Matematika základy diferenciálního počtu derivace a tečny, integrály a plochy diferenciální rovnice podzim 2010, druhá část Derivace a tečny aneb matematika „libovolně malých“ změn Nejen velké, ale i malé změny „jsou život“ aneb opravdu potřebujeme diferenciální počet? Zkuste si představit situaci: Sedíte v místnosti, kde tikají hodiny. Za chvíli je nevnímáte. Ale hned si uvědomíte, kdyby se zastavily. Nebo: Máte dlaň položenou na stole v klidu. Za chvíli nic nehmatáte. Abyste hmat „oživili“, musíte prsty po stole posunout. Organismus reaguje na časovou změnu. Abychom jeho chování (a další jevy související se změnami) pochopili, potřebujeme aparát k počítání s malými změnami. Batesonův pokus se žábou 120px-Laubfrosch-wiki ? rychlé zahřívání nádoby s vodou a žábou: žába změnu pozná a vyskočí pomalé zahřívání nádoby s vodou a žábou: žába změnu nepozná a uvaří se Batesonův zákon •Bateson – Ehrenberg •Organismus reaguje na časovou změnu (derivaci) vnímaných •počitků. •„Matematizace“: •P … signál, podnět • (vnímaný počitek) •R … odezva, reakce para Δx Δy Rozpad jader t t+Δt N ~ 4,8 1022 na 1 cm3 ΔN ~ –2,4 105 na 1 cm3 Δt = 1 s N + ΔN Absorpce záření Δx x x + Δx I I + ΔI Přírodní zákony - příklady •Klasická mechanika – Newtonův druhý pohybový zákon • • •Klasická elektrodynamika – zákon elektromagnetické indukce • • •Kvantová mechanika – časový vývoj systému • • •Příroda nás informuje o změnách. Zákony přírody nejčastěji •představují chování časových a prostorových změn veličin. • •Je tedy dobré umět se změnami počítat? • • Jak se dělí nula nulou x y 1 2 3 4 – 1 2 4 x 1,200 1,100 1,050 1,020 1,110 1,005 1,002 1,001 f(x) 1,600 1,800 1,900 1,960 1,980 1,990 1,996 1,998 x 0,800 0,900 0,950 0,980 0,990 0,995 0,998 0,999 f(x) 2,400 2,200 2,100 2,040 2,020 2,010 2,004 2,002 „Pokus“ o dělení nulou Co si myslíte o možnosti dělení nulou? Jde to provést, nebo se tomu lze za určitých podmínek „přiblížit“? Gf Limitní chod •Nulou dělit nelze. Je-li například funkce h(x), jmenovatelem podílu •p(x) = g(x) / h(x), a h(x) pro určitou hodnotu a proměnné x nabývá •nuly, nelze hodnotu a do zlomku dosadit (nedal by se vyčíslit). • •Viděli jsme ale, že když se ve zlomku p(x) blíží k nule jak čitatel, tak •jmenovatel, může se stát, že se hodnota zlomku blíží k jistému •definovanému číslu L. • •Číslo L se pak nazývá limitou funkce p(x) a píšeme Jedna důležitá limita Δx R = 1 Problém tečny a derivace tecna [2, 3] [4, 19] x y = f(x) Δy Δx Hodnota f /(x) určená předchozí limitou, je derivace funkce f (x) v bodě x. Chápeme-li x jako proměnnou, je f /(x) funkce. Směrnice tečny ke grafu závisí na bodu dotyku. Výpočet směrnice a rovnice přímky x y A B β yB – yA xB – xA X Výpočet směrnice a rovnice tečny tecna [2, 3] [4, 19] x y = f(x) Δy Δx Sami dokončete výpočet rovnice tečny, když nyní znáte směrnici. Derivace a fyzika •Příklad: S rovnoměrným pohybem po kružnici se již každý jistě •setkal, třeba na řetízkovém kolotoči. Takový pohyb koná například i •odstředivka používaná ve zdravotnických zařízeních. Řekněme, že •nějaké tělísko obíhá ve vzdálenosti R = 1,0 m od osy kolotoče a •že jeden oběh trvá T = 4,0 s. Závislost polohy tělíska na čase pak lze •vyjádřit například takto: ωt y x x(t) y(t) r(t) v(0) Je získaná hodnota obvodové