Induktivní statistika
o8. seminář
C:\WINWORD\CLIPART\CROWD.WMF

Statistické šetření
oEtapy statistického šetření
1.Plán šetření
2.Sběr dat
3.Popis a technické zpracování
4.Rozbory a závěry
o

Statistická indukce – 4. etapa
oTeorie odhadů
-Odhad průměru základního souboru
-Odhad pravděpodobnosti
oTestování statistických hypotéz
-Srovnání dvou průměrů
-Srovnání pravděpodobností
oHodnocení zavislosti
-Závislost kvantitativních veličin
-Závislost kvalitativních veličin
-
oZOBECNĚNÍ VÝSLEDKŮ VÝBĚROVÉHO ŠETŘENÍ NA CELÝ ZÁKLADNÍ SOUBOR
o! PRAVDĚPODOBNOST, NÁHODNÁ VELIČINA A JEJÍ ROZDĚLENÍ

Pravděpodobnost (skripta kapitola 4)
oVšechny stat. výroky – pravděpodobnostní charakter a jejich věrohodnost vyjadřuje:
o- spolehlivost  - pravděpodobnost, že tento výrok platí
o- riziko - pravděpodobnost, že neplatí daný výrok
oPravděpodobnost náhodného jevu je kvantitativní charakteristika, která je mírou častosti jeho
ovýskytu.
oPravděpodobnost je vlastnost náhodného jevu stejně jako např. délka nebo hmotnost jsou
ovlastnosti určitého předmětu.
oKlasická definice          P (A) = m/n (např. hod kostkou, pravděpodobnost 1/6, že padne dané
číslo)
om = počet příznivých výsledků v experimentu
on = počet všech možných výsledků
oPříklady:   kostka, mince, karty, sportka,  narození chlapce/dívky
oPodmínkou je komplex podmínek – souhrn předpisů, za nichž se experiment provádí (např. homog.
kostky)
oPravděpodobnost  reakce pacienta na určitou léčbu?
oPouze odhad pomocí relativních četností
on   pacientů
ox   vyléčeno
oPodíl x/n odhaduje pravděpodobnost vyléčení P
o

Vlastnosti pravděpodobnosti
1.0 < nebo = P (A) < nebo = 1
2.P (A) = 0 pro jevy nemožné
3.P (A) =1 pro jevy jisté
oPravidla pro počítání
a)Pravidlo pro sčítání
o A, B disjunktní – vzájemně se vylučují (pravděpodobnost, že nastane jeden jev nebo druhý).
o P (A nebo B) = P (A) + (B) kostka(strany) 5, 6  je rovno 1/6 + 1/6 = 1/3
o
o A, B  nejsou disjunktní – vzájemně se nevylučují (pravděpodobnost, že nastanou oba jevy)
o P (A nebo B) = P (A) + P (B) – P (A i B)
opř. A = diabetes (D)
o B = hypertenze (H)
oP (D nebo H) = P (D) + P (H) – P (D i H)

Vlastnosti pravděpodobnosti
ob) Pravidlo pro násobení
oA, B nezávislé jevy (výskyt jednoho jevu není ovlivněn výskytem druhého jevu)
oP (A i B) = P (A) . P (B)
oA, B závislé jevy (jeden jev podmiňuje druhý jev)
oP (A i B) = P (A) . P (B/A) – podmíněná pravd. jevu B, že nastal jev A.
o = P (B) . P (A/B) př. dvě nemoci u člověka
oV praxi – máme určit podmíněn. pravd. P (A/B) ev. P (B/A), kdy P (A i B) je
oznáma: P (A/B), P (B/A) jsou tzv. podmíněné pravděpodobnosti.
oPlatí:  P (A/B) = P (A i B)/ P (B)
o    P (B/A) = P (A i B)/P (A)
oPravidlo pro sčítání i násobení se dá rozšířit na více jevů.
oPodmíněné pravděpodobnosti jsou užitečné pro hodnocení rizika nemoci v populaci

Vlastnosti pravděpodobnosti
oNapř.  Ze srovnání pravděpodobností
oP (Ca), P (Ca/K), P(Ca/N)
oLze usuzovat na riziko kouření (K,N) na výskyt karcinomu plic (Ca)
oNapř. P (Ca/K) / P (Ca) - udává, kolikrát je větší pravděpodobnost výskytu karcinomu plic u kuřáků
než v celé populaci.
o P (Ca/K) / P (Ca/N) - udává, kolikrát je větší pravděpodobnost výskytu karcinomu plic u kuřáků
než u nekuřáků.

