Užití matematiky ve fyzikální optice Dušan Hemzal a Lenka Přibylová 28. prosince 2010 N| Text tedy není členěn typicky - ani z hlediska zvyklostí v matematice ani z hlediska zvyklostí v optice. Je hypertextově propojen s přednáškou z Matematiky I. a II., úlohy v jednotlivých kapitolách jsou spojeny s minisbírkami řešených úloh (např. Užití matic), které lze vyvolat i samostatně, přičemž samotné kapitoly jsou špetkou teorie z optiky a špetkou z matematiky tak, aby do řešení úloh bylo vidět jak v předmětu Matematika I. a II. bez mnohých znalostí optiky, tak v odborných předmětech Optometrie po mírném pozapomenutí matematiky. V textu se navíc vyskytují bublinky (např. kružnice), které slouží k rychlému připomenutí matematického pojmu. Kliknutím na slovo s bublinkou se rozbalí matematická roleta, která zmizí v okamžiku odchodu myši z něj. K textu dále patří interaktivní kvizy a testy a kartotéka optických přístrojů. Rl ©Lenka Přibylová, 2010 |X Vektory v optice (fyzice) Fyzikální veličiny, které závisí na poloze v prostoru, popisujeme pomocí vektorů. Může jít např. o vlnový vektor, který popisuje směr šíření vlny, polohový vektor, který je průvodičem bodu v prostoru, apod. V optice nejčastěji používáme 3-rozměrný vektorový prostor s ortonormální bází, tj. množinou tří lineárně nezávislých navzájem kolmých vektorů jednotkové délky. Tato báze je ve fyzice často označována {i, j, k}, přičemž vektor i = (1,0,0) určuje směr osy x (první souřadnice), j = (0,1,0) směr osy y (druhá souřadnice) a k = (0, 0,1) směr osy z (třetí souřadnice). Nevím vůbec, co je vektor... ^ ^ |>>| ©Lenka Přibylová, 2010 |X Souřadnice polohového vektoru r = (x, y, z) můžeme zapsat také pomocí skalárního součinu: x = r • i, ,y = r • j, z = r • k. Úhel y, který svírají dva vektory a a b, můžeme spočítat pomocí skalárního součinu jako a • b w = arccos-—. \a\\b\ 1. příklad: Najděte velikost vektoru (2, —3,1). Řešení. 2. příklad: Najděte vektor kolmý k vektoru (3, 7). Řešení. |<<| Rl 1^ ©Lenka Přibylová, 2010 |X 3. příklad: Najděte vektor kolmý k vektoru (2, 3, —4). Řešení. 4. příklad: Najděte vektor kolmý k rovině g dané vektory (1, 3, 0) a (1,1, —2). Řešení. 5. příklad: Jaký úhel svírají vektory (—3,1, 7) a (5,1, —2)? Řešení. 6. příklad: Dokažte, že platí A cos a + B sin a = \JA2 + B2 cos(a — arctg -j). Řešení. >| výstup (©Lenka Přibylová, 2010 |x Elementární optické prvky popisujeme buď zobrazovacími rovnicemi nebo pomocí matic. Maticová optika se využívá především při použití více optických prvků za sebou. Označíme-li x i polohu vstupu optickeho prvku, X2 je polohu jeho výstupu, yi tangens úhlu Lpi na vstupu optického prvku a y2 tangens úhlu ^2 na jeho výstupu (vzhledem k optické ose), můžeme obecně zapsat zobrazovací rovnice lineární soustavou rovnic x2 = Ax1 + By1 y2 = Cx1 + Dy1, přičemž A = X2|yi=o, B = X2U=o, C = y2|yi=o a D = y2\Xl =q. xi yi xi yi Zobrazovací rovnice můžeme maticově zapsat takto: x2\ (A B \ fxi\ ,n. yj = \c d) ■ {yi) ' (2) kde ■ na pravé straně značí násobení matic. Nevím vůbec, co je matice.. . |<<| Rl 1^ ©Lenka Přibylová, 2010 |x Podívejme se blíže na důležité některé příklady matic z (2): D = 0, pak í/2 = Cxi, tedy úhel výstupu záleží pouze na xi vstupu, proto objekt na vstupu leží v první ohniskové rovině, na výstupu jsou paprsky rovnoběžné. • A = 0, pak X2 = By i, tedy naopak