Matematika pro radiologické asistenty Studijní materiál - podzimní semestr 2009/2010 Michal Lenc a Jana Musilová 1. Základní pojmy 1.1 Úvod Fyzika jako exaktní věda má svůj jazyk - matematiku. Ve Feynmanově knize Feynman's Tips on Physics se o tom píše: „Matematika je překrásný předmět, má své vstupy a výstupy, ale my se snažíme zjistit, co obsahuje to minimum, které musíme znát pro potřeby fyziky. Přístup, který teď zvolím se neohlíží na matematiku a sleduje pouhou účelnost. Nepokouším se pronikat do matematiky. Nejdřív se musíme naučit derivovat tak, jako když počítáme 3 krát 5 nebo 5 krát 7....." No dobře, Feynman mluví o studentech inženýrství. Jak je tomu tedy s potřebnou matematikou pro studenty bakalářského studia oboru Radiologický asistent? Určitě se dají znalosti matematiky potřebné pro pochopení principů diagnostických nebo terapeutických metod, se kterými se bude v praxi radiologický asistent setkávat hodn redukovat. Ale třeba to zmíněné derivování se objeví mnohokrát, by' v podobně jednoduché formě, jako na ilustračním obrázku. Rozpad jader ŕ+A t D N N~ 4,8-1022 na 1 cm3 238. T . 234TU . 4ii 92 U®90 Tb + =-ÄN N + ÄN ÄN —2,4-105 na 1 cm3 At = 1 s 1=— ,tv2 = 4,47 109 let /2 1.2 Reálná čísla Plátek představ o množině reálných čísel je v úvahách o operacích sečítání a odečítání přirozených čísel, tj. čísel 1,2,3,...Velmi brzo dojdeme k tomu, že abychom zůstali při odečítání v této množině, bylo by třeba zavádět nepohodlná omezení. Množina přirozených čísel byla proto velmi brzo rozšířena o záporná celá čísla a nulu na množinu celých čísel. i 2 ••■ ••■ - 2 -10 12 ••■ Ale opět při operacích násobení a dělení je možno zůstat v množině celých čísel jen při zavedení nepohodlných omezení. Množina celých ísel byla proto rozší ena na množinu racionálních čísel, tvořenou všemi různými podíly celých čísel (se zákazem nuly ve jmenovateli). ... -i 0 i ••■ ... -1 ... 3 ... -i ... 0 ... i ... ' ... 1 ... 4 2 3 5 Stále však nemáme všechna reálná čísla. Pokud mají být odmocniny z reálných kladných čísel op t reálná ísla, nemohou být tato ísla pouze racionální, tj. vyjád itelné ve tvaru zlomku. Vezmeme velmi jednoduchý příklad: druhou odmocninu ze dvou. Platí nerovnosti —=1,416666667 12 > V2 > —=1,413793103 29 99 —=1,414285714 70 > V2 > 239 = 1,414201183 169 3363 = 1,414213625 2378 > V2 > 1393 = 1,414213198 985 Vidíme, jak se interval ohraničený dvěma zlomky (tj. racionálními čísly) zmenšuje, ale číslo zlomkem vyjádřit nejde, říkáme, že je to číslo iracionální. Iracionálními čísly jsou mimo jiné Ludolfovo číslo p (podle Ludolpha van Ceulena), Eulerovo číslo e (podle Leonharda Eulera). Číselná osa (uspořádaná množina reálných čísel R) je tvořena podle velikosti uspořádanými racionálními a iracionálními čísly. 1.3 Eulerovo číslo Všimněme si hodnot posloupnosti I1 * i)'(" i )> 3111* i)■■■■ nebo i 1 i 1 1 i 1 1 1 i 1 1 1! 1! 2! 1! 2! 3! 1! n! v následující tabulce n t1* i I n 1 1+T - ~ 2 2 2 2,25 2,5 4 2,441406250 2,708333333 8 2,565784514 2,718278770 16 2,637928497 2,718281828 32 2,676990129 2,718281828 64 2,697344953 2,718281828 Vidíme, že se členy posloupnosti blíží (u první pomaleji, u druhé rychleji) limitní hodnotě. Tato hodnota je iracionální číslo, které je nazýváno Eulerovým číslem (taktéž základem přirozených logaritmů) a značení se e. Přibližné hodnoty dvou základních čísel elementární matematiky jsou p = 3,1415926535897932385 e = 2,7182818284590452354 Číslo e je tedy limitní hodnota konečné řady pro n —>°o 1 k—0 k! Faktoriál nuly je definován jako 0! = 1, proto můžeme užít kompaktnějšího zápisu i+1-=£1 1.4 Mocnina Základem jsou mocniny s celočíselnými koeficienty. n-tá mocnina je n-krát opakované násobení čísla sebou samým n _ X — X* X* * * i" x X-v-' n Je hned vidět, že n+1 _ _ _ n X — X* X* * * i" X — X* X* X* * * i" X — X* x S-v-' "-v-' n+1 n Je-li n—0, dostáváme X — X * X ^ XX — 1 Je-li n—-1, dostáváme X — X * X ^ 1 — XX * XX ^ XX — X obecně Xn Další důležité pravidlo je (Xn) —( X * X **..* X )*( X * X **..* X )*^*( X * X **..* X )— X-X-X-*..-X-X v-v-' X-v-' X-v-' X-v-' n n n n *k X-v-' k tedy (Xn )k — Xnk Stejnými úvahami odvodíme pravidla ( x y )n — Xnyn , Xn+k — XnXk Velkým zobecněním je zavedení n - té odmocniny jako čísla, pro které platí , X — X , X — X * X * * i x = x (^) Běžně užívané značení je 1 f i Y i„ 4x = xn , I xn I = xn" = x1 = x Definiční obor n - té odmocniny není triviální, vždy jsou to však všechna nezáporná reálná čísla. Nyní máme připraveno zobecnění mocnitele na racionální čísla jako Poslední zobecnění mocnitele je mít na jeho místě libovolné reálné číslo, toto zobecnění může počkat až po definici exponenciální a logaritmické funkce. x n 2. Funkce, její limita a spojitost S jistou dávkou matematické nepřesnosti lze říci, že funkce vyjadřuje závislost určité veličiny (závisle proměnné) na veličinách jiných (nezávisle proměnných). Příkladem mohou t být již zmíněné závislosti souřadnic částice na čase. Uvažujme nyní o případu jedné reálné nezávisle proměnné t a jedné reálné závisle proměnné x. Píšeme x = f (t) a čteme „x je funkcí t". Symbol f tzv. funkční předpis, určuje pravidlo, kterým jsou hodnotám t přiřazeny hodnoty x. Někdy píšeme jen x= x(t) (tento zápis bývá ve fyzice častější). Hodnoty, kterých může nabývat proměnná t, tvoří definiční obor funkce značený Df. Obor Df je buď zadán současně s uvedením pravidla f nebo je automaticky chápán jako množina všech hodnot t, pro něž lze podle pravidla f vyčíslit hodnotu x. Např. pro x = yft musí být t > 0, neboť záporné hodnoty nelze odmocňovat. Říkáme, že f je definována na množině Df. Hodnoty, jichž bude nabývat proměnná x, probíhá-li t definiční obor Df, tvoří obor hodnot funkce, Hf. V rovině souřadnic t (vodorovná osa) a x (svislá osa) vytvoří body o souřadnicích [t, f (t)] graf funkce, označovaný jako Gf. Na následujících obrázcích jsou čtyři příklady. Na prvním obrázku je graf funkce x—t2. Definičním oborem je celá reálná osa Df —(-¥,oo), obor hodnot funkce je Hf — [0,oo). Na druhém obrázku je graf funkce x — 41. Definičním oborem je kladná reálná poloosa Df —[0, oo), obor hodnot funkce je Hf — [0,o). Na třetím obrázku (nalevo) je graf funkce x—t +1. Definičním oborem je celá reálná osa Df —( -o,o), obor hodnot funkce je taktéž celá reálná osa Hf —(-¥,o). Na čtvrtém obrázku je graf funkce t2 -1 x —- t-1 Tato funkce není definována v bodě t—1, je tedy jejím definičním oborem sjednocení intervalů Df —(-o,1)u(1,o) a oborem hodnot Hf —(-o,2)u(2,o). Protože však tato funkce má v bodě t —1 limitu lim^-- — lim^-^-'- — lim (t+1) — 2 t—1 t -1 t—1 t -1 t—1 můžeme definovat novou funkci x = < t2-1 - t * 1 t-1 2 t = 1 a tato funkce už má jako definiční obor i obor hodnot celou reálnou osu. Toto je příklad, kdy „dodefinováním" původní funkce dosáhneme toho, že „nová" funkce má širší definiční obor, často pak celou reálnou osu 3. Některé elementární funkce 3.1 Polynomy Funkci f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 +-----+ an-1 xn-1 + an xn kde koeficienty jsou reálná čísla (a0,...ane R) nazýváme polynomem n-tého stupně (předpokládáme an * 0). Pomocí součtového symbolu zkracujeme zápis na n f (x ) = Z akxk k=0 Při tomto zápisu bereme v úvaho, že x° =1 pro všechna x. Vezměme polynomy nejnižších stupňů (pro vytvoření grafu funkce v rovině x-y značíme y = f (x)) y = a , y = ax+b , y = ax2 + bx+c Grafem polynomu stupně nula je přímka vedená rovnoběžně s osou x ve vzdálenosti a, grafem polynomu stupně jedna je přímka se směrnicí a (podle předpokladu je a jako koeficient u nejvyšší mocniny různý od nuly), která protíná osu y v bodě b a osu x v bodě -bja. Grafem polynomu stupně dva je parabola, která protíná osu y v bodě c, protíná osu x ve dvou bodech (pokud b2 >4ac), dotýká se osy x v bodě -bj(2a) (pokud b2 = 4ac) nebo leží celá nad nebo pod osou x (pokud b2 <4ac). Uvedené tři případy jsou na obrázcích. Zmíníme se ještě o polynomu, který vzniká z mocniny dvoj členu (x+a )n = xn + f n ) xn 1 a + ••• + f n ) vn -1J xan 1 +an kde 1 =---— , n! = n (n-1)-...