Přednáška 6
Pojmy z oblasti statistického
testování
Typy testů
Normalita dat a její význam pro testování
Institut biostatistiky a analýz, PřF a LF MU
Parametrické vs. neparametrické testy
• Parametrické testy
• Mají předpoklady o rozložení vstupujících dat (např. normální rozložení)
• Při stejném N a dodržení předpokladů mají vyšší sílu testu než testy
neparametrické
• Pokud nejsou dodrženy předpoklady parametrických testů, potom jejich síla
testu prudce klesá a výsledek testu může být zcela chybný a nesmyslný
• Neparametrické testy
• Nemají předpoklady o rozložení vstupujících dat, lze je tedy použít i při
asymetrickém rozložení, odlehlých hodnotách, či nedetekovatelném rozložení
• Snížená síla těchto testů je způsobena redukcí informační hodnoty původních dat,
kdy neparametrické testy nevyužívají původní hodnoty, ale nejčastěji pouze jejich
pořadí
Institut biostatistiky a analýz, PřF a LF MU
Problémy parametrických a neparametrických testů
Parametrické testy
• Reálná data neodpovídají
modelovému rozdělení
5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000 50000 55000
Neparametrické testy
• Díky převodu dat na pořadí ztrácíme část
informace
40 50 60 70 80 90 100 110 120
V původních
datech vidíme
„mezeru“ mezi
skupinami
Po převodu na pořadí o tuto informaci přicházíme.
Institut biostatistiky a analýz, PřF a LF MU
Jednovýběrové a dvouvýběrové testy
• Jednovýběrové testy (one-sample)
• Srovnávají jeden vzorek (one sample, jednovýběrové testy) s referenční hodnotou
(popřípadě se statistickým parametrem cílové populace)
• V testu je tedy srovnáváno rozložení hodnot (vzorek) s jediným číslem (referenční hodnota,
hodnota cílové populace)
• Otázka položená v testu může být vztažena k průměru, rozptylu, podílu hodnot i dalším
statistickým parametrům popisujícím vzorek
• Dvouvýběrové testy (two-sample)
• Srovnávají navzájem dva vzorky (two sample, dvouvýběrové testy)
• V testu jsou srovnávány dvě rozložení hodnot
• Otázka položená v testu může být opět vztažena k průměru, rozptylu, podílu hodnot i
dalším statistickým parametrům popisujícím vzorek
• Kromě testů pro dvě skupiny hodnot existují samozřejmě i testy pro více skupin dat
Institut biostatistiky a analýz, PřF a LF MU
Jednostranné a oboustranné hypotézy
• Jednostranné testy (one–tailed)
• Hypotéza testu je postavena asymetricky, tedy ptáme se na
větší než/ menší než
• Test může mít pouze dvojí výstup – jedna z hodnot je větší
(menší) než druhá a všechny ostatní případy
• Pouze v případě jasné hypotézy – jinak může být napadnuto
za účelovost (při vhodném výběru směru testování snažší
potvrzení významnosti)
• Oboustranné testy (two–tailed)
• Hypotéza testu se ptá na otázku rovná se/nerovná se
• Test může mít trojí výstup – menší - rovná se – větší než
• Situace nerovná se je tedy souhrnem dvou možných
výstupů testu (menší+větší)
• Významově neutrální
Kritický obor (0.05)
Kritický obor
(0.025+0.025=0.05)
Institut biostatistiky a analýz, PřF a LF MU
Nepárový vs. párový design
• Nepárový design
• Skupiny srovnávaných dat jsou na sobě zcela nezávislé (též
nezávislý, independent design), např. lidé z různých zemí, nezávislé
skupiny pacientů s odlišnou léčbou atd.
• Při výpočtu je nezbytné brát v úvahu charakteristiky obou skupin
dat
• Párový design
• Mezi objekty v srovnávaných skupinách existuje vazba, daná např.
člověkem před a po operaci, reakce stejného kmene krys atd.
• Vazba může být buď přímo dána nebo pouze předpokládána (v tom
případě je nutné ji ověřit)
• Test je v podstatě prováděn na diferencích skupin, nikoliv na jejich
původních datech
Institut biostatistiky a analýz, PřF a LF MU
Důležité poznámky k testování hypotéz
• Nezamítnutí nulové hypotézy neznamená automaticky její přijetí! Může se jednat o
situaci, kdy pro zamítnutí nulové hypotézy nemáme dostatečné množství informace.
• Dosažená hladina významnosti testu (ať už 5 %, 1 % nebo 10 %) nesmí být slepě brána
jako hranice pro existenci / neexistenci testovaného efektu.
• Malá p-hodnota nemusí znamenat velký efekt. Hodnota testové statistiky a p-hodnota
mohou být ovlivněny velkou velikostí vzorku a malou variabilitou pozorovaných dat.
