Přednáška 8
Kontingenční tabulky
Test dobré shody
Fisherův přesný test
McNemar test
Odds ratio a relativní riziko
Institut biostatistiky a analýz, PřF a LF MU
Anotace
• Analýza kontingenčních tabulek umožňuje analyzovat vazbu mezi dvěma
kategoriálními proměnnými.
• Základním způsobem testování je tzv. chi-square test, který srovnává pozorované
četnosti kombinací kategorií oproti očekávaným četnostem, které vychází z teoretické
situace, kdy je vztah mezi proměnnými náhodný.
• Test dobré shody je využíván také pro srovnání pozorovaných četností proti
očekávaným četnostem daným určitým pravidlem (typickým příkladem je HardyWeinbergova
rovnováha v genetice)
• Specifickým typem výstupů odvozených z kontingenčních tabulek jsou tzv. odds ratia a
relativní rizika, využívaná často v medicíně pro identifikaci a popis rizikových skupin
pacientů.
Institut biostatistiky a analýz, PřF a LF MU
Co je kontingenční tabulka ?
• Frekvenční sumarizace dvou kategoriálních proměnných (binárních, nominálních nebo
ordinálních proměnných).
• Obecně: R x C kontingenční tabulka (R – počet kategorií jedné proměnné, C – počet
kategorií druhé proměnné).
• Speciální případ: 2 x 2 tabulka = čtyřpolní tabulka.
• Kontingenční tabulky: absolutních četností, celkových procent, řádkových/sloupcových
četností
• Př.: Sumarizace vyšetřených osob podle pohlaví a výsledku diagnostického testu.
Pohlaví
Výsledek vyšetření
Nemocný Zdravý Celkem
Muž 45 11 56
Žena 25 6 31
Celkem 70 17 87
Institut biostatistiky a analýz, PřF a LF MU
Ukázka kontingenční tabulky
• Vztah pohlaví a výskytu onemocnění (pozor na hodnocení nesmyslného vztahu)
Nemocný Zdravý Celkem
Muž a b a + b
Žena c d c + d
Celkem a + c b + d a + b + c + d = N
Nemocný Zdravý Celkem
Muž 45 11 56
Žena 25 6 31
Celkem 70 17 87
Celkový počet hodnot
Simultánní absolutní četnost
Marginální absolutní
četnost
Jsou více nemocní
muži nebo ženy?
Institut biostatistiky a analýz, PřF a LF MU
Test dobré shody - základní teorie

2
pozorovaná
četnost
očekávaná
četnost
očekávaná četnost
= +
2
pozorovaná
četnost
očekávaná
četnost
očekávaná četnost
1. jev 2. jev
-
2
-
+
…

2
pozorovaná
četnost
očekávaná
četnost
očekávaná četnost
=
2
-
∑
.).(
2
)1(
2
vs −

... zamítáme H0
Testová statistika:
1 - hladina významnosti stupně volnosti
Institut biostatistiky a analýz, PřF a LF MU
Test dobré shody: příklad
Binomické jevy (1/0)

