Matematika pro radiologické asistenty
4. Počítání s vektory
(Většina obrázků převzata z učebnice HRW: Fyzika.)
Vektor je zadán směrem a velikostí. Je tedy zobrazen orientovanou úsečkou (vyznačení
šipkou).
Vektory můžeme násobit reálnými čísly. Absolutní hodnota násobitele udává, kolikrát
se změní délka vektoru, znaménko pak, zůstane-li orientace stejná nebo zda se změní na
opačnou. Vektory můžeme sčítat a odečítat (odečtení vektoru b
!
od vektoru a
!
je totéž jako
přičtení vektoru b-
!
k vektoru a
!
. Grafické znázornění je na následujících dvou obrázcích.
Všimněme si, že i když budeme uvažovat vektory ve třech rozměrech našeho prostoru, vždy
najdeme rovinu (tedy dvourozměrný prostor), ve které leží uvažované dva vektory a obrázky
tedy můžeme pohodlně malovat v této rovině. Sečítání vektorů je komutativní (nezáleží na
pořadí sčítanců).
Odečtení vektoru je, jak již bylo řečeno, totéž jako přičtení vektoru opačně orientovaného:
Početně je snadnou cestou rozklad vektorů do složek kartézské soustavy
( cos , sinx ya a a a = = ), takže pro součet vektorů je
, ,x x x y y yc a b c a b c a b= + = + = +
!! !
Ve třech rozměrech značíme tři základní jednotkové vektory (pravotočivé) kartézské soustavy
, ,i j k
!! !
a libovolné dva vektory zapíšeme jako
,x y z x y za a i a j a k b b i b j b k= + + = + +
! ! !! ! ! !!
Běžný způsob zápisu vektoru pomocí jeho složek je
( ), ,x y za a a a=
!
Lineární kombinace vektorů a
!
a b
!
(první vektor násobíme nějakým reálným číslem  a
přičteme k němu druhý násobený číslem ) je opět vektor
( ), , ,x x y y z zc a b c a b a b a b       = + = + + +
!! ! !
Při násobení vektorů rozeznáváme dva druhy součinů ­ skalární a vektorový. Pro
skalární součin je
cosa b ab  =
!!
Velikost vektoru je podle tohoto vztahu odmocninou ze skalárního součinu vektoru se sebou
samým, protože
2 2
cos0a a a a = =
! !
Standardní značení velikosti vektoru a
!
je a
!
. Pouze tam, kde nemůže dojít k záměně (jako
v našich vztazích zde), stačí psát jen a. Jsou-li dva vektory navzájem kolmé, je jejich skalární
součin roven nule, protože
cos 0
2
a b ab

 = =
!!
Pro jednotkové navzájem kolmé vektory kartézské soustavy tak máme
1 , 0i i j j k k i j j k k i =  =  =  =  =  =
! ! ! !! ! ! ! ! ! ! !
Potom můžeme skalární součin dvou libovolných vektorů zapsat ve složkách jako
( ) ( )x y z x y z x x y y z za b a i a j a k b i b j b k a b a b a b = + +  + + = + +
! ! !! ! ! !!
Vektorový součin vektorů a
!
a b
!
vytváří vektor c
!
, který je kolmý k rovině, v níž leží tyto
vektory a má velikost
sinc ab =
Vektorový součin vektoru se sebou samým dává nulový vektor, protože pro velikost máme
2
sin0 0c a= =
Vektorový součin dvou navzájem kolmých jednotkových vektorů má opět jednotkovou
velikost, protože
1 1sin 1
2
c

=  =
Pro základní vektory kartézské soustavy tedy můžeme psát
0 , , ,i i j j k k i j k j k i k i j× = × = × = × = × = × =
! ! ! ! !! ! ! ! ! ! ! ! ! !
Potom můžeme vektorový součin dvou libovolných vektorů zapsat ve složkách jako
( ) ( )
( ) ( ) ( )
x y z x y z
y z y z z x z x x y x y
a b a i a j a k b i b j b k
a b b a i a b b a j a b b a k
× = + + × + + =
- + - + !
! !! ! ! !!
!! !
nebo ve standardním zápisu
( ), ,y z y z z x z x x y x ya b a b b a a b b a a b b a× = - - -
!!