• Na výsledky testování musí být nahlíženo kriticky – jedná se o závěr založeny „pouze“
na jednom výběrovém souboru.
• Statistická významnost indikuje, že pozorovaný rozdíl není náhodný, ale nemusí
znamenat, že je významný i ve skutečnosti. Důležitá je i praktická (klinická)
významnost.
Institut biostatistiky a analýz, PřF a LF MU
Statistické testy a normalita
• Normalita dat je jedním z předpokladů tzv. parametrických testů (testů založených na předpokladu
nějakého rozložení) – např. t-testy
• Obecně lze říci, že každá statistická metoda, v jejímž algoritmu je obsažen výpočet průměru nebo
směrodatné odchylky má předpoklad normálního rozložení
• Pokud data nejsou normální, neodpovídají ani modelovému rozložení, které je použito pro výpočet (trozložení)
a test tak může lhát
• Řešením je tedy:
• Transformace dat za účelem dosažení normality jejich rozložení
• Neparametrické testy – tyto testy nemají předpoklady o rozložení dat (nebo jen minimální)
Typ srovnání Parametrický test Neparametrický test
2 skupiny dat nepárově: Nepárový t-test Mannův-Whitneyho test
2 skupiny dat párově: Párový t-test Wilcoxonův test, znaménkový test
Více skupin nepárově: ANOVA (analýza rozptylu) Kruskalův- Wallisův test
Korelace: Pearsonův koeficient Spearmanův koeficient
Institut biostatistiky a analýz, PřF a LF MU
Testy normality
• Testy normality pracují s nulovou hypotézou, že není rozdíl mezi zpracovávaným
rozložením a normálním rozložením. Vždy je ovšem dobré prohlédnout si i histogram,
protože některé odchylky od normality, např. bimodalitu některé testy neodhalí.
Chí-kvadrát test dobré shody
• V testu dobré shody jsou data rozdělena do kategorií (obdobně jako při tvorbě
histogramu), tyto intervaly jsou normalizovány (převedeny na normální rozložení) a
podle obecných vzorců normálního rozložení jsou k nim dopočítány očekávané
hodnoty v intervalech, pokud by rozložení bylo normální. Pozorované normalizované
četnosti jsou poté srovnány s očekávanými četnostmi pomocí χ2 testu dobré shody.
Test dává dobré výsledky, ale je náročný na n, tedy množství dat, aby bylo možné
vytvořit dostatečný počet tříd hodnot.
Kolmogorovův - Smirnovův test
• Tento test je často používán, dokáže dobře najít odlehlé hodnoty, ale počítá spíše se
symetrií hodnot než přímo s normalitou. Jde o neparametrický test pro srovnání
rozdílu dvou rozložení. Je založen na zjištění rozdílu mezi reálným kumulativním
rozložením (vzorek) a teoretickým kumulativním rozložením. Měl by být počítán pouze
v případě, že známe průměr a směrodatnou odchylku hypotetického rozložení, pokud
tyto hodnoty neznáme, měla by být použita jeho modifikace – Lilieforsův test.
Shapirův-Wilkův test
• Jde o neparametrický test použitelný i při velmi malých n (10) s dobrou sílou testu,
zvláště ve srovnání s alternativními typy testů, je zaměřen na testování symetrie.
145 155 165 175 185 195 205 215
0
50
100
150
200
250
Institut biostatistiky a analýz, PřF a LF MU
Šikmost a špičatost jako testy normality
• Parametry normálního rozdělení, skewness a kurtosis mohou být využity pro testování
normality, ale pouze pro velké vzorky (šikmost – 100, špičatost – 500).
Institut biostatistiky a analýz, PřF a LF MU
Vizuální hodnocení normality I
65 75 85 95 105 115 125 135
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
-200 400 1000 1600 2200
0
20
40
60
80
100
120
140
ČetnostČetnost
65 75 85 95 105 115 125 135
-3
-2
-1
0
1
2
3
-200 400 1000 1600 2200
-3
-2
-1
0
1
2
3
Hodnota proměnné Hodnota proměnné
Očekávanáhodnotanormálního
rodělení
Očekávanáhodnotanormálního
rodělení
Histogram P-P plot
NormálnírozděleníNenormálnírozdělení
65
75
85
95
105
115
125
135
Hodnotaproměnné
Krabicový graf
0
100
200
300
400
500
600
700
Hodnotaproměnné
medián
25-75
percentil
5-95
percentil
Institut biostatistiky a analýz, PřF a LF MU
Vizuální hodnocení normality II
• Pouze výměna os
• Znázorněn
pozorovaný a
teoretický kvantil
???
