aplikovaná optika III
Seidelovy aberace
◾ osově symetrické soustavy
◾ chybová vlnoplocha
◾ primární aberace: otvorová vada, koma, astigmatismus, křivost, zklenutí
x,y
P
x0,y0 x,h
P'
Gaussova optika
◾ ve skutečnosti se ne všechny paprsky z bodového zdroje sejdou v jediném bodě obrazu:
v rámci obrazové roviny je jejich odchylku od ideálního chodu možno popsat pomocí
paprskových aberací: příčné (r), podélné (Ds), nebo úhlové (h)
◾ v přiblížení gaussovké optiky (paraxiální paprsky) se body zobrazují na body,
dokonce lokálně monotónně
dá se ukázat, že v tomto přiblížení se body roviny kolmé
na optickou osu zobrazí opět do roviny kolmé na osu,
vzniká pojem předmětové a obrazové roviny.
α
Δs
ρ
η
P'
x,y
P' '
z
(nebudeme uvažovat aberace chromatické)
aplikovaná optika III
optická
soustava
předmětová
rovina
obrazová
rovina
výstupní
pupila
vlnová aberace
aberační koeficienty se musí počítat v každé poloze zkušební roviny zvlášť:
jejím vhodným přesouváním lze některé z koeficientů anulovat
(snažíme se vždy o největší z nich)
například, nalezením vhodné polohy zaostření optiky minimalizujeme rozdíl
v přítomnosti aberací je poloha maximální intenzity označována jako „least confusion“
y
z
h1
h2
H (y
'
) rozdíl vlnového chodu
(lze jej rozložit na řadu členů
s aberačními koeficienty)
P
dvě kulové vlnoplochy ze zdroje v P
uzavírající skutečnou vlnoplochu
h2−h1
skutečná vlnoplocha
v centrovaném systému
je osově symetrická
x
P'
aplikovaná optika III
aberace osově symetrického systému
ze symetrie, otočení systému podél osy nesmí mít vliv:
⃗x0=(x0 , y0) ⃗x=(x, y)
◾ přechod k polárním souřadnicím
⃗x0
⋅⃗x0
=x0
2
+y0
2
=x0
2
◾ bez újmy na obecnosti můžeme položit y0=0
x=rcosφ
y=rsin φ
H (x0 , y0 , x , y)→H (x0
2
, x0 rcosφ,r
2
)◾ rozdíl vlnového chodu:
(y0 = 0)
(r představuje aperturu)
aplikovaná optika III
[x,y]
P[x0,y0]
uvažujme konkrétní paprsek:
x
y r
j
◾ mohou tedy zůstat jen členy skalárních součinů
r2
=x2
+y2
⃗x0⋅⃗x=x0 x+y0 y=x0r cosφ
⃗x⋅⃗x=x2
+y2
=r2
rozdíl vlnového chodu: H (x0 , y0 , x , y)
speciální případ - bodový zdroj na optické ose:
+W 400 x0
4
+W040 ρ
4
+W 131 x0 ρ
3
cos θ+W 222 x0
2
ρ
2
cos
2
θ+
aplikovaná optika III
aberace osově symetrického systému
H (r2
)=W000 +W 020 r2
+W 040 r4
+...
H (x0
2
, x0 r cosφ,r2
)= ∑
k ,l, m
W klm x0
k
rl
cosm
φ=
Seidelovy aberace 1856 (osově symetrické systémy)
výhoda Seidelových koeficientů:
celková aberace se dá určit jako součet aberací jednotlivých povrchů
souhrnné označení pro členy nejnižšího aberačního (třetího) řádu:
sférická aberace SI , koma SII , astigmatizmus SIII , křivost SIV , sklenutí pole SV
průměr (piston), náklon (tilt) a defokusace k nim nepatří
aberace vyšších řádů přinášejí mimo jiné další typy poruch (eliptická koma, …)
H=
1
8
SI ρ4
+
1
2
SII x0 ρ3
cos ϑ+
1
2
SIII x0
2
ρ2
cos2
ϑ +
1
4
(SIII+SIV )x0
2
ρ2
+
1
2
SV x0
3
ρcosϑ
SI = S1
I + S2
I + S3
I + S4
I + : : :čili apod.
