Užití komplexních čísel.
Lenka Přibylová 1. října 2010
©Lenka Přibylová, 2010 Q
Obsah
Dokažte nejkřásnejSí formul i m atematiky............. 7
Dokažte součtový vžořec...................... 10
Složte vlnení s posunutou faží................... 16
Složte vlnení s opačným smeeřem síření.............. 20
©Lenka Přibylová, 2010 Q
Pomocí Eulerova vzorce dokažte, že platí cos x = —ij—- J
©Lenka Přibylová, 2010 Q
Pomocí Eulerova vzorce dokažte, že platí cos x = —ij—- J
eix = cos x + i sin x e-ix   =   cos x - i sin x
e-ix = ei(-x) = cos(-x) + i sin(-x). Přitom funkce cos je sudá, tj. cos(-x) = cos x,á funkce sin lichá, tj. sin(-x) = - sin x.
bbi    bi   ■«   wa t ť) I .eiika l-nbylova. zulu
Pomocí Eulerova vzorce dokažte, že platí cos x = —ij—- J
eix = cos x + i sin x e~ix   =   cos x - i sin x
SeCtením dostáváme
eix + e-ix = 2 cos x,
EE1   El   13   iaa ©Lenka Přibylová, 2010 Q
Pomocí Eulerova vzorce dokažte, že platí cos x = —ij—- J
Sečtením dostáváme
tj.
eix = čos x + i sin x e-ix   =   čos x - i sin x
eix + e-ix = 2čos x, cos x =    "v—•
©Lenka Přibylová, 2010 Q
Dokážte nejkrásnější formuli matematiky:    -1 = eÍK.
©Lenka Přibylová, 2010 Q
Dokažte nejkrásnější formuli matematiky:    -1 = eÍK.
Stačí dosadit do Eulerova vžorce eix = cos x + i sin x císlo x = n.
EE1   El   13   iaa ©Lenka Přibylová, 2010 Q
Dokážte nejkrásnější formuli matematiky:    -1 = eÍK. I
Stačí dosadit do Eulerova vžorce eix = cos x + i sin x císlo x = n. Pak ein = cos n + i sin n = -1.
©Lenka Přibylová, 2010 Q
Dokážte, že platí cos a. + cos f> = 2 cos cos
©Lenka Přibylová, 2010 Q
Sečtením exponentu —j- H—^- = a,
podobně_^ + ^ = /?._
Dokažte, že platí cos a. + cos f> = 2 cos cos
a-B a+B e-l2.el2       = éP
Re (V^ V^+e-^./í^   =   Re(e- + ^)
Sečtením obou rovnic dostaneme
u-B      a+B (x-B (x+B
el— ■ el~ + e-l~ . el~ = em + e1?, rovnost musí platit i pro reálnou a imaginární čast.
E 5i    bi   ■«   wa t ť 11 ,etika l-nbylova. zulu
Dokažte, že platí cos a. + cos f> = 2 cos cos
a-B a+B e-l2.el2       = éP
Re(V^ .<f¥ +e-'K-TŘ ./í^   =   Re(e!a + ^)
= cos a + cos B
Podle Eulerova vzorce Re efy = cos 9.
Dokažte, že platí cos a. + cos f> = 2 cos cos
é 2  . e! 2
Re ^(cos^+ísin + (cos
0-6 v
)(cos^+ísin^) + )(cos^ +ísin^)^
ísin^
Re (eia + eiP) = cos a + cos ff
Funkce přepíSeme podle Eulerova vzorce ei9 = cos 9 + i sin 9, navíc funkce cos je sudá, proto cos(-^) = cos ^ a funkce sin je lichá, proto sin(-^) = -sin^.
E       bi la
_
_
_
2
Dokážte, že platí cos a. + cos f> = 2 cos cos
a-Ě .U+Ě
.x-6 .x+6
Re(V^ .<r£ +e-'K-TŘ ./í^   =   Re(e!a + ^)
= cos u + cos Ě
Re ^(cos^+ísin^)(cos^+ísin^) +
+ (C0S      - f sin      ) (cos !+ä + f sin !+ä)) 2cos^Ěcos^Ě
©Lenka Přibylová, 2010 Q
Složte vlnění s posunutou fází tfr (x, t) = A cos(wŕ - kx) a ip2(x, t) = A cos(tot - k(x - Ô)).
©Lenka Přibylová, 2010 Q
Složte vlnení s posunutou faží tfr (x, t) = A cos(ot - kx) a tp2(x, t) = A cos(tot - k(x - ó)).
Ožnacme   a = o t - k (x - ó)    a      = oj t - kx.
Pak
—2      =    ~~2 '
^   =  ojt-kx + ^f.
©Lenka Přibylová, 2010 Q
Složte vlnení s posunutou faží tfr (x, t) = A cos(ot - kx) a tp2(x, t) = A cos(ot - k(x - ô)).