• Vykresleno
kumulativní
rozdělení
PAMATUJ:
Pocházejí-li data z normálního rozložení,
pak body budou ležet okolo přímky
Institut biostatistiky a analýz, PřF a LF MU
Vizuální hodnocení normality III
Výukové materiály: Výpočetní statistika,
RNDr. Marie Budíková, Dr., 2011
Rozložení
s kladnou šikmostí
Normální rozložení Rozložení
se zápornou šikmostí
Histogram
-0,4 0,0 0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4
0
5
10
15
20
25
30
35
Histogram
-3,0 -2,5 -2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
Histogram
-0,6 -0,2 0,2 0,6 1,0 1,4 1,8 2,2
0
5
10
15
20
25
30
35
NP plot
-0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4
-3
-2
-1
0
1
2
3
NP plot
-3 -2 -1 0 1 2 3
-3
-2
-1
0
1
2
3
NP plot
-0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2
-3
-2
-1
0
1
2
3
Krabicový diagram
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
2,2
2,4
Krabicový diagram
-3
-2
-1
0
1
2
3
Krabicový diagram
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
2,2
Konkávní
křivka
Konvexní
křivka
Parametrické jednovýběrové
statistické testy
Jednovýběrový t-test
Jednovýběrový test rozptylu
Institut biostatistiky a analýz, PřF a LF MU
Anotace
• Jednovýběrové statistické testy srovnávají některou popisnou statistiku vzorku
(průměr, směrodatnou odchylku) s jediným číslem, jehož význam je ze statistické
hlediska hodnota cílové populace
• Z hlediska statistické teorie jde o ověření, zda daný vzorek pochází z testované cílové
populace.
Institut biostatistiky a analýz, PřF a LF MU
Shrnutí statistických testů
Typ srovnání Nulová hypotéza Parametrický test Neparametrický test
1 výběr dat vs. referenční
hodnota
Střední hodnota je rovna zvolené
referenční hodnotě.
jednovýběrový
t-test / z-test
Jednovýběrový
Wilcoxonův test
2 nezávislé skupiny dat
(test shody středních hodnot)
Střední hodnoty se mezi
skupinami neliší.
nepárový t-test
Mannův-Whitneyho
test
2 nezávislé skupin dat
(test shody rozptylů =
homoskedasticity)
Rozptyl obou skupin je shodný. F-test Levenův test
2 párově závislé výběry dat
Rozdíl (diference) párových
hodnot je nulový.
párový t-test
Wilcoxonův test;
znaménkový test
Shoda rozdělení výběru s
teoretickým rozdělením
Rozdělení dat odpovídá
teoretickému (vybranému)
rozdělení.
test dobré shody
(χ2 test)
Shapirův-Wilkův test;
KolmogorovůvSmirnovův
test;
Lilieforsův test
3 a více skupin nepárově
(test shody středních hodnot)
Střední hodnoty se mezi
skupinami neliší.
ANOVA Kruskalův-Wallisův test
Korelace
Neexistuje vztah mezi hodnotami
dvou výběrů.
Pearsonův korelační
koeficient
Spearmanův korelační
koeficient
Institut biostatistiky a analýz, PřF a LF MU
Základní rozhodování o výběru statistických testů
Typ dat
Spojitá x spojitá
data
Spojitá x
kategoriální data
Kategoriální x
kategoriální data
Jeden výběr Dva výběry
Tři a více
výběrů
(nepárově)
Jeden výběr Více výběrů
Párová data
Nepárová
data
Pearsonův
korelační
koeficient
Jednovýběrový
t-test
Párový t-test
Dvouvýběrový
t-test
ANOVA
Párová data
Nepárová
data
Chí-kvadrát
test
Spearmanův
korelační
koeficient
Jednovýběrový
Wilcoxonův
test
Wilcoxonův /
znaménkový
test
Mannův-
Whitneyho
test
KruskalůvWallisův
test
Jednovýběrový
binomický test
McNemarův
test
Fisherův
exaktní test
Parametrické testy
Neparametrické testy
Institut biostatistiky a analýz, PřF a LF MU
Parametrické jednovýběrové testy
• Předpoklad: normalita dat
• Jednovýběrový z-test (porovnání základního a výběrového souboru, známe střední
hodnotu a rozptyl základního souboru)
• Studentův jednovýběrový t-test (testování rozdílů dvou středních hodnot) (porovnání
základního a výběrového souboru, známe střední hodnotu ale neznáme
rozptyl základního souboru; nahrazujeme jej výběrovým rozptylem našich dat)
• Chi-kvadrát test (testování rozdílu cílová vs. výběrová populace)
Institut biostatistiky a analýz, PřF a LF MU
Jednovýběrový z a t test
• V případě jednovýběrových testů jde o srovnání výběru dat (tedy one sample) s cílovou
populací. Pro parametrické testy musí mít datový soubor normální rozložení.
