Obrázek 2.16: Swan-Ganzův plicnicový katetr
Tam jednak měří tlak, jednak jej lze využít k měření srdečního výdeje. Princip techniky je
následujícíc: Chladná kapalina (tzv. termodiluční metoda) nebo nějaká měřitelná látka se rychle
31
2 Úvod do matematické analýzy
vstříkne do pravé síně. Kapalina ochladí kolem tekoucí krev nebo zředí vstřikovanou látku.
Jakmile krev doputuje do a. pulmonalis, čidlo na konci katetru změří teplotu nebo koncentraci
látky v čase, výsledkem je křivka na obr. 2.17. Ze známého množství aplikované látky a změřené
křivky lze dopočítat srdeční výdej.
2 4
0.1
0.2
dt t
c
Obrázek 2.17: Křivka měřená Swan-Ganzovým katetrem
Obr. 2.18 představuje a. pulmonalis, v níž je měřena křivka 2.17. Krev teče průtokem q, který
v případě a. pulmonalis odpovídá minutovému srdečnímu výdeji. Za čas dt proteče kolmým
průřezem a. pulmonalis (viz obrázek 2.18) objem krve dV = q.dt. Pokud koncentrace látky (nebo
pokles teploty) v tomto elementárním objemu krve je c, pak tento objem obsahuje dN = c.qdt
látky. Po celou dobu měření přitom musí postupně protéct veškerá podaná látka N. Stačí tedy
sečíst, zintegrovat, jednotlivá elementární množství látky. Integrujeme opět od 0 do „nekonečna“.
N =
N
0
dN =
∞
0
c.qdt = q
∞
0
cdt
Funkce c(t) je změřená křivka. Integrál ∞
0 cdt opět měří plochu pod křivkou. Pro srdeční výdej
CO (cardiac output) tedy dostáváme
CO =
N
∞
0 cdt
Na první pohled kontraintuitivní je skutečnost, že čím nižší je srdeční výdej, tím větší je křivka
i plocha pod ní.
Zde odvozenou rovnici pro případ měření koncentrace nějaké látky je pro případ termodiluce
nutno jen lehce „obohatit“ o teplotu krve a podávané tekutiny a o tepelnou kapacitu krve.
Rovnice se v literatuře označuje jako Stewart-Hamiltonova a zní
CO =
V (Tb − Ti)k1k2
t2
t1
∆Tdt
kde V je objem podané tekutiny, Tb a Ti teploty krve a podané tekutiny, k1 spojuje hustotu
a tepelnou kapacitu, k2 je kalibrační konstanta a ∆T je aktuálně měřený rozdíl mezi teplotou
protékající krve a teplotou krve před podáním roztoku.
Je zajímavé poznamenat, že se změřená křivka 2.17 v průběhu putování krve příliš nemění. Je
téměř stejná ve větvích a. pulmonalis jako přímo v a.pulmonalis, ale podobná je i po průchoddu
plícemi v arteriální krvi. Toho lze využít k méně invazívnímu, ale jen lehce méně přesnému
měření srdečního výdeje pomocí tzv. transpulmonální termodiluce (například systémem zvaným
32
2.7 Obyčejné diferenciální rovnice
q
dV
Obrázek 2.18: Měření srdečního výdeje pomocí Swan-Ganzova katetru
zvaným PiCCO). Chladný roztok se podává centrální katetrem do pravé síně a teplota se měří až
speciálním arteriálním katetrem v arteria radialis nebo arteria femoralis. Odpadá tak invazivita
a komplikace spojené s nutností zavedení katetru až do a. pulmonalis.
2.7 Obyčejné diferenciální rovnice
Nyní si v základech představíme pro potřeby matematického modelování zásadní oblast matematické
analýzy, diferenciální rovnice. Říká se, že diferenciální rovnice jsou nejpřirozenější
formulací fyzikálních zákonů. Obyčejné diferenciální rovnice se často označují zkratkou ODE,
z anglického ordinary differential equations. V této kapitole popíšeme analytické metody řešení
ODE. Analytickým řešením se rozumí matematický výraz popisující hledanou funkci, nakř
y = cos x. Poněvadž však většinu diferenciálních rovnic neumíme řešit analyticky, pro praktické
použití důležitější jsou numerické metody řešení, které budou popsány v další kapitole.
Výsledkem numerického řešení je graf nebo vybrané hodnoty hledané funkce, ale nikoli vztah ji
popisující.
2.7.1 Idea diferenciálních rovnice
Představme si jakoukoli pro nás dosud známou algebraickou rovnici, např.
x2
+ 2x − 1 = 0
Řešením (algebraické) rovnice je číslo. Diferenciální rovnice je rovnice, která obsahuje derivaci
nějaké neznámé funkce. Řešením diferenciální rovnice je funkce. Jako příklad vezměme nějakou
funkci, označme ji y(x) a požadujme například, aby se její derivace rovnala funkci samé. Takový
požadavek formulujeme diferenciální rovnicí
y′
= y
Je zřejmé, že této diferenciální rovnici vyhovuje např. funkce y(x) = ex, ale též y(x) = k.ex,
kde k je libovolná konstanta. Řešení diferenciální rovnice tedy není jednoznačné, ale liší se o
konstantu. Hodnotu konstanty pro konkrétní případ aplikace můžeme určit ze známých okolností
popisovaného děje, např. ze známé hodnoty funkce v čase t = 0. Hovoříme o tzv. počátečních
nebo okrajových podmínkách.
33
2 Úvod do matematické analýzy
2.7.2 Základní pojmy
Vysvětlíme se několik základních pojmů z problematiky diferenciálních rovnic. Neznámou funkcí
bude dále y, nezávisle proměnnou bude x, tedy y(x). Pro derivaci budeme ekvivalentně používat
zápis y′ nebo dy
dx .
Řádem diferenciální rovnice se rozumí nejvyšší stupeň derivace přítomný v diferenciální
rovnici. Je-li nejvyšší derivace první, pak jde o rovnici 1. řádu. Je-li nejvyšší derivace n-tá, pak
je rovnice n-tého řád. Rovnice y′x + y = 2x2 je tedy 1. řádu, rovnice xy′ + 2x = y′′′ je třetího
řádu.
Lineární diferenciální rovnice je taková, kdy se neznámá, y nebo její derivace, vyskytuje
pouze v součtu, nikoli v součinu. Rovnice y′ + 2y = x2 je tedy lineární, rovnice yy′ = x je
nelineární. Poznamenejme, že x není neznámá, proto se součin x, resp. f(x), a y v lineární
rovnici vyskytovat může. Rovnice xy′ + 2y = x je tedy též lineární. Obecně můžeme lineární
diferenciální rovnici 2. řádu (a obecně jakéhokoli řádu) zapsat jako
a(x)y′′
+ b(x)y′
+ c(x)y = d(x)
Pokud jsou a(x), b(x) i c(x) konstanty, hovoříme o rovnici s konstantními koeficienty. Na pravé
straně rovnice se nevyskytuje neznámá, pouze funkce x. Jestliže je pravá strana rovnice nulová,
tedy d(x) ≡ 0, hovoříme o homogenní rovnici, jinak o nehomogenní .
Ve výše uvedeném příkladu jsme našli y(x) = ex jako jedno konkrétní řešení rovnice y′ = y.
Každé konkrétní řešení označuje jako partikulární . Existuje ale nekonečně mnoho partikulárních
řešení, která jsou všechna zapsatelná obecným tvarem y(x) = k.ex, kde k ∈ R. Takovému
obecnému zápisu říkáme obecné řešení . Najít nějaké partikulární řešení, narozdíl od obecného
řešení, může být snadné, lze jej např. uhádnout. Takovým zjevným partikulární řešení uvedené
rovnice y′ = y je např. y(x) = 0.
2.7.3 Metoda separace proměnných
Řešme nyní rovnici již zmíněnou rovnici y′ = y systematickým způsobem. Derivaci můžeme
přepsat do tvaru podílu dvou diferenciálů, dy a dx,
dy
dx
= y
S diferenciály můžeme zacházet jako s čísly, např. jimi násoit či dělit. Převedeme rovnici na tvar
dy
y
= dx
Tím jsme vše související s y přesunuli na levou stranu rovnice a vše související s x na pravou
stranu. Postup označujeme jako separace proměnných. Nyní před oba diferenciály napíšeme
integrál a zintegrujeme, čímž vyřešíme rovnici.
dy
y
= dx → ln y = x + C
Po úpravě dostaneme obecné řešení rovnice
y = ex+C
= eC
.ex
= kex
34
2.7 Obyčejné diferenciální rovnice
kde k := eC. Hodnotu konstanty získáme z počátečních podmínek. Požadujme například, aby
y(0) = y0. Pak je k = y0 a odpovídající partikulární řešení zní
y = y0ex
Jen poznamenejme, že metoda má samozřejmě exaktní důkaz, popsaný formální postup sám o
sobě důkazem není.
Příklad: Antibiotikum vankomycin je z organizmu eliminováno převážně v nezměněné podobě
ledvinami, přičemž se řídí kinetikou 1. řádu, tedy rychlost eliminace vankomycinu je přímo
úměrná jeho plazmatické koncentraci c. Tomu odpovídá diferenciální rovnice
dc
dt
= −kc
popisující prostou eliminaci vankomycinu. Rovnice je separovatelná do tvaru
dc
c
= −kdt
Po integraci dostaneme