-2-1 k J (n - k )!k! v 1 0! = 1 S výrazy typu kombinačního čísla nebo faktoriálu se také setkáme při úvahách o pravděpodobnosti. 3.2 Racionální funkce lomená anxn + an-1 xn 1 + ••■ + a 2 x2 + a1 x + a 0 bmxm + bm ,xm-1 + — + b2x2 + b,x + b0 ' m m -1 2 10 n = 0, m = 1 ... nepřímá úměra y = a (x - c)-1 3.3 Exponenciální funkce a logaritmus Pripomeňme, že jsme zapsali Eulerovo číslo jako nekonečnou řadu ^ 1 k = 0 k ! Nyní definujeme exponenciální funkci jako y = ex = V k=0 k! Pro exponenciální funkci se často užívá také označení exp(x). Při zápisu prvních několika členů řady máme exp( x) = 1 + X + — +— ; 1! 2! Vezměme součin dvou exponenciálních funkcí ( ) ( ) íi x x2 Y y y2 ) exp( x) exp( y )= 1+—+—+ ••• 1+—+—+••• = v 1 v 1 y 1! 2! 1! 2! J x + y x2 + 2 xy + y2 , \ 1 +-— +--—— + ••• = exp( x + y) 1! 2! Toto je velmi důležitá vlastnost: exponenciální funkce součtu je rovna součinu exponenciálních funkcí jednotlivých sčítanců exp(x+y) = exp(x) exp(y) exp(k x) = [exp(x)]* Z definice exponenciální funkce pomocí nekonečné řady plyne exp(0)=1. Dále vidíme, že funkční hodnoty nabývají pouze kladných hodnot. Pro x > 0 je zřejmé z definice pomocí řady (všechny členy jsou kladné a prvním členem je jednička), že dokonce x>0 => exp(x)>1. Pro x < 0 vyjdeme ze vztahu exp( x) exp(-x ) = 1 == exp( x )=-1—- > 0 exp(- x) a protože - x je kladné, je jako v předešlém případě exp(-x) kladné a větší jak jedna. Rozdíl je v tom, že nyní x < 0 == 0 < exp( x )<1. Funkce exp( x) je rostoucí. Pro y > 0 je exp(x+y) - exp(x) = exp(x)[exp(y> 0 Graf exponenciální funkce je na obrázku. Přirozený logaritmus je inversní funkcí k exponenciální funkci. To znamená, že zobrazujeme-li funkcí přirozený logaritmus číslo, které jsme získali zobrazením čísla X exponenciální funkcí, dostaneme opět číslo x, resp. v opačném pořadí zobrazujeme-li exponenciální funkcí číslo, které jsme získali zobrazením čísla x logaritmickou funkcí, dostaneme opět číslo x ln( exp( x)) — x , exp( ln( x)) — x Z definice je zřejmé, že definičním oborem funkce logaritmus jsou nezáporná čísla. Protože exp(0)—1, musí být ln(1)—0 . Označíme-li si x—exp(%) a y—exp(h), můžeme psát ln( x) + ln( y) — % + J] — ln( exp(%+h)) — ln( exp(%) exp(jj)) — ln( x y) Dostáváme tak důležitý vztah: logaritmus součinu je roven součtu logaritmů jednotlivých součinitelů ln(xy) — ln(x) + ln (y) ln(xk) — k ln(x) Jak z této vlastnosti plyne (položme y—1/ x), platí ln( x) —- ln^ - a logaritmus je rostoucí funkce, pro x>1 kladná, pro 0 Nejčastěji je užíván dekadický logaritmus (tj. logaritmická funkce se základem a=10), mnohdy proto není ani základ zmiňován, mluví se prostě o logaritmu. Graf dekadického logaritmu log( x) s vyznačením log(l0)=1 a log(l00 )=log(l02 ) = 2je na obrázku. Na obrázku je znázorněno několik příkladů umocnění pevného základu na x a odpovídající inverzní operace. 3.4 Goniometrické funkce Vycházíme z pravoúhlého trojúhelníku na obrázku. Goniometrické funkce jsou pro úhly z intervalu (0,;r/2) definovány jako poměry stran tohoto trojúhelníku: osa y y ) X osa x smd = — , cos6> = — , tg6> = — , cotg6> = — r r x y Je přímo vidět, že n sinq „ cosq 1 tgq=— , cotgq=—=— cosq sinq tgq a z Pythagorovy věty x2 + y2 = r2 =í> ríl + ži = 1 (cos^)2 +(sin#)2 = 1 V krajních hodnotách intervalu je sin0 = tg0 = 0 , cos0 = 1 , cotg0 = ¥ P P P P cos— = cotg— = 0 , sin— = 1 , tg— = ¥ 2 2 2 2 O znaménku funkcí sinus a kosinus ve čtyřech kvadrantech dává představu následující obrázek: Průběh funkcí sinus a kosinus na intervalech a [0,2p] je na obrázcích: Na dalších obrázcích je na těchže intervalech zobrazen průběh funkcí tangens a kotangens: 10 y tg (III i i i otg 11 1 tg cotg Vzhledem k vlastnostem průmětů průvodičů bodů na jednotkové kružnici a periodě 2 fna této kružnici můžeme pro goniometrické funkce psát řadu užitečných vztahů. Pro kosinus tak máme sin<9 = sin( 2f+q) = sin(f-<9) = - sin(-<9) = - sin(f+q) cos f-#j = -cos^f+ 6>j a pro kosinus cosd = cos( 2p+q) = -cos(p-q) = cos(-q) = - cosf+q): sin(f-q)=sin( f+q) Funkce tangens a kotangens jsou periodické s periodou , takže tgq = tg(f+q) = - tg(-q) cotgq = cotg (f+q) = - cotg(-q) Již jsme uvedli důležitý vztah (všimněte si trochu jiného zápisu druhé mocniny) sin2q + cos2q = 1 Pro úpravy výrazů s goniometrickými funkcemi jsou nepostradatelné tzv. součtové vzorce. Pro funkce součtu či rozdílu dvou úhlů platí sin(a±B) = sinacosB ± cosasinB cos(a±B) = cosacosB + sinasinB Pro součet nebo rozdíl funkcí dvou úhlů pak platí . „ „ . cc+B a-B _ „ a+B a-B sina + sinB = 2sin-cos- , cosa + cosB = 2cos-cos- 2 2 2 2 a-B a+B a+B a-B sina- sinB = 2sin-— cos-— , cosa- cosB = - 2sin-— sin-— 2 2 2 2 Na obrázku jsou příklady goniometrických funkcí obecného lineárního argumentu a=a x + b . cos x, cos( x - f) cos x, cos I cos x, cos I, cos 2x 1 4. Počítání s vektory (Většina obrázků převzata z učebnice HRW: Fyzika.) Vektor je zadán směrem a velikostí. Je tedy zobrazen orientovanou úsečkou (vyznačení šipkou). Vektory můžeme násobit reálnými čísly. Absolutní hodnota násobitele udává, kolikrát se změní délka vektoru, znaménko pak, zůstane-li orientace stejná nebo zda se změní na opačnou. Vektory můžeme sčítat a odečítat (odečtení vektoru b od vektoru a je totéž jako přičtení vektoru -b k vektoru a . Grafické znázornění je na následujících dvou obrázcích. Všimněme si, že i když budeme uvažovat vektory ve třech rozměrech našeho prostoru, vždy najdeme rovinu (tedy dvourozměrný prostor), ve které leží uvažované dva vektory a obrázky tedy můžeme pohodlně malovat v této rovině. Sečítání vektorů je komutativní (nezáleží na pořadí sčítanců). Odečtení vektoru je, jak již bylo řečeno, totéž jako přičtení vektoru opačně orientovaného: Početně je snadnou cestou rozklad vektorů do složek kartézské soustavy (ax = a cosq, a = a sin# ), takže pro součet vektorů je c = Ve třech rozměrech značíme tři základní jednotkové vektory (pravotočivé) kartézské soustavy i, j, k a libovolné dva vektory zapíšeme j ako a = axi + ay j + azk , b = bxi + by j + bzk Běžný způsob zápisu vektoru pomocí jeho složek je a = ( ax, ay , az) Lineární kombinace vektorů a a b (první vektor násobíme nějakým reálným číslem a a přičteme k němu druhý násobený číslem P) je opět vektor c =aa + j3b , c =(aax + j3bx ,aay +fíby ,aaz +j3bz) Při násobení vektorů rozeznáváme dva druhy součinů - skalární a vektorový. Pro skalární součin je a - b = a b cos j Velikost vektoru je podle tohoto vztahu odmocninou ze skalárního součinu vektoru se sebou samým, protože a - a = a2 cos0 = a2 Standardní značení velikosti vektoru a je \a\. Pouze tam, kde nemůže dojít k záměně (jako v našich vztazích zde), stačí psát jen a. Jsou-li dva vektory navzájem kolmé, je jejich skalární součin roven nule, protože a • b = ab cosP = 0 2 Pro jednotkové navzájem kolmé vektory kartézské soustavy tak máme i • i = j • j = k • k = 1 , i • j = j • k = k • i = 0 Potom můžeme skalární součin dvou libovolných vektorů zapsat ve složkách jako a^b = (+ ay j + az k)^(bxí + by j + bz k) = axbx + ay by + az bz Vektorový součin vektorů a a b vytváří vektor c , který je kolmý k rovině, v níž leží tyto vektory a má velikost c = a b sin j A _ Vektorový součin vektoru se sebou samým dává nulový vektor, protože pro velikost máme c=a2sin0 =0 Vektorový součin dvou navzájem kolmých jednotkových vektorů má opět jednotkovou velikost, protože i i • p i c = 11sin— = 1 2 Pro základní vektory kartézské soustavy tedy můžeme psát ixi = jxj = kxk = 0 , íxj = k , jxk = i , kxi = j Potom můžeme vektorový součin dvou libovolných vektorů zapsat ve složkách jako ä x b = (ax i + a/j + az k )x[bx i + b/j + bzk) = (ay bz - by az )ľ + (az bx - bz ax ) j + (äx by - bx äy ) k nebo ve standardním zápisu a x b = (ay bz - by az , az bx - bz ax , ax by - bx ay ) 5. Soustavy lineárních rovnic, matice 5.1 Triviální příklady V jedné nejmenované nemocnici byli zvyklí na dodávku ampulí s lékem, který se přidával do infuzí. Ampule měly vždy objem V a koncentrace účinné látky v ní byla p% objemových. Personál měl příkaz vrchní sestry dávat do infuze o výsledném objemu W vždy jednu ampuli léku. Jednou dodala lék jiná firma a ampule měly objem dvojnásobný, tj. 2 V, koncentrace účinné látky byla také dvojnásobná. Vrchní sestra přikázala dávat do infuzí polovinu obsahu ampule. Co myslíte, je to správný příkaz? Řešení: Zavedeme označení: objemy budou v cm3 (ml), tedy W objem infuze (v obou případech stejný) a V objem ampule první firmy. p bude koncentrace účinné látky v objemových procentech v prvním případě. Objem účinné látky a koncentrace jsou U =-£— V => q = — = —--, 1 100 1 W 100 W 2 100 2 2 W 100 W 1 Závěr: Snad nebyla dvojnásobná dávka smrtelná. Obecnější úloha je taková: Předpokládejme, že druhá firma dodala ampule o objemu £2=20 ml s koncentrací účinné látky p=50 % (objemových). Do jakého objemu základu infuze mají sestry vmíchat jednu ampuli, aby dosáhly předepsané koncentrace q=5 % ? Označme x objem infuze (neznámá místo objemu W z předchozí úlohy). Objem účinné látky v ampuli je 100 Rovnice pro neznámy objem x (lineární rovnice pro neznámou veličinu x) je pak q = 100—+W => qx + (q - p)W = 0 Řešení: x = W {q J ml = 20 [j50-1 | ml = 180 ml Nepatrně složitější úloha je tato: Do infuze o celkovém objemu W=200 ml se přidávají dvě účinné látky. První z nich je v ampulích o objemu Vi=20 ml v koncentraci pi=30 % (objemových), druhá v ampulích o objemu V2 =40 ml v koncentraci p2=50 %. Výsledná koncentrace obou účinných látek v infuzi má být q=15 % a poměr jejich koncentrací qj q2 = p = 0,5 (jedna ku dvěma). Kolik ml roztoku 1 a kolik ml roztoku 2 je třeba dát do infuze ? Řešení - záznam úlohy: Označme x hledaný objem roztoku 1 a y hledaný objem roztoku 2 (máme tedy dvě neznámé, x a y). Objem účinné látky 1 v objemu x bude U1 =(pj100)x, objem účinné látky 2 v objemu y bude U2 =(p2/l00)y. Koncentrace látek v infuzi pak budou = UL = = U1 = p2 y 1 W 100 W ' W 100 W Pro naše dvě neznámé máme dvě podmínky q1 + q2 = q , — = p Přepíšeme tyto podmínky pomocí neznámých veličin x a y a známých hodnot p1, p2, W, q a p na soustavu dvou lineárních rovnic o dvou neznámých p1 x + p2y = qW p1 x - pp2y = 0 Řešení soustavy rovnic: Odečteme druhou rovnici od první a vyřešíme vzhledem k y, potom dosadíme toto řešení do druhé rovnice (samozřejmě je možné dosadit i do první rovnice, řešení pro x musí být stejné). Dostaneme tak pqW qW p1 (1 + p) p2 (1 + p) 5.2 Matice Tabulku tvořenou m řádky a n sloupci čísel nazýváme maticí dimense m x n f a a • • • a ^ "11 "12 "1n A = ( ak )= ............ Matice stejné dimense m x n můžeme sečítat a násobit číslem C = A + B ^ (cik ) = (aik ) + (bk ) = (aik + bik) C = aA => (c k ) = a(a lk ) = (acilk) Matici A dimense mxn můžeme zprava vynásobit maticí B dimense nxs a získat tak matici C dimense m x s nebo můžeme matici A dimense m x n vynásobit zleva maticí B dimense s x m a získat tak matici C dimense s x n Vidíme, že pro sčítání zůstává komutativita (nezávislost na pořadí) sčítanců zachována i u matic, u násobení to pro součinitele obecně neplatí. Především: násobit můžeme jen matice, které mají stejný počet řádků nebo sloupců. Ale i pro čtvercové matice (dimense n x n) je komutativita spíše výjimkou. Obrazně vyjádřeno, prvky matice součinu vytváříme takto: v prvním řádku jsou postupně „první řádek levé matice krát první sloupec pravé matice", „první řádek levé matice krát druhý sloupec pravé matice" až „první řádek levé matice krát poslední sloupec pravé matice", v druhém řádku jsou postupně „druhý řádek levé matice krát první sloupec pravé matice", „druhý řádek levé matice krát druhý sloupec pravé matice" až „druhý řádek levé matice krát poslední sloupec pravé matice" atd. až po poslední řádek matice součinu, kde jsou postupně „poslední řádek levé matice krát první sloupec pravé matice", „poslední řádek levé matice krát druhý sloupec pravé matice" až „poslední řádek levé matice krát poslední sloupec pravé matice". Součin „řádek krát sloupec" pak znamená, že sečteme součin prvního prvku řádku s prvním prvkem sloupce se součinem druhého prvku řádku s druhým prvkem sloupce atd. až po součin posledního prvku řádku s posledním prvkem sloupce. Příklad pro čtvercové matice dimense 2: C = A-B => (clk m C = B - A => (cik ) = |Z bipapk I p=1 A = (1 0 ^ B = (0 1 ^ Počítáme A • B = B • A A A B B f 1 0 V 0 1 ^ f 1-0 + 0-1 M + 0 • 0 ^ f 0 1 ^ 0 -1 1 0 10 f 0 1V1 0 ^ = f 0-1 + 1- 0 0 • 0 + f| = f 0 -1" 1 0J [0 -1J = ^1-1 + 0--1 1-0 + 0--1J = [ 1 0 , f 1 0 ^f 1 0 ^ f 1-1 + 0-0 1-0 + 0--1 ^ f 1 0^ 0 1 +-1 0 0 0+-1 -1 f 0-0 + 1-1 0-1 + 1-0 ^ f 1 0^ 1 0+0 1 1 1+0 0 0 -1 0 -1 01 f 0 1V 0 1 ^ 10 10 01 Při počítání se nám objevila (ne náhodně, příklad je tak vybrán) jednotková matice f 1 0 - 0^ 0 1 - 0 E = (ôk ) = 00 tj. čtvercová matice, která má na diagonále jedničky a ostatní prvky jsou rovny nule. Symbol ôk je Kroneckerovo delta, pro které Í1 i = k [0 i ^ k Násobení jednotkovou maticí ponechává původní matici nezměněnou. Vezměme jednotkovou matici dimense n x n, matici A dimense m x n a matici B dimense n x s . Potom je C = A- E Za ô ip 1 pk a C =E B • ck=Jlôpbpk = bik p=1 p=1 Obecně nemusí být všechny řádky matice lineárně nezávislé (tj. pro nějaký řádek je v takovém případě možné najít lineární kombinaci zbývajících řádků, že je rovna tomuto řádku). Totéž platí, uvažujeme-li místo řádků o sloupcích. Hodnost matice je definována jako maximální počet lineárně nezávislých řádků. Hodnost matice hraje podstatnou roli při úvahách o počtech řešení soustavy lineárních rovnic. 5.3 Matice a řešení soustavy rovnic Uvažujme soustavu m lineárních rovnic o n neznámých a,, x + a12 x2 +... + a, x = h 111 12 2 1n n 1 21 1 22 2 2 2 m1 1 m2 2 mn n m kde a, bf (1 1 2 J Provedeme úpravy: (1) první rovnici vynásobenou 2 přičteme k druhé a (2) první rovnici vynásobenou (-1) přičteme k třetí (tj. odečteme ji) x + 2 y + 3 z = 2 5 y + 5 z = 5 - y - 2 z = 0 (12 3 0 5 5 V0 -1 - 2 2 > 5 0 Další úpravy jsou (3) druhou rovnici násobíme 1/5 (tj. dělíme ji 5) a (4) druhou rovnici (po předchozí úpravě) přičteme k třetí rovnici x + 2 y + 3 z = 2 r 1 2 3 21 y + z = 1 0 1 1 1 - z = 1 l0 0 -1 1J Dostali jsme tak ekvivalentní soustavu rovnic, která má stejné řešení jako původní. Řešení najdeme dosazováním „odzadu". Soustava má jediné řešení x=1, y=2, z=-1. Matice i rozšířená matice jsou ve stejném schodovitém tvaru a mají tři nenulové řádky - hodnost obou matic ( h (A)=h (B )=3) je rovna počtu neznámých, dostáváme jediné řešení. Příklad 2 ( m = n=3): x + 2 y + 3 z = 2 r 1 2 rr-2 1 3 21 - 2 x + y - z = 1 -1 1 - 3 x + 4 y + z = 4 rl-3 4 1 4J Provedeme úpravy: (1) první rovnici vynásobenou 2 přičteme k druhé a (2) první rovnici vynásobenou 3 přičteme k třetí x + 2 y + 3 z = 2 5 y + 5 z = 5 10y+10z=10 f 1 0 0 2 3 2 1 5 5 5 10 10 10J Další úpravy jsou (3) druhou rovnici násobíme 1/5 (tj. dělíme ji 5), (4) třetí rovnici násobíme 1/10 (tj. dělíme ji 10) a nakonec (5) druhou rovnici vynásobenou (-1) přičteme k třetí (tj. odečteme ji) x+2y+3z=2 r 1 rr0 2 3 21 y+z=1 1 1 1 0=0 rl0 0 0 0J Ekvivalentní soustava rovnic má stejné řešení jako původní. Najdeme je snadno dosazováním „odzadu". V tomto případě zůstává jedna volná neznámá, existuje tedy nekonečně mnoho řešení x=-z, y=1 - z, z libovolné. Matice i rozšířená matice jsou ve stejném schodovitém tvaru a mají dva nenulové řádky - hodnost obou matic ( h (A)=h (B ) = 2 ) je menší než počet