• Rozdíl mezi jednovýběrovým z-testem a t-testem spočívá ve znalosti rozptylu základního
souboru (z-test) nebo jeho nahrazení výběrovým rozptylem našich dat (t-test)
𝑡 =
ҧ𝑥 − 𝜇
𝑠
𝑁
𝑧 =
ҧ𝑥 − 𝜇
𝜌
𝑁
t-test:
z-test:
H0 HA Testová statistika Kritická hodnota
ҧ𝑥 ≤ 𝜇 ҧ𝑥 > 𝜇 z / t 𝑧 > 𝑧1−𝛼 / 𝑡 > 𝑡1−𝛼
𝑁−1
ҧ𝑥 ≥ 𝜇 ҧ𝑥 < 𝜇 z / t 𝑧 < 𝑧 𝛼 / 𝑡 < 𝑡 𝛼
𝑁−1
ҧ𝑥 = 𝜇 ҧ𝑥 ≠ 𝜇 z / t 𝑧 > 𝑧1− ൗ𝛼
2
/ 𝑡 > 𝑡1− ൗ𝛼
2
𝑁−1
Institut biostatistiky a analýz, PřF a LF MU
Příklad: z-test pro jeden výběr 1
• Při populačním epidemiologickém průzkumu
se zjistilo, že průměrný objem prostaty u
mužů je 32,73 ml (SD = 18,12 ml).
• Na hladině významnosti testu α = 0,05
chceme ověřit, jestli se muži nad 70 let liší od
celé populace.
• Máme náhodný výběr o velikosti n = 100 a
výběrový průměr 36,60 ml.
• Chceme ověřit platnost:
• H0:  = 32,73
• HA:  ≠ 32,73 z0,025 = -1,96
z0,050 = -1,64
1,96 = z0,975
1,64 = z0,950
z0,005 = -2,58 2,58 = z0,995
1 - α α / 2α / 2
90 %
95 %
99 %
Institut biostatistiky a analýz, PřF a LF MU
Příklad: z-test pro jeden výběr 2
• Hodnota testové statistiky:
• Můžeme zamítnout nulovou hypotézu na
hladině významnosti testu α = 0,05 nebo ne?
• Nulovou hypotézu o rovnosti objemu prostaty
u mužů nad 70 let populační hodnotě 32,73 ml
zamítáme na hladině významnosti α = 0,05,
protože výsledná hodnota z statistiky je větší
než kritická hodnota (příslušný kvantil)
rozdělení N(0,1).
α / 2α / 2
2,5 %2,5 % 95 %
z statistika
𝑧 =
ҧ𝑥 − 𝜇
𝜌
𝑁 =
36,60 − 32,73
18,12
100 = 2,14
𝑧 = 2,14 > 1,96 𝑧1− ൗ𝛼
2
= 𝑧0,975
Institut biostatistiky a analýz, PřF a LF MU
Příklad: t-test pro jeden výběr
• Určitá linka autobusové městské dopravy má v době dopravní špičky průměrnou
rychlost 8 km/hod. Uvažovalo se o tom, zda změna trasy by vedla ke změně
průměrné rychlosti. Nová trasa byla proto projeta v deseti náhodně vybraných dnech
a byly zjištěny tyto průměrné rychlosti: 8,4; 7,9; 9,0; 7,8; 8,0; 7,8; 8,5; 8,2; 8,2; 9,3.
Rozhodněte, zda změna trasy vede ke změně průměrné rychlosti. Předpokládáme
normální rozdělení a α=0,05.
• Postup:
1. Na hladině významnosti 0,05 testujeme hypotézu H0:  = 8, proti HA:  ≠ 8
2. Vypočteme aritmetický průměr a rozptyl výběrového souboru.
3. Vypočteme testovou statistiku t:
4. Vypočtené t porovnáme s kritickou hodnotou:
5. Je-li 𝑡 ≤ 𝑡1− Τ𝛼
2
𝑁−1
- > statisticky nevýznamný rozdíl testovaných parametrů při
zvolené α; nulovou hypotézu nezamítáme, na hladině významnosti α=0,05 se
nepodařilo prokázat, že by změna trasy měla za následek změnu průměrné
rychlosti.
𝑡 =
ҧ𝑥 − 𝜇
𝑠
𝑁 =
8,310 − 8
0,507
10 = 1,934
𝑡1− ൗ𝛼
2
𝑁−1
= 𝑡0,975
9
= 2,262
Institut biostatistiky a analýz, PřF a LF MU
Typické výstupy SW (Statistica, v jiných obdobné)
Výběrový průměr
(průměr pozorovaných dat)
Výběrová směrodatná odchylka
(pozorovaných dat)
Rozsah výběru
Standardní chyba
Referenční konstanta-předpokládaná velikost střední hodnoty
Hodnota testovacího kritéria
Stupeň volnosti
POZOR: Platí pro oboustranný test!!!
Institut biostatistiky a analýz, PřF a LF MU
Příklad k řešení: t-test 1
Data - koncentrace antibiotika v cílovém orgánu
• Při 1000 měřeních antibiotika byla zjištěna v cílovém orgánu průměrná koncentrace
202,5 jednotek a směrodatná odchylka 44 jednotek.
