Užití kuželoseček a kvadrik. Lenka Přibylova 25. listopadu 2010 EB1 Q Q fSS ©Lenka Přibylová, 2010 Q Obsah Nakreslete y2 - 2Rx + (1 + k)x2 = 0................ 29 Nalezn&te průsečíky kůž elosečky s osami............. 59 Spočtete vrcholovou krivost..................... 64 EB1 BI 13 iaa ©Lenka Přibylová, 2010 Q Kružnice x2 + y2 = 1, (x - 0.9)2 + y2 = 0.04 tvoří řez kulovými povrchy CoCký. UrCetejejí mohutnost. MUžeme ji považovat za tenkou CoCku? EB1 Q Q fSS ©Lenka Přibylová, 2010 Q Kružnice x2 + y2 = 1, (x - 0.9)2 + y2 = 0.04 tvorí rež kulovými povrchy čočky. Určete její mohutnost. MUžeme ji považovat ža tenkou čočku?_ Polohy stredu: (x1, y1) = (0,0) a (x2, y2) = (0.9,0) m, EB1 Q Q fSS ©Lenka Přibylová, 2010 Q Kružnice x2 + y2 = 1, (x - 0.9)2 + y2 = 0.04 tvoří řez kulovými povrchy CoCký. UrCete její mohutnost. MUžeme ji považovat za tenkou CoCku?_ Polohy středii: (xt, y1) = (0,0) a (x2, y2) = (0.9,0) m, polomery: R1 = 1 m, R2 = 0.2 m. EB1 Q Q fSS ©Lenka Přibylová, 2010 Q Kružniče x2 + y2 = 1, (x - 0.9)2 + y2 = 0.04 tvorí rež kulovymi povrčhy čočky. Určete její mohutnost. Miůžeme ji považovat ža tenkou čočku?_ Polohy stredu (x1, y1) = (0,0) a (x2, y2) = (0.9,0) m, polomery: R1 = 1 m, R2 = 0.2 m. EB1 Q Q fSS ©Lenka Přibylová, 2010 Q Kružnice x2 + y2 = 1, (x - 0.9)2 + y2 = 0.04 tvoří řez kulovými povrchy CoCký. UrCete její mohutnost. MUžeme ji považovat za tenkou CoCku? Polohy středu: (xlr y1) = (0,0) a (x2, y2) = (0.9,0) m, polomery: R1 = 1 m, R2 = 0.2 m. y2 (x 1 - x2 dosadíme do (x - 0.9)2 + y2 = 0.04, odtud ■ 0.9)z + 1 - x2 = -1.8x + 0.81 + 1 ^)2 = 0.033, §.y = ±Jl~- 0.04, tj. x 1.77 1.8 0.983 a =1 -1.77^2 = o 18 _ _ _ _ EB1 Q Q fSS ©Lenka Přibylová, 2010 Q Kružnice x2 + y2 = 1, (x - 0.9)2 + y2 = 0.04 tvoří řez kulovými povrchy CoCký. UrCete její mohutnost. MUžeme ji považovat za tenkou CoCku?_ Polohy středii: (x1, y1) = (0,0) a (x2, y2) = (0.9,0) m, polomery: R1 = 1 m, R2 = 0.2 m. Jedna se o meniskus s pruseCíky: x = 0.983 m, y = ±0.18 m. Prumer CoCky je p^0.36 m, tloustka CoCky je d = 0.1 m. EB1 Q Q fSS ©Lenka Přibylová, 2010 Q Kružnice x2 + y2 = 1, (x - 0.9)2 + y2 = 0.04 tvoří řez kulovými povrchy CoCký. UrCete její mohutnost. MUžeme ji považovat za tenkou CoCku?__ Přiieta-li svetlo zleva, jsou obe lamave ploChy dute a přísluSí jim tedy podle znamenkove konvenCe zaporna znamenka a tedy pro index lomu n = 1.5 dostavame D1 = -0.5 dpt a D2 = 2.5 dpt. n 1 , , '1 11,' > Pro mohutnost prvního povrchu platí „ n -1 1.5 -1 o u i s Di =---— =----= —0.5 dpt, pro druhy R1 1 D2 = -^y^- = -1 qI'5 = 2-5 dpt. Opačné znaménko je dáno konvencí pro dutou plochu. bbI bi ■« wa i Ľ 11 ,etika l-nbylova. zu llt^ Kružnice x2 + y2 = 1, (x - 0.9)2 + y2 = 0.04 tvoří řez kulovými povrchy CoCký. UrCete její mohutnost. MUžeme ji považovat za tenkou CoCku?