Výběrový/základní soubor
oVýběrový soubor Základní soubor
o- reprez. náhodný výběr                                     - soubor, který nás zajímá
o- výběrové (empirické)                   - teoretické rozdělení četností
o  rozdělení četností   (matematický model)
o- popis rozdělení: tabulka, graf - popis rozdělení: pravděpodobnostní
o- stat. ukazatele = výběrové charakteristiky:    rozdělení
om, s, p (ozn. latinkou) - stat. ukazatele = parametry: μ,σ, π
o- jsou to charakteristiky náhodných veličin,   (ozn. řeckou abecedou)
otzn. mění se výběr od výběru + je nutné počítat - jsou to konstanty, zpravidlaneznámé,
os chybami (výběrové, náhodné)   pro
o
o
o
o
oStatistická indukce = usuzování z vlastností výběru na vlastnosti základního souboru
o
o
Snímek 040.jpg

Empirické a pravděpodobnostní rozdělení
-každá veličina, kterou zkoumáme, je ovlivněna řadou nepatrných  náhodných vlivů, což způsobuje
její variabilitu – tzn. veličina nabývá u různých subjektů různých hodnot.
-měříme-li veličinu ve výběrovém souboru, pak rozložení hodnot této veličiny znázorňujeme na
základě empiricky zjištěných četností
-každá veličina má své pravděpodobnostní (teoretické) rozdělení
-v takovém rozložení jsou na ose x všechny hodnoty, kterých může veličina potenciálně nabývat, a na
ose y jsou zaneseny pravděpodobnosti, se kterými se dané hodnoty vyskytují.
-v empirickém rozdělení (polygon četností) jsou popsány četnosti, se kterými se naměřené hodnoty
vyskytovaly ve výběrovém souboru
oX
o Pravděpodobnostní rozdělení (pravděpodobnostní křivka) vyjadřuje očekávání, jak často se budou
jednotlivé hodnoty vyskytovat v nekonečně velkém souboru

Typy pravděpodobnostních rozdělení
oDiskrétní veličiny
-binomické rozdělení (jev – nejev)
-rovnoměrné rozdělení
-Poissnovo rozdělení (vzácné jevy)
-
oSpojité veličiny
-normální rozdělení
-Studentovo t-rozdělení
-Snedecorovo F-rozdělení (Fisherovo – Snedecorovo rozdělení)
-Chí-kvadrát rozdělení
o
oPozn.
o- s veličinou zacházíme jako s normálně rozdělenou, pokud nemáme dostatečné důvody pro vyvrácení
této domněnky
-rozložení většiny veličin lze převést na normální rozdělení

Normální rozdělení
-matematický model rozdělení četností náhodné veličiny
o
-
-
-
-
o
o frekvenční křivka normálního rozdělení je jednoznačně určena dvěma parametry: µ, σ
o µ určuje polohu křivky (analogie m) mí
o σ určuje tvar křivky (analogie s) sigma
o x –
o e – základ přirozených logaritmů = 2,72
o π – Ludolfovovo číslo = 3,14
o
o
Snímek 038.jpg

Normální rozdělení
o µ určuje polohu křivky (analogie m - VS) mí - ZS
o σ určuje tvar křivky (analogie s - VS) sigma - ZS
o
o
Snímek 039.jpg

Vlastnosti normálního rozložení
-Frekvenční křivky normálního rozložení mají pro různé veličiny různý tvar
o (σ) a polohu (µ)
o
-Pro všechny ale platí, že intervaly, ve kterých se odhadovaná proměnná nachází s pravděpodobností
95% nebo 99%, lze vyjádřit jako odchylky od µ v násobcích σ  :
o
Snímek 036.jpg Snímek 037.jpg

Odhady parametrů – bodové, intervalové
o1)Bodové odhady = odhad jedním číslem
o
          průměr
o
       relativní četnost
o
      směrod. odchylka
o
oPožadavky na bodové odhady:
a)Konzistence – s rostoucím VS se výběrová charakteristika více blíží k parametru
b)Nestrannost – odhady parametru provedené na základě různých VS kolísají kolem hodnoty neznámého
parametru na obě strany
c)Minimální rozptyl – uvedené kolísání musí být co nejmenší
d)
oNevýhody bodových odhadů:
o- neznáme jejich spolehlivost a přesnost
Snímek 035.jpg