• Požadovaná koncentrace antibiotika je 200 jednotek.
Výzkumné otázky
1. Je daný rozdíl 2,5 významný vzhledem k variabilitě znaku na hladině významnosti
5%?
2. Jaká je skutečná hladina významnosti?
Institut biostatistiky a analýz, PřF a LF MU
Příklad k řešení: t-test 1
Data - koncentrace antibiotika v cílovém orgánu
• Při 1000 měřeních antibiotika byla zjištěna v cílovém orgánu průměrná koncentrace
202,5 jednotek a směrodatná odchylka 44 jednotek.
• Požadovaná koncentrace antibiotika je 200 jednotek.
Výzkumné otázky
1. Je daný rozdíl 2,5 významný vzhledem k variabilitě znaku na hladině významnosti
5%?
2. Jaká je skutečná hladina významnosti?
𝑡 =
ҧ𝑥 − 𝜇
𝑠
𝑁 =
202,5 − 200
44
1000 = 1,797
Institut biostatistiky a analýz, PřF a LF MU
Příklad k řešení: t-test 1
Výzkumné otázky
1. Je daný rozdíl 2,5 významný vzhledem k variabilitě znaku na hladině významnosti 5%?
• Nulovou hypotézu nezamítáme
2. Jaká je skutečná hladina významnosti?
• p = 2*(1-0,4641)=0,072
𝑡 =
ҧ𝑥 − 𝜇
𝑠
𝑁 =
202,5 − 200
44
1000 = 1,797~1,8 𝑡1− ൗ𝛼
2
𝑁−1
= 𝑡0,975
999
= 1,960
Institut biostatistiky a analýz, PřF a LF MU
Příklad k řešení: t-test 2
Data - aktivita enzymu v buňkách
• Při zjišťování aktivity enzymu v buňkách na vzorku 25 měření byl zjištěn průměr 3,5
jednotek a směrodatná odchylka 1.
Výzkumné otázky
1. otázka zní, zda se naměřené hodnoty našeho vzorku liší od výsledků dřívější rozsáhlé
studie zaměřené na celou cílovou populaci, kde byla zjištěna průměrná aktivita 2,5
jednotky?
2. otázka – jakou minimální odchylku X od jiné hodnoty bychom zachytili při daných
hodnotách?
3. za předpokladu, že z praktického hlediska je významná odchylka již 0,2 jednotky, jaký
minimální počet měření musíme provést, abychom ji byli schopni prokázat ?
Institut biostatistiky a analýz, PřF a LF MU
Příklad k řešení: t-test 2
Data - aktivita enzymu v buňkách
• Při zjišťování aktivity enzymu v buňkách na vzorku 25 měření byl zjištěn průměr 3,5
jednotek a směrodatná odchylka 1.
Výzkumné otázky
1. otázka zní, zda se naměřené hodnoty našeho vzorku liší od výsledků dřívější rozsáhlé
studie zaměřené na celou cílovou populaci, kde byla zjištěna průměrná aktivita 2,5
jednotky?
525
1
5,25,3
=
−
=
−
= n
s
x
t

064,224
975,0 =t 24
2/1 − tt H0 zamítnuta při 0,05
Institut biostatistiky a analýz, PřF a LF MU
Příklad k řešení: t-test 2
Data - aktivita enzymu v buňkách
• Při zjišťování aktivity enzymu v buňkách na vzorku 25 měření byl zjištěn průměr 3,5
jednotek a směrodatná odchylka 1.
Výzkumné otázky
2. otázka – jakou minimální odchylku X od jiné hodnoty bychom zachytili při daných
hodnotách?
n
s
d
n
s
x
t =
−
=

➔ s
n
t
d

 2/1−
= ➔ 1
5
064,2
=d
Institut biostatistiky a analýz, PřF a LF MU
Příklad k řešení: t-test 2
Data - aktivita enzymu v buňkách
• Při zjišťování aktivity enzymu v buňkách na vzorku 25 měření byl zjištěn průměr 3,5
jednotek a směrodatná odchylka 1.
Výzkumné otázky
3. za předpokladu, že z praktického hlediska je významná odchylka již 0,2 jednotky, jaký
minimální počet měření musíme provést, abychom ji byli schopni prokázat ?
n
s
d
n
s
x
t =
−
=

➔
2
2/1






= −
s
d
t
n


Institut biostatistiky a analýz, PřF a LF MU
Jednovýběrový test pro rozptyl
• V případě one sample testů jde o srovnání výběru dat (tedy one sample) s cílovou
populací. Pro parametrické testy musí mít datový soubor normální rozložení.