__ Přiieta-li svetlo zleva, jsou obe lamave ploChy dute a přísluSí jim tedy podle znamenkove konvenCe zaporna znamenka a tedy pro index lomu n = 1.5 dostavame D1 = -0.5 dpt a D2 = 2.5 dpt. Celkova mohutnost je D = 2.083 dpt D = Dt + D2- -DiD2 = -0.5 + 2.5 - ^(-0.5) • 2.5 = 2.083. _n_1.5 _ | bi bi ia wa (ll> \ ,mka \-n\>v\ova. zu lu | | Kružnice x2 + y2 = 1, (x - 0.9)2 + y2 = 0.04 tvoří řez kulovými povrchy CoCký. UrCete její mohutnost. MUžeme ji považovat za tenkou CoCku?__ Přiieta-li svetlo zleva, jsou obe lamave ploChy dute a přísluSí jim tedy podle znamenkove konvenCe zaporna znamenka a tedy pro index lomu n = 1.5 dostavame D1 = -0.5 dpt a D2 = 2.5 dpt. Celkova mohutnost je D = 2.083 dpt a odpovídajÍCÍ ohniskova vzdalenost potom f = 48 Cm. Kružniče x2 + y2 = 1, (x - 0.9)2 + y2 = 0.04 tvorí rež kulovymi povrčhy čočky. Určete její mohutnost. Miůžeme ji považovat ža tenkou čočku?__ Přileta-li svetlo žleva, jsou obe lamave pločhy dute a príslusí jim tedy podle žnamenkove konvenče žaporna žnamenka a tedy pro index lomu n = 1.5 dostavame D1 = -0.5 dpt a D2 = 2.5 dpt. Celkova mohutnost je D = 2.083 dpt a odpovídajíčí ohniskova vždalenost potom f = 48 čm. Celkova mohutnost čočky je kladna, takže se bude jednat o kladny meniskus. BB1 Q Q fSS ©Lenka Přibylová, 2010 Q KružniCe x2 + y2 = 1, (x - 0.9)2 + y2 = 0.04 tvoří řez kulovými povrchy CoCky. UrCete její mohutnost. Mužeme ji považovat za tenkou CoCku?__ Přiieta-li svetlo žleva, jsou obe lamave ploChy dute a přísluSí jim tedy podle žnamenkove konvenCe žaporna žnamenka a tedy pro index lomu n = 1.5 dostavame D1 = -0.5 dpt a D2 = 2.5 dpt. Celkova mohutnost je D = 2.083 dpt a odpovídajíCí ohniskova vždalenost potom f = 48 Cm. Celkova mohutnost CoCky je kladna, takže se bude jednat o kladny meniskus. V přiblížení tenke CoCky by bylo D = D1 + D2 = 2 dpt. Jelikož byChom se tím dospustili Chyby v urCení Celkove mohutnosti kolem peti proCent, lže řÍCt, že ž fyžikalního hlediska leží takova CoCka na hraniCi tenkosti. EB1 Q Q fSS ©Lenka Přibylová, 2010 Q Z průměru a výšky vodní kapky na podložce spočtěte, jakou čočku vytváří. ©Lenka Přibylová, 2010 Q Z průmeru a výsky vodní kapky na podložce spočtete, jakou čočku vytvarí. Nejprve zmeiíme výsku v a polomer r vodní kapky (v metrečh) . EB1 Q Q fSS ©Lenka Přibylová, 2010 Q Z prumeru a vysky vodní kapky na podloŽCe spoCtete, jakou CoCku vytvarí. Nejprve zmeříme vysku v a polomer r vodní kapky (v metreCh). Poloměr povrchu kapky je R = r^f- m. Z pravoúhlého trojúhelníku podle Pythagorovy vety