neznámých, dostáváme nekonečně mnoho řešení. Příklad 3 ( m=n=3 ): x+2y+3z=2 - 2 x + y - z = 1 x + 3 y + 2 z = 8 f 12 3 -2 1 -1 -1 3 2 21 1 Provedeme úpravy: přičteme k třetí (1) první rovnici vynásobenou 2 přičteme k druhé a (2) první rovnici x + 2 y + 3 z = 2 5 y + 5 z = 5 5 y + 5 z = 10 í 12 3 0 5 5 v 0 5 5 21 10 Další úpravy jsou (3) druhou rovnici vynásobenou (-1) přičteme k třetí (tj. odečteme ji) a (4) druhou rovnici násobíme 1/5 (tj. dělíme ji 5) x + 2 y + 3z = 2 y + z = 1 0=5 I toto je ekvivalentní soustava rovnic. Zjevně nemá řešení, neboť žádnou volbou proměnných nedosáhneme „0=5". Matice soustavy i rozšířená matice jsou ve schodovitém tvaru, ale hodnost matice soustavy ( h (A) = 2) je menší než hodnost rozšířené matice ( h (B )=3). Příklad 4 (m = 2, n=3): í1 2 3 21 0 1 1 1 v 0 0 0 5 j x + 2 y + 3z = 2 -2 x + y - z = 1 í 12 3 -2 1 -1 21 1 j Provedeme úpravy: (1) první rovnici vynásobenou 2 přičteme k druhé a (2) upravenou druhou rovnici vynásobíme 1/5 (tj. vydělíme 5) x + 2 y + 3z = 2 y+z=1 r 1 v 0 23 11 21 1 j Ze schodovitého tvaru matic vidíme, že hodnosti jsou stejné a menší než počet neznámých (h(A)=h(B) = 2), dostáváme nekonečně mnoho řešení x=-z, y=1 - z, z libovolné. Příklad 5 (m=2,n=3): x + 2 y + 3 z = 2 í 1 2 3 2 ^ -2x - 4y - 6z = -5 [-2 -4 -6-5, Stačí provést úpravu (1) první rovnici vynásobenou 2 přičteme k druhé x + 2 y + 3 z = 2 í 1 2 32 ^ 0 = -1 [0 0 0 -1, Ekvivalentní soustava rovnic zjevně nemá řešení, neboť žádnou volbou proměnných nedosáhneme „0=-1". Matice soustavy i rozšířená matice jsou ve schodovitém tvaru, ale hodnost matice soustavy ( h (A) = 1) je menší než hodnost rozšířené matice ( h (B ) = 2). Příklad 6 (m — 4, n—3): x + 2 y + 3 z — 2 r 1 2 3 21 - 2 x + y - z — 1 - 2 1 -1 1 X + y + z — 2 1 1 1 2 - X + 2 y — 3 v-1 2 0 3 j Provedeme úpravy: (1) první rovnici vynásobenou 2 přičteme k druhé, (2) první rovnici vynásobenou (-1) přičteme k třetí (tj. odečteme ji) a (3) první rovnici přičteme ke třetí X+2y+3z—2 5 y + 5 z — 5 -y-2z—0 4y+3z—5 f 1 0 0 0 2 3 5 5 -1 -2 4 3 2 1 5 0 5 J Další úpravy jsou: (3) druhou rovnici vynásobíme 1/5 (tj. vydělíme 5), (4) upravenou druhou rovnici přičteme k třetí rovnici, (5) upravenou druhou rovnici vynásobenou (-4) přičteme k třetí a konečně (6) upravenou třetí rovnici odečteme od čtvrté X+2y+3z—2 y+z—1 -z—1 0 — 0 f 1 0 0 0 23 11 000 2 1 1 1 0 J Řešení této ekvivalentní soustavy rovnic najdeme dosazováním „odzadu". Soustava má jediné řešení x=1, y=2, z=-1. Matice i rozšířená matice jsou ve stejném schodovitém tvaru a mají tři nenulové řádky - hodnost obou matic (h(A) —h(B)—3) je rovna počtu neznámých, dostáváme jediné řešení. Příklad 7 (m — 4, n—3): X+2y+3z—2 - 2 x + y - z — 1 x + 3 y + 2 z — 3 3 x + y + 4 z — 1 f 1 2 3 - 2 1 -1 r - 1 3 2 3 1 4 2 > 1 3 1J Provedeme úpravy: (1) první rovnici vynásobenou 2 přičteme k druhé, (2) první rovnici přičteme k třetí a (3) první rovnici vynásobenou (-3) přičteme ke čtvrté x + 2y + 3z — 2 f 12 3 5 y + 5 z — 5 5 y + 5 z — 5 - 5 y - 5 z — - 5 0 5 5 0 5 5 0 - 5 - 5 2 1 5 5 -5 Při dalších úpravách (4) přičteme druhou rovnici ke čtvrté, (5) odečteme druhou rovnici od třetí a nakonec (6) vynásobíme tuto rovnici 1/5 (dělíme 5) x + 2 y + 3 z = 2 r 1 2 3 21 y + z = 1 0 1 1 1 0 = 0 0 0 0 0 0 = 0 l0 0 0 0 j Soustava má nekonečně mnoho řešení x = - z, y = 1 - z, z libovolné. Počet schodů, tj. počet nenulových řádků obou matic je stejný, jejich hodnosti h (A)=h (B )=2, což je hodnota o jedničku menší než počet neznámých n=3 . Příklad 7 (m = 4, n=3): x+2y+3z =2 r 1 r2 2 3 21 - x - 2 y - 3 z 2 x + 4 y + 6 z =-2 =4 -2 4 -3 6 - 2 4 - 3 x - 6 y - 9 z =-6 i- 3 - 6 - 9 - 6 j Provedeme úpravy, v tomto příkladu velmi jednoduché: (1) první rovnici přičteme ke druhé, (2) první rovnici vynásobenou (-2) přičteme ke třetí a (3) první rovnici vynásobenou 3 přičteme ke čtvrté x+2y+3z=2 r 1 rr0 2 3 21 0=0 0 0 0 0=0 r0 0 0 0 0=0 i0 0 0 0 J Hodnosti matic jsou shodné h(A)=h(B)=1 a jsou o 2 menší než počet neznámých n=3 . Soustava má nekonečně mnoho řešení x = 2 - 2y - 3z, y a z libovolné. 5.4 Shrnutí Gaussovy eliminační metody V předchozí části byl na příkladech ukázán způsob řešení soustavy rovnic převodem matice soustavy rovnic a rozšířené matice (tj. k matici soustavy přidáváme sloupec pravých stran) na schodovitý tvar. Tomuto způsobu říkáme Gaussova eliminační („likvidační") metoda. Zavedli jsme pojem hodnost matice (počet nenulových řádků jejího schodovitého tvaru) a označení h(A) pro hodnost matice soustavy a h(B) pro hodnost rozšířené matice. Soustava m rovnic o n neznámých má řešení právě tehdy, je-li h(A)=h(B)=h, tj. počet nenulových řádků je stejný (schodovité tvary mají stejný počet schodů). Počet volných neznámých je To znamená, že soustava má jediné řešení (nejsou žádné volné neznámé) pro d=0, tedy v případě, kdy hodnosti matic jsou stejné a rovnu počtu neznámých. 6. Limita a derivace 6.1 Motivace - rychlost a zrychlení Všimněme si úseku trajektorie částice (říkáme také hmotného bodu) mezi blízkými body A a B, ve kterých se částice nachází v čase t a t+At. Některé veličiny se vztahují k jednomu časovému okamžiku, jiné k intervalu mezi dvěma časovými okamžiky. V našem příkladu máme: d = n - h polohový vektor částice v časovém okamžiku t ř (t ) = (x (t), y (t), z (t)) polohový vektor částice v časovém okamžiku t + At ř (t + At ) = ( x (t + At), y (t + At), z (t + At)) rychlost částice v časovém okamžiku t V(t) = (vx (t),vy (t),vz (t)) rychlost částice v časovém okamžiku t + Dt V(t+ Dt) = (Vx (t+Dt),Vy (t+Dt),vz (t+Dt)) vektor posunutí částice v časovém intervalu [t, t+Dt ] AV[tj+At]= ř (t + Dt)-r (t ) = ( x (t + Dt)-x (t), y (t + Dt)-y (t), z (t + Dt)-z (t)) vektor průměrné rychlosti částice v časovém intervalu [t,t+Dt] -v V (t + Dt)-r (t) f x (t + Dt)-x (t) y (t + Dt)-y (t) z (t + Dt)-z (t) ^ v)[t j+Dt] = Dt ~ V Dt ' Dt ' Dt J vektor změny rychlosti částice v časovém intervalu [t, t + Dt ] DV[t ,t+Dt]= V (t + Dt)-V (t ) = ( Vx (t +Dt)-Vx (t ) , Vy (t +Dt)-Vy (t) , Vz (t + Dt)-Vz (t)) vektor průměrného zrychlení částice v časovém intervalu [t, t + Dt ] = V(t+Dt)-V(t) = f Vx (t+Dt)-Vx (t) vy (t+Dt)-vy (t) Vz (t+Dt)-Vz (t)" ^ '[t,t+Dt] Dt V Dt ' Dt ' Dt J Vektor průměrné rychlosti vystihuje přibližně, jak rychle měnil hmotný bod svou polohu během časového intervalu [t, t+Dt ]. Během tohoto intervalu se částice přemístila po nějaké trajektorii z místa r (t) v čase t do místa r (t+Dt) v čase t+Dt. Za stejnou dobu Dt by se také mezi těmito místy přemístila částice pohybující se rovnoměrně přímočaře průměrnou rychlostí, neboť /n / \ /n v (t + Dt)-r (t) . , r (t) + [t,t+,t] Dt = r (t) + { Dt U Dt = r (t + Dt) Náhrada skutečného pohybu bodu po křivce v časovém intervalu [t, t + Dt] pohybem rovnoměrným přímočarým bude přirozeně tím přesnější, čím bude interval [t,t + Dt] kratší. Provádíme tzv. limitní přechod Dt ® 0. Co se však přitom děje se souřadnicemi vektoru průměrné rychlosti? Přestože se jmenovatelé i čitatelé zlomků x (t + Dt)-x (t) y (t + Dt)-y (t) z (t + Dt)-z (t) Dt ' Dt ' Dt stávají libovolně blízkými nule, jejich podíly nabývají rozumných hodnot a blíží se při zmenšujících se Dt ke konečným číslům - svým limitním hodnotám. Ty již, na rozdíl od veličin průměrných, nezávisí na délce časového intervalu Dt, ale pouze na jeho počátečním okamžiku t a udávají tak souřadnice tzv. vektoru okamžité rychlosti hmotného bodu. Píšeme v (t) = lim (vV , , Poznámka: Z předcházejícího výkladu je zřejmé, že velikost vektoru průměrné rychlosti [t, t+Dt] [t, t+Dt] je něco jiného než průměrná hodnota velikosti vektoru okamžité rychlosti která se v běžné řeči označuje slovním spojením „průměrná rychlost". Jednoduchý příklad limitního přechodu je znázorněn na obrázku. Jde o rovnoměrný pohyb po kružnici .w N („ 2f t „ . 