Užití kuželoseček a kvadrik.
Lenka Přibylova 25. listopadu 2010
■-\
Kružnice x2 + y2 = 1, (x — 0.9)2 + y2 = 0.04 tvorí rež kulovými povrchy čočky. Určete její mohutnost. MUžeme ji považovat ža tenkou čočku?
Polohy stredu: (xl7 y1) = (0,0) a (x2, y2) = (0.9,0) m, polomery: R1 = 1 m, R2 = 0.2 m.
/ A       y2 = 1 — x2 dosadíme do (x — 0.9)2 + y2 = 0.04, odtud
\ J (x — 0.9)2 + 1 — x2 = —1.8x + 0.81 + 1 = 0.04,
tj. x = ^ = 0.983 a y2 = 1 - (^)2 = 0.033, tj. y = ±^jl-{1-^)2 = 0.18.
Jedna se o meniskus s prusečíky: x = 0.983 m, y = ±0.18 m. Prumer čočky je p=0.36 m, tloustka čočky je d = 0.1 m.
Prileta-li svetlo žleva, jsou obe lamave pločhy dute a príslusí jim tedy podle žnamenkove konvenče žaporna žnamenka.
n — 1                             1 — n Pro mohutnost prvního povrchu platí D\ =---— dpt, pro druhý D2 =---— dpt. Tedy pro index lomu n = 1.5
1 1 — L5
dostáváme D\ =---— = —0.5 dpt a D2 =--—— = 2.5 dpt.
Celková mohutnost je D = Ľ\ + D2 — -D\D2 = —0.5 + 2.5 — ^A— 0.5) • 2.5 = 2.083 dpt a odpovídající ohnisková
n 1.5
vzdálenost potom f = jj = y^šš = ®^ m'
Celkova mohutnost čočky je kladna, takže se bude jednat o kladny meniskus.
V přiblížení tenke čočky by bylo D = D1 + D2 = 2 dpt. Jelikož byčhom se tím dospustili čhyby v určení čelkove mohutnosti kolem peti pročent, lže ríčt, že ž fyžikalního hlediska leží takova čočka na hraniči tenkosti.
Z priůmeru a vysky vodní kapky na podložče spočtete, jakou čočku vytvarí.
Nejprve žmeríme vysku v a polomer r vodní kapky (v metrečh).
Z pravouhleho trojuhelníku podle Pythagorovy vety dostavame rovnost R2 = r2 + (R — v)2 = r2 + R2 — 2vR + v2, tj. 2vR = r2 + v2.
2v
Poloměr povrchu kapky je R = rl\f~ m.
Svetlo prileta shora, povrčh je vypukly a príslusí mu dle žnamenkove konvenče kladne žnamenko. Pro mohutnost
n — 1    n — 1    (n — 1)    2(n — 1)v vrchního povrchu platí D\ = —-— = —^— =    2+ 2   = A-T~ ^Pt- P°vrcri na podložce je plochý, proto R = 00 a
ta   H   H   H8 ©Lenka Přibylová, 2010 Q
1 — n    1 — n
D2 = —— =-= O dpt. Celková mohutnost je
R2 oo
D = Ľi + D2 - -ĽiĽ2 = D1+0--Ľi ■0=ĽÍ. nn
Kvůli ploché spodní stěně vzniklého kulového vrchlíku se bude vždy jednat o tenkou čočku.
x _    x    _   r2 + v2
Odpovídající ohnisková vzdálenost potom f
r2+v2
2(n - 1)v
m.
Celková mohutnost čočky kladna, takže se bude jednat o tenkou spojku. Pro kapku vody na skle je charakteristicky tzv. smačivy uhel a = 38.5°.
v*	
/£>\r ^	\
	R - v \
Z uhlu v trojúhelníku je videt, že smačivy úhel je take stredovým uhlem.
tg a
r2+v2 2v
r2+v2—2v2 2v
2vr r2—v2'
r
r
r
R-v
Je tedy zrejme, že vyska kapky bude nutne zaviset na jejím polomeru, muzeme ji vypočítat z kvadraticke rovnice
0 = v2tg a + 2vr - r2tg a,
-2r± J4r2 + 4r2tg 2a     -2r ± 2rJl + tg 2ct , , „       2     „    <miN    ro<í2 (ř+<íin2 , ti. vi 7 =----— =----—, kde 1 + tg lct = 1 + ^V1 = cos a+2sin 01 =
'    1,2 2tg a 2tg a cos2 a cos2 a cos2 a
_I_ -1±-L
cos a -       cos a
= -^.tj.