𝜒2
=
𝑁 − 1 𝑠2
𝜎2
Chi-kvadrát test:
H0 HA Testová statistika Kritická hodnota
𝑠2 ≤ 𝜎2 𝑠2 > 𝜎2 𝜒2
𝜒2
> 𝜒1−𝛼
2 (𝑁−1)
𝑠2
≥ 𝜎2
𝑠2
< 𝜎2
𝜒2
𝜒2
< 𝜒 𝛼
2 (𝑁−1)
𝑠2 = 𝜎2 𝑠2 ≠ 𝜎2 𝜒2 𝜒2 > 𝜒1− ൗ𝛼
2
2 (𝑁−1)
𝑛𝑒𝑏𝑜𝜒2 < 𝜒 ൗ𝛼
2
2 (𝑁−1)
Neparametrické jednovýběrové
statistické testy
Jednovýběrový t-test
Jednovýběrový test rozptylu
Institut biostatistiky a analýz, PřF a LF MU
Parametrické vs. neparametrické testy
Parametrické testy
• Mají předpoklady o rozložení vstupujících dat (např. normální rozložení)
• Při stejném N a dodržení předpokladů mají vyšší sílu testu než testy neparametrické
• Pokud nejsou dodrženy předpoklady parametrických testů, potom jejich síla testu prudce klesá
a výsledek testu může být zcela chybný a nesmyslný
Neparametrické testy
• Vyžadují méně předpokladů o rozložení vstupujících dat, lze je tedy použít i při asymetrickém
rozložení, odlehlých hodnotách, či nedetekovatelném rozložení
• Snížená síla těchto testů je způsobena redukcí informační hodnoty původních dat, kdy
neparametrické testy nevyužívají původní hodnoty, ale nejčastěji pouze jejich pořadí
• Souvisí s malou velikostí souboru (nejsme schopni normalitu dat ověřit)
Proč nemusí parametrický a neparametrický test vyjít stejně?
Institut biostatistiky a analýz, PřF a LF MU
Jednovýběrový Wilcoxonův test
• Předpokladem je symetrické rozdělení dat kolem mediánu.
• Testuje, zda je medián jednoho výběru roven hodnotě c (v případě párového designu je x0.5 reprezentováno
mediánem rozdílu hodnot)
H0: x0.5=c proti H1: x0.5≠ c.
Postup:
1. Spočítáme rozdíly hodnot výběru s testovanou hodnotou mediánu.
2. Absolutní hodnoty rozdílů uspořádáme vzestupně a přiřadíme jim pořadí.
3. Spočítáme statistiky Sw
+ a Sw
-, které odpovídají součtu pořadí kladných (Sw
+) a záporných rozdílů (Sw
-). Jako
finální hodnotu testové statistiky bereme minimum z Sw
+ a Sw
-. Nulovou hypotézu zamítáme, pokud hodnota
testové statistiky menší nebo rovna tabelované kritické hodnotě (při dané hladině významnosti a počtu
nenulových rozdílů).
nebo
3. Pro N > 30 lze využít asymptotické normality statistiky Sw
+
• Pokud |Z|≥ u1-α/2 zamítáme nulovou hypotézu, že medián výběru je roven hodnotě c.
4
)1(
)(
+
=+
nn
SE w
24
)12)(1(
)(
++
=+
nnn
SD w )1,0(
)(
)(
N
SD
SES
Z
w
ww

+
+−+
=
Institut biostatistiky a analýz, PřF a LF MU
Jednovýběrový znaménkový test
• Lze použít v situaci, kdy není splněn předpoklad symetrie rozdělení kolem mediánu.
• Testuje, zda je medián jednoho výběru roven hodnotě c (v případě párového designu je x0.5 reprezentováno mediánem rozdílu
hodnot)
H0: x0.5=c proti H1: x0.5≠ c.
Postup:
1. Spočítáme rozdíly hodnot výběru s testovanou hodnotou mediánu.
2. Spočítáme statistiku Sz
+, která odpovídá počtu kladných rozdílů → test nevyužívá hodnot pořadí původních dat ale pouze
informaci, zda se hodnota realizuje nad nebo pod mediánem → dochází ke snížení síly testu
3. Nulovou hypotézu zamítáme, pokud statistika Sz
+ realizuje v kritickém oboru hodnot W=(0,k1)U(k2,n), kde n odpovídá počtu
nenulový rozdílů a hodnoty k1 a k2 lze dohledat v matematických tabulkách.
• nebo
3. Pro N > 20 lze využít asymptotické normality statistiky Sz
+.
Pokud |Z|≥ u1-α/2 zamítáme nulovou hypotézu, že medián výběru je roven hodnotě c.