Intervalové odhady
-Neznámý parametr odhadujeme intervalem vytvořeným kolem tzv. nejlepšího nestranného bodového
odhadu = charakteristika s minimálním rozptylem.
-Interval spolehlivosti (konfidenční interval - CI)
-Spolehlivost si určujeme sami (na začátku výzkumu) – buď 95% nebo 99%
o jde o pravděpodobnost, že odhadovaný parametr se nachází v daném intervalu
o 95% CI (-;-)
o 99% CI (-;-)
-doplněk spolehlivosti vyjadřuje riziko odhadu – tj. riziko, že odhadovaný parametr leží mimo
interval
o při spolehlivosti 95% je riziko odhadu 5%
o při spolehlivosti 99% je riziko odhadu 1%

Odhad průměru základního souboru (parametru µ ) [mí]
1.Nejlepší bodový odhad parametru µ je výběrový průměr m
2.V souborech, kde n > 30, se výběrový průměr chová jako náhodná veličina, která má normální
rozdělení
3.V souborech, kde n < 30, používáme model Studentova rozdělení (konstanty 1,96, příp. 2,58 se
nahrazují jinými – viz. skripta statistiky str. 25 - tabulka)
4.Každý  výběrový průměr je zatížen chybou – jde o tzv. standardní chybu průměru SEm , kterou
odhadujeme ze vztahu: (střední chyba)
o
o
o             Závěr:
Snímek 033.jpg Snímek 034.jpg

Vlastnosti odhadu
1)Spolehlivost – volí se předem, jde o stanovení pravděpodobnosti, obvykle 0,95 nebo 0,99
2)Přesnost – je dána délkou intervalu, čím kratší je interval, tím je vyšší přesnost odhadu
o
o
o
o
o
o
o Obě vlastnosti spolu souvisí
oPřesnost odhadu lze ovlivnit:
a)snížením či zvýšením P spolehlivosti
b)snížením či zvýšením n (velikost souboru)
c)snížením či zvýšením s (homogenita souboru)
Snímek 032.jpg

Odhad pravděpodobnosti ZS (parametru π) [pí]
1.Nejlepší bodový odhad je relativní četnost
o
o
o n = počet pozorování
o k = počet pozorování, u nichž nastal sledovaný jev
2.Pro pravděpodobnosti sice platí binomické rozdělení, ale pokud chceme pracovat s normálním
rozdělením, platí
o
o        můžeme vycházet z normálního rozdělení
o3.     Standardní chybu SE odhadujeme ze vztahu:
o
o
o
o
Snímek 031.jpg Snímek 030.jpg Snímek 029.jpg

Příklad 1:
oPříklad:
oOdhadněte pravděpodobnost výskytu zrakové vady u studentů LF na základě
ovýběrového šetření u 200 studentů
on = 200 k = 80 p = 0,40 (40%)
o
o!Ověřit platnost podmínky!

Řešení 1:
img223.jpg


Příklad 2:
oSkupina A:
oOdhadněte průměrnou hladinu hemoglobinu v populaci zdravých mužů z
onáhodného výběru 100 jedinců s průměrnou hodnotou m = 152,4 g/l a
osměrodatnou odchylkou s = 18,2 g/l se spolehlivostí: a) 95%    b)99%
oSkupina B:
oOdhadněte průměrnou hladinu hemoglobinu v populaci zdravých mužů z
onáhodného výběru 35 jedinců s průměrnou hodnotou m = 152,4 g/l a
osměrodatnou odchylkou s =  18,2 g /l se spolehlivostí: a) 95%   b) 99%
oSkupina C:
oOdhadněte průměrnou hladinu hemoglobinu v populaci zdravých mužů z
onáhodného výběru 100 jedinců s průměrnou hodnotou m = 152,4 g/l a
osměrodatnou odchylkou s = 14,8 g/l se spolehlivostí: a) 95%     b) 99%

Řešení 2:
img222.jpg


Děkuji za pozornost
C:\WINWORD\CLIPART\CROWD.WMF