2
)1(
pozorovaná
četnost
očekávaná
četnost
očekávaná četnost= +
2 pozorovaná
četnost
očekávaná
četnost
očekávaná četnost
I. jev 1 II. jev 2
-
2
-
0
1
Příklad 10 000 lidí hází mincí rub: 4 000 případů (R)
líc: 6 000 případů (L)
✓
Lze výsledek považovat za statisticky významně odlišný
(nebo neodlišný) od očekávaného poměru R : L = 1 : 1
(tzn. že je výsledek hodu mincí náhodný)??
Rozdíl je vysoce statisticky významný (p < 0,001)
( ) ( ) 400
5000
50006000
5000
50004000
22
2
=
−
+
−
=
Tabulková hodnota: )195,0(84,3)11(
2
)95,0(
 −===−= k
Institut biostatistiky a analýz, PřF a LF MU
Kontingenční tabulka - hypotézy
• NEZÁVISLOST (Pearsonův chí-kvadrát test, Fisherův exaktní test)
• Jeden výběr, 2 charakteristiky – obdoba nepárového uspořádání
• Např.: existence vztahu mezi barvou očí a známkou z biostatistiky u studentů
• SHODA STRUKTURY (Pearsonův chí-kvadrát test, Fisherův exaktní test)
• Tzv. test homogenity
• Více výběrů, jedna charakteristika – obdoba nepárového uspořádání
• Např.: věková struktura pacientů s diabetem v K nemocnicích (tj. K výběrů)
• SYMETRIE (McNemarův test)
• Jeden výběr, opakovaně jedna charakteristika – obdoba párového uspořádání
• Např.: posouzení stavu stromů ve dvou sezónách
Institut biostatistiky a analýz, PřF a LF MU
Základní rozhodování o výběru statistických testů - analýza
kontingenčních tabulek
Typ dat
Spojitá x spojitá
data
Spojitá x
kategoriální data
Kategoriální x
kategoriální data
Jeden výběr Dva výběry
Tři a více
výběrů
(nepárově)
Jeden výběr Více výběrů
Párová data
Nepárová
data
Pearsonův
korelační
koeficient
Jednovýběrový
t-test
Párový t-test
Dvouvýběrový
t-test
ANOVA
Párová data
Nepárová
data
Chí-kvadrát
test
Spearmanův
korelační
koeficient
Wilcoxonův /
znaménkový
test
Wilcoxonův /
znaménkový
test
MannůvWhitneyho
/
mediánový t.
KruskalůvWallisův
test /
mediánový t.
Jednovýběrový
binomický test
McNemarův
test
Fisherův
exaktní test
Parametrické testy
Neparametrické testy
Institut biostatistiky a analýz, PřF a LF MU
Kontingenční tabulka - obecně
• Máme dvě nominální veličiny, X (má r variant) a Y (má s variant)
• Kontingenční tabulka typu r x s
• Označení:
• njk- simultánní absolutní četnost,
• nj.- marginální absolutní četnost
y[1] ….. ….. y[s] nj.
x[1] n11 ….. ..... n1s n1.
. . ….. ….. . .
. . ….. ….. . .
x[r] nr1 ….. ….. nrs nr.
n.k n.1 . . n.s n
x[j]
y[k]
Simultánní absolutní
četnost
Marginální absolutní
četnost
Marginální absolutní
četnost
Institut biostatistiky a analýz, PřF a LF MU
Kontingenční tabulky H0 :Nezávislost dvou jevů A a B
Kontingenční
tabulka
2 x 2
N = a + b + c + d
( ) ( )
N
ba
BP
+
=+
( ) ( )
N
dc
BP
+
=−
+ - Podíl (+)
+ a b
- c d
Podíl (+)
B A
( )ca
a
+ ( )db
b
+
( )ba
a
+
( )dc
c
+
p1
p2
Očekávané četnosti:
( )( )
N
caba
F A
++
=)(
( )( )
N
dbba
F B
++
=)(
( )( )
N
cdca
F C
++
=)(
( )( )
N
dcdb
F D
++
=)(
( )
=
=
−
=
4
1
2
2
1
i i
ii
F
Ff

)1(*)1(1 −−== cr
( ) ( )BA PP ;
( )

−−
=
ij
ijij
c
F
Ff
2
2
5,0

Institut biostatistiky a analýz, PřF a LF MU
Očekávané četnosti v kontingenční tabulce
• Očekávané četnosti pro výpočet testu dobré shody v kontingenční tabulce odpovídají
tabulce, která nemá žádný vztah mezi řádky a sloupečky (náhodný vztah řádků a
sloupců)

2
)1(
pozorovaná
četnost
očekávaná
četnost
očekávaná četnost=
2
Počítáno
pro
každou buňku
tabulky
 ☺
A 10 0
B 0 10
Pozorovaná tabulka
 ☺
A 5 5
B 5 5
Očekávaná tabulka
Institut biostatistiky a analýz, PřF a LF MU
Testování nezávislosti – Pearsonův chí-kvadrát test
• Souvisí spolu výskyt dvou nominálních znaků měřených na jediném výběru?
• Příklad: Barva očí (modrá, zelená, hnědá) a barva vlasů (hnědá, černá, blond) u
vybraných 30 studentů jsou nezávislé.
• Nulová hypotéza: Znaky X a Y jsou nezávislé náhodné veličiny.
• Alternativní hypotéza: Znaky X a Y jsou závislé náhodné veličiny.
• Test: Pearsonův chí-kvadrát
• Očekávané (teoretické) četnosti ejk :
• H0 zamítáme na hladině významnosti α, pokud
• Předpoklady testu ?
( ))1)(1(
)( 2
1 1
2
−−
−
= = =
sr
e
en
K
r
j
s
k jk
jkjk