ln c = −kt + b → c = B.e−kt
kde b, resp. B = eb je integrační konstanta. Tím jsme získali obecné řešení. Hodnotu konstanty
B určíme z počáteční podmínky. Koncentraci v čase 0 označme c0. Platí tedy
c0 = B.e−k.0
= B
Finálním partikulárním řešením proto je
c = c0.e−kt
Příklady průběhů funkce ukazuje obr. 2.19. Poznamenejme ještě, že rovnice dc
dt = −kc je homogenní,
protože ji můžeme upravit na tvar s nulovou pravou stranou dc
dt + kc = 0.
2 4
1
2
3
4
5
t
c
Obrázek 2.19: Homogenní lineární diferenciální rovnice prvního řádu
2.7.4 Lineární diferenci rovnice prvního řádu, metoda variace konstant
Nyní si popíšeme další způsob řešení, tzv. metodu variace konstant. Nejprve si postup ukážeme
na konkrétním příkladu, poté obecně.
35
2 Úvod do matematické analýzy
Příklad: Rozšíříme předchozí příklad s eliminací vankomycinu o situaci, kdy vankomycin současně
kontinuálně podáváme infúzí rychlosté v0. Zajímá nás, jak se vyvíjí plazmatická koncentrace
v čase poté, co zapneme infuzi s vankomycinem. Problém nyní popisuje rovnice
dc
dt
= v0 − kc
zahrnující jak eliminaci ledvinami, tak kontinuální podávání léku. Oproti předchozímu příkladu
jde nyní o nehomogenní rovnici s nenulovou pravou stranou,
dc
dt
+ kc = v0
kde již nemůžeme separovat proměnné. K řešení použijeme následující „trik“, označovaný jako
variace konstant. Nejprve budeme řešit odpovídající homogenní rovnici, což už jsme výše provedli
a získali řešení
c = B.e−kt
kde B byla konstanta. Variace konstant spočívá v tom, že B nadále nebudeme považovat za
konstantu, nýbrž za funkci t, B(t). Řešení nehomogenní rovnice tedy hledáme ve tvaru
c = B(t).e−kt
Pro c′ platí
dc
dt
= B′
(t).e−kt
− kB(t)e−kt
Po dosazení do rovnice dostaneme
B′
(t).e−kt
− kB(t)e−kt
= v0 − kB(t).e−kt
Po zkracení stejných členů dostáváme diferenciální rovnici pro B(t)
B′
(t).e−kt
= v0
která je separovatelná. Proto
dB = v0ekt
dt → B =
v0
k
ekt
+ D
kde D je další integrační konstanta. Řešením původní nehomogenní rovnice tedy je
c =
v0
k
ekt
+ D .e−kt
=
v0
k
+ De−kt
Na počátku požadujme nulovou koncentaci vankomycinu, tedy c(0) = 0, odkud plyne
0 =
v0
k
+ De−k.0
→ D = −
v0
k
Partikulární řešením proto je
c =
v0
k
1 − e−kt
Příklady řešení pro různé hodnoty parametrů jsou na obr. 2.20. Koncentrace zpočátku rychle
roste k setrvalé, stacionární hodnotě, pro níž (v nekonečném čase) platí
36
2.7 Obyčejné diferenciální rovnice
cstac =
v0
k
1 − e−k∞
=
v0
k
V reálném životě považujeme koncentraci za ustálenou po zhruba 5 poločasech.
2 4
1
2
3
4
5
t
c
Obrázek 2.20: Nehomogenní lineární diferenciální rovnice prvního řádu
Zformulujme řešení ještě pro obecný případ lineární diferenciální rovnici prvního řádu
a(x)y′
+ b(x)y = c(x)
V předchozím případě šlo o speciální případ s konstantními koeficienty a = 1, b = k i c = v0.
Rovnice je nehomogenní, protože má nenulovou pravou stranu. Nejprve vyřešíme odpovídající
homogenní rovnici
a(x)y′
+ b(x)y = 0
Zde můžeme snadno separovat proměnné, dostaneme tedy
dy
y
= −
b(x)
a(x)
dx
A po integraci
ln y = −
b(x)
a(x)
dx + C → y = ke
−
b(x)
a(x)
dx
kde k je konstanta. Nyní použijeme variaci konstanty k, kterou budeme dále považovat za funkci
x, a budeme hledat řešení nehomogenní rovnice ve tvaru
y = k(x)e
−
b(x)
a(x)
dx
Pro y′ platí
y′
= k′
(x)e
−
b(x)
a(x)
dx
− k(x)
b(x)
a(x)
e
−
b(x)
a(x)
dx
Dosadíme za y do nehomogenní rovnice a dostaneme
a(x)k′
(x)e
−
b(x)
a(x)
dx
− a(x)k(x)
b(x)
a(x)
e
−
b(x)
a(x)
dx
+ b(x)k(x)e
−
b(x)
a(x)
dx
= c(x)
37
2 Úvod do matematické analýzy
Po úpravě dostáváme separovatelnou rovnici pro k(x)
a(x)k′
(x)e
−
b(x)
a(x)
dx
= c(x)
Po separaci a integraci obdržíme
dk =
c(x)
a(x)
e
b(x)
a(x)
dx
dx → k =
c(x)
a(x)
e
b(x)
a(x)
dx
dx + D
Dosadíme do původní rovnice a získáme poněkud komplikovaný tvar obecného řešení.
y = e
−
b(x)
a(x)
dx c(x)
a(x)
e
b(x)
a(x)
dx
dx + De
−
b(x)
a(x)
dx
2.7.5 Soustavy obyčejných diferenciálních rovnic prvního řádu
Soustavy obyčejných diferenciálních rovnic jsou mimořádně důležité, protože popisují řadu reálných
procesů, kdy spolu různé proměnné interagují. Ilustrujme pojem soustava diferenciálních
rovnic následujícím příkladem.
Příklad: Chceme matematicky popsat vývoj koncentrace inzulínu a glukózy v čase. Obě látky
se vzájemně ovlivňují. Inzulín snižuje koncentraci glukózy, zároveň je však jeho produkce závislá
na její koncentraci. Inzulín je současně odbouráván kinetikou prvního řádu, nezávisle na
koncentraci glukózy. Nechť je glukóza zároveň přiváděna infúzí konstantní rychlostí v0. V následujícím
modelu pro zjednodušení považujme všechny vzájemné závislosti za lineární (s konstantami
úměrnosti ki), byť toto neodpovídá fyziologické realitě. g bude značit koncentraci glukózy
(g := [glukóza]) a I koncentraci inzulínu (I := [inzulín]). Změny koncentrace glukózy a inzulínu
v čase můžeme popsat následující dvojicí diferenciálních rovnic
dg
dt
= v0 − k1I
dI
dt
= k2g − k3I
Tato dvojice diferenciálních rovnic je „zvláštní“ tím, že ani jednu z rovnic nemůžeme řešit
samostatně, neboť pro vyšetření každé z rovnic potřebujeme znát řešení druhé rovnice. Takovou
dvojici rovnic označujeme jako soustavu diferenciálních rovnic. Analogická situace nastává
u soustavy algebraických rovnic, kde jsou jednotlivé rovnice též provázané. Soustava rovnic
může být libovolně rozsáhlá. Řešit soustavu diferenciálních rovnic analyticky je možné jen v
nejjednodušších případech, obvykle je nezbytné řešení numerické.
Soustavu algebraických rovnic můžeme řešit eliminací proměnných, kdyz jedné rovnice vyjádříme
jednu z proměnnáých a dosadíme ji do ostatních rovnic. Zkusme použít podobný postup
na uvedenou soustavu diferenciálních rovnic. Eliminujme glukózu. Zderivujeme druhou rovnici
podle času a dosadíme poté za g′ z první rovnice.
d2I
dt2
= k2
dg
dt
− k3
dI
dt
= k2v0 − k1k2I − k3
dI
dt
Získali jsme nehomogenní lineární diferenciální rovnici druhého řádu s konstantními koeficienty
d2I
dt2
+ k3
dI
dt
+ k1k2I = k2v0
kterou budeme řešit v další části. Jakmile zjistíme funkci I(t), z první rovnice dopočteme g(t).
Konkrétní volba konstant určuje nejen konkrétní hodnoty funkce, ale i její kvalitativní charak-
38
2.7 Obyčejné diferenciální rovnice
teristiky, např. jestli řešení v čase konverguje, zda dochází k oscilacím apod.
Řešili jsme soustavu tak, že jsme eliminovali proměnnou a ze soustavy dvou rovnic prvního řádu
jsme získali jednu rovnici druhého řádu. Pro numerické řešení diferenciálních rovnic je ale postup
obvykle opačný. Numericky řešit soustavu rovnic prvního řádu je totiž relativně snadné. Proto
se nabízí, pokusit se rovnice vyšších řádů převést na soustavu rovnic prvního řádu a tu pak řešit.
Postup je snadný. Jako příklad vezměme rovnici druhého řádu
y′′
+ by′
+ y = d
s neznámou funkcí y(x). Definujme novou funkci z(x) := y′ jako derivaci funkce y. Pak platí
z′ = y′′ a rovnici můžeme přepsat do tvaru
z′
+ bz + y = d
Můžeme sestavit novou soustavu dvou rovnic pro 2 neznámé funkce y a z, kterou dále numericky
řešíme.
dz
dx
= d − y − bz
dy
dx
= z
Pro potřeby numerického řešení (jakýchkoli) diferenciálních rovnic tedy stačí umět vyřešit soustavu
rovnic prvního řádu.
2.7.6 Lineární diferenciální rovnice druhého řádu
V poslední části kapitol o diferenciálních rovnicích se budeme zabývat analytickým řešení nehomogenní
rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty. Takovou rovnicí je např. výše odvozená
rovnice pro inzulín
d2I
dt2
+ k3
dI
dt
+ k1k2I = k2v0
Pro jednoduchost zápisu přeznačme konstanty na b, c a d. Před nejvyšší derivací konstanta být
nemusí, poněvadž je nutně nenulová a lze jí krátit.