2
)(
n
SE z =+
4
)(
n
SD z =+ )1,0(
)(
)(
N
SD
SES
Z
z
zz

+
+−+
=
Institut biostatistiky a analýz, PřF a LF MU
Příklad: jednovýběrový test
• U 15 náhodně vybraných pacientů byla vyhodnocena doba, kterou museli strávit v
čekárně, než byli sestrou pozváni do ordinace. Na 5% hladině významnosti testujte
nulovou hypotézu, že medián čekací doby je roven půl hodině.
Institut biostatistiky a analýz, PřF a LF MU
Příklad: jednovýběrový test – Wilcoxonův test
• U 15 náhodně vybraných pacientů byla vyhodnocena doba, kterou museli strávit v
čekárně, než byli sestrou pozváni do ordinace. Na 5% hladině významnosti testujte
nulovou hypotézu, že medián čekací doby je roven půl hodině.
Pacient č.
čekací doba
(min)
medián rozdíl |rozdíl| pořadí
1 1 30 -29 29 15
2 45 30 15 15 10
3 25 30 -5 5 3.5
4 15 30 -15 15 10
5 34 30 4 4 2
6 19 30 -11 11 8
7 31 30 1 1 1
8 25 30 -5 5 3.5
9 8 30 -22 22 14
10 12 30 -18 18 12
11 20 30 -10 10 6
12 15 30 -15 15 10
13 40 30 10 10 6
14 20 30 -10 10 6
15 10 30 -20 20 13
Sw
+=19
Sw
-=101
min (Sw
+,Sw
-)=19
Kritická hodnota w15(0,05)=25
Hodnota testové statiky je menší
než kritická hodnota → zamítáme H0
Institut biostatistiky a analýz, PřF a LF MU
Příklad: jednovýběrový test – Znaménkový test
• U 15 náhodně vybraných pacientů byla vyhodnocena doba, kterou museli strávit v
čekárně, než byli sestrou pozváni do ordinace. Na 5% hladině významnosti testujte
nulovou hypotézu, že medián čekací doby je roven půl hodině.
Pacient č.
čekací doba
(min)
medián rozdíl
Větší než
medián?
1 1 30 -29 Ne
2 45 30 15 Ano
3 25 30 -5 Ne
4 15 30 -15 Ne
5 34 30 4 Ano
6 19 30 -11 Ne
7 31 30 1 Ano
8 25 30 -5 Ne
9 8 30 -22 Ne
10 12 30 -18 Ne
11 20 30 -10 Ne
12 15 30 -15 Ne
13 40 30 10 Ano
14 20 30 -10 Ne
15 10 30 -20 Ne
Sz
+=4
Kritický obor: W=(0,3)U(12,15)
Hodnota statistiky se realizuje mimo
kritický obor hodnot → nezamítáme H0
Institut biostatistiky a analýz, PřF a LF MU
Příklad: Řešení v softwaru
Počet nenulových rozdílů
Testová statistika: min (Sw
+,Sw
-)
Statistika a p-hodnota pro
asymptotickou variantu testu
(používat pouze pro N > 30)
Počet nenulových rozdílů
Podíl hodnot menších než testovaný medián
Statistika a p-hodnota pro
asymptotickou variantu testu
(používat pouze pro N > 20)
1) Výstup Wilcoxonova testu
2) Výstup znaménkového testu
Institut biostatistiky a analýz, PřF a LF MU
Schéma při testování pomocí jednovýběrových testů
Data
Normální rozdělení?
Vizuální ověření normality
Histogram, Q-Q graf, P-P graf, N-P
graf, krabicový graf
Testové ověření normality
S-W test, K-S test, Lilieforsův test
NE ANO
Logaritmická transformace
Normální rozdělení?
NE ANO
Jednovýběrový
Wilcoxonův test na
původních datech
Jednovýběrový t-test / z-test
na transformovaných datech
Jednovýběrový t-test /
z-test
Opakování
Parametrické testy
Neparametrické testy
Parametrické dvouvýběrové
statistické testy
Dvouvýběrový nepárový t-test
Dvouvýběrový párový t-test
Institut biostatistiky a analýz, PřF a LF MU
Anotace
• Jedním z nejčastějších úkolů statistické analýzy dat je srovnání spojitých dat ve dvou
skupinách pacientů.
• Na výběr je celá škála testů, výběr konkrétního testu se pak odvíjí od toho, zda je o
srovnání párové nebo nepárové a zda je vhodné použít test parametrický (má
předpoklady o rozložení dat) nebo neparametrický (nemá předpoklady o rozložení dat,
nicméně má nižší vypovídací sílu).
• Nejznámějšími testy z této skupiny jsou tzv. t-testy používané pro srovnání průměrů
dvou skupin hodnot
Institut biostatistiky a analýz, PřF a LF MU
Dvouvýběrové testy: párové a nepárové I
• Při použití two sample testů srovnáváme spolu
dvě rozložení. Jejich základním dělením je podle
designu experimentu na testy párové a
nepárové.