2ft r (t) = I R cos—^—, R sm—r~ Pro průměrnou rychlost dostáváme (při úpravách používáme známých vztahu pro goniometrické funkce) r (t + Dt)-v(t) = R í [t, t+Dt] sin 2 R- Dt fDt Dt cos 2f (t+Dt) 2 t - cos-,sin 2f (t + Dt) -sin 2f 11 T K sin Dt Velikost vektoru průměrné rychlosti je pak (21 + Dt) cosf(21 + Dt)^ T ' T [t, t+Dt] l(M [t,t+Dt]) +^V.) [t,t+Dt]) sin 2 R- fDt Dt Zvolíme-li poloměr ^=1 m a periodu T=4 s, dostáváme pro zkracující se intervaly hodnoty velikosti vektoru průměrné rychlosti [0, Dt] uvedené v tabulce. Výpočet limity pro Dt ® 0 dává přesnou hodnotu |v| =f 2ms_1, proto pro lepší zviditelnění toho, jak se hodnoty blíží k přesné hodnotě uvádíme v tabulce 2/f násobky velikosti vektoru průměrné rychlosti. Dt [s] f [0,Dt] [ms_1 ] 1 0,9003 1/2 0,9745 1/4 0,9936 1/8 0,9984 1/16 0,9996 -> 0 x -> 1 6.2 Funkce, její limita a spojitost Funkce vyjadřuje závislost určité veličiny (závisle proměnné) na veličinách jiných (nezávisle prom nných). P íkladem mohou být již zmín né závislosti sou adnic ástice na ase. Uvažujme nyní o případu jedné reálné nezávisle proměnné t a jedné reálné závisle proměnné x. Píšeme x — f (t) a čteme „x je funkcí t". Symbol f tzv. funkční předpis, určuje pravidlo, kterým jsou hodnotám t přiřazeny hodnoty x. Někdy píšeme jen x — x(t) (tento zápis bývá ve fyzice častější). Hodnoty, kterých může nabývat proměnná t, tvoří definiční obor funkce značený Df. Obor Df je buď zadán současně s uvedením pravidla f nebo je automaticky chápán jako množina všech hodnot t, pro něž lze podle pravidla f vyčíslit hodnotu x. Např. pro x — \[t musí být t > 0, neboť záporné hodnoty nelze odmocňovat. Říkáme, že f je definována na množině Df. Hodnoty, jichž bude nabývat proměnná X, probíhá-li t definiční obor Df, tvoří obor hodnot funkce, Hf. V rovině souřadnic t (vodorovná osa) a x (svislá osa) vytvoří body o souřadnicích [t, f (t)] graf funkce, označovaný jako Gf. Definice: Funkce g je inversní funkcí k funkci f jestliže její definiční obor obsahuje obor hodnot funkce f a platí g (f (t)) — t Jako příklady uveďme exp( ln( t)) — t , ln( exp( t)) — t , Vt7 — t , (Jí )2— t , sin( arcsin( t)) — t , arcsin( sin( t)) — t U posledního vztahu je třeba jisté opatrnosti, protože funkce sinus je periodická. Následující obrázky ukazují příklady grafů funkcí, které v určitém bodě (t — 0) limitu vůbec nemají (plný kroužek = bod patří do definičního oboru funkce, prázdný kroužek = bod nepatří do definičního oboru funkce). Jedná se postupně o funkce / (t) - cost t £ 0 [ cost t > 0 -cost t < 0 f(t) = \ 0 t=0 cost t >0 f(t) -cost t<0 [ cost t>0 Ve všech případech mají funkce v bodě t0 = 0 limitu L1 zleva (t se blíží k nule ze strany záporných čísel) a limitu L2 zprava (t se blíží k nule ze strany kladných čísel). Píšeme lim f (t) = L1=-1 , lim f (t) = L2 = 1 t - t0- t - t0+ Protože L1žL2, limita neexistuje. Ve všech případech je funkce v bodě t0 = 0 nespojitá. V prvním případě (levý obrázek) je však spojitá zleva. Platí zde l-m f (t ) = f (0) (v našem příkladu f (0)=-1). Obdobně ve třetím případě (pravý obrázek) je funkce spojitá zprava. Platí zde tedy lim f (t ) = f (0) (v našem příkladu f (0)=1). Přesná definice limity je následující: Definice: Číslo L se nazývá limitou funkce x=f (t) v bodě t0, jestliže pro libovolně zvolené (jakkoli malé) číslo e>0 dokážeme najít takový interval (t0-5,t0 + d), d>0, že platí (a) funkce f (t) je definována ve všech bodech množiny (t0-5,t0)u(t0,t0 + 5) (b) pro všechna čísla t e (t0 -5, t0 )u(t0, t0 + 5) je f (t)-L| At2 > At3. Ve zkratce můžeme psát At —» 0 => sečna —»tečna . Tečna ke grafu funkce v bodě [t0,f (t0)] je limitním případem sečny spojující body A = [t0,f (t0)]a B = [t0 +At0, f (t0 +At0) ] pro At — 0. Směrnice sečny je tga = f (t0 +At)-f (t0) At Směrnice tečny je limitou směrnice sečny pro At ® 0 limtga = hm^-^-; v 0/ Dt ®0 Dt ®0 Dt Tečnu ke grafu funkce x=f (t) v bodě [t0, f (t0)] lze tedy zkonstruovat, existuje-li tato limita. Tato limita se nazývá derivace funkce f (t) v bodě t=t0 a značí se f< (t0)= lim f (t0+Dt)-f (t0) Rovnice tečny (tj. přímky procházející bodem [t0, f (t0)] se směrnicí f/ (t0)) je x = f (t0) + f/ (t0)(t -10) Derivace funkce x= f(t) v obecném bodě t f - (t )= lim f (t+Dt)-f (t) je sama také funkcí proměnné t. Derivace funkce f(t) se nezkráceně zapisuje jako df (t) dt Výrazy, které teď můžeme zapsat v limitě Dt®0 jako derivace, jsme viděli u výpočtu rychlosti a zrychlení: V (t) = (vx (t), vy (t), vz (t)) = (x/ (t),y/ (t), z/ (t)) a (t) = (ax (t), ay (t), az (t)) = (y/x (t), (t), v[ (t)) = (x" (t), y» (t), z» (t)) Používáme běžného značení derivace jednou čárkou v horním pravém indexu (nebo jednou tečkou nad symbolem), druhou a třetí derivaci pak značíme dvěma a třema čárkami (nebo tečkami), vyšší derivace mají římskou číslici v horním pravém indexu dJM=f/ (t), ^=f (t), £M=f (t), ^=f <■«) (t) d.m=f (t), dim=f,), tm=n, ..op.=} ()(t),... 6.4 Pravidla pro počítání derivací Začneme přehled podrobným rozborem dvou příkladů, velmi jednoduchého a poněkud komplikovanějšího. Příklad 1: vezměme funkci x=f (t )= 2 at t Při výpočtu derivace máme z definice 1 f/ (t)=lim a (t + Dt) 2 1 2 -at 2 Dt ®0 Dt = lim Dt ®0 1 at2 + at Dt + - a (Dt) 2 2 2 1 2 -at 2 Dt 1 a Dt I t + - Dt 1 lim---- = lim aI t +—Dt I = at Podstatným krokem při výpočtu bylo užití „metody vykrácení nepohodlného výrazu". Příklad 2: vezměme funkci x = f (t) = sint Opět z definice sin( t + Dt)-sint „ • Dt ( Dt 'i 2sin—cosI t +--I Dt ® 0 Dt = lim- Dt ®0 Dt lim Dt ®0 sin Dt cos(t+Dt) sinDt = lim-lim cos( t + Dt) = cost Dt Dt®0 Dt Dt®0 Opět podstatným krokem při výpočtu bylo užití „metody vykrácení nepohodlného výrazu" -tentokrát jsme využili toho, že pro malé hodnoty argumentu je funkční hodnota sinu rovna tomuto argumentu sin Dt = Dt -(Dt )3/6 +— . Můžeme si ukázat výpočet limity sin Dt , lim-= 1 takto: Podle obrázku platí ( sinDt červeně, délka oblouku Dt modře, tgDt zeleně) 2 2 2 sin At 1 > 1 > cosAt 1 > sin At > At ®u cosAt ® 1 sinAt At sinAt At ®° sin At At ®° At ® ° ® 1 At At V dalším už uvedeme jen výsledky pro nejdůležitější elementární funkce: mocninu, sinus a kosinus a exponenciálu a logaritmus. f (t ) = sint , f' (t ) = cost f (t ) = cost , f' (t ) = - sint f (t)=e , f' (t ) = et f (t) = at , f1 (t ) = a1 ln a , f (t) = Int f (t)=1 , f (t) = log J ' f (t ) = t in a Pro derivaci součtu či rozdílu funkcí platí [ f (t )± g (t) J = f' (t )± g • (t) Pro derivaci funkce násobené konstantou ce R platí \cf (t)]' = c f1 (t) Pro derivaci součinu dvou funkcí platí [ f (t) g (t )J=f' (t) g (t)+f (t) g' (t) Pro derivaci podílu dvou funkcí platí Pro derivaci složené funkce platí F (t) = g (f (t)) , F' (t) = g (f (t))/(t) Připomeňme si, že čárkou značíme derivaci funkce podle argumentu. Aby bylo pravidlo pro derivování složené funkce zcela jasné, rozepišme si složenou funkci jako F (t) = g (x) , x = f (t) Potom dF (t) = dg (x) df (t) dt dx dt g' (f (t))f'(t) Zobrazení složenou funkcí včetně definičních oborů a oborů hodnot je ukázáno na obrázku. Důkazy pravidel pro derivování jsou většinou jednoduché, například cf (t+Dt)-cf (t) = f (t+Dt)-f (t) [c f (t)]/ = lim^ (l™r"J(l)= c lim JVZ^TJVl = c f1 (t) nebo lim [f (t+Dt )-f (t)]g (t+Dt)+lim f (t) [ g (t+Dt)-g (t)] = lim ^-; W] lim g (t + Dt) + f (t) lim ^-; W] = Dt®0 Dt Dt®0 Dt®0 Dt f/ (t) g (t) + f (t) g/ (t) Podle těchto pravidel pak dokážeme najít derivace i velmi složitých výrazů. Pro dobré pochopení je vhodné všimnout si vnitřní konsistence těchto pravidel. Příklad 3. Nepochybně je derivace konstanty rovna nule. Zapsáno z definice je pro součin konstanty c a funkce f (t) = 1=t0 [c • 1]/ = lim ——c-1 = c lim 1—1 = c • 0 = 0 Dt®0 Dt Dt®0 Dt Příklad 4. Víme, že derivace funkce sinus je rovna funkci kosinus. Podle pravidla o derivaci složené funkce (a je konstanta) [sin( t + a) ]/ = cos( tt= cos( t+a) Zvolíme-li a=f 2, dostáváme s použitím součtových vzorců pro goniometrické funkce pravidlo [cost ]/ =-sint. Příklad 5. Derivace funkce 1/g (t). Použijeme vztah pro derivaci podílu funkcí, přitom f (t)=1. Máme _ = 0-g(t)-1-g (t) = g (t) g (') r [g (t )]2 _ [g (t)]2 Příklad 6. Obecnějším případem složené funkce než funkce v Příkladu 4 je F (t)=g (at+b), kde a,be R jsou libovolné reálné konstanty. Potom F' (t ) = g1 (at + b )[at + b]' = ag (at + b) Příklad 7: Funkce tangens je podílem sinu a kosinu. Podle pravidla o derivování podílu máme (tg')' = ' sin' ^ vcos'j _ cos'• cos' - sin'•(-sin')_(cos')2 +(sin')2 _ 1 2 (COS') (cos') (cos') Příklad 8: Funkce kotangens je podílem kosinu a sinu. Podle pravidla o derivování podílu máme (cotg')' = cos' v sin' j = - sin' • sin' - cos' • cos' = (sin')2 + (cos')2 = 1 2 (sin') (sin') (sin') Příklad 8: Derivace inversní funkce. Budeme inversní funkci chápat jako složenou funkci, tj. F (') =' (x (')) =' => F' (')= —— = 1 ^ — = J- dx dx d' Například pro výpočet derivace funkce arcsin dostáváme x (') = sin',' (x) = arcsin x, — = cos' = ^ 1-( sin' )2 = ^/T d' (arcsin x)' 7í- a podobně pro výpočet derivace funkce arccos dx x (') = cos',' (x) = arccos x , — = - sin' d' ■■-J 1-( cos' )2 =-^/1-x x (arccosx)/ = 1 6.5 Přibližné vyjádření diferencovatelné funkce V následující části budeme nezávisle proměnnou značit x a funkce této proměnné pak y = f (x). Obrázek nám na příkladu funkce y = 2x2 -4x + 3 ukazuje možnosti přibližného vyjádření funkce v okolí určité zvolené hodnoty nezávisle proměnné, v tomto případě x0 =2 . Modrá barva vyznačuje graf funkce, zelená sečnu spojující funkční hodnoty v x0 — 2 a x0 +Ax — 4 a červená tečnu ke grafu funkce v bodě x0 — 2 . Rovnice funkce, sečny a tečny jsou yf — 2 x2 - 4 x + 3 , ys — 8 x -13 , yt — 4 x - 5 Takto vypadají rovnice dost odlišně, ale přepíšeme-li je v „proměnné" £—x - x0 — x - 2, máme yf — 3 + 4X + 2£2 , ys — 3 + 8£ , yt — 3 + 4£ Vidíme, že ačkoliv může sečna na vybraném malém intervalu (v našem případě 2 £ x £ 4) dobře aproximovat funkci, tečna v bodě x0 je vhodnější aproximací funkce na celém okolí bodu x0 , v obecném bodě x tohoto okolí se liší od funkce až členy, které jsou úměrné druhé mocnině vzdálenosti od bodu x0 , tj. úměrné ( x - x0 )2 . Pro obecnou funkci yf — f( x) jsme ukázali, že směrnice tečny v bodě x0 je rovna derivaci funkce v tomto bodě, tedy rovnice tečny je yt ( x )— f ( x0 ) + f / ( X0 )( x - X0 ) S označením A x—x - x0 můžeme v okolí bodu x0 psát y f (x) — yt (x) + e (X0, Ax) A x kde pro chybu aproximace platí lim e( x0, A x) — 0 Ax ®0 v 0 ; Bez dalších úvah přijmeme následující tvrzení: Je-li funkce v bodě x0 a jeho okolí dostatečně hladká (má všechny derivace), je možné ji zapsat jako nekonečnou řadu (Taylorův rozvoj) y (x )= f (x()) + f1 (x() )D x + ... = > f(n)( x0 )(Dnx) n=0 Pro zkrácení zápisu píšeme f '0) = f , f (1) = f/, f(2) = f" , ... Některé funkce je možné takovou řadou i definovat (musíme však ukázat, že řada konverguje). V dalších příkladech si ukážeme Taylorův některých elementárních funkcí. Příklad 1. Najděme Taylorův rozvoj funkce f (x) = exp(x) v okolí bodu x0 = 0 (potom Dx=x). Pro exponenciálu je [exp(x)]/ = exp(x) a bude tedy pro derivace libovolného řádu f 'n) (x)=f (x). Dále je f (0) = exp(0)=1, takže dostáváme Tailorovu řadu pro exponenciální funkci x" x2 x3 x4 exp( x ) = > — = 1 + x+—+—+—+••• Příklad 2. Najděme Taylorův rozvoj funkce f(x)=ln(x) v okolí bodu x0=1 (potom D x = x-1). Pro logaritmus je první derivace [ln (x)]' =1/ x, druhá derivace pak [ln (x)]" =-1/x2, třetí derivace [ln (x)]// = 2/ x3 atd. Dále je f (1)=ln(1) = 0 a pro n-tou derivaci f'n)(1) = (n-1)!(-1)n 1. V Taylorově řadě zkrátíme (n-1)!/n! = ^n a máme konečně ln (x ) = >(-1)n-1 (x-1^ n=1 n neboli .2 ..3 ..4 ln (1 + x) = f(-1)n-1 = x - — + — - — + - Příklad 3. Najděme Taylorův rozvoj funkce f(x)=sin(x) v okolí bodu x0 =0 (potom Dx=x). Pro derivace sinu máme následující schéma (sinx)/ =cosx (sinx)// =(cosx)/ =-sinx (sinx)/// =(cosx)//=(-sinx)/ =-cosx (sinx) =(cosx) =(-sinx) =(-cosx) =sinx Vidíme, že pro derivace lichého řádu 2k + 1, k — 0,1,2,... máme (sin x )(2 k(-1)k cos x a pro derivace sudého řádu 2 k, k—0,1,2,... je (sin x )(2 k)—(-1)k sin x . Protože sin0—0 a cos0 —1, dostáváme pro Taylorův rozvoj funkce sinus sin( x) — V (-1)%-— — x---1------ V ; n—ŕ ' (2n + 1)! 6 120 Příklad 4. Najděme Taylorův rozvoj funkce f (x) — cos(x) v okolí bodu x0 — 0 (potom A x—x). Pro derivace sinu máme následující schéma (cos x)/ — - sin x (cos x)" — (-sin x)/ — - cos x (cos x)'" — (-sin x)" — (-cos x)/ — sin x (cos x) — (-sin x) — (-cos x) — (sin x) — cos x Vidíme, že pro derivace lichého řádu 2 k + 1, k — 0,1,2,... máme (cos x )(2 k-(-1)k cos x a pro derivace sudého řádu 2 k, k — 0,1,2,... je (cos x )(2k)—(-1)k cos x. Protože sin0—0 a cos0 —1, dostáváme pro Taylorův rozvoj funkce kosinus ~ r2" r2 r4 cos(r) = V (-1)"-^— = 1 - — + — -... Příklad 5. Velmi jednoduchý na zapamatování je Taylorův rozvoj funkce f (r ) = l/ (1-r) v okolí bodu x0 — 0 . Pro derivace máme [ 1 T 1 [ 1 T 1-2 [ 1 Tn) n! 1-x (1-x )2 ' L1-x ] (1-x )3 ' L1-x ] (1-x )n+1 a v x0 — 0 tedy zůstávají z derivací pouze faktoriály, je tedy —!— — V xn — 1 + x + x2 + x3 + - • 1- X n—0 7. Řešení dvou jednoduchých diferenciálních rovnic 7.1 Rovnice radioaktivního rozpadu Statistická podstata procesu rozpadu je vyjádřena tvrzením, že pro vzorek s N radioaktivními jádry je rychlost rozpadu -dN/dt úměrná N dN (t) „ , , --— = ÁN (t) dt Konstanta rozpadu X má charakteristickou hodnotu pro každý radionuklid. Jak vidíme z rovnice, její rozměr v soustavě SI je převrácená sekunda (s-1). Jak najdeme řešení rovnice? Nechceme-li užívat pojmu integrálu (což by byl standardní postup), zavedeme nejprve novou proměnnou x=-1t , v této proměnné má rovnice tvar dN(x) -^- = N (x) dx Vzpomeneme si, že toto platí právě pro exponenciální funkci, tj. d[exp(x)] ( ) —-- = exp( x) dx Nakonec uvážíme, že derivace sou inu konstanty a libovolné funkce je sou in této konstanty s derivací funkce. Takže i exponenciála vynásobená konstantou vyhovuje naší rovnici. Máme tedy řešení N (x) = N0 exp( x) neboli N (t ) = N0exp(-1t) Označení konstanty indexem nula má důvod: N0 je počet jader v počátečním čase t=0 , neboť N(0)=N0 exp(0)=N0. Radionuklidy bývají také charakterizovány poločasem rozpadu t. Souvislost této charakteristiky s konstantou rozpadu je jednoduchá. Z definice poločasu je N(*) = 2n(0) = N2L ^ N0exp(-1r)= ^ Vykrácení rovnice nenulovou konstantou N0 a logaritmování dává pak hledaný vztah mezi poločasem rozpadu t a rozpadovou konstantou X = ln2 Při logaritmování jsme použili skutečnosti, že logaritmus a exponenciála jsou inversní funkce, tj. ln(exp(x))=x. Dále pak toho, že logaritmus mocniny čísla je součinem mocnitele a logaritmu základu, tj. ln(xa)=aln(x) - v našem případě x = 2, a = -1. Místo tohoto obecného vzorce jsme mohli uvážit, že logaritmus převrácené hodnoty čísla je roven záporně vzatému logaritmu čísla ln(l/ x ) = - ln( x), což vidíme z rovností 0 = ln(1) = lnjj-xj = ln j^-j + ln( x) Obrázek ukazuje průběh funkce exp(-1t) pro 1=0s-1 (zelená), 1=1/2s_1 (modrá) a 1=2s-1 (červená). 