Radiologická fyzika rovnice a funkce neznámé a proměnné řešení a grafy Rovnice, neznámé, řešení aneb neznámé se schovávají v rovnicích, ale my je odhalíme Zlý sen vrchní sestry aneb k čemu jsou zdravotnickému personálu rovnice Řešení úlohy Řešení úlohy názorně Obecnější úloha Ještě doplnění Složitější úloha Řešení složitější úlohy – sestavení rovnic Řešení složitější úlohy – řešení rovnic Řešení soustavy více lineárních rovnic snadno a rychle Ekvivalentní úpravy Případ m = n = 3 … příklad 1 … (I) Případ m = n = 3 … příklad 1 … (II) Případ m = n = 3 … příklad 2 … (I) Případ m = n = 3 … příklad 2 … (II) Případ m = n = 3 … příklad 3 … (I) Případ m = n = 3 … příklad 3 … (II) Případ m < n … příklad 1 Případ m < n … příklad 2 Případ m > n … příklad 1 … (I) Případ m > n … příklad 1 … (II) Případ m > n … příklad 2 … (I) Případ m > n … příklad 2 … (II) Případ m > n … příklad 3 … (I) Obecné závěry Úlohy na rovnice Funkce, proměnné, grafy aneb podnět, odezva a jejich znázornění Dokonalé smysly a jak to souvisí s funkcemi Naše smysly sluch … Tím, že ucho vnímá logaritmicky, je schopno pojmout obrovský rozsah intenzit. Obdobně jsou na tom ostatní smysly. zrak ... Oko je schopné vnímat bodový zdroj, ze kterého dopadají desítky fotonů za sekundu, výjimečně i jen několik za sekundu. čich … Zředění čichově rozeznatelných látek může dosahovat hodnot jedna ku miliardě, i vyšší. Taková ohromná citlivost není často možná ani s použitím nejlepší techniky. chuť … Citlivost je podobná jako u čichu, navíc čich pomáhá k lepšímu rozlišení. Co jsou to decibely aneb uši umí logaritmovat Aritmetické a geometrické narůstání intenzita zvuku Aritmetické a geometrické narůstání hladina intenzity zvuku (hlasitost) (I) Aritmetické a geometrické narůstání hladina intenzity zvuku (hlasitost) (II) Závislost hlasitosti na intenzitě Závislost hlasitosti na intenzitě celý rozsah Citlivost ucha k frekvencím Jak se tlumí záření aneb potřebuje funkce také radiologický asistent? Jak by mělo vypadat tlumení intenzity „se čtvercem tloušťky“ ? A jak to je doopravdy ? Srovnání absorpce materiálů – čísla Srovnání absorpce materiálů – grafy Co jsou to funkce ? Obory funkce Definiční obor funkce D[f] soubor přípustných hodnot nezávisle proměnné x Příklad: x=I (intenzita slyšitelného zvuku), D[f] = [10^-12, 10] [W m^-2] Obor hodnot funkce H[f] soubor hodnot, kterých nabývá závisle proměnná y, když x proběhne celý definiční obor. Každému x se přiřadí právě jedno y. Příklad: y = L (hlasitost), H[f] = [0, 130] [dB] Graf funkce G[f] soubor dvojic [x,y], kde y= f(x), většinou znázorněný v rovině x-y Úkol: Zamyslete se nad tím, jaký asi je D[f] a H[f] pro funkci popisující závislost intenzity záření na tloušťce materiálu, jímž záření prošlo. Vezměte v úvahu, že některé veličiny mohou nabývat (z matematického hlediska) i libovolně velkých (malých) hodnot, i když se tyto hodnoty nedají prakticky realizovat. Způsoby zadání funkce Funkce je pravidlo, které každé hodnotě x z D[f] přiřadí právě jedno y = f (x). Je zadána vždy spolu s definičním oborem. Definiční obor buď zadáme přímo, nebo jej určíme z funkčního předpisu tak, aby všechny operace v předpisu měly smysl. Obor hodnot je pak již jednoznačně určen zadáním funkce. Vsuvka – funkce několika proměnných – I Vsuvka – funkce několika proměnných – II Příklad funkce dvou proměnných hustota tkáně v pomyslném řezu tělem (zviditelněná zobrazením CT) Vsuvka – funkce několika proměnných – III skutečný rentgenový počítačový tomogram Divné funkce - příklady (1) 1 … pro x racionální D[f ]= [0,1] … f : x → y = f (x) = H[f] = {0, 1} 0 … pro x iracionální (2) D[f ]= [1,2,3,…] … f : x[i] → y[i] = f (x[i]) … posloupnost H[f] = {y[1], y[2 ],[ ]y[3], … } (3) D[f ]= R \ {1, 2} … f : x[i] → y[i] = f (x[i]) = H[f] = R \ {5, 7} Některé funkce nemají hladké nebo spojité grafy, nebo je ani graficky znázornit nelze. Ale těmi se zatím zabývat nebudeme. Základní vlastnosti funkcí – I Monotonie na intervalu – A Základní vlastnosti funkcí – II Monotonie na intervalu – B Základní vlastnosti funkcí – III Symetrie Základní vlastnosti funkcí – IV Periodicita Základní vlastnosti funkcí – V Konvexnost - konkávnost Základní vlastnosti funkcí – VI „Komplexnější“ úloha Elementární funkce - I Polynomy (stupně n s reálnými koeficienty) n = 1 … lineární funkce y = ax+b n = 2 … kvadratická funkce y = ax^2 + bx + c Elementární funkce - II Racionální lomené funkce n = 0, m = 1 … nepřímá úměra y = a (x – c)^–1 Elementární funkce – III Goniometrické funkce … sin x, cos x, tan x, cotan x Připomeňte si dosud uvedené vlastnosti těchto funkcí. Goniometrické funkce obecného lineárního argumentu A = ax+b Elementární funkce - IV Exponenciální a logaritmické funkce Umocnění pevného základu na hodnotu x a inverzní operace Radiologická fyzika základy diferenciálního počtu derivace a tečny, integrály a plochy diferenciální rovnice