Matematika pro radiologické asistenty
7. Řešení dvou jednoduchých diferenciálních rovnic
7.1 Rovnice radioaktivního rozpadu
Statistická podstata procesu rozpadu je vyjádřena tvrzením, že pro vzorek s N
radioaktivními jádry je rychlost rozpadu d N dt- úměrná N
( )
( )
d N t
N t
dt
- =
Konstanta rozpadu  má charakteristickou hodnotu pro každý radionuklid. Jak vidíme
z rovnice, její rozměr v soustavě SI je převrácená sekunda (s-1
). Jak najdeme řešení rovnice?
Nechceme-li užívat pojmu integrálu (což by byl standardní postup), zavedeme nejprve novou
proměnnou x t=- , v této proměnné má rovnice tvar
( )
( )
d N x
N x
d x
=
Vzpomeneme si, že toto platí právě pro exponenciální funkci, tj.
( )
( )
exp
exp
d x
x
d x
   =
Nakonec uvážíme, že derivace součinu konstanty a libovolné funkce je součin této konstanty
s derivací funkce. Takže i exponenciála vynásobená konstantou vyhovuje naší rovnici. Máme
tedy řešení ( ) ( )0 expN x N x= neboli
( ) ( )0 expN t N t= Označení
konstanty indexem nula má důvod: 0N je počet jader v počátečním čase 0t = ,
neboť ( ) ( )0 00 exp 0N N N= = .
Radionuklidy bývají také charakterizovány poločasem rozpadu . Souvislost této
charakteristiky s konstantou rozpadu je jednoduchá. Z definice poločasu je
( ) ( ) ( )0 0
0
1
0 exp
2 2 2
N N
N N N = =  - =
Vykrácení rovnice nenulovou konstantou 0N a logaritmování dává pak hledaný vztah mezi
poločasem rozpadu  a rozpadovou konstantou 
ln2


=
Při logaritmování jsme použili skutečnosti, že logaritmus a exponenciála jsou inversní funkce,
tj. ( )( )ln exp x x= . Dále pak toho, že logaritmus mocniny čísla je součinem mocnitele a
logaritmu základu, tj. ( ) ( )ln lna
x a x= ­ v našem případě 2 , 1x a= =- . Místo tohoto
obecného vzorce jsme mohli uvážit, že logaritmus převrácené hodnoty čísla je roven záporně
vzatému logaritmu čísla ( ) ( )ln 1 lnx x=- , což vidíme z rovností
( ) ( )
1 1
0 ln 1 ln ln lnx x
x x
   
= = = +   
   
Obrázek ukazuje průběh funkce ( )exp t- pro -1
0s = (zelená), -1
1 2s = (modrá) a -1
2s =
(červená).
7.2 Rovnice harmonického oscilátoru
Budeme pro jednoduchost uvažovat jen pohyb na přímce. Předpokládejme, že částice
hmotnosti m má stabilní rovnovážnou polohu v 0x= . Pokud je z této polohy vychýlena, bude
přitahována zpět silou tím větší, čím větší je výchylka. V nejjednodušším přiblížení bude
závislost síly na výchylce lineární
F k x= kde
0k > je konstanta. Znaménko mínus vyjadřuje působení síly směrem k rovnovážné
poloze. Je-li částice vychýlena z počátku ve směru orientace osy x ( 0x> ), působí síla v
opačném směru ( 0F < ) a podobně je-li částice vychýlena z počátku proti směru orientace osy
x ( 0x< ), působí síla ve směru orientace osy x ( 0F > ). Druhý Newtonův zákon pak říká, že
( )
( )
2
2
d x t
m k x t
dt
= Rovnici
vydělíme m a kladnou konstantu k m označíme 2

( )
( )
2
2
2
d x t
x t
dt
= Této
rovnici říkáme rovnice harmonického oscilátoru. Zavedeme si novou proměnnou t = ,
ve které bude mít rovnice tvar
( )
( )
2
2
d x
x
d



= Vzpomeneme
si, že toto platí jak pro funkci sinus, tak pro funkci kosinus. Rovnici vyhovují
také tyto funkce vynásobené konstantu a stejně tak jejich součet (říkáme, že rovnice pro
funkci ( )x  je lineární). Máme tedy řešení ( ) ( ) ( )sin cosx A B  = + neboli
( ) ( ) ( )sin cosx t A t B t = +
kde A a B jsou zatím neurčené konstanty. Rovnice radioaktivního rozpadu byla prvního řádu,
obsahovala proto jedinou konstantu ­ tu jsme určili jako počet jader v čase 0t = . Rovnice
harmonického oscilátoru je druhého řádu, budeme tedy pro určení dvou konstant potřebovat
dvě podmínky. Jednou z nich může být výchylka v čase 0t = , kterou si označíme 0x . Protože
sin0 0= a cos0 1= , dostáváme ( ) 00x B x= = . Druhou podmínkou může být počáteční
rychlost, tj. rychlost v čase 0t = , kterou si označíme 0v . Rychlost je okamžitá časová změna
výchylky, tedy derivace funkce ( )x t . Potřebné derivace dobře známe, můžeme tedy psát
( )
( )
( ) ( )cos sin
d x t
v t A t B t
dt
   = = Po
dosazení sin0 0= a cos0 1= dostáváme ( ) 00v A v= = . Konečně tedy můžeme psát
( ) ( ) ( )0
0sin cos
v
x t t x t 

= +
Nad získaným výsledkem je vždy velmi dobré provést co nejvíce kontrolních úvah. U
našeho řešení především musí souhlasit rozměry členů. Složitější kontrolou je limitní přechod
pro 0  . Potom je totiž výchozí rovnice rovnicí pohybu volné částice a její řešení musí být
rovnoměrný pohyb
( ) 0 00
x t x v t =
= +
Provedeme potřebné limity (tyto případy známe)
( )
( )0 0
sin
lim , limcos 1
t
t t
 


 
= =
a zjistíme, že naše řešení skutečně přechází pro 0  na řešení, popisující rovnoměrný
pohyb.