d2I
dt2
+ b
dI
dt
+ cI = d
Řešme opět nejprve homogenní rovnici
d2I
dt2
+ b
dI
dt
+ cI = 0
Vysvětlíme nejprve pojem lineární kombinace. Mějme libovolné funkce I1 a I2. Lineární kombinací
funkcí I1 a I2 se rozumí jejich násobky a součty. Nechť p a q jsou libovolná reálná čísla.
Pak každá funkce
I(x) := pI1(x) + qI2(x)
je lineární kombinací funkcí I1 a I2. Každá homogenní diferenciální rovnice má pozoruhodnou
vlastnost. Jestliže nějaké funkce I1 a I2 jsou řešením homogenní rovnice, pak i jejich jakákoli
lineární kombinace je řešením. Důkaz je snadný. Nechť tedy I1 a I2 jsou řešeními homogenní
rovnice, tedy platí
d2I1
dt2
+ b
dI1
dt
+ cI1 = 0
39
2 Úvod do matematické analýzy
a
d2I2
dt2
+ b
dI2
dt
+ cI2 = 0
Dosaďme I(x) = pI1(x) + qI2(x) do homogenní rovnice.
d2I
dt2
+ b
dI
dt
+ cI = p
d2I1
dt2
+ b
dI1
dt
+ cI1 + q
d2I2
dt2
+ b
dI2
dt
+ cI2 = 0 + 0 = 0
I(x) tedy slňuje homogenní rovnici a je tedy též jejím řešením, jak jsme chtěli dokázat.
Nehomogenní diferenciální rovnice má jinou pozoruhodnou vlastnost. Obecné řešení nehomogenní
rovnice ION lze získat jako součet kteréhokoli jednoho partikulárního řešení nehomogenní
rovnice IPN a obecného řešení homogenní rovnice IOH
ION = IPN + IOH
Najít nějaké partikulární řešení nehomogenní rovnice může být snadné, lze ho často „uhádnout“.
Např. zjevným partikulární řešením nehomogenní rovnice
d2I
dt2
+ b
dI
dt
+ cI = d
je konstantní řešení IPN = d
c . Pak už stačí „pouze“ najít obecné řešení homogenní rovnice.
Zkusme tedy nyní najít řešení homogenní rovnice, a to ve tvaru I = ekt. Po dosazení do rovnice
a zkrácení ekt dostaneme
k2
ekt
+ bkekt
+ cekt
= 0 → k2
+ bk + c = 0
Aby tedy I = ekt bylo řešením, musí k splňovat rovnici, tedy musí platit
k1,2 =
−b ±
√
b2 − 4c
2
Můžeme rozlišit 3 situace podle hodnoty dikriminantu D =
√
b2 − 4c.
1. D > 0
Dostáme 2 reálné hodnoty k1,2 a 2 jim odpovídající řešení I1 = ek1t a I2 = ek2t. Řešení
jsou tzv. lineárně nezávislá, což znamená, že nelze vyjádřit jedno řešení jako násobek
druhého řešení. V hlubší teorii diferenciálních rovnic se ukazuje, že rovnice n-tého řádu
má nejvýše n lineárně nezávislých řešení. Protože řešíme rovnici druhého řádu, jsou řešení
I1 a I2 veškerá lineárně nezávislá řešení. Jakékoli další řešení I(x) homogenní rovnice lze
vyjádřit v již známém tvaru I(x) = pI1(x) + qI2(x), tedy
IOH = pek1t
+ qek2t
Obecné řešení nehomogenní rovice je
ION =
d
c
+ pek1t
+ qek2t
Konstanty p a q se určí z počátečních podmínek, které v případě rovnice druhého řádu
musí být 2, např. počáteční koncentrace inzulínu a počáteční rychlost tvorby inzulínu (což
vlastně nepřímo vyjadřuje počáteční koncentraci glukózy).
V případě našeho příkladu s inzulínem jsou b i c kladné, proto je v případě kladného diskriminantu
určitě
√
b2 − 4c < b, jsou tedy k1 i k2 záporné. S časem tedy exponenciální
40
2.7 Obyčejné diferenciální rovnice
komponenty klesají k 0 a zůstává stacionární hladina inzulínu d
c . Exponenciální komponenty
se uplatní pouze zpočátku, než se ustaví stacionární hladina. Obr. 2.21 ukazuje
možné průběhy funkcí, pokud je počáteční hladina nad nebo pod hladinou stacionární.
2 4
1
2
3
4
5
t
I
Obrázek 2.21: Lineární diferenciální rovnice druhého řádu, D > 0
2. D = 0
Pro nulový diskriminant dostáváme jediné lineárně nezávislé řešení
I1 = e
−b
2
t
Vzhledem k nulovému diskriminantu platí
b2
− 4c = 0 → c =
b2
4
čímž se diferenciální rovnice převádí na tvar
d2I
dt2
+ b
dI
dt
+
b2
4
I = 0
Prozradíme její druhé lineárně nezávislé řešení.
I2 = te
−b
2
t
Pro obecné řešení nehomogenní rovice s nulovým diskriminantem tedy získáme
ION =
d
c
+ pe
−b
2
t
+ qte
−b
2
t
Několik možných průběhů funkcí ukazuje obr. 2.22. Průběh je kvalitativně podobný průběhu
s kladným diskriminantem.
3. D < 0
Pro záporný diskriminant pod odmocninou neexistuje reálné řešení, ale existují 2 řešení
v oboru komplexních čísel. Odmocninu ze záporného diskriminantu můžeme upravit do
následujícího komplexního tvaru.
√
D = −|D| =
√
−1 |D| = i |D|
41
2 Úvod do matematické analýzy
2 4
1
2
3
4
5
t
I
Obrázek 2.22: Lineární diferenciální rovnice druhého řádu, D = 0
Proto
k1,2 =
−b ±
√
D
2
=
−b ± i |D|
2
Dostáváme tak 2 komplexně sdružená lineárně nezávislá řešení
I1 = e− b
2
t
ei
√
|D|
2
t
I2 = e− b
2
t
e−i
√
|D|
2
t
To je na první pohled podivný výsledek, poněvadž v reálném fyzickém světě musí být řešení
reálné. Komplexní řešení je pouze matematická konstrukce. Můžeme však využít výše
popsanou vlastnost homogenní lineární rovnice, že součet řešení je též řešením. Zkusme
obě komplexně sdružená řešení převést do goniometrického tvaru a sečíst.
I1 + I2 = e− b
2
t
. ei
√
|D|
2
t
+ e−i
√
|D|
2
t
= e− b
2
t
. cos
|D|
2
t + i sin
|D|
2
t + cos
|D|
2
t − i sin
|D|
2
t
= 2e− b
2
t
cos
|D|
2
t
Došlo k eliminaci komplexních členů a zbylo nám reálné řešení! Poznamenejme, že druhé
lineárně nezávislé řešení bychom získali odečtením obou řešení. Řešení by bylo čistě imaginární
a pro reálný svět irelevantní
Pro obecné řešení nehomogenní rovice se záporným diskriminantem tak získáme
ION =
d
c
+ pe− b
2
t
cos
|D|
2
t
Řešení je kvalitativně odlišné než řešení předcházející, vyskytují se zde totiž oscilace. Ve
výrazu
e− b
2
t
cos
|D|
2
t
42
2.7 Obyčejné diferenciální rovnice
můžeme vidět dvě části - oscilaci s konstantní amplitudou cos
√
|D|
2 t a exponenciálně klesající
amplitudu −b
2t. V čase tedy oscilující komponenta odezní a zbyde konstantní hladina
inzulínu I0 = d
c . Obr. ukazuje možný průběh funkce. Červené čárkované linie vyznačují
exponenciálně kesající amplitudu. Všimněme si, že parametry původní rovnice, resp. soustavy
rovnic, určovaly, zda dojde či nedojde k oscilacím. Oscilace v regulačních systémech
je tedy možná, ale nikoli nutná.
2 4
1
2
3
4
5
t
I
Obrázek 2.23: Lineární diferenciální rovnice druhého řádu, D < 0
43
3 Poznámky k numerické matematice
Řadu, nebo spíše většinu reálných úloh nelze řtešit analyticky, tedy nepodačí se nám najít
jednoduchý vztah, vzorec, do něhož můžeme dosadit a ihned zjistit výsledek. Téměř zcela to
platí pro diferenciální rovnice. V kapitole 2.7 jsme řešili všechny úlohy analyticky, to byly ale ve
skutečnosti pečlivě vybrané výjimky. Většinou je třeba úžít nějaký jiný postup, abychom získali
alespoň číselný výsledek, když už nemáme analytické řešení. Rozvojem a studiem vlastností
těchto postupů se zabývá numerická matematika. Formuluje též algoritmy, programy, k hledání
řešení. Tím se pohybuje na hranici matematiky a informatiky.
3.1 Numerické řešení algebraických rovnic
Analyticky umím řešit jednoduché algebraické rovnice, jako x2 + 3x + 2 = 0. Nelineární algebraické
rovnice, např. cos x = x musíme řešit numericky. Zde si představíme 3 postupy numerického
řešení algebraických rovnic. Všechny 3 postupy mají iterativní charakter. To znamená,
že se znovu a znovu opakuje stejný výpočet s odlišnými čísly, přičemž výstup i-tého kroku je
vstupem pro krok i+1. Na počátku je třeba zvolit nějaký odhad řešení, označme jej x0. Následují
iterace. Pokud se již řešení mezi jednotlivými kroky příliš nemění, je např. menší než předem
zvolené kritérium ukončení iterací ε, |xi −xi−1| < ε, program se ukončí a vypíše aktuální hodnotu
xi. Různé postupy se liší konvergencí a efektivitou. Konvergencí se míní skutečnost, že se
postup stále více blíží správnému řešení. Konvergence může záviset na volbě počátečního x0. Pro
některá x0 může postup konvergovat, pro jiná nikoli. Efektivitou se rozumí počet provedených
iterací, než program splní kritérium ukončetí.
Každou algebraickou rovnici lze upravit na tvar f(x) = 0. Hledejme tedy numerické řešení této