H0 platí
n
nn
e
kj
jk
..
=
( ))1)(1(2
1 −− − srK 
Institut biostatistiky a analýz, PřF a LF MU
Testování nezávislosti – Pearsonův chí-kvadrát test
Předpoklady Pearsonova chí-kvadrát testu:
• Jednotlivá pozorování shrnutá v kontingenční tabulce jsou nezávislá, tj. každý prvek
patří jen do jedné buňky kont. tabulky, nemůže zároveň patřit do dvou.
• Podmínky dobré aproximace: Očekávané (teoretické) četnosti jsou aspoň v 80 %
případů větší nebo rovné 5 a ve 100 % případů nesmí být pod 2 (pokud není tento
předpoklad splněn, je vhodné sloučit kategorie s nízkými četnostmi).
• Měření síly závislosti:
Cramérův koeficient:
Význam hodnot: 0-0,1….zanedbatelná závislost
0,1-0,3…slabá závislost
0,3-0,7…střední závislost
0,7-1 silná závislost
  ( )1,0int,,min,
)1(
ervaluzjeVsrmkde
mn
K
V =
−
=
Institut biostatistiky a analýz, PřF a LF MU
Kontingenční tabulky: příklad
FA = 102 * 30 / 166 = 18,43
FB = 102 * 136 / 166 = 83,57
FC = 11,57
FD = 52,43
( ) ( ) ( ) ( ) 423,0
43,52
43,5254
57,11
57,1110
57,83
57,8382
43,18
43,1820
2222
2
)1( =
−
+
−
+
−
+
−
= 84,3423,0 )1(2
95,0 = 
Ano Ne 
Ano 20 82 102
Ne 10 54 64
 30 136 166
gen 
Kontingenční tabulka v obrázku
15,6
84,4
Zemřelí Žijící
%
20
80
Zemřelí Žijící
%c: 49%
d: 33%
a: 12%
b: 6%
Gen: ANO Gen: NE
Institut biostatistiky a analýz, PřF a LF MU
Výstup řešení v SW
Tab.1: Pozorované četnosti
Jsou splněny podmínky dobré aproximace?
Tab. 3: Paersonův chí-kvadrát
p- hodnota
Hodnota testové statistiky
Počet stupňů volnosti
Tab. 2: Očekávané četnosti
Institut biostatistiky a analýz, PřF a LF MU
R x C kontingenční tabulka
Výběr: N lidí ze sociologického průzkumu (delikventi)
Jev A: Původ z rozvrácených rodin
Jev B: Stupeň zločinnosti I < II < III < IV
I. II. III. IV. 
číslo 1ANO a b c d
NE e f g h

A B
číslo2
Stupně volnosti:
(R-1) * (C-1) = 1 * 3 = 3 N
čísločíslo
Fa
21
=
)(2
)1(

 −Tabulky:
Očekávané četnosti:
ea
a
pa
+
=
fb
b
pb
+
=
gc
c
pc
+
=
hd
d
pd
+
=
Institut biostatistiky a analýz, PřF a LF MU
Rekódování kategoriálních proměnných na binární
Původní Dummies Vzhledem k referenci
NYHA NYHA I NYHA II NYHA III NYHA IV NYHA II ref NYHA III ref NYHA IV ref
I 1 0 0 0 0 0 0
I 1 0 0 0 0 0 0
I 1 0 0 0 0 0 0
II 0 1 0 0 1
II 0 1 0 0 1
III 0 0 0 0 1
III 0 0 0 0 1
IV 0 0 1 1 1
IV 0 0 1 1 1
Institut biostatistiky a analýz, PřF a LF MU
Rekódování kategoriálních proměnných na binární
• Kategoriální a ordinální data mohou do analýzy vstupovat jako binární proměnné
• Kategoriální data (nelze seřadit) -> dummies
• Ordinální data (lze seřadit)
• Dummies
• Definice referenční kategorie (obvykle kategorie s nejnižším rizikem pro hodnocený endpoint
• Příklad: The New York Heart Association (NYHA) Functional Classification
Původní Dummies Vzhledem k referenci
NYHA NYHA I NYHA II NYHA III NYHA IV NYHA II ref NYHA III ref NYHA IV ref
I 1 0 0 0 0 0 0
I 1 0 0 0 0 0 0
I 1 0 0 0 0 0 0
II 0 1 0 0 1
II 0 1 0 0 1
III 0 0 0 0 1
III 0 0 0 0 1
IV 0 0 1 1 1
IV 0 0 1 1 1
Institut biostatistiky a analýz, PřF a LF MU
Test dobré shody: příklad I
H0: Pozorovaná frekvence pro jednotlivé barvy květů jsou vzorkem populace mající poměr mezi
žlutými a červenými květy 3 :1.
Součet frekvencí u obou barev květů (fi) se rovná 100 a pozorované frekvence u kategorií barvy
budou srovnány s očekávanými frekvencemi (uvedeny v závorkách):
✓
Ověřte na datech z pokusu se 100 květinkami určitého druhu, že barva květů se geneticky štěpí v
poměru žlutá : červená = 3 : 1.
?
Kategorie barvy
Žlutá Červená n
f poz. 84 16 100
f oček. 75 25
St. volnosti = n = k - 1 = 1
( ) ( ) ( ) 320,4
25
2516
75
7584
22
.
2
..2
=
−
+
−
=
−
= 
oč
očpoz
f
ff

