Testování hypotéz
o9. seminář
C:\WINWORD\CLIPART\CROWD.WMF

Testování statistických hypotéz
oStatistická hypotéza je výrok o statistickém souboru
o Platnost statistických hypotéz se prověřuje pomocí testů významnosti, které rozhodují mezi:
o- Hypotézou nulovou (testovanou) H0
o- Hypotézou alternativní (opačnou) HA
oFormulace H0, HA není nahodilá, je přesně specifikovaná statistikem při odvozování testu
významnosti.
o! H0 se volí jako jednoduchá !
o=   je rovno
o≠   není rovno – dvoustranná H
o>  je větší – jedostranná H
o
o
o
o
o
o
o
o

Příklady statistických hypotéz
-Rozložení výšek 10-letých chlapců je normální (Gaussovo) - H0, HA není normální.
-10-letí chlapci jsou větší než 10-letá děvčata - HA, H0 mají stejnou výšku
o (μ1 = μ2) ≡ μ1 – μ2 = 0
-Lék A je účinnější než lék B při léčbě hypertenze - HA, H0 léky jsou stejně účinné. (πA = πB) ≡ πA
– πB = 0
-Kouření je rizikový faktor pro ICHS, IM, Ca plic - HA, H0 kouření není rizikový faktor.
-Existuje závislost mezi nízkou porodní hmotností a kojeneckou úmrtností - HA, H0 není závislost.
o
o
o
o

Příklad:
oJe potřeba použít hodnocení hladiny cholesterolu různých norem (standardů) s přihlédnutím k věku?
oVýsledky výběrového šetření (muži)
o1. (20-30) roků   n1 = 50 m1 = 4,57
o                 s1 = 0,70                 SE1 = 0,10
o2.      (40-50) roků  n2 = 60 m2 = 5,42
o                 s2 = 0,85                 SE2 = 0,11
oOrientační řešení pomocí CI
o20-30 95%    CI (4,37; 4,77)
o40-50 95%    CI (5,18; 5,66)
oObjektivně lze rozhodnout pomocí testu významnosti pro srovnání dvou průměrů.
oVzhledem k tomu, že oba výběry jsou větší než 30, můžeme vycházet z modelu normálního (Gaussova)
rozdělení. (μ1, σ1) ; (μ2, σ2)
o
o
o

H0 /HA
oNulová hypotéza (testovaná)
oPředpokládá, že jde o dva náhodné výběry z jednoho základního souboru (rozdíl není).
o
o
o
o
o
oAlternativní hypotéza (opačná)
oPředpokládá, že jde o dva náhodné výběry ze dvou základních souborů s rozdílnými průměry.
o
o
o
o
o
oRozhodování mezi H0 a HA se zakládá na rozdílu m1 – m2 (5,42-4,57 = 0,85)
Snímek 030.jpg Snímek 031.jpg

Rozhodování
1)Pokud je rozdíl m1 – m2 (5,42-4,57= 0,85)
o ?? rozumně blízko nule, tzn., že se dá vysvětlit náhodou, rozhodujeme se pro H0 (I.).
o2) Je-li hodně vzdálen od nuly, dáváme přednost HA (II.)
oOtázka „rozumně“ blízko se řeší pomocí CI pro rozdíl průměrů.
oPokud H0 platí (μ1 = μ2 = μ), pak s pravděpodobností 0,95 by se měl rozdíl  m1 – m2 nacházet v 95%
CI
o
o
o! SE je chyba rozdílu průměrů (m1 – m2).
oVypočítá se pomocí SE1 (chyba průměru m1) a SE2 (chyba průměru m2).
o! Pro nezávislé výběry platí SE² = SE1 ²+ SE2 ² !
o
o
Snímek 032.jpg Snímek 033.jpg

Rozhodování
oJak rozhodujeme?
o1) Pokud je m1 – m2 mimo CI, H0 zamítáme
o |m1 – m2| > 1,96. SE
o2) Pokud m1 – m2 padne do CI, H0 nezamítáme
o |m1 – m2| ≤ 1,96. SE
o! Nezamítnutí H0 neznamená její přijetí
oFormální úprava zápisu
oad1) |m1 – m2| /SE > 1,96 H0 zamítáme
oad 2) |m1 – m2| /SE ≤ 1,96              H0 nezamítáme
o= u = testovací charakteristika = > u-test
o
oV anglické literatuře se používá i označení z ≥ z-test

Příklad: Cholesterol
oPodmínky použitelnosti
1)n1, n2 > 30
2)nezávislé výběry = > u-test
o u = 5,70
oZávěr:
ou = 5,70 >2,58 = > H0 zamítáme na 1% HV, tzn., že je hodně malá pravděpodobnost, že se mýlíme,
když přisuzujeme významný vliv věku.
o

Jak rozhodujeme?
o
oZamítnutí – pravděpodobnost, že rozdíl mezi průměry je způsoben náhodou je tak malá, že tuto
možnost zamítáme – dáváme přednost alternativní hypotézu
o
oNezamítnutí – rozdíly nepřesahují velikost rozdílů způsobených náhodou