rovnice. Nechť řešením rovnice xs, tedy f(xs) = 0.
3.1.1 Metoda půlení intervalů
Metoda půlení intervalů je nejjednodušší, viz obr. 3.1. Je třeba zvolit dvě počáteční hodnoty
xL
0 a xR
0 , jednu vlevo a druhou vpravo od xs. Tyto dvě hodnoty vymezují interval, v němž se
nachází řešení. Poněvadž uvažujeme monotónní úsek funkce f a její průsečík s osu x, tedy řešení
xs, se nachází mezi oběma krajními hodnotami, musí mít f(xL
0 ) a f(xR
0 ) opačné znamení, tedy
f(xL
0 ).f(xR
0 ) < 0. V každé iteraci najdeme prostřední hodnotu mezi oběma krajními
xM
:=
xR
0 − xL
0
2
a určíme její funkční hodnotu, f(xM ). Řešení xs se určitě nachází mezi xM a tou z krajních
hodnot, která má opačné znaménko než f(xM ). Nechť jsou tedy obecně v i-té iteraci algoritmu
krajní hodnoty intervalu, v němž se nachází xs, xL
i a xR
i . Pak
xM
i :=
xR
i − xL
i
2
a definujeme nové krajní hodnoty xL
i+1 a xR
i+1 tak, že vždy jednou z nových krajních hodnot se
stane xM
i a druhá se nemění. Přitom xL
i+1 := xM
i a xR
i+1 := xR
i , pokud f(xM
i ).f(xR
i ) < 0, jinak
44
3.1 Numerické řešení algebraických rovnic
xR
i+1 := xM
i a xL
i+1 := xL
i . V každé iteraci se interval obsahují řešení xs zkrátí na polovinu, odtud
název metody. Iterace se provádějí tak dlouho, až je šířka intervalu menší než předem zvolené ε.
Dokonce stačí polovina intervalu, protože xM
i se od xs liší nanejvýš o polovinu délky intervalu
[xL
i , xR
i ]. Výhodou metody je její jistá konvergence, pokud se nám podaří najít monotónní úsek
funkce v okolí řešení.
1
1
x
cos x
xs ≈ 0, 739
x
f(x)
(a) Rovnost funkcí. x = cos(x).
1
−1
1 f(x) = x − cos x
xL
xR
xS x
f(x)
(b) Kořen rovnice. f(x) = x − cos(x) = 0.
Obrázek 3.1: Metoda půlení intervalů.
V Pythonu bychom algoritmus řešící rovnici cos(x) = x mohli napsat takto:
import math
def g(x):
return x−math.cos(x)
epsilon = 0.001 # po ž adovan á př esnost řeš en í
j=0 # sledov ání po č tu iterac í
xL=0.0 # lev á krajn í hodnota po čá te ční ho intervalu
xR=1.0 # prav á krajn í hodnota po čá te ční ho intervalu
while abs(xR−xL)/2 > epsilon: # krit é rium ukon č en í iterac í
xM = (xL+xR)/2 # definice st ř edu intervalu
if g(xM)∗g(xR)<0: # volba nov ý ch krajn í ch hodnot
xL = xM
else:
xR = xM
j+=1 # př ibyla 1 iterace
print(xL) # lev á krajn í hodnota kone čné ho intervalu
print(xR) # prav á krajn í hodnota kone čné ho intervalu
print(j) # po č et proveden ý ch iterac í
V daném příkladu získáme pro ε = 0, 001 po 9 iteracích interval řešení [0.73828125, 0.740234375].
Pro představu přesnosti dodejme, že na 8 desetinných míst je xs = 0, 73908513.
3.1.2 Metoda prosté iterace
Další metodou, zajímavou, ale asi nejméně používanou, je metoda prosté iterace. Je nutné z
řešené rovnice f(x) = 0 vyjádřit x, tedy rovnici přeformulovat do tvaru x = g(x). Například
45
3 Poznámky k numerické matematice
rovnici x−cos x = 0, kde f(x) = x−cos x, přeformulujeme do tvaru x = cos x, kde g(x) = cos x.
Opět se zvolí počáteční odhad řešení x0. Každý krok iterace je charakterizován jednoduchým
předpisem
xi+1 := g(xi)
Princip algoritmu objasňuje obr. 3.2. Algoritmus „postupuje“ ve směru červených šipek. Problematické
jsou podmínky konvergence. Aby algoritmus konvergoval, je nutné aby pro všechny
hodnoty mezi x0 a řešením xs platilo, že |g′(x)| < 1. Funkce tedy nesmí v žádném bodě tohoto
intervalu růst nebo klesat příliš rychle. To často neplatí. Též rychlost konvergence závisí na
|g′(x)| a může být nízká.
1
1
x0 x1x2
cos x
x
g(x)
Obrázek 3.2: Metoda prosté iterace. g(x) = cos(x).
Algoritmus řešící stejnou rovnici cos(x) = x implemenovaný v Pythonu je následující:
import math
def g(x):
return math.cos(x)
j=0 # sledov ání po č tu iterac í
epsilon = 0.001 # po ž adovan á př esnost řeš en í
x1=0.9 # po čá te ční hodnota
x2=g(x1)
while abs(x1−x2) > epsilon: # krit é rium ukon č en í iterac í
x1=x2 # itera ční př edpis
x2=g(x1)
j+=1 # př ibyla 1 iterace
print(x1) # př edposledn í hodnota iterace
print(x2) # posledn í hodnota iterace
print(j) # po č et proveden ý ch iterac í
Pro stejnou přesnost ε = 0, 001 jako v předchozím příkladě získáme z poslední iterace dvojici
hodnot 0, 7386421766270547 a 0, 7393834415834122, a to až po 15 iteracích.
3.1.3 Newtonova metoda
Populární je Newtonova metoda, označovaná též Newton-Raphsonova metoda nebo metoda
tečen. Konverguje velmi rychle, ale nikoli vždy. Řešíme opět rovnici f(x) = 0. Současně musíme
46
3.1 Numerické řešení algebraických rovnic
znát derivaci funkce f, f′. Opět je nutné poskytnou počáteční odhad řešení x0. Princip metody
ilustruje obr. 3.3. V bodě x0 zjistíme derivaci f′(x0), čímž známe směrnici tečny v tomto bodě.
Posuneme se do bodu x1, kde tečna protíná osu x. Obecně xi+1 je bod, kde tečna v bodě xi
protíná osu x. Z obr. 3.3 je zřejmé, že pro iterační předpis platí
xi+1 := xi −
f(xi)
f′(xi)
Poznamenejme pro úplnost, že pokud derivaci neznáme a nahradíme ji odhadem derivace jako
podílu 2 rozdílů, přechází metoda tečen v tzv. metodu sečen.
1
−1
1 f(x) = x − cos x
x0
x1
x2 x
f(x)
Obrázek 3.3: Newtonova metoda. f(x) = x − cos(x).
Algoritmus řešící opět stejnou rovnici x − cos(x) = 0 zní:
import math
def f(x): # řeš en á rovnice
return x−math.cos(x)
def fdev(x): # derivace funkce f
return 1+math.sin(x)
j=0 # sledov ání po č tu iterac í
epsilon = 0.001 # po ž adovan á př esnost řeš en í
x0=1 # po čá te ční hodnota
x1=x0−f(x0)/fdev(x0) # " nult á" iterace
while abs(x0−x1) > epsilon: # krit é rium ukon č en í iterac í
x0=x1
x1=x0−f(x0)/fdev(x0) # itera ční př edpis
j+=1 # př ibyla 1 iterace
print(x0) # př edposledn í hodnota iterace
print(x1) # posledn í hodnota iterace
print(j) # po č et proveden ý ch iterac í
Pro stejnou přesnost ε = 0, 001 jako v předchozím příkladě získáme z poslední iterace dvojici
hodnot 0, 7391128909113617 a 0, 739085133385284, k čemuž nám stačí pouhé 2 iterace!! Počet
iterací přitom s rostoucí přesností roste velmi pomalu. Například pro řešení s přesností 11
47
3 Poznámky k numerické matematice
desetinných míst (ε = 0, 00000000001) stačí pouhé 4 iterace (xs = 0.7390851332151607).
3.2 Numerické řešení diferenciálních rovnic
Numerické řešení diferenciálních rovnic je stěžejní téma pro potřeby matematického modelování
v medicíně a biologii. Představíme si dva nejznámější iterativní postupy, jednodušší Eulerovu
metodu a složitější, ale přesnější metodu podle Runga a Kutty 4. řádu. Diferenciální rovnici
převedeme na explicitní tvar, kdy na levé straně rovnice se vyskytuje pouze derivace a ne pravé
straně členy bez derivace, tedy
dx
dt
= f(x, t)
Hledanou neznámou bude funkce x(t). Pokud není derivace explicitně vyjádřena (často to není
možné), hovoříme o tzv. implicitním tvaru diferenciální rovnice, obecně f(x′, x, t) = 0. Pak je
do každého kroku numerického řešení nutno vložit řešení algebraické rovnice pomocí některé z
metod uvedených v předchozí kapitole.
diskretizace
3.2.1 Eulerova metoda
Eulerova metoda využívá skutečnosti, že derivace je podíl dvou malých rozdílů, tedy
dx
dt
≈
∆x
∆t
Výraz pro derivaci pak hned přepíšeme do tvaru
∆x
∆t
≈ f(x, t)
Iterativní předpis je definován výrazem
xi+1 := xi + f(x, t).∆t
Musí být známa počáteční hodnota x(0) = x0 v čase t = 0 resp t = t0. V každém kroku
metody se posuneme v čase o ∆t dopředu a o ∆x ve funkční hodnotě. Princip ilustruje obr.
3.4. Je patrné, že se hodnota xi+1 liší od správné hodnoty x(t + ∆t). V i-tém kroku tak vzniká
chyba errori = x(t + ∆t) − xi+1. Chyba zjevně závisí na velikosti kroku ∆t. Drobné chyby se