Zamítáme hypotézu shody srovnávaných četností
Při testování H0 jsme použili matematický zápis (0,025 < P < 0,05). Z tabulek 2 rozložení vidíme, že
pravděpodobnost překročení hranice 2,706 je 0,1 (10 %), což může být stručně zapsáno jako
P (2  2,706) = 0,10.
Dále lze zjistit pro P (2  3,841) = 0,05. V řešené úloze jsme dospěli k hodnotě testové statistiky 2 = 4,320.
Pro tento případ lze tedy psát 0,025 < P (2  4,320) < 0,05; a jednodušeji 0,025 < P < 0,05. Jde v podstatě o
přibližné určení hranic chyby 1. druhu.
Institut biostatistiky a analýz, PřF a LF MU
Test dobré shody: příklad II
Celkem bylo zkoumáno 250 semen určitého druhu rostliny a roztříděno do následujících
kategorií: žluté/hladké; žluté/vrásčité; zelené/hladké; zelené/vrásčité. Předpokládaný poměr
výskytu těchto kategorií v populaci je 9 : 3 : 3 : 1. Následující tabulka obsahuje původní data
z pozorování a dále postup při testování H0.
✓
Tento příklad je rozšířením problému z příkladu 1 na srovnání pozorovaných a
očekávaných frekvencí pro více kategorií sledovaného znaku:
žluté/hladké žluté/vrásčité zelené/hladké zelené/vrásčité n
f poz. 152 39 53 6 250
f oček. 140,6250 46,8750 46,8750 15,6250
 = k - 1 = 3
Zamítáme hypotézu shody pozorovaných četností s očekávanými
972,8
6250,15
6250,9
8750,46
1250,6
8750,46
8750,7
6250,140
3750,11 2222
2
=+++=
Institut biostatistiky a analýz, PřF a LF MU
Test dobré shody: příklad III
Předpokládejme, že chceme pro data z předchozí úlohy testovat hypotézu
existence štěpného poměru 9 : 3 : 3 pro první tři kategorie semen:
✓
Složitější příklady řešené srovnáváním frekvencí je možné rozdělit na testování dílčích
hypotéz:
žluté/hladké žluté/vrásčité zelené/hladké n
f poz. 152 39 53 244
f oček. 146,400 48,800 48,800
544,2
80,48
200,4
80,48
800,9
40,146
600,5 222
2
=++=
n = k - 1 = 2
Nezamítáme hypotézu shody pozorovaných četností s očekávanými.
Nyní otestujeme hypotézu štěpného poměru kategorií zelené/vrásčité:ostatní
typy = 1:15
✓
zelené/vrásčité ostatní n
f poz. 6 244 25
f oček 15,625 234,375
n = k - 1 = 1
324,6
375,234
625,9
625,15
625,9 22
2
=+=
Zamítáme hypotézu shody pozorovaných četností s očekávanými.
Institut biostatistiky a analýz, PřF a LF MU
Testování homogenity (shody struktury)
• Motivace: Zajímá nás výskyt nominálního znaku u r nezávislých výběrů z r různých
populací.
• Příklad: Je zájem o sport stejný u děvčat jako u chlapců?
• Nulová hypotéza: pravděpodobnostní rozdělení kategoriální proměnné je stejné v
různých populací
• Test: Pearsonův chí-kvadrát Dívky Chlapci
Zájem
o sport
Ano a b a+b
Ne c d c+d
a+c b+d n
Některé marginální četnosti (buď sloupcové nebo řádkové)
jsou předem pevně stanoveny
Institut biostatistiky a analýz, PřF a LF MU
Test homogenity binomických rozložení
Jev: Úmrtnost na leukemii
Předpoklad:  = 0,6
Absolutní četnost jevu označena ri
✓
Sledovalo s autorů z s zemí:
Autor ni ri pi
1
2
.
.
.
s
Test shody reálného r
S
p
p i=
( )
( )pp
rppr iii
S
−
−
=
 
