Fresnelova a Fraunhoferova difrakce.
Dostál Zbyněk
19. prosince 2007
1
Obsah
1 Úvod. 3
2 Vypracování. 3
2.1 Fresnelova difrakce. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.1.1 Výpočet a experiment. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.2 Závěr měření. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Fraunhoferova difrakce. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2.1 Výpočet a experiment. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.2 Závěr měření. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3 Závěr. 11
2
1 Úvod.
V optice se difrakční jevy dělí na Fresnelovy a Fraounhoferovy. Fresnelova
difrakce je ohyb kulové vlny vycházející z bodového zdroje při průchodu
dvourozměrným otvorem ve stínítku. Výsledný difrakční obrazec lze
pozorovat v libovolné vzdálenosti za otvorem stínítka. Speciálním případem
Fresnelovy difrakce je Fraunhoferova difrakce. Při Fraunhoferově difrakci
prochází a za stínítkem se ohýbá rovinná vlna. Výsledný difrakční obrazec
je fokusován do ohniskové roviny fokusující čočky.
2 Vypracování.
2.1 Fresnelova difrakce.
Předpokládáme-li, že štěrbina je rovnoběžně s osou yM a že její okraje mají
souřadnici xM = a a xM = b. Tento předpoklad je zobrazen na obrázku 1.
Vyjdeme-li při výpočtu difrakce na štěrbině z difrakce na obdélníku, pak
musíme zavést následující úpravy vzorců pro výpočet difrakce na obdélníku.
Klademe tedy c = −∞ a d = ∞. Pro Fresnelovu difrakci na obdélníku pro
výpočet proměnných Fresnelových integrálů (va,b, uc,d) platí:
va =
k
π
z1 + z
z1z
x1z + xz1
z1 + z
− a
vb =
k
π
z1 + z
z1z
x1z + xz1
z1 + z
− b
uc =
k
π
z1 + z
z1z
y1z + yz1
y1 + z
− c
ud =
k
π
z1 + z
z1z
y1z + yz1
y1 + z
− d
Kde x, y, z je poloha zdroje kulové vlny, x1, y1, z1 je poloha osvětleného
bodu na stínítku.
Po dosazení úprav nám vyjde: va = va, vb = vb, uc = ∞ a ud = −∞.
A Fresnelovy integrály pak mají tvar: C(va), S(va), C(vb), S(vb), C(uc) =
S(uc) = 1
2 , C(ud) = S(ud) = −1
2 . Dosadíme-li tyto hodnoty do vztahu
pro výpočet nové vlnové funkce ψs, charakterizující Fresnelovu difrakci na
štěrbině:
ψs
ψr
= −
i
2
vb
va
eiπ
2
v2
dv
ud
uc
eiπ
2
u2
du
A po úpravách dostaneme:
ψs
ψr
= Iseiφs
3
Obrázek 1: Schéma štěrbiny.
Kde
Is(va, vb) =
1
2
C(vb) − C(va)
2
+ S(vb) − S(va)
2
Intenzita Is(va, vb) je pro nás důležitá, protože při pokusu budeme měřit v
závislosti na vzdálenost od optické osy. Pro zjednodušení zavedeme rozdíl
va a vb:
∆v = va − vb =
k
π
z1 + z
z1z
(b − a)
Geometrickému stínu okrajů štěrbiny odpovídají v poloze pozorování tyto
souřadnice:
xa = a 1 +
z
z1
− x1
z
z1
xb = b 1 +
z
z1
− x1
z
z1
Střed difrakčního obrazce má polohu:
xm =
a + b
2
1 +
z
z1
− x1
z
z1
Proměnné va, vb pak ve středu difrakčního obrazce nabývají hodnot:
va =
∆v
2
vb = −
∆v
2
Pak je vhodné vyjádřit Is v proměnné v a parametru ∆v
2 :
v =
va + vb
2
=
k
π
z1
z(z1 + z)
(x − xm)
4
∆v
2
=
va − vb
2
=
k
π
z1 + z
z1z
(b − a)
2
Poté pro rozložení intenzity při Fresnelově difrakci platí:
Is v,
∆v
2
=
1
2
C v−
∆v
2
−C v+
∆v
2
2
+ S v−
∆v
2
−S v+
∆v
2
2
Těmito úpravami jsme dostali vztah pro rozložení intenzity při Fresnelově
difrakci v závislosti na souřadnici zobrazované plochy x, šířce štěrbiny d =
b − a, vzdálenostech z, z1 a na vlnové dálce světla λ.
2.1.1 Výpočet a experiment.
Obrázek 2 znázorňuje naše experimentální uspořádání. Štěrbina je od bodového
zdroje P1 umístěna ve vzdálenosti z1 = 0, 610 ± 0, 002m a fotografický
film je umístěn od štěrbiny ve vzdálenosti z = 3, 170 ± 0, 004m. Štěrbina
má šířku d = 0, 0017 ± 0, 00005m a je osvětlována světlem o vlnové délce
λ = 632, 8 · 10−9m. Zvolme xm = 0m.
Obrázek 2: Schéma experimentu.
Nejprve vypočteme vlnové číslo:
k =
2π
λ
=
2π
632, 8 · 10−9
= 9, 929 · 106
m−1
Poté ∆v
2 :
∆v
2
=
k
π
z1 + z
z1z
d
2
=
9, 929 · 106
π
0, 61 + 3, 17
0, 61 · 3, 17
0, 0017
2
= 2, 113
5
δ
∆v
2
=