však kumulují v každém kroku a výsledná celková chyba postupně roste. Celkovou chybu někdy
nelze eliminovat ani zmenšením kroku ∆t. Pak sice klesne chyba jednotlivého kroku, ale vzroste
počet kroků a celková kumulativní chyba klesnout nemusí. Dále popsaná metoda podle Rungy
a Kutteho tento problém řeší.
Dále je uvedena možná implementace Eulerovy metody v Pythonu pro diferenciální rovnici
x′ = −x. Při počátečních podmínkách x(0) = 10 je analytickým řešením x = 10e−t. Numerické
i analytické řešení je zobrazeno na obr. 3.5. Je patrná drobná odlišnost obou křivek, tedy chyba
Eulerovy metody.
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
size = 50
t = np.linspace(0, 10, size) # vektor č asov ý ch bod ů
x_num = np.linspace(0, 10, size) # vektor numerick ý ch hodnot funkce
x_anal = np.linspace(0, 10, size) # vektor analytick ý ch hodnot funkce
48
3.2 Numerické řešení diferenciálních rovnic
1 2 3
5
10
∆t
∆x
errori
xi
xi+1
t
x(t)
Obrázek 3.4: Eulerova metoda
def g(a): # derivace hledan é funkce
return −a
dt = 10/size # č asov ý krok
i=0
x[i] = 10 # po čá te ční hodnota funkce − x( t0 )
t[i] = 0 # po čá te ční č as
while i < (size−1): # iterace
dx = dt ∗ g(x_num[i])
x_num[i+1] = x_num[i] + dx
t[i+1] = t[i] + dt
i += 1
x_anal = 10∗np.exp(−t) # analytick é řeš en í
# graf řeš en í
fig, axes = plt.subplots()
axes.plot(t, x_num, ’b’, label = ’numerické řešení’)
axes.plot(t, x_anal, ’r’, label = ’analytické řešení’)
axes.set_xlabel(’čas’)
axes.set_ylabel(’x’)
axes.legend()
49
3 Poznámky k numerické matematice
Obrázek 3.5: Eulerova metoda: x′(t) = −x
3.2.2 Metoda Rungeho a Kutty
Jak je jistě patrno, je Eulerova metoda velmi jednoduchá, ale nepříliš přesná. Výrazně přesnější
metodu numerického řešení diferenciálních rovnic vypracovali počátkem 20. století němečtí
matematici Carl Runge a Wilhelm Kutta. Metoda se snaží odstranit nepřesný odhad ∆x po
kroku ∆t, tedy snížit chybu errori. Hodnotu x(t + ∆t) neodhaduje v jednom kroku, ale v několika
navzájem propojených krocích. Představíme si nejpoužívanější variatu se 4 kroky, tzv.
Runge-Kuttovu metodu 4. řádu (často označovanou RK4). Řešíme rovnici
dx
dt
= f(x, t)
Opět zvolíme časový krok ∆t. Postupně spočítáme 4 odhady ∆x, označené k1 až k4 a z jejich
váženého průměru dopočteme finální odhad ∆x. Existují i jiné drobné modifikace téhož postupu.
Algoritmus je následující:
k1 = f (xi, ti) ∆t
k2 = f xi +
k1
2
, ti +
∆t
2
∆t
k3 = f xi +
k2
2
, ti +
∆t
2
∆t
k4 = f (xi + k3, ti + ∆t) ∆t
50
3.2 Numerické řešení diferenciálních rovnic
Odhad průměrného sklonu je
∆x :=
k1 + 2k2 + 2k3 + k4
6
Odhady ti+1 a xi+1 definujeme jako
ti+1 = ti + ∆t
xi+1 = xi + ∆x
Je zjevné, že první krok, tedy určení k1, je identický s Eulerovou metodou.
1 2 3
5
10
∆t
k1
xi
t
x(t)
1 2 3
5
10
∆t
k1
k2
xi
t
x(t)
1 2 3
5
10
∆t
k2
k3
xi
t
x(t)
1 2 3
5
10
15
∆t
k3
k4
xi
t
x(t)
Obrázek 3.6: Konstrukce k1 až k4 v Rungově-Kuttově metodě
Obr. 3.7 ukazuje výsledky obou metod po jednom kroku, počítáno z hodnot k1 až k4 z obr. 3.6.
Je vidět, že RK4 metoda je výrazně přesnější než Eulerova metoda. Odhad hodnoty xi+1 RK4
metodou je téměř přesně funkční hodnota v bodě t + ∆t, x(t + ∆).
Dále je uvedena možná implementace Runge-Kuttovy metody v Pythonu pro řešení stejné diferenciální
rovnici x′ = −x jako v předchozí kapitole. Numerické i analytické řešení je zobrazeno
na obr. 3.8. Obě křivky jsou prakticky totožné. Opět je patrno, že chyba metody RK4 je výrazně
menší než metody Eulorovy, ačkoli časové kroky ∆t jsou stejné.
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
size = 50
51
3 Poznámky k numerické matematice
1 2 3
5
10
∆t
xi
xi+1,RK
xi+1,Euler
t
x(t)
Obrázek 3.7: Porovnání přesnosti Eulorovy a Rungovy-Kuttovy metody
t = np.linspace(0, 10, size) # vektor č asov ý ch bod ů
x_num = np.linspace(0, 10, size) # vektor numerick ý ch hodnot funkce
x_anal = np.linspace(0, 10, size) # vektor analytick ý ch hodnot funkce
def g(x,t=1): # derivace hledan é funkce
return −x
def RK(x,t=1): # 1 krok RK metody 4. řá du
k1 = dt ∗ g(x,t)
k2 = dt ∗ g(x+k1/2,t+dt/2)
k3 = dt ∗ g(x+k2/2,t+dt/2)
k4 = dt ∗ g(x+k3,t+dt)
return x+(k1+2∗k2+2∗k3+k4)/6
dt = 10/size # č asov ý krok
i=0
x_num[i] = 10 # po čá te ční hodnota funkce − x_num ( t0 )
t[i] = 0 # po čá te ční č as
while i < (size−1): # iterace
x_num[i+1] = RK(x_num[i],t[i])
t[i+1] = t[i] + dt
i += 1
x_anal = 10∗np.exp(−t) # analytick é řeš en í
52
3.3 Numerické řešení soustav diferenciálních rovnic
# graf řeš en í
fig, axes = plt.subplots()
axes.plot(t, x_num, ’b’, label = ’numerické řešení’)
axes.plot(t, x_anal, ’r’, label = ’analytické řešení’)
axes.set_xlabel(’čas’)
axes.set_ylabel(’x’)
axes.legend()
Obrázek 3.8: Runge-Kutteova metoda 4. řádu: x′(t) = −x
3.3 Numerické řešení soustav diferenciálních rovnic
Pro řešení soustav diferenciálních rovnic jsou numerické metody zásadní. Analytické řešení je
možné jen vzácně. Oběvýše popsané metody se dají rozšířit pro případ soustavy rovnic. Uvažujme
dvě funkce času, x(t) a y(t), které charakterizuje soustava diferenciálních rovnic
dx
dt
= f1(x, y, t)
dy
dt
= f2(x, y, t)
s počátečními podmínkami x(0) = x0, y(0) = y0 a t(0) = t0.
3.3.1 Eulerova metoda
Úprava Eulerovy metody pro případ soustavy rovnic je snadná. Rovnice upravíme na tvar
53
3 Poznámky k numerické matematice
∆x
∆t
≈ f1(x, y, t)
∆y
∆t
≈ f2(x, y, t)
Pro iterační předpis dostaneme
xi+1 := xi + f1(x, y, t).∆t
yi+1 := yi + f2(x, y, t).∆t
ti+1 := ti + ∆t
Implementace v Pythonu může být následující.
import numpy as np
size = 100
t = np.linspace(0, 50,size)
x = np.linspace(0, 50,size)
y = np.linspace(0, 50,size)
def f1(x,y,t):
return −x + 2∗y
def f2(x,y,t):
return −x + y
dt = 0.1
i=0
x[i] = 0
y[i] = 10
t[i] = 0
while i < size−1:
dx = dt ∗ f1(x[i],y[i],t[i])
dy = dt ∗ f2(x[i],y[i],t[i])
x[i+1] = x[i] + dx
y[i+1] = y[i] + dy
t[i+1] = t[i] + dt
i += 1
import matplotlib.pyplot as plt
fig, axes = plt.subplots()
axes.plot(t, x, ’b’, label = ’x’)
axes.plot(t, y, ’r’, label = ’y’)
axes.set_xlabel(’čas’)
axes.set_ylabel(’y’)
axes.set_title(’vývoj v čase’)
axes.legend()
54
3.3 Numerické řešení soustav diferenciálních rovnic
Obr. 3.9a ukazuje časový průběh řešení. Obr. 3.10a ukazuje tzv. fázový portrét. Jde o vzájemné
zobrazení vývoje funkcí x a y po eliminaci nezávisle proměnné (zde času). Kdybychom z výšky
pozorovali pohybující se objekt, trajektorie jeho pohybu, kterou bychom viděli, je příkladem
fázového portrétu, polohy vůči osám, tedy x(t) a y(t), jsou funkcemi času. Pomocí fázového
portrétu můžeme „zobrazit chování“ soustav diferenciálních rovnice, např. hledat oscilace či
stabilní a nestabilní body.
(a) Eulerova metoda (b) Runge-Kuttova metoda
Obrázek 3.9: Numerické řešení soustavy diferenciálních rovnic - vývoj v čase
fig, axes = plt.subplots()
axes.plot(x, y, ’b’, label = ’dt = 0.1’)
axes.set_xlabel(’x’)
axes.set_ylabel(’y’)
axes.set_title(’fázový portrét’)
axes.legend()
(a) Eulerova metoda (b) Runge-Kuttova metoda
Obrázek 3.10: Numerické řešení soustavy diferenciálních rovnic - fázový portrét
3.3.2 Runge-Kuttova metoda
Upravit RK4 metodu pro soustavy diferenciálních rovnic je lehce složitější než v případě Eulerovy
metody. V zásadě je třeba jednotlivá k1 až k4 tvořit pro obě proměnné zároveň. k odpovídající
proměnné x označme kx, ky budou odpovídat y. Pro případ soustavy 2 výše uvedených rovnic
by byl algoritmus následující:
55
3 Poznámky k numerické matematice
k1,x = f1 (xi, yi, ti) ∆t
k1,y = f1 (xi, yi, ti) ∆t
k2,x = f1 xi +
k1,x
2
, yi +
k1,y
2
, ti +
∆t
2
∆t
k2,y = f2 xi +
k1,x
2
, yi +
k1,y
2
, ti +
∆t
2
∆t
k3,x = f1 xi +
k2,x
2
, yi +
k2,y
2
, ti +
∆t
2
∆t