−
1
2
1Test homogenity binomických rozložení
Po možném sloučení s výběrů
( )−






−−
=

1
2
1
2
2
)1(
N
Nri

( )  nari
Nni =
Institut biostatistiky a analýz, PřF a LF MU
Test homogenity binomických četností: příklad
Bylo provedeno 6 nezávislých výběrů z populace mladých mužů, kteří v dětství onemocněli
těžkým zánětem mozkových blan.
H0: V této populaci se vyskytují praváci a leváci v poměru 1 : 1.
Pomocí 2 rozložení lze rovněž posuzovat homogenitu většího množství nezávislých
pokusů testujících tutéž hypotézu.
Nalezněte v literatuře příslušné vztahy pro testování homogenity všech šesti výběrových populací
a na základě výsledků tohoto testu rozhodněte o dalším postupu.
Následující tabulka
obsahuje původní
data a výsledek
testování (v
závorkách jsou
uvedeny očekávané
četnosti):
Vzorek Praváci Leváci n 2 St. volnosti
1 3 (7) 11 (7) 14 4,5714 1
2 4 (8) 12 (8) 16 4,000 1
3 15 (10) 5 (10) 20 5,000 1
4 14 (9) 14 (9) 18 5,5556 1
5 13 (8,5) 4 (8,5) 17 4,7647 1
6 17 (11) 5 (11) 22 6,5455 1
2,302
=taheterogeni
51=−= s
001,0P
Jednoduchým testováním lze zjistit, že všechny testy pro jednotlivé výběry jsou významné, což znamená, že ani v jednom
případě nebyla potvrzena shoda očekávaných a pozorovaných četností. Test homogenity štěpného poměru v zkoumaných
populacích rovněž vedl k zamítnutí možnosti sloučit jednotlivé výběry a posuzovat je jako celek (kromě testovaného poměru 1 : 1
neexistuje tedy v datech žádný jiný jednotný štěpný poměr mezi oběma vlastnostmi.
V případě, že by tento test neprokázal odchylky mezi jednotlivými výběrovými populacemi, bylo by možné jednotlivé odběry
sloučit a posuzovat jako homogenní vzorek.
Institut biostatistiky a analýz, PřF a LF MU
2 test - příklad frakcionace složitější kontingenční tabulky I
Cílem rozsáhlejšího průzkumu populace bylo prozkoumat vztah mezi dvěma typy chorob a
krevními skupinami u lidí. Konkrétní data jsou uvedena v tabulce:
Krevní skupina Žaludeční vředy Rakovina žaludku Kontrola Celkem
0 983 383 2892 4258
A 679 416 2625 3720
B 134 84 570 788
Celkem 1796 883 6087 8766
Vypočítejte testovou charakteristiku pro tuto kontingenční tabulku a
otestujte nulovou hypotézu nezávislosti jevů (2 = 40,54; 4 st. volnosti)
Institut biostatistiky a analýz, PřF a LF MU
2 test - příklad frakcionace složitější kontingenční tabulky II
K podrobnějšímu průzkumu složitějších tabulek výrazně napomáhá přepis původní tabulky
do podoby procentického zastoupení kategorií:
Krevní skupina Žaludeční vředy Rakovina žaludku Kontrola
0 983 383 2892
A 679 416 2625
B 134 84 570
Celkem 1796 883 6087
Jsou jenom malé rozdíly v distribuci krevních skupin u kontroly a u
skupiny nemocných rakovinou žaludku.
Pacienti s vředy mají mnohem častěji krevní skupinu 0.
Z této tabulky je patrné:
1.
2.
Na základě těchto poznatků je možné sestrojit menší kontingenční tabulku, která otestuje
hypotézu o shodné distribuci krevních skupin pro nemocné rakovinou a pro zdravé lidi.
Sestavte tuto tabulku a otestujte nulovou hypotézu.
(2 = 5,64 (2 st. v.), P je přibližně rovna 0,06)
Institut biostatistiky a analýz, PřF a LF MU
2 test - příklad frakcionace složitější kontingenční tabulky III
• Z tohoto dílčího testu vyplývá možnost sloučení skupiny nemocných rakovinou a
zdravých lidí neboť se vzhledem k distribuci krevních skupin chovají jako homogenní
populace.
• Dalším logickým krokem v podrobné analýze je testování shody relativních četností
výskytu krevních skupin A a B mezi kombinovaným vzorkem (sloučená skupina s
rakovinou a kontrola) a mezi vzorkem lidí nemocných žaludečními vředy - tzn. nyní
neuvažujeme krevní skupinu 0. Výsledkem tohoto testu je 2 = 0,68 (1 st. vol.); P > 0,7.
Vzorky pro krevní skupiny A a B lze tedy sloučit do směsného vzorku A + B.
• Nyní otestujeme shodu relativních četností výskytu skupiny 0 oproti A + B, a to mezi