0,8 0,6 0,4' 0,2 o H—i—i—i—i—i r~*i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i 0 2 4 5 8 7.2 Rovnice harmonického oscilátoru Budeme pro jednoduchost uvažovat jen pohyb na přímce. Předpokládejme, že částice hmotnosti m má stabilní rovnovážnou polohu v x = 0. Pokud je z této polohy vychýlena, bude přitahována zpět silou tím větší, čím větší je výchylka. V nejjednodušším přiblížení bude závislost síly na výchylce lineární F = - k x kde k>0je konstanta. Znaménko mínus vyjadřuje působení síly směrem k rovnovážné poloze. Je-li částice vychýlena z počátku ve směru orientace osy x (x > 0), působí síla v opačném směru (F < 0 ) a podobně je-li částice vychýlena z počátku proti směru orientace osy x (x<0), působí síla ve směru orientace osy x (F>0). Druhý Newtonův zákon pak říká, že d2x(t) , . dt2 Rovnici vydělíme m a kladnou konstantu k/m označíme ft>2 = -W x (t) dt2 V ; Této rovnici říkáme rovnice harmonického oscilátoru. Zavedeme si novou proměnnou t=wt, ve které bude mít rovnice tvar d2x(t) , , -V^- = -x (t) dt2 V ; Vzpomeneme si, že toto platí jak pro funkci sinus, tak pro funkci kosinus. Rovnici vyhovují také tyto funkce vynásobené konstantu a stejně tak jejich součet (říkáme, že rovnice pro funkci x (t) je lineární). Máme tedy řešení x (t) = A sin(t) +B cos(t) neboli x (t) = A sin( wt) + B cos( wt) kde A a B jsou zatím neurčené konstanty. Rovnice radioaktivního rozpadu byla prvního řádu, obsahovala proto jedinou konstantu - tu jsme určili jako počet jader v čase t=0 . Rovnice harmonického oscilátoru je druhého řádu, budeme tedy pro určení dvou konstant potřebovat dvě podmínky. Jednou z nich může být výchylka v čase t = 0, kterou si označíme x0. Protože sinO = 0 a cosO=1, dostáváme x(0)=B = x0. Druhou podmínkou může být počáteční rychlost, tj. rychlost v čase t = 0, kterou si označíme v0. Rychlost je okamžitá časová změna výchylky, tedy derivace funkce x (t). Potřebné derivace dobře známe, můžeme tedy psát v(t) = dx(t) = wAcos(wt) - wBsin(wt) dt Po dosazení sin0=0 a cos0=1 dostáváme v (0) = wA=v0. Konečně tedy můžeme psát x (t) =—sin(wt) + x0 cos(wt) w Nad získaným výsledkem je vždy velmi dobré provést co nejvíce kontrolních úvah. U našeho řešení především musí souhlasit rozměry členů. Složitější kontrolou je limitní přechod pro w® 0. Potom je totiž výchozí rovnice rovnicí pohybu volné částice a její řešení musí být rovnoměrný pohyb x (t) = x0 + v01 Provedeme potřebné limity (tyto případy známe) ,. sin(wt) / lim--—- = t , limcos( wt ) = 1 w® 0 w w® 0 a zjistíme, že naše řešení skutečně přechází pro w®0 na řešení, popisující rovnoměrný pohyb. 8. Stručně o integrálu 8.1 Neurčitý integrál - primitivní funkce Často se vyskytuje úloha, kdy máme zjistit, zda nějaká funkce f (x) vznikla derivací jiné funkce a takovou funkci F (x) najít. Definice. Na otevřeném intervalu (a,b) je definována funkce f (x). Funkci F (x) nazveme primitivní funkcí k funkci f (x) na (a,b), je-li F (x) na (a,b) definována, má tam derivaci a pro všechna xe (a, b) platí F/ (x)=f (x). Bez důkazu uveďme, že ke každé spojité funkci f( x) primitivní funkce existuje. Vzhledem k tomu, že derivace konstanty je nula, je primitivní funkce (říkáme také neurčitý integrál) určena až na konstantu F (x ) = J f (x) dx + C V jednoduchých případech najdeme primitivní funkci tak, že předpisy pro derivaci funkce „čteme odzadu". Tak například x' = 1 ^ J dx = x [sin( x) ]/ = cos( x) <=> J cos( x) dx = sin( x) + C [ln( x)]/ = I <=> J = ln( x) + C Příklady se liší v tom, že první dva platí na celé reálné ose, ve třetím uvažujeme pouze kladnou poloosu, přesněji interval (0,oo). Rozšíření na celou reálnou osu dostaneme, vezmeme-li v argumentu logaritmu absolutní hodnotu proměnné a derivujeme jako složenou funkci dln(|x) = dln(|x|) d|x| = J_ d|x| = ^± 1 ^ 1 dx d|x| dx p] dx ^ x J x tedy [ln(H)]" =1 « = K|x|) + C Z vlastností derivací vyplývá, že pro primitivní funkce platí J c f (x) dx = c J f (x) d x Velmi účinnou metodou hledání primitivní funkce je metoda integrace per partes. Vychází z výrazu pro derivaci součinu funkcí f1 (x) g (x) + f (x) g1 (x ) = [f (x) g (x)]' Integrujeme-li obě strany rovnice, známe hned (z definice primitivní funkce) integrál pravé strany, tj. f(x)g(x) . Převedeme druhý integrál z levé strany na pravou a dostáváme vzorec pro integraci per partes j f1 (x) g (x) dx = f (x) g (x)-j f (x) g1 (x) dx I když je tento předpis velmi jednoduchý, je třeba stejně jako u dalších metod integrace značné představivosti doplněné zkušeností. Příklad 1. Najděte primitivní funkci k funkci h(x) = xsin(x). Zvolíme f' (x) = sin(x) => f (x) = -cos(x) _^ ( g (x) = x g' (x) = 1 ^ f (x)g (x) = -cos(x) Integrovat kosinus umíme, takže ze vzorce pro integraci per partes pak máme j x sin( x) dx = - x cos( x) + sin( x) + C Příklad 2. Najděte primitivní funkci k funkci h (x ) = ln( x). Zvolíme f (x) = 1 => f (x) = x 1 => f (x)g1 (x) = 1 Integrovat konstantu (v našem případě rovnu jedné) umíme, takže jln( x) dx = xln( x) - x + C Na rozdíl od určitého integrálu, který je stručně pojednán v další části, neexistují pro nalezení primitivní funkce numerické metody. Tabulka neurčitých integrálů některých elementárních funkcí shrnuje ty nejjednodušší případy, které můžeme snadno získat „obráceným čtením" tabulky pro derivování funkcí: x n + 1 cos( x) sin( x) sin( x) - cos( x) exp(x) exp(x) n ^-1 1_ x m(|x) x ln( a) ln( a) l0ga (Ix|) a > 0 a ^1 a>0 a ^1 Kromě metody integrace per partes existuje celá řada dalších metod. Zmíníme ještě metodu substitucí, kdy v integrálu zavedeme novou proměnnou vztahem x = j(u). Máme potom J f (x) dx = J f [ j( u) ] j' (u) du I když obecně zapsaný integrand na pravé straně rovnice vypadá složitěji, v určitých příkladech tomu může být naopak. Příklad 3. Najděte primitivní funkci k f (x) = 1/(1 + x2). Zavedeme substituci x=tgu a máme 1 1 .1 (cosu)2 1 -1— dx = í- -du = - - 1 + xÁ J 1 + (tgu) (cosu) J (cosu) +(sinu) (cosu) Po zpětném dosazení za u (u=arctgx) tedy dostaneme r dx -du = J du = u + C 1 + x1 ■■ arctg( x) + C Několik dalších primitivních funkcí: f(x) F(x) i arcsin(x) + C = -arccos(x) + C x < 1 Ví- 1 ln( xx2-1) + C (x + 7 x2 +1) + C x > 1 ln 1-j Iln 2 x+1 x-1 n +1 x 1 1 1 2 8.2 Určitý (Riemannův) integrál Obrázek ukazuje vše potřebné k definici určitého integrálu. Úkolem je spočítat plochu vymezenou grafem y=f (x) a osou x mezi x=a a x=b . Při fyzikálních aplikacích může mít tato plocha nejrůznější význam. Například při pohybu částice po přímce: je-li x čas a y rychlost, počítáme dráhu, je-li x poloha a y působící síla, počítáme práci. Na intervalu [ a, b] vytvoříme dělení intervalu D D : a = x0 < x1 < ... < x 1 < x = b 0 1 n-1 n Normou dělení nazveme velikost maximálního intervalu dělení n(D) = max{xŕ -xt-1 \i=1,2,...,n} V každém intervalu [xi-1,xi~^vezmeme pak hodnotu funkce v nějakém jeho vnitřním bodě X . Plocha je pak přibližně dána součet ploch jednotlivých obdélníků se stranami xi -xi-1 a f (X-), tj. P = Ž f (X)(xt - xt-1) i = 1 V limitním případě, kdy norma dělení půjde k nule dostáváme přesnou hodnotu, které říkáme určitý integrál z funkce f (x) v mezích [a, b] P = lim £ f x - x-i ) = J f (x) dx Určitý integrál můžeme počítat buď přibližně numericky (sčítání ploch mnoha obdélníčků je nejjednodušší metodou, ale například pro rychle oscilující funkci nebo tehdy, když některá nebo obě z mezí jdou do nekonečna je třeba užít podstatně rafinovanějších způsobů) nebo jsme-li schopni nalézt k funkci f (x) primitivní funkci F (x), využít platnosti Leibnizovy -Newtonovy formule J f (x) dx = F (b)-F (a) Všimněte si, že primitivní funkce je sice určena až na konstantu, ale protože ve vztahu vystupuje rozdíl hodnot ve dvou bodech, konstanta se vyruší. Příklad 1. Dva body o hmotnostech m1 a m2 se přitahují gravitační silou podle Newtonova zákona kde r je vzdálenost hmotných bodů a G Newtonova gravitační konstanta. Protože jak hmotnosti, tak konstanta jsou kladné, je také k>0 . Změní-li se nyní vzdálenost z ra na rb (působením nějaké vnější síly), je práce vykonaná gravitační silou g J ^ r2 ^rb ra, (primitivní funkcí k -1/ r2 je 1/ r + C ). Práce vykonaná vnější silou má stejnou velikost, ale opačné znaménko í 1 1 "1 W = k — - — Je-li konečná vzdálenost větší než počáteční (tj. rb >ra), je práce vykonaná vnější silou kladná - bylo třeba překonat vzájemnou přitažlivost. a r a 9. Pravděpodobnost 9.1 Náhodné jevy a jejich pravděpodobnost Začneme dvěma