! Testování statistických hypotéz !
1.Stanovíme nulovou a alternativní hypotézu
2.Zvolíme hladinu významnosti
3.Vybereme vhodný test
4.Ověříme, zda jsou splněny podmínky pro použití testu
5.Vypočítáme testovací charakteristiku
6.Srovnáme ji s odpovídajícími kritickými hodnotami
7.Zamítneme nebo nezamítneme nulovou hypotézu
8.Výsledky interpretujeme
o

Příklad:
oSrovnejte výšku tříletých brněnských chlapců a děvčat na podkladě výběrového šetření náhodně
vybraných dětí:
o
oCH: n1 = 80 m1= 97,4 s1 = 3,8
oD:      n2 = 80 m2 = 96,3 s2 = 3,7
o
o
1)

Řešení
oŘešení:
1)H0 ≡ μCH = μD HA ≡ μCH ≠ μD
2)Zvolíme hladinu významnosti α = 0,05 eventuálně 0,01
3)Ověříme podmínky použitelnosti u-testu
o n1, n 2 > 30
o výběry jsou nezávislé
o

Příklad
o4) Vypočítáme testovací charakteristiku
o
o
o
o
o
o
o5) Závěr: protože u = 1,84 < 1,96 H0 nezamítáme.
o6) Interpretace: Nezamítnutí H0 neznamená její přijetí.
o Správná formulace: Rozdíl v průměrných výškách tříletých chlapců a děvčat není statisticky
významný. Nebylo by správné tvrdit, že rozdíl neexistuje.
o
Snímek 039.jpg

Nezamítnutí H0
oNezamítnutí H0 (μ1 = μ2 ) představuje rozhodnutí dvojznačné. Buď nulová hypotéza platí, nebo
neplatí, avšak na základě zjištěných výsledků se ji nepodařilo zamítnout.
oPříklad: s výškou chlapců a děvčat (skripta str. 23),
o u = 2,70, což vede k zamítnutí H0 (n1 = 170, n2 = 172)
oRozdíl ve výškách chlapců a děvčat 1,1 cm se jako významný prokázal při větším počtu změřených
dětí.
o! Závěr: Prokázání relativně malého rozdílu v průměrech vyžaduje větší počet měření.
oRozložení výšek chlapců a děvčat
Snímek 040.jpg

Příklad na srovnání pravděpodobností
oByl sledován výskyt alergií u studentů LF:
oMale: n 1= 105 k = 21 p = 0,20 (20%)
oFemale: n = 195 k = 19 p = 0,097 (9,7%)
o
oOtázka: Je rozdíl mezi pravděpodobností výskytu alergie u mužů a u žen způsoben náhodou, anebo lze
odvodit, že alergie postihují častěji muže?
oPostup:
1)Pro soubor mužů i pro soubor žen zjistit, zda je splněna podmínka pro použití u-testu.
2)Vypočítat SE rozdílů pravděpodobností
o
o3)     Vypočítat testovací charakteristiku a porovnat ji s příslušnou kritickou hodnotou
Snímek 041.jpg

Řešení
Snímek.jpg


Srovnání pravděpodobností u-testem
oPříklad:
o
oV souboru 200 náhodně vybraných studentů LF byla zjištěna zraková vada u 80 studentů (p1 = 80/200=
0,40,ev. 40%)
o
oU 250 nestudujících stejného věku byla zraková vada zjištěna u 85 vyšetřovaných (p2= 0,34, ev.
34%)
o
o
o
o
-

Srovnání pravděpodobností u-testem
oŘešení: H0 ≡ π1 = π2  není rozdíl ve výskytu zrakové vady u stud. a nestud. mládeže
o       HA ≡ π1 ≠ π2 je rozdíl
oPodmínky použití u-testu
-Nezávislé výběry
-Konvergence binomického rozdělení k normálnímu (n.p.(1-p) > 9)
o 200 . 0,4 . (1-0,4) = 48 > 9, 250 . 0,34 . (1-0,34) = 56,1 > 9
o
o
o
oZávěr: Nulovou hypotézu nezamítáme, nepodařilo se prokázat, že by nestudující mládež měla významně
méně zrakových vad než studenti LF.
o
Snímek 043.jpg

Studentovo rozdělení t
oPodmínka: n1, n2 < 30
oTestovací charakteristika t =
o
o
o
o
o
o
oPočet stupňů volnosti f = n1 + n2 – 2
oKritické hodnoty viz skripta str. 23
o
Snímek 002.jpg

Příklad
oSrovnejte průměrnou porodní hmotnost u novorozenců matek silných kuřaček a nekuřaček na podkladě
výběrového šetření u 30 novorozenců.
1)Nekuřačky:       n1 = 15 m1 = 3,59     s1 = 0,37
2) Silné kuřačky: n2 = 15 m2 = 3,20 s2 = 0,49
-

Řešení
oŘešení:
-Výběry jsou nezávislé
-n1, n2 < 30  => Studentův t-test
o
o
o
o
o
o
o
oZávěr: Nulovou hypotézu (μ1 = μ2 ) zamítáme na 5% HV. Riziko, že se mýlíme, je mezi (1-5)%.
-
o
Snímek 042.jpg

Děkuji za pozornost
C:\WINWORD\CLIPART\CROWD.WMF