• Základním testem pro srovnání dvou
nezávislých rozložení spojitých čísel je nepárový
two-sample t-test
• Základním testem pro srovnání dvou závislých
rozložení spojitých čísel je párový two-sample t-
test
Institut biostatistiky a analýz, PřF a LF MU
Dvouvýběrové testy: párové a nepárové II
Data
Nezávislé uspořádání
Párové uspořádání
……….
……….
……….
X1 X2
X1- X2 = D
……….
……….
X1 X2
Design uspořádání
zásadně ovlivňuje interpretaci parametrů
2
Ds
D
n
0D:H0 =
(n = n2 = n1)
210 μμ:H =
2
1
2
1
s
x
n
2
2
2
2
s
x
n
Institut biostatistiky a analýz, PřF a LF MU
Dvouvýběrové testy: párové a nepárové III
• Identifikace párovitosti (Korelace, Kovariance)
……….
……….
X1 X2
X1
X2
X1
X2
r = 0,954
(p < 0,001)
r = 0,218
(p < 0,812)
Institut biostatistiky a analýz, PřF a LF MU
Předpoklady nepárového dvouvýběrového t-testu
• Náhodný výběr subjektů jednotlivých skupin z jejich cílových populací
• Nezávislost obou srovnávaných vzorků
• Přibližně normální rozložení proměnné ve vzorcích, drobné odchylky od normality ovšem nejsou kritické,
test je robustní proti drobným odchylkám od tohoto předpokladu, normalita může být testována testy
normality
• Rozptyl v obou vzorcích by měl být přibližně shodný (homoscedastic). Tento předpoklad je testován
několika možnými testy – Levenův test nebo F-test.
• Vždy je vhodné prohlédnout histogramy proměnné v jednotlivých vzorcích pro okometrické srovnání a
ověření předpokladů normality a homogenity rozptylu – nenahradí statistické testy, ale poskytne prvotní
představu.
0
(x)
μ
| | |
•
•
| |
•
•
X
Varianta 1 Varianta 2
Institut biostatistiky a analýz, PřF a LF MU
Nepárový dvouvýběrový t-test – výpočet I
• nulová hypotéza: průměry obou skupin jsou shodné,
alternativní hypotéza je, že nejsou shodné, two tailed test
• prohlédnout průběh dat, průměr, medián apod. pro
zjištění odchylek od normality a nehomogenita rozptylu,
provést F –test
• F-test pro srovnání dvou výběrových rozptylů
• Používá se pro srovnání rozptylu dvou skupin hodnot,
často za účelem ověření homogenity rozptylu těchto
skupin dat.
• V případě ověření homogenity je testována hypotéza
shody rozptylů (two tailed); v případě shodných rozptylů
je vše v pořádku a je možné pokračovat ve výpočtu ttestu,
v opačném případě není vhodné test počítat.
H0 HA Testová statistika
2
2
2
1  
2
2
2
1   2
2
2
1  
2
2
2
1  
2
2
2
1  = 2
2
2
1  
2
2
2
1
s
s
F =
2
1
2
2
s
s
F =
( )
( )2
2
2
1
2
2
2
1
;min
;max
ss
ss
F =
Institut biostatistiky a analýz, PřF a LF MU
Nepárový dvouvýběrový t-test – výpočet II
• Výpočet testové statistiky (stupně volnosti jsou ):
• výsledné t srovnáme s tabulární hodnotou t pro dané stupně volnosti a (obvykle
=0,05)
• Lze spočítat interval spolehlivosti pro rozdíl průměrů (např. 95%), počet stupňů volnosti
a s2 odpovídají předchozím vzorcům
221 −+= nn
( ) ( )
2
11
21
2
22
2
112
−+
−+−
=
nn
snsn
s
vážený odhad
rozptylu






+
−
==
21
2
21
11)(
_
nn
s
xx
ěrůrozdílprůoSE
průrůměRozdíl
t
2
1 2 0,975 1 2 1 2 0,975
1 2
1 1
( ) ( ) ( )x x t SE x x x x t s
n n
 
−  − = −  + 
 
Institut biostatistiky a analýz, PřF a LF MU
Nepárový dvouvýběrový t-test – výpočet shrnutí
• Nulová hypotéza: průměry obou skupin jsou shodné
• Alternativní hypotéza je, že nejsou shodné.
• Prohlédnout průběh dat, průměr, medián apod.
• Ověřit normalitu dat (např. Shapiro-Wilk test)
• Ověřit homogenitu rozptylů (F-test)
• V případě ověření homogenity je testována hypotéza shody rozptylů; v případě
shodných rozptylů je vše v pořádku a je možné pokračovat ve výpočtu t-testu, v
opačném případě není vhodné test počítat.
• Vypočítat hodnotu testové statistiky a p-hodnotu. Když je vypočítaná p-hodnota menší
než 0,05, zamítáme nulovou hypotézu.