velmi známými příklady ze života: Příklad 1. Házení mincí - náhodný pokus: jsou celkem dvě možnosti - náhodné jevy (orel, hlava). Sledujeme jev A: padne orel - jedna z možností je příznivá, p=1/2 . Příklad 2. Házení kostkou - náhodný pokus: je celkem šest možností - náhodných jevů (1, 2, 3, 4, 5, 6). Sledujeme jev A: padne šestka - jedna z možností je příznivá, p=1/6. Definice pravděpodobnosti: Pravděpodobnost nastoupení jevu A je podílem počtu případů M, v nichž jev A nastal (čitatel), a počtu N všech možných případů (jmenovatel). Příklad s jednou kostkou (všech možných případů je N =6 ): a) Jaká je pravděpodobnost, že při hodu kostkou padne sudé číslo? Příznivé jsou ty případy, kdy padne dvojka nebo čtyřka nebo šestka, tedy M=3 . Pravděpodobnost je p=3/6=1/2. b) Jaká je pravděpodobnost, že padne číslo dělitelné třemi? Příznivé jsou ty případy, kdy padne trojka nebo šestka, tedy M=2. Pravděpodobnost je p=2/6=1/3. c) Jaká je pravděpodobnost, že padne číslo menší než tři? Příznivé jsou ty případy, kdy padne jednička nebo dvojka, tedy M=2. Pravděpodobnost je p=2/6=1/3 . Příklad se dvěma kostkami (všech možných případů je N=36, každá ze 6 možností, které mohou padnout na první kostce, se nezávisle kombinuje s každou ze 6 možností na druhé kostce): a) Jaká je pravděpodobnost, že při hodu dvěma kostkami (současně) padne součet sedm? Příznivé jsou ty případy, kdy padne jednička na první a šestka na druhé kostce, nebo naopak, dvojka na první a pětka na druhé kostce, nebo naopak, trojka na první a čtyřka na druhé kostce, nebo naopak), tedy M=6. Pravděpodobnost je p=6/36=1/6. b) Jaká je pravděpodobnost, že součin padnuvších čísel bude lichý? Příznivé jsou ty případy, kdy padne jednička na první kostce a jednička nebo trojka nebo pětka na druhé kostce, trojka na první kostce a jednička nebo trojka nebo pětka na druhé kostce, pětka na první kostce a jednička nebo trojka nebo pětka na druhé kostce, tedy M=9. Pravděpodobnost je p=9/36 = 1/4. Jakých hodnot může pravděpodobnost v principu nabývat? Z definice je zřejmé, že hodnoty budou v intervalu mezi nulou a jedničkou 0 £ p £ 1 Krajním hodnotám odpovídají jev nemožný - jev s nulovou pravděpodobností a jev jistý - jev s jednotkovou pravděpodobností. 9.2 Kombinatorika V mnoha aplikacích provádíme výběry k prvků z množiny obsahující n prvků podle jistých pravidel. Typy pravidel jsou uvedeny v tabulce pořadí je podstatné pořadí je nepodstatné prvky lze opakovat variace s opakováním kombinace s opakováním prvky nelze opakovat variace bez opakováni kombinace bez opakováni Příkladem může být vytváření barevných signálů, kdy šest barev (n = 6) zaplňuje tři místa (k=3): variace kombinace s opakováním ••O * • • ••o = mom bez opakování mom * omo mom = omm Počet možných výběrů je v následující tabulce: variace kombinace s opakováním Vl(n) = nl * (n-l)!Jt! bez opakování r'(">=(--t). Ck(ľÍ)~ k\{n-k)\ Pro triviální případ n=k = 1 máme vždy jedinou možnost (připomeňme si, že z definice 0! = 1,1!=1,2! = 2,3! = 6,4! = 24 , 5! = 120, 6! = 720,...). Určení vzorce pro variace opakováním: Kolika způsoby lze z n prvků vybrat první? Je to n způsobů. Kolika způsoby lze z n prvků vybrat druhý? Opět je n způsobů. Kolika způsoby lze tedy vybrat první dva prvky? Je to n n = n2 způsobů. Pokračujeme až k otázce kolika způsoby lze vybrat k prvků? Je to nn---n=nk způsobů. Určení vzorce pro variace bez opakování: Kolika způsoby lze z n prvků vybrat první? Je to n způsobů. Kolika způsoby lze ze zbývajících n -1 prvků vybrat druhý? Je to n -1 způsobů. Kolika způsoby lze tedy vybrat první dva prvky? Je to n■(n-1) způsobů. Pokračujeme stejně až nakonec, kdy se ptáme kolika způsoby lze ze zbývajících n-(k-1) prvků vybrat k-tý? Je to n - k + 1 způsobů. Kolika způsoby lze tedy vybrat k prvků? Je to n ■( nn - 2) • • • (n - k + 1) neboli n\j (n - k)! prvků. Určení vzorce pro kombinace bez opakování: Zatímco pro variace bylo pořadí vybraných prvků podstatné, pro kombinace je podstatný pouze výběr těchto prvků. Musíme proto počet způsobů pro variace podělit tím, kolika způsoby lze uspořádat k neopakujících se prvků, což je k ! Proto je kK J k! k!(n-k)! Určení vzorce pro kombinace s opakováním: Jak vypadají kombinace s opakováním k barevných kuliček při výběru z n možných barev? Obrázek ilustruje jednu z možností pro případ n=7, k=14. Obecně dostaneme počet modrá červená černá zelená hnědá fialová oranžová • • ooo • ••• • oo kombinací takto: máme n přihrádek, tj. n-1 přepážek mez nimi a k kuliček, celkem tedy m=n + k -1 prvků (pozic), z nich vybíráme k pozic pro kuličky, tj. Cl (n ) = Ck (m): m! =( n + k-1)! k!(m - k)! ~ k!(n-1)! Při variacích nebo kombinacích bez opakování musí být přirozeně k £ n („vybraný prvek nevracíme do losování"). Pro k = 1 jsou samozřejmě počty možností „s opakováním" - žádné totiž není a „bez opakování" stejné, pro n>k>1 je Vk (n) = t yj pj = t(xj -(x>)pj = t xj pj - (x) t pj = (x>- (x> = 0 j=0 j=0 j=0 j=0 Takže musíme vzít náhodnou veličinu Y = (Xx))2. Střední hodnotu této veličiny nazýváme rozptylem D(X) = ^(X)2^ . Provedeme-li umocnění, máme pro rozptyl D(X) = (X2 - 2X(4 + ^ = (X2) - (x)2 Odmocnina z rozptylu (jak vidět z definice rozptyl je vždy kladný) je tzv. směrodatná odchylka s( x )=JB(xj x 2) - = gj7^7)í? (1-q) = ^g (j-1)l[nj-1)].4 (1-q) = nq g q (1 ,=0 il(n-1-/) n-1 n - 2 = nq + n (n -1) q2 g- (n - 2)! qk (1 - q)" 2 k = nq + n (n-1) q2 = n2 q2 + nq (1-q) =0 k!(n - 2 - k)! Rozptyl Bernoulliova rozdělení je tedy D (j ) = ( j2)-(j)2 = np (1-p) Distribuční funkci F(x) definujeme na reálné ose R součtem pravděpodobností p0 +-----+ ps odpovídajících hodnotám menším než xs+1 F (x ) = 0 p0 ^£ x* x1 g pj xs £ x < xs j = 0 g pj = 1 Lj=0 x > x„ Naopak pravděpodobnosti dostaneme jako p0 = F ( x0 ) , pj = F ( xj )-F (xj-1) 1 £ j £< Medián rozdělení je taková hodnota xs, pro kterou F (xs) < 0,5 a F (xs+1) > 0,5. Pro n ® ¥ a j malé přejde Bernoulliovo rozdělení na Poissonovo rozdělení. Upravujeme tedy p4 = lim- n! j!(n - j)!q (1 - q) lim n! n (n - j " lim 1 M n Využijeme vztahů platných pro n®¥a j malé: n!»nj (n-1)!, j)/n); »1 a definice exp(-( j) = lim(1-( j}/n)". Dostáváme tak Poissonovo rozdělení / Aj pj =ŕ~ CXp(^ j) Poissonovo rozdělení se projeví třeba tehdy, sledujeme-li časový průběh počtu produktů radioaktivního rozpadu: počítáme částice detekované v nějakých časových intervalech, ale ty tvoří jen nepatrnou část částic v těchto intervalech vzniklých při rozpadu radioaktivních jader zdroje. 10.3 Náhodná veličina se spojitým rozdělením Náhodná veličina X, která nabývá všech reálných hodnot x z intervalu [xm, xM ] má (spojité) rozdělení dané funkcí w (x) na tomto intervalu s vlastnostmi w (x )> 0 xm < x < xM , j w (x) dx = 1 Funkci w(x) se také říká hustota pravděpodobnosti, neboť elementární pravděpodobnost (tj. pravděpodobnost, že veličina Xmá hodnotu v intervalu [x,x+dx]) je dp=w(x)dx . Také pro náhodnou veličinu se spojitým rozdělením můžeme definovat střední hodnotu, směrodatnou odchylku, distribuční funkci a medián: i^) = j xw(x)dx , s = 2 j (x) w(x)dx xm F (x ) = j -— m-----1-- dx (1 -q) x 2 Pro druhou derivaci máme vztah 0 \^ n x x j d2 P (x) d x2 11 -+ - 2 L (n-x)2 x2 ^ n - x x j První derivace je rovna nula pro hodnotu x, která je přibližně (pro q = 1/2 přesné) rovna střední hodnotě x = (x} = n q. Ve stejném přiblížení máme P « X) ) = - 2ln( 2*S ) > —7X^ = ■ S d2 P (( x)) = 1 dX2 kde s je směrodatná odchylka s2 = nq(1-q). Vezmeme-li teď první členy Taylorova rozvoje P (X) kolem Xx) , dostáváme P (X ) = - 2ln( W)- -Sr (X -< X)) 1 2 v ; 2s2 a po odlogaritmování dostáváme skutečně Gaussovo rozdělení se středem v x=( x) p(X) 1 r s -exp (X-(X)) 2s2 2^ Na obrázcích je porovnáno binomické rozdělení s normálním rozdělením pro n = 25 (vlevo) a « = 50 (vpravo). 0,12 0,15 o,os 0,04 0,05 2