kombinovanou populací (kontrola + nemocní rakovinou) a mezi vzorkem nemocných
vředařů (c2 = 34,29; 1 st. vol.).
• Lze tedy shrnout, že vysoká hodnota původního c2 se 4 st. volnosti byla způsobena
zvýšenou četností lidí s krevní skupinou 0 mezi nemocnými žaludečními vředy.
Institut biostatistiky a analýz, PřF a LF MU
2 test - příklad frakcionace složitější kontingenční tabulky IV
Srovnání St. volnosti 2
0, A, B skupina u pacientů s rakovinou (r) x kontrola (k) 2 5,64
A, B skupina u pacientů s vředy x kombinovaný vzorek (r + k) 1 0,68
0, A, B skupina u pacientů s s vředy x kombinovaný vzorek (r + k) 1 34,29
Celkem 4 40,61
Průběh hodnocení lze shrnout do tabulky:
Celkový součet testových statistik 2 (40,61) odpovídá přibližně původní hodnotě
2 (40,54). Což platí i o stupních volnosti (4). Tato skutečnost potvrzuje, že jsme
detailním rozborem vyčerpali informační obsah původní kontingenční tabulky a
kromě popsané závislosti (zvýšený výskyt krevní skupiny 0 u lidí s žaludečními
vředy) jsou jednotlivé kategorie zkoumaných jevů zcela nezávislé.
Institut biostatistiky a analýz, PřF a LF MU
Kontingenční tabulka 2 x 2: Řešení při nedostatečné velikosti vzorku
Test analyzuje všechny možné 2 x 2 tabulky, které dávají stejnou sumu řádků a
sloupců jako tabulka zdrojová.
Algoritmus každé tabulce přiřazuje pravděpodobnost, že taková situace nastane, je-li
H0 pravdivá.
Yates' corection Fisher's exact test
H0: Nezávislost jevů✓
Spectacle wearing among juvenile delinquents and non-delinquents who failed a vision
test (Weindling et al., 1986)
Spectacle wearers
Juvenile delinquents Non- deliquents Total
Yes 1 5 6
No 8 2 10
Total 9 7 16
Institut biostatistiky a analýz, PřF a LF MU
Kontingenční tabulka 2 x 2: Řešení při nedostatečné velikosti vzorku
a b c d P
( I ) 0 6 9 1 0,00087
( II ) 1 5 8 2 0,02360
( III ) 2 4 7 3 0,15734
( IV ) 3 3 6 4 0,36713
( V ) 4 2 5 5 0,33042
( VI ) 5 1 4 6 0,11014
( VII ) 6 0 3 7 0,01049
Total 0,99999
Pravděpodobnost náhodného
vzniku variant tabulky
Všechny možné varianty tabulky s
danou sumou řádků a sloupců
0 6
9 1
1 5
8 2
2 4
7 3
6 0
3 7
5 1
4 6
4 2
5 5
3 3
6 4
(I)
(II)
(III)
(IV)
(V)
(VI)
(VII)
Institut biostatistiky a analýz, PřF a LF MU
Fisherův exaktní test
• Využití ve čtyřpolní tabulce (v současnosti i větší díky vyššímu výkonu počítačů) s
nízkými četnostmi, které znemožňují použití Pearsonova chí-kvadrát testu.
• Patří mezi neparametrické testy pracující s daty na nominální škále, v nejjednodušší
podobě ve dvou třídách: pozitivní/negativní, úspěch/neúspěch apod.
• Nulová hypotéza předpokládá rovnoměrné zastoupení sledovaného znaku u dvou
nezávislých souborů.
• Slovo exaktní (přímý) znamená, že se přímo vypočítává pravděpodobnost odmítnutí,
resp. platnosti nulové hypotézy.
Institut biostatistiky a analýz, PřF a LF MU
Fisherův exaktní test
• Výpočet „přesné“ p-hodnoty, která zde hraje roli testové statistiky:
• spočítá se parciální pravděpodobnost čtyřpolní tabulky p1:
• Spočítá se pa všech možných tabulek při zachování marginálních četností (řádkové a
sloupcové součty) a výsledná p-hodnota je součtem pa menších nebo stejných jako p1,
která přísluší pozorované tabulce.
Institut biostatistiky a analýz, PřF a LF MU
Test hypotézy o symetrii (McNemarův test pro čtyřpolní tabulku)
• Motivace: Na osobách sledujeme binární proměnnou před pokusem a po něm, cílem je zjistit,
zda došlo ke změně v rozdělení této proměnné.
• Analýza párových dichotomických proměnných
• Nulová hypotéza: , pokus nemá vliv na výskyt daného znaku
• Testová statistika: pokud je větší než kritická hodnota rozdělení o
jednom stupni volnosti (vhodné pro počty údajů b+c > 8), pak nulovou hypotézu zamítáme
po
+ - nj.
před + a b a+b
- c d c+d
n.k a+c b+d n
Četnostní tabulka Tabulka teoretických pravděpodobností
po
+ před
+ p11 p12 p1.
- p21 p22 p2.
p.1 p.2
cb
cb
+
−−
=
2
2 )1(