k3,y = f2 xi +
k2,x
2
, yi +
k2,y
2
, ti +
∆t
2
∆t
k4,x = f1 xi + k3,x, yi + k3,y, ti + ∆t ∆t
k4,y = f2 xi + k3,x, yi + k3,y, ti + ∆ ∆t
Odhad průměrných sklonů je
∆x :=
k1,x + 2k2,x + 2k3,x + k4,x
6
∆y :=
k1,y + 2k2,y + 2k3,y + k4,y
6
Odhady ti+1, xi+1 a yi+1 definujeme jako
ti+1 = ti + ∆t
xi+1 = xi + ∆x
yi+1 = yi + ∆y
Implementace v Pythonu může být následující.
import numpy as np
size = 100
t = np.linspace(0, 50,size)
x = np.linspace(0, 50,size)
y = np.linspace(0, 50,size)
def fx(x,y,t):
return −x + 2∗y
def fy(x,y,t):
return −x + y
def RK(x,y,t=1):
k1x = dt ∗ fx(x,y,t)
k1y = dt ∗ fy(x,y,t)
k2x = dt ∗ fx(x+k1x/2,y+k1y/2,t+dt/2)
k2y = dt ∗ fy(x+k1x/2,y+k1y/2,t+dt/2)
k3x = dt ∗ fx(x+k2x/2,y+k2y/2,t+dt/2)
k3y = dt ∗ fy(x+k2x/2,y+k2y/2,t+dt/2)
k4x = dt ∗ fx(x+k3x,y+k3y,t+dt)
56
3.3 Numerické řešení soustav diferenciálních rovnic
k4y = dt ∗ fy(x+k3x,y+k3y,t+dt)
return (x+(k1x+2∗k2x+2∗k3x+k4x)/6, y+(k1y+2∗k2y+2∗k3y+k4y)/6)
dt = 0.1
i=0
x[i] = 0
y[i] = 10
t[i] = 0
while i < size−1:
a,b = RK(x[i],y[i], t[i])
x[i+1] = a
y[i+1] = b
t[i+1] = t[i] + dt
i += 1
Obr. 3.9b a obr. 3.10b ukazují časový průběh obou funkcí a fázový portrét. Fázový portrét se
podstatně liší od portrétu téže soustavy rovnic řešené Eulerovou metodou, jde o stacionární cyklus
oproti rostoucí amplitudě oscilací. Správné řešení plyne z Runge-Kuttovy metody, což opět
dokumentuje její přesnost oproti Eulerově metodě (při stejném časovém kroku ∆t). Rozbíhání v
Eulerově metodě je dáno postupnou kumulací chyb. Lze proto doporučit vždy upřednostnit RK
metodu před Eulerovou metodou.
57
4 Poznámky k lineární algebře
Matematika bývá označována jako strukturální věda, čímž se míní, že „hledá“ strukturu či
zákonitosti v jistých vztazích. Matematika však není přírodní věda, toto hledání má jinou povahu,
než hledání v přírodních vědách. Přírodní vědy hledají zákonitosti v něčem, co je, co existuje, v
přírodním světě. Matematika často postupuje tak, že extrahuje zákonitosti z intuitivně známých
skutečností, např. z počítání s přirozenými čísly, a zkoumá, jaké jsou obecné důsledky těchto
abstraktních zákonitostí. Lineární algebra je úchvatnou oblastí matematiky, často první výrazně
abstrahující discíplínou, s níž se student matematiky setká. Buduje řadu základních představ a
pojmů. Na její poznatky navazují další oblasti matematiky i fyziky, např. teorie diferenciálních
rovnic či kvantová mechanika.
Ilustrujme si popsaný „abstrahující princip“ na příkladu. Dítě se v první třídě učí sčítat. 2
hrušky + 3 hrušky = 5 hrušek, 2 auta + 3 auta = 5 aut, 2 domy + 3 domy = 5 domů.
Postupně zjistí, že všechny tyto rovnosti mají něco společného, totiž, že 2 + 3 = 5. Je to první
stupeň abstrakce. Můžeme počítat s čísly, nepotřebujeme konkrétní předměty. Mnohem později
abstrakce pokračuje. 2.(3 + 4) = 2.3 + 2.4, 4.(1 + 5) = 4.1 + 4.5. Všechna čísla ve vztazích
můžeme nahradit proměnnými a, b, c, zastupujícími libovolné číslo, ale početní zákonitost, zde
označovaná jako distribuční zákon, tedy a.(b + c) = a.b + a.c, stále platí. Nepotřebujeme tedy
přímo čísla, stačí nám proměnné, které se řídí stejnými pravidly. Mají v jistém smyslu „stejnou
strukturu“. Lineární algebra pokračuje touto cestou dále. Dalším stupněm abstrakce může být
pojem vektoru.
4.1 Vektory a vektorové prostory
Ukažme si, jak by cestou abstrakce matematika dospěla k pojmu vektor. Klasickou středoškolskou
představou vektoru je „šipka mířící odněkud někam“. S taková „šipkou“ můžeme provádět
některé „operace“, které mají charakteristické vlastností. Násobení šipky číslem šipku prodlouží,
zkrátí, nebo obrátí, ale šipka stále zůstává šipkou. Pokud vynásobíme šipku číslem 1, nezmění se.
2 šipky sešteme tak, že přiložíme druhou na konec první. Můžeme však též přiložit první na konec
druhé. Výsledná šipka, resp. bod, kam šipky společně dosáhnou, je totožná. „Nulovou“ šipku,
tedy šipku délky O, můžeme přičíst k jakékoli šipce, aniž by se tím změnila. Dalšími typickými
vlastnosti jsou vzájemné „interakce“ obou operací, označované jako komutativita, distributivita
a asociativita. Zapišme popsané vlastnosti formálně, matematicky. Místo slova šipka používejme
dále slovo vektor. Vektor označme ⃗v, případně ⃗v1, ⃗v2 nebo ⃗v3. Reálné číslo, jímž násobíme bude
a.
Máme tedy 2 operace - násobení vektoru konstantou a sčítání vektoru. Obě operace jsou uzavřené,
tedy výsledkem je opět vektor, nikoli třeba reálné číslo.
⃗v2 = a.⃗v1 násobení vektoru konstantou
⃗v = ⃗v1 + ⃗v2 sčítání vektorů
Operace splňují následujícíh 8 vlastností, jak se můžeme na chování šipek snadno přesvědčit:
58
4.1 Vektory a vektorové prostory
⃗v
−2
3⃗v
(a) Násobení vektoru konstantou
⃗v1
⃗v2
⃗v1
⃗v2
⃗v1+
⃗v2
(b) Sčítání vektorů
Obrázek 4.1: Operace s vektory
⃗v =⃗0 + ⃗v neutrální prvek sčítání
⃗v + ( ⃗−v) =⃗0 existence inverzního prvku
⃗v1 + ⃗v2 = ⃗v2 + ⃗v1 komutativita
⃗v1 + (⃗v2 + ⃗v3) = (⃗v1 + (⃗v2) + ⃗v3 asociativita sčítání
⃗v = 1.⃗v neutrální prvek násobení
a.(⃗v1 + ⃗v2) = (a.⃗v1) + (a.⃗v2) distributivita
(a + b).⃗v = a.⃗v + b.⃗v distributivita
(a.b).⃗v = a.(b.⃗v) asociativita násobení
Dosud jsme pouze „zkomplikovali“ banální představy o šipkách. Abstraktní krok je následující.
Změňme od této chvíle význam slova vektor. Vektor již nebude znamenat pouze šipku, nýbrž
jakýkoli objekt, na němž lze definovat 2 výše uvedené operace, které mají všech 8 uvedených
vlastností. Takových objektů je řada, krom šipek například n-tice čísel, polynomy kteréhokoli
stupně, funkce, které jsou řešením homogenní diferenciální rovnice, matice konkrétního typu
a další. Matematika se může dále zabývat pouze chováním 8 uvedených vlastností. Zjištěné
výsledky pak budou automaticky platit pro všechny konkrétní případy vektorů.
Zaveďme ještě důležitý pojem vektorový prostor, též označovaný jako lineární prostor. Poznamenejme
jen, že slovo prostor je v matematice (přinejmenším zde) pouhé synonymum ke slovu
množina, nemá jiný speciální význam. Mějme nějakou množinu V , na jejíž prvcích nějak libovolně
definujeme operaci násobení reálným číslem „.“ a operaci sčítání 2 prvků „+“, přičemž ale
definované operace splňují 8 výše uvedených podmínek. Trojici (V, ., +) označíme jako vektorový
prostor. Každý prvek vektorového prostoru nazveme vektor.
Zjevně tedy množina všech šipek s dvěma výše definovanými operacemi tvoří vektorový prostor.
Ukažme si však, že i polynomy 3. stupně můžeme skutečně považovat za vektory, prvky
vektorového prostoru. Vezměme nějaké dva (obecné) polynomy 3. stupně
y1 = a1x3
+ b1x2
+ c1x + d1
y2 = a2x3
+ b2x2
+ c2x + d2
Operaci násobení číslem a sčítání budeme chápat „klasicky“, jak jsme zvyklí. Násobme polynom
y1 konstantou k ∈ R. Pak dostamene
y = ky1 = (ka1)x3
+ (kb1)x2
+ (kc1)x + (kd1)
což je zjevně opět polynom 3. stupně. Operace násobení reálným čísle je tedy uzavřená. Nyní
59
4 Poznámky k lineární algebře
sečteme vektory y1 a y2
y1 + y2 = (a1 + a2)x3
+ (b1 + b2)x2
+ (c1 + c2)x + (d1 + d2)
Výsledkem je opět polynom 3. stupně. Operace je též uzavřená. Velmi jednoduše se dá dále
ukázat, že tyto dvě operace splňují všech 8 výše uvedených požadavků. Jako příklad ukažme
komutativitu:
y1 + y2 = (a1 + a2)x3
+ (b1 + b2)x2
+ (c1 + c2)x + (d1 + d2)
= (a2 + a1)x3
+ (b2 + b1)x2
+ (c2 + c1)x + (d2 + d1) = y2 + y1
Polynomy 3. stupně tedy můžeme považovat za vektory. Množina všech polynomů 3. stupně
společně s operacemi násobení konstantou a sčítání tvoří vektorový prostor.
V dalším textu zúžíme naši představu vektorů pouze na n-tice čísel. Rozlišujeme řádkové vektory
⃗v = 1, 2, 3
a sloupcové vektory
⃗v =