vztah vlnové a příčné aberace:
příčná aberace v daném směru udává velikost odchylky od bodového obrazu
aplikovaná optika III
ρx=−f
dH (x, y)
dx
ρy=−f
dH ( x, y)
dy
Δ sx=f
ρx
x
Δ sy=f
ρy
yΔs
ρ
P'
x,y
P' '
z
H (x0 ,r ,cosφ)
sférická aberace
příčná aberace pro zónu r apertury má tvar kroužku o poloměru
◾ proti sférické aberaci se účinně bojuje cloněním
◾ příslušná forma sférické aberace je přítomna v každém řádu aproximace
◾ soustavy s opravenou (primární) sférickou aberací se nazývají stigmatické na ose
H (x0
2
, x0
r cosφ,r2
)=W040
r4
=W040
(x2
+y2
)2
ρ=4 f W040 r3
r→0
aplikovaná optika III
kulové zrcadlo parabolické zrcadlo
ρx=−4f W 040 r2
x
ρy=−4 f W 040 r2
y
ρx
2
+ρy
2
=16f 2
W 040
2
r6
ρ
4 f W040 rmax
3
r
rmax
r
fSIr3
/2
◾ aberace se projevuje i pro osové zdroje
sférická aberace s defokusem
Pokud manipulací s rovinou ostření lze ovlivnit velikost stopy, není některá poloha ještě výhodnější, než pro marginální paprsky?
H (x0
2
, x0r cos φ,r
2
)=W040 r
4
+W020 r
2
aplikovaná optika III
ρx=−4f x W040 (r
2
+
W020
2W040
)
ρx
2
+ρy
2
=16f 2
W 040
2
r2
(r2
+
W 020
2W 040
)
2
ρx=−4f y W 040(r
2
+
W 020
2W 040
)
◾ kde se fokusují paprsky marginální zóny rmax ?
jedná se opět o kružnice, s poloměry ρ=|4 f W040 r(r
2
+
W 020
2W 040
)|
ρ(rmax)=0 pokud W020=−2W 040 rmax
2
, po dosazení
ρ=4 f W040 r (rmax
2
−r2
)
ρ
4 f W040 rmax
3
r
rmax
rmax
√3
0.385
◾ přitom pro marginální paprsky platí Δ sx=Δ sy=−4 f 2
W040 rmax
2
rmax fSIrmax
3
/2
rmax
3
◾ místo nejlepší ostrosti je rovina ve 3/4 cesty mezi paraxiální a marginální rovinou ostrosti
koma
příčná aberace má pro zónu ρ apertury tvar kroužku
o poloměru
se středem vysunutým o osy o
- koma se projeví jen pro neosové zdroje, pomáhá clonění
-obrazy jednotlivých kružnic vyplní úhel 60°, délka a šířka celého obrazce jsou v poměru 3:2
- systém zbavený sférické aberace a komy se nazývá aplanát
komasférická aberace
H( y )=
1
2
SII x0 ρ
3
cosϑ
1
2
fSII x0 ρ
2
−fSII x0 ρ
2
aplikovaná optika III
H (x0
2
, x0r cos φ,r
2
)=W131 x0 r
3
cosφ
astigmatismus
- příčná aberace má pro zónu r apertury tvar elipsy s poměrem poloos 1:3
- závislost na velikosti apertury je menší než u předchozích dvou aberací,
pro neosové zdroje ovšem vada rychle roste
- dochází k přesné fokusaci sagitálních a meridionálních paprsků, ale v různých rovinách
aplikovaná optika III
H (x0
2
, x0
r cosφ,r2
)=W222
x0
2
r2
cos2
φ+
1
2
W222
x0
2
r2
=
1
2
W222
x0
2
(3 x2
+y2
)
ρx=−f W 222 x0
2
3 x
ρy=−f W 222 x0
2
y
ρx
2
(3W 222 x0
2
r)
2
+
ρy
2
(W 222 x0
2
r)
2
=1