rychlosti shodná s velikostí vektoru rychlosti daného bodu? Co je to vlastně rychlost? Průměrná rychlost za dobu Δt y x r(t) r(t + Δt) Δr Úkol: Zkuste si sami velikosti průměrných rychlostí a jejich úhly α s osou x vypočítat a seřadit do tabulky. Všimněte si, k jakým hodnotám se blíží, když se interval Δt neustále zmenšuje. Průměrná rychlost ve zmenšujícím se intervalu A tady jsou výsledky řešení Vašeho úkolu. Okamžitá rychlost jako limita Pohyb hmotného bodu po prostorové křivce poloha … r(t) rychlost … v(t) Příklady odvození derivací •Příklad 1: f (x) = x3 Metoda vykrácení nepohodlného výrazu • • • • • •Příklad 2: f (x) = sin x Derivace elementárních funkcí Pravidla pro derivování Pravidlo pro složenou funkci Df Dg Hf HF x u = f(x) F(x) = g(u) = g[f(x)] Odhady změn hodnot funkce tecna [2, 3] [4, 19] x y = f(x) Δy Δx dy Dva příklady na odhady •Příklad 1. Určete přibližnou hodnotu čísla 2,035 . • • • • • • • •Příklad 2. Určete přibližnou hodnotu sin 3o. Několik úloh na derivace a tečny •Úloha 1. Odvoďte pravidlo pro derivaci funkcí x4, x5, xn. Pro xn •použijte binomickou větu. • •Úloha 2. Vypočtěte derivace následujících funkcí • • • • • •Úloha 3. Určete rovnici tečny ke grafu funkce f (x) = sin2 x •v bodě t = π/4. Integrály a plochy aneb jak zjistit funkci z její derivace Obrácená úloha mechaniky aneb od zrychlení k trajektorii •Základní zákon mechaniky – druhý Newtonův zákon – umožňuje •vyjádřit zrychlení hmotného bodu na základě sil, jimiž na hmotný •bod působí okolní objekty. • •Zrychlení je však derivací rychlosti, a ta je derivací polohy. •Abychom zjistili funkci, která popisuje závislosti polohy hmotného •bodu na čase, musíme nějakou zpětnou procedurou najít, jak •vypadala funkce, než jsme ji zderivovali. • •Opačná procedura k derivování, tj. nalézání původní •(primitivní) funkce, se nazývá integrování. Primitivní funkce (neurčitý integrál) •Předpokládejme, že na intervalu [a, b] je definována funkce f(x), •která je spojitá (její limita v každém bodě existuje a je rovna •funkční hodnotě, graf funkce není „potrhaný“). Funkce F(x) •definovaná na intervalu (c, d) obsahujícím [a, b], a taková, že její •derivace na intervalu [a, b] je rovna F/(x) = f(x), je primitivní •funkcí (neurčitým integrálem) k funkci f(x) na [a, b]. • •Příklad: Funkce f(x) = 4x3 – 2x + 1 je definována na R. Funkce •F(x) = x4 – x 2 + x je k ní funkcí primitivní, ale také všechny funkce •tvaru F(x) + libovolná konstanta C. • •Jak je to možné, že jedna a táž funkce má nekonečně mnoho •primitivních funkcí lišících se navzájem o konstantu? Tabulka primitivních funkcí – I Tabulka primitivních funkcí – II Problém plochy plocha a b x y xi xi+1 ξi určit plochu P pod grafem Diferenciální rovnice aneb jak z rovnice pro změnu určit funkci Rozpad jader – ještě jednou t t+Δt N ~ 4,8 1022 na 1 cm3 ΔN ~ –2,4 105 na 1 cm3 Δt = 1 s N + ΔN Rozpad jader - řešení Úkol: Použijte uvedený postup pro řešení problému s absorpcí záření. Počáteční podmínka zde má charakter zadání intenzity záření na povrchu. Ještě jednou mechanika 0 x 0 mg N x Fp Dokončete řešení na základě znalosti počátečních podmínek. Předchozí rovnice jsou ukázkou obyčejných diferenciálních rovnic prvého a druhého řádu, lineárních, s konstantními koeficienty a homogenních.