1
2
3



Záměna řádků a sloupců se označuje jako transpozice, značí se T. Tedy
1, 2, 3 =



1
2
3



T
Jednotlivá čísla uvnitř vektoru se označují složky nebo komponenty vektoru, označujeme je
indexy, např. v2 = 2. i-tá složka je vi.
4.1.1 Operace s vektory
Sčítání vektorů a násobení čísle probíhá „po složkách“, angl. element-wise.



5
7
9


 =



1
2
3


 +



4
5
6






−3
−6
−9


 = −3.



1
2
3



Dále definujeme reálné číslo skalární součin 2 vektorů jako
x1, x2, x3 .



y1
y2
y3


 = x1y1 + x2y2 + x3y3
Obecně můžeme psát
⃗u.⃗v =
n
i=1
uivi
60
4.2 Matice
⃗v1
⃗v2
φ
Obrázek 4.2: Operace s vektory
Např. (1, 2, 3).(4, 5, 6)T = 1.4 + 2.5 + 3.6 = 29
Délka vektoru je dle Pythagorovy věty přirozeně
v =∥⃗v∥ = v2
1 + v2
2 + . . . + v2
n
Pomocí skalárního součinu můžeme psát
v =
√
⃗v.⃗v
Geometricky představuje skalární součin kolmou projekci jednoho vektoru do druhého (a násobenou
druhým vektorem), viz obr 4.2.
4.1.2 Lineární kombinace, lineární závislost a nezávislost vektorů
4.1.3 Báze a dimenze vektorového prostoru
vyjádření vektorů jako násobků báze příklad báze polynomů 3. prostoru
4.2 Matice
Maticí rozumíme seskupení několika čísel do obdélníkového nebo čtvercového tvaru. Matici obvykle
uzavíráme do kulatých nebo hranatých závorek. Rozlišujeme řádky a sloupce matice. Např.
A =



1 2 3 3
5 5 8 7
6 9 1 0



je matice nazvaná A s 3 řádky a 4 sloupci. Hovoříme o matici typu 3 × 4. Obecně má matice
typu m × n m řádků a n sloupců. Matice typu m × m se označuje jako čtvercová.
Jednotlivá čísla označujeme jako prvky či elementy matice. Prvek v druhém řádku a třetím
sloupci značíme a23, pro uvedenou matici je a23 = 8. Obecně je prvek v i-tém řádku a j-tém
sloupci aij. Prvek levý horní je a11, prahý horní a1n, levý dolní am1 a prvek pravý dolní je amn.