jiij pp =
2

Institut biostatistiky a analýz, PřF a LF MU
McNemarův test: příklad I
• Zjistěte, zda úspěch našich sportovců na Olympiádě nebo ve Světovém poháru vede ke
změně postojů žáků ke sportování.
• Nulová hypotéza: Počet žáků, kteří změní svůj postoj pozitivním směrem, je pouze
náhodně odlišný od počtu žáků, kteří změní svůj postoj negativním směrem.
• Závěr: Úspěch našich sportovců má pozitivní vliv na postoj žáků vzhledem k
provozování sportu.
Postoj po výuce
+ -
Postoj
před
výukou
+ 5 3 8
- 16 2 18
21 5 26
58,7
163
)1163( 2
2
=
+
−−
=
84,3)12/)1((2
1 ==−=− kkvTabulky:
H0 zamítnuta
Stupně volnosti
Institut biostatistiky a analýz, PřF a LF MU
McNemarův test: příklad II
Příklad: Srovnání 2 metod stanovení antigenu v krvi (antigen vždy přítomen)
H0: metoda 1 = metoda 2
✓
Metoda 1 Metoda 2 Frekvence
úspěch úspěch 202
úspěch neúspěch 60
neúspěch úspěch 42
neúspěch neúspěch 10
102 =
( ) 83,2
102
14260
2
2
)( =
−−
=c
84,3: )1(2
1 ==
−