2 ·


δz2
1 + δz2
z1 + z


2
+
δz1
z1
2
+
δz
z
2




2
+
δd
d
2
·
∆v
2
δ
∆v
2
=


2 ·
0, 0042 + 0, 0022
0, 61 + 3, 17
2
+
0, 004
0, 61
2
+
0, 002
3, 17
2



2
+
0, 00005
0, 0017
2
·2, 113
δ
∆v
2
= 0, 068
∆v
2
= 2, 113 ± 0, 068
V dalším kroku spočteme průběh intenzity Is v závislosti na x takto: V
programu na tvorbu grafů nejprve zadefinujeme výše vypočtené konstanty.
Pak v závislosti na x integrační proměnnou v. Při jejím výpočtu zanedbáme
chybu měření z důvodu její velmi nízké hodnoty.
v(x) =
k
π
z1
z(z1 + z)
x
A následně vlastní průběh intenzity:
Is v(x),
∆v
2
=
1
2
C v−
∆v
2
−C v+
∆v
2
2
+ S v−
∆v
2
−S v+
∆v
2
2
kde
C v −
∆v
2
=
v− ∆v
2
0
cos
π
2
t2
dt
S v −
∆v
2
=
v− ∆v
2
0
sin
π
2
t2
dt
tak získáme průběh intenzity, zobrazený na obrázku 3. A nakonec zjistíme
polohu geometrického stínu e
2 :
e
2
=
xb − xa
2
= d 1 +
z
z1
= 0, 0017 1 +
3, 17
0, 61
= 0, 005267m = 5, 267mm
δ
e
2
=
δd
d
2
+
δz
z
2
+
δz1
z1
2
·
e
2
δ
e
2
=
0, 00005
0, 0017
2
+
0, 002
3, 17
2
+
0, 004
0, 61
2
· 5, 267 = 0, 159mm
6
e
2
= 5, 267 ± 0, 159mm
Z experimentu získaný snímek intenzit (obrázek 4) se s vypočteným průběhem
intenzit shoduje. V grafu jsou také černými body vyznačeny hranice
geometrického stínu.
Obrázek 3: Graf rozložení intenzity.
2.1.2 Závěr měření.
Je vidět, že výsledek experimentu je poměrně shodný s výsledkem vypočtu.
Výpočtový model dobře vystihuje experiment.
2.2 Fraunhoferova difrakce.
Předpokládáme-li, že štěrbina je rovnoběžně s osou yM a že její okraje mají
souřadnici −a
2 a a
2 . Podobně jako u difrakce Fresnelovy odvodíme také vztah
pro výpočet difrakce na štěrbině ze vzorců, popisující difrakci na obdélníku.
Pro zbylé hrany obdélníku položíme b
2 = −∞ a b
2 = ∞. Tento předpoklad
je zobrazen na obrázku 5.
Vlnová funkce popisující Fraunhoferovu difrakci na obdélníku:
ψ(nx, ny) = C
a
2
− a
2
e−iknxxM
dxM
b
2
− b
2
e−iknyyM
dyM
kde nx,y jsou směrové kosiny, C je konstanta a xM a yM jsou souřadnice v
rovině stínítka.
nx =
x
s0
7
Obrázek 4: Snímek Fresnelovy difrakce.
ny =
y
s0
C = −
ik
2π
eiks0
s0
Kde s0 je ohnisková vzdálenost 2. čočky. Dosadíme předpoklad do rovnice
pro vlnovou funkci:
ψ(nx, ny) = C
a
2
− a
2
e−iknxxM
dxM lim
b→∞
b
2
− b
2
e−iknyyM
dyM
A po úpravě:
ψ(nx, ny) = C
2π
k
a
sin(knxa/2)
knxa/2
δ(ny)
Takto jsme získali předpis pro výpočet vlnové funkce, závislé jen na souřadnicích
x a y v rovině fotografického filmu (v ohniskové rovině druhé čočky).
8
Obrázek 5: Schéma štěrbiny.