a11 . . . a1n
... aij
...
am1 . . . amn




Jednolivé řádky matice můžeme považovat za řádkové vektory, sloupce za sloupcové vektory.
61
4 Poznámky k lineární algebře
4.2.1 Typy matic
Kromě obecné matice výše uvedené, kdy je většina čísel v matici odlišných od 0 a není patrna
žádná struktura uspořádání prvků, existují speciální typy matic.
Diagonální matice má prvky jen na hlavní diagonále






1 0 0 0
0 3 0 0
0 0 2 0
0 0 0 7






Jednotková matice je diagonální matice se všemi prvky rovnými 1.
E4 =






1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1






Symetrická matice je symetrická vůči hlavní diagonále






1 −1 7 −3
−1 3 5 4
7 5 2 0
−3 4 0 7






Horní a dolní trojúhelníhová matice






1 −1 7 −3
0 3 5 4
0 0 2 9
0 0 0 7






,






1 0 0 0
−1 3 0 0
7 5 2 0
−3 4 8 7






Transponovaná matice má vyměněné řádky a sloupce. Pro symetrickou matici zjevně platí
AT = A. Transponovaná matice AT k výše uvedené matici A je typu 4 × 3 a zní
AT
=






1 5 6
2 5 9
3 8 1
3 7 0






4.2.2 Hodnost a determinant matic
1. 


1 0 0
0 1 0
0 0 1


 .



1 2 3
4 5 6
7 8 9



2. 


1 2 3
4 5 6
7 8 9


 .



1 2 3
4 5 6
7 8 9



62
4.2 Matice
4.2.3 Operace s maticemi
Sčítání a odčítání matic stejného typu je prosté sčítání a odčítání po prvcích. Např.



1 3 −5
−2 1 4
3 4 −3


 +



1 2 3
4 5 6
7 8 9


 =



2 5 −2
2 6 10
10 12 6



Totéž platí pro násobení matic číslem. Např.
3.



1 2 3
4 5 6
7 8 9


 =



3 6 9
12 15 18
21 24 27



Operace splňují všech 8 výše popsaných vlastností. I množina všech matic stejného typu proto
tvoří vektorový prostor. Chovají se totiž „jako šipky“.
Násobení vektoru maticí je složitější. Matici si představíme jako m řádkových vektorů napsaných
pod sebou a provedeme skalární součin každého řádku s násobeným vektorem. Postupujeme
systémem „řádek-krát-sloupec“. Např.



1 3 −5 1
−2 1 4 1
3 4 −3 1


 .



1
2
3


 =



1.1 + 3.2 + (−5).3 + 1.1
(−2).1 + 1.2 + 4.3 + 1.2
3.1 + 4.2 + (−3).3 + 1.3


 =



−7
14
5



Výsledky vektor má tolik prvků, jako má matice řádků. Násobený vektor musí mít tolik prvků,
jako matice sloupců. Pokud je matice A typu m × n, v násobení ⃗y = A.⃗x má ⃗x n prvků a ⃗y m
prvků.
Nejkomplikovanější je násobení matice maticí , C = A.B. První matici, A, typu m × n si
představíme jako složenou z m řádkových vektorů o n komponentách, druhou matici B typu n×p
jako složenou z p sloupcových vektorů délky n. Provedeme skalární součin každého řádkového
vektoru matice A s každým sloupcovým vektorem matice B. Pro to je nutné, aby byl „vnitřní“
rozměr obou matic, v tomto případě n, stejný, tedy počet sloupců první matice musí být stejný
jako počet řádků druhé matice. Výsledná matice C je typu m × p. Obecně pro prvek s indexy i,
j matice C platí
Cij =
n
k=1
Aik.Bkj
Obr. 4.3 názorně ukazuje postup výpočtu.
Například pro
A =






1 5 6
2 5 9
3 8 1
3 7 0






a
B =



1 6
−2 9
3 −1



je
C = A.B =






1.1 + 5.(−2) + 6.3 1.6 + 5.9 + 6.(−1)
2.1 + 5.(−2) + 9.3 2.6 + 5.9 + 9.(−1)
3.1 + 8.(−2) + 1.3 3.6 + 8.9 + 1.(−1)
3.1 + 7.(−2) + 0.3 3.6 + 7.9 + 0.(−1)






=






9 45
19 48
−10 89
−11 81






63
4 Poznámky k lineární algebře
a1,1 . . . a1,j . . . a1,n
...
...
...
...
...
...
ai,1 . . . ai,j . . . ai,n
...
...
...
...
...
...
am,1 . . . am,j . . . am,n








































b1,1 . . . b1,j . . . . . . b1,p
...
...
...
bi,1 . . . bi,j . . . . . . bi,p
...
...
...
bn,1 . . . bn,j . . . . . . bn,p




























c1,1 . . . c1,j . . . . . . c1,p
...
...
...
...
...
...
ci,1 . . . ci,j . . . . . . ci,p
...
...
...
...
...
...
cm,1 . . . cm,j . . . . . . cm,p








































× +
×
+
× +
×
+
×
Obrázek 4.3: Schéma násobení matic
Matice A je typu 4 × 3, matice B typu 3 × 2 a matice C typu 4 × 2.
4.2.4 Geometrická interpretace násobení vektoru maticí
Mějme jako příklad dvojrozměrný vektor v rovině ⃗u = (u1, u2) a vynásobme jej čtvercovou maticí
typu 2 × 2. Ukažme si několik příkladů, abychom „viděli“, co provede matice s vektorem (obr.
4.4).
Násobením maticí
A =
0 1
1 0
dostaneme nový vektor ⃗v = A.u = (u2, u1). Došlo k výměně složek vektoru, což odpovídá
zrcadlení vektoru podle osy y = x. Matice
A =
1 0
0 2
prodlouží „y-vou“ složku vektoru dvakrát a nezmění „x-vou složku“, provede tedy vertikální
roztažení. Matice
A =
cos φ − sin φ
sin φ cos φ
způsobí rotaci vektoru o úhel φ proti směru hodinových ručiček, ale nezmění velikost vektoru.
Různé matice tedy působí různé, ale pro danou matici charakteristické změny vektoru. Pokud
vektor násobíme čtvercovou maticí, výsledný vektor má stejnou dimenzi. Je možné násobit vektor
i maticí obdélníkovou. Pak klesá nebo roste dimenze vektoru a geometrická interpretace už není
snadná. Mohlo by jít např. o projekci 3D-vektoru do nějaké roviny (2D-vektoru).
64
4.3 Soustavy lineárních algebraických rovnic
1 2 3
1
2
3 ⃗v
⃗u
x
y
(a) Zrcadlení podle osy y = x
1 2 3
1
2
3
⃗v
⃗u
x
y
(b) Vertikální roztažení
1 2 3
1
2
3
⃗v
⃗u
φ = 50◦
x
y
(c) Rotace o 50°
Obrázek 4.4: Geometrická interpretace násobení vektoru maticí
4.2.5 Příklady aplikací matic v biologii a medicíně
převedení z teorie grafů
popis sítí - metabolické, genové regulační ...
analýza vícerozměrných dat. Principal component analysis
klasické fyzikální uplatnění
analýza obrazu
4.3 Soustavy lineárních algebraických rovnic
Soustavou m lineárních algebraických rovnic o n neznámých se rozumí celek m lineárních vzájemně
provázaných rovnic, v nichž se dohromady vyskytuje n neznámých. Soustavou 3 rovnic o
3 neznámých x1, x2, a x3 je například
2x1 +x2 −x3 = 1 (4.1)
−x1−3x2 + 2x3 = 4 (4.2)
3x1 −x3 = −2 (4.3)
Řešením této soustavy je trojice čísel x1, x2, a x3, které můžeme považovat za složky vektoru
⃗x = (x1, x2, x3). Na pravé straně soustavy, za „=“, stojí též 3 čísla, která můžeme považovat
za složky nějakého vektoru, např. ⃗b = (1, 4, −2). Kdybychom z napsané soustavy „vypustili“
proměnné xi, zbyla by nám struktura matice. Seskupme tedy koeficienty u proměnných do
matice A.
A =



2 1 −1
−1 −3 2
3 −1



Pak ale můžeme celou soustavu rovnic ihned přepsat do maticové rovnice
A⃗x = ⃗b
Řešit soustavu rovnic tedy vlastně znamená hledat vektor ⃗x, který vyhovuje dané maticové
rovnici. Geometricky nahlíženo hledáme vektor ⃗x, který matice A přetváří ve vektor ⃗b. Tím jsme
sice dospěli k novému „pohledu“ na řešení soustavy rovnic, ale zatím nám to jakkoli nepomohlo
při vlastním řešení.
65
4 Poznámky k lineární algebře
inverzní matice
gaussova metoda
66