Tabulky
H0 nezamítnuta
Institut biostatistiky a analýz, PřF a LF MU
Aplikace analýzy 2 x 2 tabulky pro hodnocení rizika
I. Prospektivní studie - odhad relativního rizika
Jedinci jsou sledováni prospektivně, zda se vyskytne nějaká vlastnost.
VÝBĚR JE DÁN SLOUPCEM
OBECNĚ PŘÍKLAD
Skupina
1
Skupina
2
Znak
ANO a b
NE c d
Riziko:
H0: RR = 1
✓
( )ca
a
+ ( )db
b
+
( )
( )db
b
ca
a
RR
+
+
=
Retardace plodu
Symetrická Asymetrická
Agpar
skore
> 7
ANO 2 33
NE 14 58
2/16=0,13 33/91=0,36
345,0
91/33
16/2
==RR
Riziko u "symetrické skupiny" je asi 35 %
rizika u asymetrické skupiny
( )
dbbcaa
RRSE
+
−+
+
−=
1111
ln
IS: ln RR - Z 1-/2 . SE (ln RR)
ln RR + Z 1-/2 . SE (ln RR)
Institut biostatistiky a analýz, PřF a LF MU
Aplikace analýzy 2 x 2 tabulky pro hodnocení rizika
II. Retrospektivní studie - "ODDS RATIO"
Zcela zásadně odlišný přístup od retrospektivní studie
VÝBĚR JE DÁN VLASTNOSTÍ - ŘÁDKEM
Není tedy možné analyzovat relativní riziko, protože přípravou řádků můžeme měnit
velikost kontrol.
OBECNĚ PŘÍKLAD
Skupina
1
Skupina
2
Znak
ANO a b
NE c d
Vady chrupu
ANO NE
Plavání
týdně
< 6h 32 118
≥ 6h 17 127
odds a/c b/d
db
ca
ratioOdds
/
/
:
dcba
ORSE
1111
)(ln +++=
( ) ( ) 026,2127/118/17/32 ==OR
( ) 706,0ln =OR
( )( ) 326,0ln =ORSE
Institut biostatistiky a analýz, PřF a LF MU
Relative risk vs. Odds ratio ?
• Smysl RR a OR
• Výpočet
• Srovnatelnost
• Interpretace
• Výhody a nevýhody
• Aplikace v klinickém hodnocení
Relative risk
(relativní riziko)
Odds ratio
(poměr šancí)
Institut biostatistiky a analýz, PřF a LF MU
Smysl RR a OR
• Popis vlivu faktoru (léčba, klinický parametr) na výskyt události
(úmrtí, progrese aj.)
Relative risk
(relativní riziko)
Odds ratio
(poměr šancí)
 Snadná přirozená
interpretace rizik
vyjádřených jako procento
událostí
ALE
 Matematická omezení pro
některé aplikace
 Pouze málo lidí má
přirozenou schopnost
interpretovat OR
ALE
 OR v řadě aplikací výhodnější
matematické vlastnosti
Institut biostatistiky a analýz, PřF a LF MU
Výpočet
Relative risk
(relativní riziko)
Odds ratio
(poměr šancí)
event
A B
RR= 2
10
3
10
6
== OR= 5.3
7
3
4
6
==
bez eventu
Institut biostatistiky a analýz, PřF a LF MU
Vztah mezi RR a OR
Zhang, J. et al. JAMA 1998;280:1690-1691.
Relative risk
(relativní riziko)
Odds ratio
(poměr šancí)
RR a OR je přímo
srovnatelné pouze při
nízkém bazálním riziku
Institut biostatistiky a analýz, PřF a LF MU
Srovnatelnost RR a OR I: maximum
• RR mění své maximum podle bazálního
rizika
Relative risk
(relativní riziko)
Odds ratio
(poměr šancí)
Bazální riziko
MaximálnímožnéRR
 Odds ratio má vždy rozsah od 0 do
nekonečna
 Velikost OR není závislá na velikosti
bazálního rizika
 OR lze použít pro srovnání studií s
různým bazálním rizikem !!!!
 Výhodné pro metaanalýzu
 RR ve studiích s různým bazálním rizikem
jsou nesrovnatelná !!!!
Institut biostatistiky a analýz, PřF a LF MU
Srovnatelnost RR a OR I: symetrie
• Existuje mezi RR a O rozdíl v případě výměny definice eventu a non-eventu?
Relative risk
(relativní riziko)
Odds ratio
(poměr šancí)
I II
vs.
RR(II)= 2
10
3
10
6
== OR(II)= 5.3
7
3
4
6
==
RR(I)= 57.0
10
7
10
4
== OR(I)= 29.0
3
7
6
4
==
)(
1
)(
IIOR
IOR =
)(
1
)(
IIRR
IRR 
Institut biostatistiky a analýz, PřF a LF MU
RR a OR ve studiích s různou mírou bazálního rizika
ControlCase
Výskyt eventu (%)
Výskyt eventu (%)
Bazální (control) výskyt eventu (%)
Ve skupině „Case“ připadá na jednoho
pacienta bez eventu 4x tolik pacientů s
eventem než ve skupině „Control“
Odds ratio
RR/OR
Relative risk
Pacient ve skupině „Case“ má x-krát zvýšenou
pravděpodobnost výskytu eventu než pacient
ve skupině „Control“. X-krát závisí na basálním
výskytu eventu.
Institut biostatistiky a analýz, PřF a LF MU
RR a OR v prospektivních a retrospektivních studiích
 Zpětné sledování příčin eventu
 Převážně case-control studie
 Výběrem pacientů ovlivňujeme
bazální výskyt eventu
Retrospektivní studieProspektivní studie
 RR nelze použít –ovliněno bazálním
výskytem eventu
 Využití OR – není ovliněno designem
studie
 Sledování výskytu eventu a následná
analýza jeho příčin
 Převážně kohortní studie
 Bazální výskyt eventu je dán vlastnostmi
kohorty pacientů
 Bezproblémové využití RR
Relative risk
(relativní riziko) Odds ratio
(poměr šancí)
Institut biostatistiky a analýz, PřF a LF MU
Relative risk vs. Odds ratio: shrnutí
 Intuitivně snadno
interpretovatelné
 Pro prospektivní studie
 Maximum se liší podle bazální
hodnoty výskytu eventu
Relative risk
(relativní riziko)
Odds ratio
(poměr šancí)
 Retrospektivní studie
 Aplikace v metaanalýze
 Standardní výstup logistické regrese
 Rozsah vždy 0 až nekonečno, není
ovlivněno bazálním výskytem eventu
 Obtížnější interpretace