Protože měříme průběh intenzity, musíme z vlnové funkce získat její průběh
takto:
I(nx, ny) ≈ |ψ(nx, ny)|2
2.2.1 Výpočet a experiment.
Obrázek 6 znázorňuje naše experimentální uspořádání. Musíme zařídit, aby
světelná vlna mezi čočkama byla rovinná. Vložíme-li do této vlny planparalerní
desku a natočíme-li ji o 45◦, pak na vedlejším stínítku pozorujeme
difrakční obrazec. Posunujeme první čočkou tak, aby vzniklé interferenční
proužky měly nekonečnou šířku. To znamená, že máme mezi čočkama dokonale
rovinnou vlnu. Poté musíme určit skutečnou polohu ohniskové roviny
druhé čočky. Místo planparalerní desky vložíme do rovinné vlny podlouhlý
předmět tak, aby rozdělil světelnou vlnu. Tím se rovinná vlna rozdělí na dvě
poloviny. Ty jsou fokusovány do ohniska druhé čočky. Posunujeme rovinu
filmu do té doby, dokud se obě poloviny vlny nesetkají v jednom bodě. Štěrbinu
pak vložíme místo podlouhlého objektu. Změříme ohniskovou vzdálenost
s0 = 3 ± 0, 004m. Štěrbina má šířku d = 0, 0017 ± 0, 00005m a je
osvětlována světlem o vlnové délce λ = 632, 8 · 10−9m.
Nejprve vypočteme vlnové číslo:
k =
2π
λ
=
2π
632, 8 · 10−9
= 9, 929 · 106
m−1
Poté spočteme konstantu C:
C = −
ik
2π
eiks0
s0
= −
i · 9, 929 · 106
2π
ei·9,929·106·3
3
= 3, 437·105
+i3, 992·105
m−2
9
Obrázek 6: Schéma experimentu.
V dalším kroku spočteme průběh intenzity Ix v závislosti na x takto: V
programu na tvorbu grafů nejprve zadefinujeme výše vypočtené konstanty.
Pak v závislosti na x směrový cosinus nx:
nx =
x
s0
Dále zadefinujeme výpočet vlnové funkce:
ψ(nx) = C
2π
k
d
sin(knxd/2)
knxd/2
A nakonec průběh intenzity:
I(nx) = |ψ(nx)|2
Spočteme ještě polohu prvního minima a přesnost této polohy. Pro minimum
platí:
sin (knx0 d/2)
knxd/2
= 0
Z toho plyne:
k
x0d
2s0
= π
A následně:
x0 =
λs0
d
=
632, 8 · 10−9 · 3
1, 7
= 0, 0011m = 1, 1mm
δx0 =
δs0
s0
2
+
δd
d
2
x0
10
δx0 =
0, 004
3
2
+
0, 00005
0, 0017
2
0, 0011 = 0, 00003m = 0, 03mm
x0 = 1, 1 ± 0, 03mm
Tak získáme průběh intenzity, zobrazený na obrázku 7. Z experimentu
získaný snímek intenzit(obrázek 8) se s vypočteným průběhem intenzit sho-
duje.
Obrázek 7: Graf rozložení intenzity.
2.2.2 Závěr měření.
Je vidět, že výsledek experimentu je poměrně shodný s výsledkem vypočtu.
Výpočtový model dobře vystihuje experiment.
3 Závěr.
V tomto měření jsme zhotovili snímky Fresnelovy a Fraunhoferovy difrakce
a porovnali je s vypočtenými průběhy intenzit. V obou měření jsme získali
dobrou shodu experimentu s měřením.
11
Obrázek 8: Snímek Fraunhoferovy difrakce.
12