Ožnacme   a = o t - k (x - ô)    a   fi = o t - kx.
Pak
a-fi kô —2      =    ~~2 '
^ = a>t-kx + !£.
Podle vžorce
cos a + cos j6 = 2 cos cos
tedy platí
Mx,t) + Mx,t) = 2Acosf cos(cot-kx + f).
^        ^        ^__v,__✓
amplituda      harmonická vlna
©Lenka Přibylová, 2010 Q
Složte vlnení s posunutou faží tfr (x, t) = A cos(ot - kx) a ip2(x, t)= A cos(tot - k(x - ó)).
Ožnacme   a = o t - k (x - ó)    a   fi = o t - kx.
Pak
a-fi kó —2      =    ~~2 '
^ = a>t-kx + !£. Podle vžorce a- a+
cos a + cos j6 = 2 cos cos
tedy platí
Mx,t) + Mx,t) = 2Acosfcos(cot-kx + f).
^    ^ __v__/
amplituda      harmonická vlna
Animace.
©Lenka Přibylová, 2010 Q
Složte vlnění s opačným směrem šíření f1(x, t) = A cos(ot - kx) a ip2(x, t) = A cos (o; t + kx) a ukažte, že jde o stojate vlnení.
©Lenka Přibylová, 2010 Q
Složte vlnění s opačným směrem šíření f1(x, t) = A cos(ot - kx) a ip2(x, t) = A cos (o; t + kx) a ukažte, že jde o stojatě vlnění.
Označme   a = ot + kx   a      = ot - kx. Pak
^ = kx, ^   = cot.
©Lenka Přibylová, 2010 Q
Složte vlnění s opaCnym směrem Síření f1(x, t) = A cos(wt - kx) a ti(x, t) = A cos (wt + kx) a ukažte, že jde o stojatě vlnění.
OznaCme   a = w t + kx   a      = wt - kx. Pak
^   = kx,
^    = OJt.
Podle vzorce
cos a + cos j6 = 2 cos cos
tedy platí
p1 (x, t) + tp2(x, t) = 2A cos(kx) cos(wt).
©Lenka Přibylová, 2010 Q
Složte vlnení s opačným smerem síření f1(x, t) = A cos(ot - kx) a ti(x, t) = A cos (o t + kx) a ukažte, že jde o stojate vlnení.
Ožnačme   a = o t + kx   a      = to t - kx. Pak
^ = kx, ^   = cot.
Podle vžorce
cos a + cos j6 = 2 cos cos
tedy platí
tpi (x, t) + #2(x, t) = 2A cos(kx) cos(ot).
Funkce je tedy pro libovolne pevne t nasobkem cos(kx), tedy harmonickou vlnou s nulovou pocatecní faží - s casem se vlna neposouva po ose x, jde o stojate vlnení.
©Lenka Přibylová, 2010 Q
Složte vlnení s opaCnym smerem síření f1(x, t) = A cos(at - kx) á ti(x, t) = A cos (a; t + kx) á ukážte, že jde o stojáte vlnení.
$\ (x, t) + ip2(x, t) = 2A cos(kx) cos(at).
©Lenka Přibylová, 2010 Q
Složte vlnění s opačným směrem šíření #1(x, t) = A cos(wt - kx) a ip2(x, t) = A cos (o; t + kx) a ukažte, že jde o stojatě vlnění.
#1 (x, t) + #2(x, t) = 2 A cos(kx) cos(ot). Maxima odpovídají
cos(kx) = ±1 kx = mn,
a minima
cos(fcc) = 0 kx = f + mzr,
kde m je libovolné celé číslo.
EE1   El   13   iaa ©Lenka Přibylová, 2010 Q
Složte vlnení s opacnym smerem síření xp1(x, t) = A cos(wt - kx) a ti(x, t) = A cos (ot + kx) a ukažte, že jde o stojate vlnení.
#1 (x, t) + ip2(x, t) = 2 A cos(kx) cos(wř). Maxima odpovídají
cos(kx) = ±1 kx = mn,
a minima
cos(fcc) = 0   => kx=%+mn, kde m je libovolné celé číslo. Protože k = ?f je ^ + </>2 = 0 pro
^_f + m7T_2m + lA
k 4
©Lenka Přibylová, 2010 Q
Složte vlnení s opáčnym smerem síření xp1(x, t) = A čos(wt - kx) á ti(x, t) = A čos(tot + kx) á ukážte, že jde o stojáte vlnení.
ipi (x, t) + ifríx, t) = 2 A čos(kx) čos(wt). Máximá odpovídájí
čos(kx) = ±1 kx = mn,
á minimá
cos(fcc) = 0   => kx=%+mn, kde m je libovolné celé číslo. Protože k = ?f je ^ + tp2 = 0 pro
^_f + m7T_2m + lA
k 4
Animáče.
©Lenka Přibylová, 2010 Q
Konec
EE1   El   13   iaa ©Lenka Přibylová, 2010 Q