Radiologická fyzika Ultrazvuk – základní charakteristiky podzim 2010, sedmá přednáška Ultrazvuk Ultrazvuk je zvukové vlnění s frekvencí vyšší jak 20 kHz. Tato hranice je dána hranicí slyšitelnosti zvuku u průměrného lidského ucha. Pro ultrazvukovou diagnostiku v medicíně (velmi rozšířená je také ultrazvuková diagnostika v různých inženýrských aplikacích) se používají frekvence řádu jednotek až desítek MHz. Citlivost ucha k frekvencím frekvence [Hz] intenzita [Wm-2] oblast slyšitelnosti práh bolesti práh slyšitelnosti 10-9 103 10-1 10-5 10 102 103 104 105 Δx Šíření zvukové vlny p x p0, v0, ρ0 p0, v0, ρ0 p1, v1, ρ1 Element prostředí hmotnosti Δm Změna vyvolaná vlnou p0, v0, ρ0 p1, v1, ρ1 p p0, v0, ρ0 p1, v1, ρ1 p0, v0, ρ0 p1, v1, ρ1 Element prostředí hmotnosti Δm na rozhraní Newtonův druhý zákon Známý tvar Newtonova zákona přepíšeme na Dosadíme Zákon zachování hmoty a dostáváme umožní úpravou vyjádřit rozdíl rychlostí Rychlost zvuku Předchozími úpravami dostáváme neboli výraz pro rychlost zvuku (pro rychlost zvuku budeme v této části nadále používat c, na rozdíl od rychlosti pohybu elementu prostředí, ktero budeme značit v) Označíme-li K modul pružnosti je konečný výraz pro rychlost zvuku Rychlost zvuku pro různá prostředí Hustota vody je téměř tisíckrát větší než hustota vzduchu. Kdyby o rychlosti zvuku rozhodovala pouze hustota, dalo by se očekávat, že se ve vodě bude zvuk šířit asi třicetkrát pomaleji než ve vzduchu. Z tabulky ale vyplývá, že je ve vodě zvuk naopak čtyřikrát rychlejší než ve vzduchu. Proto by měl být modul pružnosti vody více než desetitisíckrát větší než u vzduchu. Tak tomu skutečně je, protože voda je v porovnání se vzduchem mnohem hůř stlačitelná. Rovinná vlna Popis Protože můžeme také psát Kulová vlna Popis Energie zvukové vlny Kmitající element prostředí (objemu ΔV=SΔx) má energii jak kinetickou, tak potenciální. V okamžiku, kdy je rychlost kmitání maximální (to není rychlost zvukové vlny!) je celá energie obsažena v kinetické části. Je tedy a dále Výkon zvukové vlny pak bude (Δx=cΔt) – tady už přirozeně c je rychlost zvuku Intenzita zvukové vlny Intenzita je energie zvukové vlny, která projde jednotkovou plochou za jednotku času neboli Hladina intenzity zvuku V amplitudách, kdy I1/2=sm a log(an)=nlog(a) Pohyb detektoru ke zdroji Zdroj i detektor v klidu Zdroj v klidu, detektor se pohybuje ke zdroji Počítáme takto: dráha c/t, o kterou se za dobu t posunuly vlnoplochy dělena vlnovou délkou λ je rovna počtu vlnových délek. Tento počet vydělíme dobou t a dostáváme frekvenci f. Pohyb zdroje k detektoru Detektor je v klidu, zdroj se přibližuje k detektoru. Vlnoplochy vycházejí ze zdroje v intervalu T=1/f, takže jejich vzdálenost je vlnová délka λ. Detektor ovšem zaznamená vzhledem k pohybu zdroje (vlnoplochy nejsou vysílány ze stejného bodu) vzdálenost vlnoploch λ/. Dopplerův jev Detektor je v klidu, zdroj se pohybuje k detektoru: Zdroj je v klidu, detektor se pohybuje ke zdroji Zdroj je v klidu, detektor se pohybuje od zdroje Detektor je v klidu, zdroj se pohybuje od detektoru: Při sbližování f / > f Při vzdalování f / < f Pokles intenzity Výkon zdroje označme