dostavame rovnost r2 = r2 + (R - v)2 = r2 + R2 - 2vR + v2, tj. 2vR = r2 + v2. EE1 El—H- ©Lénkä PťtBylôVä, iOloB Z prumeru a vysky vodní kapky na podložče spočtete, jakou čočku vytvarí. Nejprve zmeiíme vysku v a polomer r vodní kapky (v metrečh). Poloměr povrchu kapky je R = r^f- m. Svetlo prileta shora, povrčh je vypukly a pHsluší mu dle znamenkove konvenče kladne znamenko. Pro index lomu n dostavame Di = ~ X\V dpt. Povrch na podložce je plochý, proto D2 = 0 dpt. Pro mohutnost vrčhn ího povrčhu plat í n - 1 n - 1 (n - 1) 2(n - 1)v , Di = —-— = —-— = —~—7T- = —^-k- dpt, pro plochy R, R r2W r2 + V2 V V ť 3 2v povrch je R = oo a D2 = = ^—^ = 0 dpt. R2 00 b^I bi ■« wa 111 > I ,etika l-nbylova. z1 Z prumeru a výsky vodní kapky na podlozCe spoCtete, jakou CoCku vytvarí. Nejprve zmeříme vysku v a polomer r vodní kapky (v metreCh). Poloměr povrchu kapky je R = r^f- m. Svetlo prileta shora, povrch je vypukly a príslusí mu dle znamenkove konvenCe kladne znamenko. Pro index lomu n dostavame Di = dpt. Povrch na podložce je plochý, proto D2 = 0 dpt. Celkova mohutnost je D = D1 dpt. D = D1 + D2- -DiD2 = D1+0- -D1 ■0=D1. n n I Jti bi ia wa til A ,etika l-nbylova. zulu| | Z průmeru a vysky vodní kapky na podložče spočtete, jakou čočku vytvarí. Nejprve žmeříme vysku v a polomer r vodní kapky (v metrečh). Poloměr povrchu kapky je R = r^f- m. Svetlo prileta shora, povrčh je vypukly a príslusí mu dle žnamenkove konvenče kladne žnamenko. Pro index lomu n dostavame Di = dpt. Povrch na podložce je plochý, proto D2 = 0 dpt. Celkova mohutnost je D = D1 dpt. Kviäli pločhe spodní stene vžnikleho kuloveho vrčhlíku se bude vždy jednat o tenkou čočku. D = D1 + D2 = D1 + 0 Z prumeru a výsky vodní kapky na podlozCe spoCtete, jakou CoCku vytvarí. Nejprve zmeříme vysku v a polomer r vodní kapky (v metreCh). Poloměr povrchu kapky je R = r^f- m. Svetlo prileta shora, povrch je vypukly a príslusí mu dle znamenkove konvenCe kladne znamenko. Pro index lomu n dostavame Di = dpt. Povrch na podložce je plochý, proto D2 = 0 dpt. Celkova mohutnost je D = D1 dpt. Kvuli ploChe spodní stene vznikleho kuloveho vrChlíku se bude vzdy jednat o tenkou CoCku. r2 v2 Odpovídající ohnisková vzdálenost potom / = —m. Z prumeru a výsky vodní kapky na podlozCe spoCtete, jakou CoCku vytvarí. Nejprve zmeříme vysku v a polomer r vodní kapky (v metreCh). Poloměr povrchu kapky je R = r^f- m. Svetlo prileta shora, povrch je vypukly a príslusí mu dle znamenkove konvenCe kladne znamenko. Pro index lomu n dostavame Di = dpt. Povrch na podložce je plochý, proto D2 = 0 dpt. Celkova mohutnost je D = D1 dpt. Kvuli ploChe spodní stene vznikleho kuloveho vrChlíku se bude