-2r±2r^ -1±_^ „       „.............. , 1-cosa
v-\2 =-=—= r cos ec-:—^ž°L. Samozřejmě hledáme kladné řešení v > O, odtud v = r
2sm« sm0l > sm0l
cos a
Dosadíme do vztahu pro mohutnost
D = 2(n-l)v = 2(»-l)r^ =    2{n - l)r^     = 2(n - 1)(1-cosa) = 2(n - 1)(1-cos«)sin«
t2 + v2         „2 i ~2(l-cosa)2       v2 sin2 «+l-2cos«+cos2« f 2-2 cos « 2í{\ — COS a)
f  _l_ j-^- - j '    sin a v y
D=(w-1)sÍn*=0.33sin38.5°í rr
(n-l)sina ~ o.33sin38.5° r - 4-87 •r-
a
f
j Nakreslete y2 - 2Rx + (1 + k)x2 = 0 pro k k = 0 :    y2 - 2Rx + x2 = 0
tj. y2 + (x - R)2 = R2 je kruznice se stredem [R, 0] a polomerem R.
y■			
		R	J x
k = -1 :    y2 - 2Rx = 0
tj. y2 = 2Rx je parabola s řídící přímkou x = — -§ a ohniskem [^,0].
EB1   Q   Q OS
©Lenka Přibylová, 2010 Q
y
k = -2 :    y2 - 2Rx - x2 = 0
tj. (x + R)2 —y2 = R2 nebo -1— ^ = 1 je hyperbola s polosami délky R a středem [—Ä, 0].
Ukažte, že y2 - 2Rx + (1 + k) x2 = 0 je hyperbola, elipsa, kružnice a parabola a pro které hodnoty parametru k. ]
k < -1:
y2 - 2Rx + (1 + k)x2 = 0 tj. y2 + (1 + k) [x2 — y^x^j = 0 a doplněním na čtverec tedy y2 + (1 + k) (x -     j  = xq-p
T+fc
< 0, jde tedy o hyperbolu s polosami a = ^ ab = a středem S = [y^pp 0] vlevo od počátku.
k = -1:
y2 - 2Rx + (1 + k)x2 = 0 tj. y2 = 2Rx je parabola s řídící přímkou x = — -§ a ohniskem [§,0].
-1 < k:
y2 - 2Rx + (1 + k)x2 = 0 tj. y2 + (1 + k) (x2 - j^k*) = 0 a doplněním na čtverec tedy y2 + (1 + k) (x -     j =
f   |      ~ TTfc)2 _ -i T+fc
> 0, jde tedy o elipsu s polosami a =      a b = ^f+k a středem S = [y^ppO] vpravo od počátku. k = 0: +
y2 - 2Rx + (1 + k)x2 = 0
tj. y2 - 2Rx + x2 = y2 + (x - R)2 - R2 = 0, tj.
y2 + (x - R)2 = R2
je kružnice se stredem [R,0] a polomerem R.
ta   H   H   H8 ©Lenka Přibylová, 2010 Q
I Nalezněte průsečíky s osami kuželosečky y2 — 2Rx + (1 + k)x2 = 0. _
k = —1: osa x : y = 0
2Rx + (1 + k)x2 = 0, x(2R + (1 + k)x) = 0.
Průsečíky jsou x = 0 a x =
osa y : x = 0 y2 = 0, průsečíky je y = 0. Dostáváme tedy dva průsečíky [0,0] a [^/0].
k = —1:
y2 — 2Rx = 0 parabola ma jediný průsečík [0,0].
Ukažte, že R je vrčholova křivost profilu y2 — 2Rx + (1 + k)x2 = 0.
Kuželosečka y2 — 2Rx + (1 + k)x2 = 0 je v počátku tečná k ose y, protože y = ±\JlRx — (1 + k)x2 a
y' = ±\(2Rx - (1 + k)x2)~2 (2R - 2(1 + k)x) —► ±oo pro x —► 0+. Stejně tak je to vidět i z předchozích grafů. Křivka není v okolí počatku funkčí.
Pro výpočet krivosti bude proto vhodne otočit grafy, tj. zamenit x a y:
k= 1:
x2 — 2Ry +(1 + k)y2 = 0.
y=Ř> => ý = ik> v"
2R>     ~^     "       R'     " R'
y'(0) = 0, y"(0)
_ i
~ R'
Krivost je dana vztahem
(i + (y'(o))2)*   1 R'
Polomer krivosti je R.
k=—1:
Doplnením na čtvereč dostavame podobne jako dríve
*2 + (i + *) (y-^Y = &
Odtud (y-^^^-^a
y=ů-k±\f
R2
(1+fc)2 1+fc-_R_
Pro hyperbolu jek < —1 a v okolí počátku prochází větev y = ^ + \j ^k^i ~ pro elipsu je A: > —1 a v okolí počátku prochází větev y = ^ - \J        ~ rpp
k=—1:
y - í+fc± y (i+fc)2 i+fc
- ±2 l(l+fc)2    l+fcj       ^ 1+kJ
BB1   El   la   iaa ©Lenka Přibylová, 2010 Q
Íl   -+i\(l+k)2     1+kJ        {   1+kJ   =c2lv(l+fc)2     1+kJ        \ 1+kJ
y'(0) =Oai///(0) = Tj—f = Ttt- Křivost je dána vztahem
]:     y"(Q) -j^-j1
(l + (y'(0))2)l 1 R
Poloměr křivosti je K.
EB1   Q Q
©Lenka Přibylová, 2010 Q