PZ , intenzita kulové vlny vycházející z počátku Máme-li několik (nekoherentních) zdrojů, je intenzita součtem Potřebné vztahy Polohový vektor v kartézských souřadnicích, funkce souřadnic a její gradient Vektorové pole a jeho divergence Skalární součin Rychlost zvuku I Základními rovnicemi jsou rovnice kontinuity a Eulerova rovnice Pro malé kmity (položíme ρ=ρ0+δρ, p=p0+δp) ponecháme v rovnicích jen členy prvního řádu v δρ, δp a vs, takže máme Stejně jako každý pohyb v ideální tekutině je i šíření zvuku děj adiabatický. Proto můžeme psát Rychlost zvuku II Máme teď z rovnice kontinuity (v dalším už budeme vynechávat index 0) Zapíšeme ještě vektor rychlosti jako gradient nějaké potenciálové funkce φ a linearizovaná Eulerova rovnice je pak Máme pak již vlnovou rovnici s výrazem pro rychlost zvuku Rychlost zvuku III V jednorozměrném případě je jedním z řešení φ=f(x-vt). Potom máme odkud porovnáním Pro kolísání teploty musíme připomenout termodynamickou identitu takže Odraz a lom na rozhraní Pro dopadající, odraženou a prošlou vlnu máme θ1 θ1 θ2 x y c1 c2 Podmínky spojitosti Na rozhraní (x=0) musí být u všech vln stejná závislost na souřadnici y (vlstnosti prostředí se v tomto směru nemění), což vede k tomu, že úhel odrazu je roven úhlu dopadu a poměr sinů úhlů dopadu a lomu (úhel se měří od kolmice k rozhraní) je roven poměru rychlostí Dále se musí rovnat tlak a kolmá složka rychlosti na obou stranách rozhraní odkud Propustnost a odrazivost I Amplitudy odražená a prošlé vlny vypočteme z předchozích vztahů jako kde Z=ρc je tzv. akustická impedance. Toky na jednotkovou plochu rozhraní splňují zákon zachování Máme Propustnost a odrazivost II Z definice koeficientů odrazivosti a propustnosti a zákona zachování toku na rozhraní plyne Pro kolmý dopad (θ1=θ1=θ2=0) se vztahy zjednoduší na S Scosθ1 Akustická impedance Látka Z=ρc [kg m-2 s-1 . 10-4] Vzduch 0,0004 Voda 1,50 Hliník 18,0 Tuk 1,38 Vodová a sklovitá část oka 1,50 Mozek 1,55 Krev 1,61 Ledviny 1,62 Lidská měkká tkáň (střední hodnota) 1,63 Slezina 1,64 Játra 1,65 Sval 1,70 Oční bulva 1,85 Lebeční kost 6,10 Rychlost zvuku Látka c [m s-1] Vzduch 331 Destilovaná voda [25 °C] 1498 Destilovaná voda [25 °C] 1540 Tuk 1475 Mozek 1560 Krev 1570 Ledviny 1560 Lidská měkká tkáň (střední hodnota) 1540 Slezina 1570 Játra 1570 Sval 1580 Oční bulva 1620 Lebeční kost 3360 Absorbce zvuku I Vyjdeme ze standardního exponenciálního zákona Pro vyjádření poklesu hladiny hlasitosti v decibelech musíme provést následující úpravy Používáme úpravy x=10logx, (10a)b=10a.b, takže pro pokles hladiny hlasitosti dostáváme lineární závislost (10.μ.loge=α) Absorbční koeficient pro 1 MHz Látka α [dB m-1] Voda 0,22 Tuk 60 Vodová a sklovitá část oka 10 Mozek 85 Krev 18 Ledviny 100 Plíce 4000 Mícha 100 Játra 90 Sval napříč vláken 330 Sval podél vláken 120 Oční bulva 200 Ricinový olej 95 Lebeční kost 2000 Absorbční koeficient pro f MHz Látka Voda α1f2 Tuk α1f Vodová a sklovitá část oka α1f Mozek α1f Krev α1f Ledviny α1f Plíce α1f Mícha α1f Játra α1f Sval napříč vláken α1f Sval podél vláken α1f Oční bulva α1f Ricinový olej α1f2 Lebeční kost α1f2 α1 – koeficient pro 1 Mhz