vzdy jednat o tenkou CoCku. r2 v2 Odpovídající ohnisková vzdálenost potom / = —m. Celkova mohutnost CoCky kladna, takze se bude jednat o tenkou spojku. EB1 Q Q fSS ©Lenka Přibylová, 2010 Q Z prumeru a výSky vodní kapky na podloŽCe spoCtete, jakou CoCku vytvaří. Pro kapku vody na skle je CharakteristiCky tzv. smaCivy uhel a = 38.5°. Pokud známe smáčivý úhel a, můžeme mohutnost odvodit jen na zaklade poloměru kapky. Z prumeru a vysky vodní kapky na podloŽCe spoCtete, jakou CoCku vytvarí. Pro kapku vody na skle je CharakteristiCky tzv. smaCivy úhel a = 38.5°. tg a Ř=5 Z uhlu v trojúhelníku je videt, že smaCivy uhel je take stredovym uhlem. EEl ^1—H~ r _ Z prumeru a vysky vodní kapky na podložCe spoCtete, jakou CoCku vytvaří. Pro kapku vody na skle je CharakteristiCky tžv. smaCivy úhel a = 38.5°. m r 2vr tg* = TC=í = TT-vi- r R-v 2v r +v —2v 2v E si--ETT3- '-) Lenka Přibylova, {r2- v2)tg a = 2vr I ^1 bi ■« (ICj Lenka Pnbylo1 É Z prumeru a vysky vodní kapky na podložče spočtete, jakou čočku vytvarř í. Pro kapku vody na skle je čharakterističky tžv. smačivy uhel a = 38.5°. tg* = TC=í = TT-vi- Je tedy žrejme, že vyska kapky bude nutne žaviset na jejím polomeru, mužeme ji vypočítat ž kvadratičke rovniče tj. V1,2 0 = v2tg a + 2vr - r2tg a, -2r±y/4r2 + 4r2tg2 0._ íl bi ■« wa 111 > I ,et i ku Z prumeru a vysky vodní kapky na podložCe spoCtete, jakou CoCku vytvaří. Prn VanVn vnHvna skle )e charakteristicWr tzv smaCiv-i> Uhel a = 38 R° 'Dosadíme do vztahu pro mohutnost N „ 2(w-l)i> 2(n-l)r^f* 2(n - l)r^f* r2 + í;2 , o(l-cos«)2 y2sin2«+l-2coS«+cos2« ' sin2 a sin2 a 2(w — 1)(1 — cosa) 2(w — — cosa) sin a 2^2cos« 2r(l-cosa) cil n A' ^ / dpt. r r r (w-ljsina /= = 0.33sin38.5°r = 4-87-r- -2r ± V4r2 + 4r2tg 2a , , 1-cosa t). ^1,2 =--5— odtud v = r D = <'-1>sl"^033Sin38.y a EB1 Q Q fSS ©Lenka Přibylová, 2010 Q Nakreslete y2 - 2Rx + (1 + k)x2 = 0 pro k = 0, k = -1a k = -2. BB1 Q Q fSS ©Lenka Přibylová, 2010 Q Nakreslete y2 - 2Rx + (1 + k)x2 = 0 pro k = 0, k = -1a k = -2. k = 0 : y2 - 2Rx + x2 = 0 EB1 Q Q fSS ©Lenka Přibylová, 2010 Q Nakreslete y2 - 2Rx + (1 + k)x2 = O pro k = 0, k = -la k = -2. k = 0 : y2 - 2Rx + x2 = 0 tj. y2 + (x - R)2 = R2 je kružnice se středem [R, 0] a poloměrem R. | y2 - 2Rx + x2 = 0 doplníme na čtverec y2 + (x - R)2 - R2 = 0. bbi bi ia wa 111 > I .enka l-nbylova. zu lu | | Nakreslete y2 - 2Rx + (1 + k)x2 = 0 pro k = 0, k = -1a k = -2. k = 0 : y2 - 2Rx + x2 = 0 tj. y2 + (x - R)2 = R2 je kružniCe se stredem [R, 0] a polomerem R. EB1 Q Q fSS ©Lenka Přibylová, 2010 Q Nakreslete y2 - 2Rx + (1 + k)x2 = 0 pro k = 0, k = -1a k = -2. EB1 Q Q fSS ©Lenka Přibylová, 2010 Q Nakreslete y2 - 2Rx + (1 + k)x2 = O pro k = 0, k = -la k = -2. k = -1 : y2 - 2Rx = 0 EE1 El 13 iaa ©Lenka Přibylová, 2010 Q Nakreslete y2 - 2Rx + (1 + k)x2 = O pro k = 0, k = -la k = -2. * = -1 : y2 - 2Rx = 0 t), y2 = 2Rx]e parabola s řídící přímkou x = -f a ohniskem [f,0]. EB1 Q Q fSS ©Lenka Přibylová, 2010 Q Nakreslete y2 - 2Rx + (1 + k)x2 = O pro k = 0, k = -la k = -2. k = -1 : y2 - 2Rx = 0 t), y2 = 2Rx]e parabola s řídící přímkou x = -f a ohniskem [f,0]. EB1 Q Q fSS ©Lenka Přibylová, 2010 Q Nakreslete y2 - 2Rx + (1 + k)x2 = 0 pro k = 0, k = -1a k = -2. EB1 Q Q fSS ©Lenka Přibylová, 2010 Q Nakreslete y2 - 2Rx + (1 + k)x2 = 0 pro k = 0, k = -1a k = -2. k = -2 : y2 - 2Rx - x2 = 0 EB1 Q Q fSS ©Lenka Přibylová, 2010 Q Nakreslete y2 - 2Rx + (1 + k)x2 = O pro k = 0, k = -la k = -2. | k = -2 : y2 - 2Rx - x2 = 0 tj. (x + R)2 -y2 = R2 nebo - ^ = 1 je hyperbola s polosami delky R a středem [-R,0]. | y2 - 2Rx - x2 = 0 doplníme na čtverec y2 - (x + R)2 + R2 = 0. ai ■« Bbi bi ia wa 111 > I ,enka Přibylova, zu lu | | Nakreslete y2 - 2Rx + (1 + k)x2 = 0 pro k = 0, k = -1a k = -2. k = -2 : y2 - 2Rx - x2 = 0 tj. (x + R)2 -y2 = R2 nebo - ^ = 1 je hyperbola s polosami delky R astredem [-R,0]. EB1 Q Q fSS ©Lenka Přibylová, 2010 Q Ukažte, že y2 - 2Rx + (1 + k)x2 = 0 je hyperbola, elipsa, kružnice a parabola a pro ktere hodnoty parametru k. EB1 Q Q fSS ©Lenka Přibylová, 2010 Q Ukazte, ze y2 - 2Rx + (1 + k)x2 = 0 je hyperbola, elipsa, kruzniCe a parabola a pro ktere hodnoty parametru k. k< -1: y2 - 2Rx + (1 + k)x2 = 0 EB1 Q Q fSS ©Lenka Přibylová, 2010 Q Ukažte, že y2 - 2Rx + (1 + k)x2 = O je hyperbola, elipsa, kružnice a parabola a pro ktere hodnoty parametru k. k < -1: y2 - 2Rx + (1 + k)x2 = 0 t).y2 + (l + k) {ý-j^x) =0 EB1 Q Q fSS ©Lenka Přibylová, 2010 Q Ukazte, ze y2 - 2Rx + (1 + k)x2 = 0 je hyperbola, elipsa, kruzniCe a parabola a pro ktere hodnoty parametru k. k < -1: y2 - 2Rx + (1 + k)x2 = 0 tj. y2 + (1 + jfc) (x2 - ^xj = 0 a doplněním na čtverec tedy 2 y2 + (l + k) (x- j^j =i§, EB1 Q Q fSS ©Lenka Přibylová, 2010 Q Ukazte, ze y2 - 2Rx + (1 + k)x2 = 0 je hyperbola, elipsa, kruznke a parabola a pro ktere hodnoty parametru k. k < -1: y2 - 2Rx + (1 + k)x2 = 0 tj. y2 + (1 + jfc) (x2 - ^xj = 0 a doplněním na čtverec tedy 2 y2 + (l + k) (x- j^j =i§, y2 , (^-m)2_L EB1 Q Q fSS ©Lenka Přibylová, 2010 Q Ukažte, že y2 - 2Rx + (1 + k)x2 = 0 je hyperbola, elipsa, kružnice a parabola a pro ktere hodnoty parametru k. k < -1: y2 - 2Rx + (1 + k)x2 = 0 tj. y2 + (1 + jfc) (x2 - ^xj = 0 a doplněním na čtverec tedy 2 y2 + (l + k) (x- j^j =i§, y2 , (^-m)2_L ^ < 0, jde tedy o hyperbolu s polosami a = ^ a b = y/\l+k\ středem S = [^,0] vlevo od počátku. EB1 Q Q fSS ©Lenka Přibylová, 2010 Q Ukažte, že y2 - 2Rx + (1 + k)x2 = 0 je hyperbola, elipsa, kružniče a parabola a pro ktere hodnoty parametru k. k = -1: y2 - 2Rx + (1 + k)x2 = 0 EB1 Q Q fSS ©Lenka Přibylová, 2010 Q Ukažte, že y2 - 2Rx + (1 + k)x2 = 0 je hyperbola, elipsa, kružnice a parabola a pro ktere hodnoty parametru k. k = -1: y2 - 2Rx + (1 + k)x2 = 0 tj. y2 = 2Rx EB1 Q Q fSS ©Lenka Přibylová, 2010 Q Ukažte, že y2 - 2Rx + (1 + k)x2 = O je hyperbola, elipsa, kružnice a parabola a pro ktere hodnoty parametru k. k = -1: y2 - 2Rx + (1 + k)x2 = O t).y2 = 2Rx)e parabola s řídící přímkou x = -f a ohniskem [f,0]. EB1 Q Q fSS ©Lenka Přibylová, 2010 Q Ukazte, ze y2 - 2Rx + (1 + k)x2 = 0 je hyperbola, elipsa, kruzniCe a parabola a pro ktere hodnoty parametru k. -1 < k: y2 - 2Rx + (1 + k)x2 = 0 EB1 Q Q fSS ©Lenka Přibylová, 2010 Q Ukažte, že y2 - 2Rx + (1 + k)x2 = 0 je hyperbola, elipsa, kružniče a parabola a pro ktere hodnoty parametru k. -1 < k: y2 - 2Rx + (1 + k)x2 = 0 t).y2 + (l + k) {ý-j^x) =0 EB1 Q Q fSS ©Lenka Přibylová, 2010 Q Ukazte, ze y2 - 2Rx + (1 + k)x2 = 0 je hyperbola, elipsa, kruzniCe a parabola a pro ktere hodnoty parametru k. - 1 < k: y2 - 2Rx + (1 + k)x2 = 0 tj. y2 + (1 + jfc) (x2 - ^xj = 0 a doplněním na čtverec tedy 2 y2 + (l + k) (x- j^j =i§, EB1 Q Q fSS ©Lenka Přibylová, 2010 Q Ukazte, ze y2 - 2Rx + (1 + k)x2 = 0 je hyperbola, elipsa, kruznke a parabola a pro ktere hodnoty parametru k. - 1 < k: y2 - 2Rx + (1 + k)x2 = 0 tj. y2 + (1 + jfc) (x2 - ^xj = 0 a doplněním na čtverec tedy 2 y2 + (l + k) (x- j^j =i§, y2 , (^-m)2_L EB1 Q Q fSS ©Lenka Přibylová, 2010 Q Ukažte, že y2 - 2Rx + (1 + k)x2 = 0 je hyperbola, elipsa, kružnice a parabola a pro ktere hodnoty parametru k. -1 < k: y2 - 2Rx + (1 + k)x2 = 0 tj. y2 + (1 + jfc) (x2 - ^xj = 0 a doplněním na čtverec tedy 2 y2 + (l + k) (x- j^j =i§, y2 , (^-m)2_L ^ > 0, jde tedy o elipsu s polosami a = ^ a b = a středem S = [jt^, 0] vpravo od počátku. ©Lenka Přibylová, 2010 Q Ukazte, ze y2 - 2Rx + (1 + k)x2 = 0 je hyperbola, elipsa, kruzniCe a parabola a pro ktere hodnoty parametru k. k = 0: y2 - 2Rx + (1 + k)x2 = 0 EB1 Q Q fSS ©Lenka Přibylová, 2010 Q Ukažte, že y2 - 2Rx + (1 + k)x2 = 0 je hyperbola, elipsa, kružnice a parabola a pro ktere hodnoty parametru k. k = 0: y2 - 2Rx + (1 + k)x2 = 0 tj. y2 - 2Rx + x2 = y2 + (x - R)2 - R2 = 0, EB1 Q Q fSS ©Lenka Přibylová, 2010 Q Ukazte, ze y2 - 2Rx + (1 + k)x2 = 0 je hyperbola, elipsa, kruznke a parabola a pro ktere hodnoty parametru k. k = 0: y2 - 2Rx + (1 + k)x2 = 0 tj. y2 - 2Rx + x2 = y2 + (x - R)2 - R2 = 0, tj. y2 + (x - R)2 = R2 EB1 Q Q fSS ©Lenka Přibylová, 2010 Q Ukažte, že y2 - 2Rx + (1 + k)x2 = 0 je hyperbola, elipsa, kružniCe a parabola a pro ktere hodnoty parametru k. k = 0: y2 - 2Rx + (1 + k)x2 = 0 tj. y2 - 2Rx + x2 = y2 + (x - R)2 - R2 = 0, tj. y2 + (x - R)2 = R2 je kružniCe se stredem [R,0] a polomerem R. EB1 Q Q fSS ©Lenka Přibylová, 2010 Q Naležnete prusečíky s osami kuželosečky y2 - 2Rx + (1 + k)x2 = 0. EB1 Q Q fSS ©Lenka Přibylová, 2010 Q EB1 Q Q fSS ©Lenka Přibylová, 2010 Q x(2R +(1 + k)x) = 0. Průsečíky jsou i = 0ax=^. EB1 Q Q fSS ©Lenka Přibylová, 2010 Q x(2R +(1 + k)x) = 0. Průsečíky jsou i = 0ax=^. osa y : x = 0 y2 = 0, pruseCíky je y = 0. Dostavame tedy dva pruseCíky [0,0] a [^,0]. EB1 Q Q fSS ©Lenka Přibylová, 2010 Q Naleznete průsečíky s osami kuželoseCky y2 - 2Rx + (1 + k)x2 = 0. k = -1: osa x : y = 0 2Rx + (1 + k)x2 = 0, x(2R +(1 + k)x) = 0. Průsečíky jsou i = 0ax=^. osa y : x = 0 y2 = 0, průsečíky je y = 0. Dostavame tedy dva průsečíky [0,0] a [^,0]. k = -1: y2 - 2Rx = 0 parabola ma jediný průsečík [0,0]. BB1 Q Q fSS ©Lenka Přibylová, 2010 Q Ukazte, ze R je vrcholova krivost profilu y2 - 2Rx + (1 + k)x2 = 0. EB1 Q Q fSS ©Lenka Přibylová, 2010 Q Ukažte, že R je vrcholova krivost profilu y2 - 2Rx + (1 + k)x2 = 0. | Kuželosečka y2 -2Rx + (l+k)x2 = 0 je v počátku tečná k ose y, protože y = ±^2Rx - (1 +k)x2 a y' = ±\{2Rx - (1 + k)x2y^{2R - 2(1 + k)x) -»■ ±oo pro x -»■ 0+. Stejne tak je to videt i ž predchožích grafiů. Krivka není v okolí pocatku funkcí. ©Lenka Přibylová, 2010 Q Ukazte, ze R je vrCholova krivost profilu y2 - 2Rx + (1 + k)x2 = 0. | Kuželosečka y2 -2Rx + (l+k)x2 = 0 je v počátku tečná k ose y, protože y = ±^2Rx - (1 +k)x2 a y' = ±\{2Rx - (1 + k)x2)^ (2R - 2(1 + k)x) -»■ ±oo pro x -»■ 0+. Stejne tak je to videt i z predChozíCh grafiů. Krivka není v okolí poCatku funkCí. Pro vyypoCet krivosti bude proto vhodne otoCit grafy, f. zamenit x a y: EB1 Q Q fSS ©Lenka Přibylová, 2010 Q Ukažte, že R je vrCholova křivost profilu y2 - 2Rx + (1 + k)x2 = 0. | Kuželosečka y2 -2Rx + (l+k)x2 = 0 je v počátku tečná k ose y, protože y = ±^2Rx - (1 +k)x2 a y' = ±\{2Rx - (1 + k)x2y^{2R - 2(1 + k)x) -»■ ±oo pro x -»■ 0+. Stejne tak je to videt i ž predChožÍCh grafu Krivka není v okolí poCatku funkCÍ. Pro vypoCet krivosti bude proto vhodne otoCit grafy, f. žamenit x a y: x2 - 2Ry +(1 + k)y2 = 0. EB1 Q Q fSS ©Lenka Přibylová, 2010 Q Ukazte, ze R je vrcholova krivost profilu x2 - 2Ry + (1 + k)y2 = 0. k = -1: y=ů> ý = h y" = h EB1 Q Q fSS ©Lenka Přibylová, 2010 Q Ukažte, že R je vrcholova krivost profilu x2 - 2Ry + (1 + k)y2 = 0. k = -1: y=ů> ý = h y" = h y'(o) = o, y"(o) = £. EB1 Q Q fSS ©Lenka Přibylová, 2010 Q Ukažte, že R je vrcholova krivost profilu x2 - 2Ry + (1 + k)y2 = 0. | k= 1: ů> y' = í' y" = l ý(o) = o, y"(o) = £. Krivost je danavžtahem y"(0) | 1 K- —— - —— — —— — (i + (y'(o))2)i 1 R' y= ©Lenka Přibylová, 2010 Q Ukažte, že R je vrcholová křivost profilu x2 - 2Ry + (1 + k)y2 = 0. | k = -1: y=ů> ý = h y" = i y'(o) = o, y"(o) = £. Křivost je dánavžtahem y"(0) l 1 K = - = - = — § 1 R' (1 + (y/(Q))2) Polomer křivosti je R. BEI Q Q ©Lenka Přibylová, 2010 Q Ukažte, že R je vrcholova křivost profilu x2 - 2Ry + (1 + k)y2 = 0. k = -1: Doplnením na CtvereC dostavame podobne jako dříve 2 x2 + (l + k) U-iffc) =j^k- EB1 Q Q fSS ©Lenka Přibylová, 2010 Q EB1 Q Q fSS ©Lenka Přibylová, 2010 Q Ukažte, že R je vrcholova krivost profilu x2 - 2Ry + (1 + k)y2 = 0. | k = -1: Doplnením na Čtverec dostavame podobna jako drive 2 x2 + (l + k) U-iffc) =j^k- 2 Odtud (y-^) =ITgF-^a EQ Q B B3 ©Lenka Přibylová, 2010 Q Ukažte, že R je vrcholova krivost profilu x2 - 2Ry + (1 + k)y2 = 0. k = -1: Doplnením na Čtverec dostavame podobne jako drive 2 x2 + (l + k) U-iffc) =j^k- 2 Odtud (y-^) =ITgF-^a Pro hyperbolu je jfc < -1 a v okolí počátku prochází větev y= + y^ifl)i - ttp Pro elipsu je > -1 a v okolí počátku prochází větev y = ^ - yj^ji-Tfk- BB1 Q Q ©Lenka Přibylová, 2010 Q Ukazte, ze R je vrcholova krivost profilu x2 - 2Ry + (1 + k)y2 = 0. k = -1: V = TTk ^ \J (i+fc)2 ~ Tfk EB1 Q Q fSS ©Lenka Přibylová, 2010 Q Ukažte, že R je vrcholova krivost profilu x2 - 2Ry + (1 + k)y2 = 0. k = -1: V = TTk ^ \J (i+fc)2 ~ Tfk í r2 ^r'1 f 2x \ ©Lenka Přibylová, 2010 Q Ukažte, že R je vrcholova křivost profilu x2 - 2Ry + (1 + k)y2 = 0. | k = -1: V = TTk ^ \J (i+fc)2 ~ Tfk í «2 ^r'1 f 2x \ v»-^( R2 *2Y3ž í M2W «2 *2r* í 2 ^ EB1 Q Q fSS ©Lenka Přibylová, 2010 Q Ukažte, že R je vrcholova krivost profilu x2 - 2Ry + (1 + k)y2 = 0. | k = -1: V = TTk ^ \J (i+fc)2 ~ Tfk í «2 ^r'1 f 2x \ v»-^( R2 *2Y3ž í M2W «2 *2r* í 2 ^ y'(0) = 0 a y"(0) = • i±* = 1 + k R R EB1 Q Q ©Lenka Přibylová, 2010 Q Ukazte, ze R je vrCholova krivost profilu x2 - 2Ry + (1 + k)y2 = 0. | k = -1: y ~ i+fc ^ \J (i+fc)2 Ak í «2 ^r'1 f 2x \ v»-^( R2 ^v"1 í M2W «2 ^v'1 í 2 ^ y - Ti {jttw ~ i+^y 'v i+fcy 2 ^(T+fc)2 ~ i+k) '^"T+fcJ 1 1 + k 1 + k R +R' y'(0) =Oay"(0) = ' = T^-Křivost je dána vztahem y"(o) ir 1 -3" = ^ 1 = ^1? (1 + (y'(0))2) k _ ©Lenka Přibylová, 2010 Q Ukažte, že R je vrCholova křivost profilu x2 - 2Ry + (1 + k)y2 = 0. | k = -1: y ~ i+fc ^ \J (i+fc)2 Ak í «2 ^r'1 f 2x \ v»-^( R2 ^v"1 í M2W «2 ^v'1 í 2 ^ y - Ti {jttw ~ i+^y 'v i+fcy 2 ^(T+fc)2 ~ i+k) '^"T+fcJ 1 1 + k 1 + k R +R' y'(0) =Oay"(0) = ' = T^-Křivost je dána vztahem y"(o) ir 1 (i + (y'(o))2)i 1 R Poloměr křivosti je R. EE1 El la iaa ©Lenka Přibylová, 2010 Q Konec EB1 Q Q fSS ©Lenka Přibylová, 2010 Q