rovnoběžmě vstupující paprsky se zobrazují do stejné x2 výstupu, proto obraz objektu leží v druhé ohniskové rovině. B = 0, pak x2 = Axi , tj. všechny paprsky na vstupu xi stejný výstup x2 , proto jsou roviny vstupu a výstupu konjugované, objekt na vstupu ze zobrazuje na výstup. Navíc A = — je zvětšení systému. • C = 0, pak y2 = Dyi , tj. paprsky vstupující rovnoběžně také rovnoběžně vystupují, jde o tzv. teleskopický systém. D pak představuje úhlové zvětšení. ©Lenka Přibylová, 2010| X| <| Tabulka přenosových matic základních optických prvků: volný prostor (1 d\ \0 1J d - délka úseku volného prostoru tenká čočka í 1 °\ 1 1 i ] V f J / - ohnisková vzdálenost čočky lom na rovné ploše íi o ) Iq n i 1 ni - index lomu vstupu, n2 - index lomu výstupu lom na zakřivené ploše l ni-n2 ni 1 V R-n2 n2 / R - poloměr křivosti (konvence: R > 0 pro konvexní povrch, tj. střed za vstupem) odraz v zrcadle í1 í) jednotková matice odraz v zakřiveném zrcadle í i o) l 2 11 V R / R - poloměr křivosti (konvence: R > pro konkávní zrcadlo) T V případě složitějšího optického systému matice jednotlivých prvků maticově násobíme k dosažení popisu výsledného obrazu. 3. příklad: Vynásobte matice Řešení. (2 -1\ (2 1 \ V4 i J ^ V3 -2J 4. příklad: Vynásobte matice Řešení. -2\ (i o\ 1 ) ' \1 -2J <>| ©Lenka Přibylová, 2010 |x 5. příklad: Napište přenosovou matici pro optický systém složený z tenké čočky o ohniskové vzdálenosti fi = 1 cm, úseku volného prostoru o délce d =26 cm a další tenké čočky s ohniskovou vzdáleností f = 5 cm. Řešení. 6. příklad: Napište přenosovou matici pro optický systém složený z úseku volného prostoru o délce d =1 m, konkávního zakřiveného zrcadla s poloměrem křivosti R = 2 m, úseku volného prostoru o délce d = 0.8 m, rovinného zrcadla, úseku volného prostoru o délce d = 0.3 ma tenké čočky o ohniskové vzdálenosti fi = 0. 1 m. Řešení. R| 9. příklad: Plastová tyč s indexem lomu n = 1.56 je ukončena sférickým povrchem o poloměru R = 2.8 cm. Objekt vysoký 2 cm je umístěn ve vzdálenosti d =15 cm od tyče. Zjistěte umístění a velikost obrazu v tyči. Řešení. Vstup do kartotéky optických přístrojů - lupa. Vstup do kartotéky optických přístrojů - světelný mikroskop. R(x, t) = A cos(wt — kx) šíří prostorem rychlostí v = k. Řešení. j(x, t) = Asin(wí — kx) a ijjr(x,t) = Acos(wt — kx) jsou tedy imaginární a reálnou složkou funkce V>(x,í) = Aei(wí-fcx) = Acos(wí — kx) + i • Asin(wr — kx). Tato reprezentace harmonického vlnění má významnou výhodu oproti goniometrickému zápisu vzhledem ke zjednodušení výpočtů, např. při integraci. i(x,t) = A cos(wt — kx) a ///2(x,t) = A cos(wt — k(x — (5)). Řešení. S A @ Q (©Lenka Přibylová, 2010 |x Superpozicí harmonických vln //>i(x,t) a //>2(x,t) s posunutou fází dostáváme harmonickou vlnu V>i(x, t) + V>2(x,t) = 2A cos cos(^t - kx + f). amplituda harmonická vlna Její amplituda bude nabývat interferenčního maxima pro cos 4r = ±1 a minima pro cos -y- =0, tj. vlna bude mít maximální amplitudu (zdvojnásobí se) pro a nulovou amplitudu pro 4r = -| + mn, kde m je celé číslo. <| H fl ©©Lenka Přibylová, 2010 |x Protože k = ^, kde A je frekvence vlnění, bude k interferenčnímu maximu docházet pro posunutí fáze v násobcích frekvence ô = mA. 5. příklad: Složte vlnění s opačným směrem šíření //i(x,t) = A cos(—t - kx) a //2(x, t) = A cos(—t + kx) a ukažte, že jde o stojaté vlnění. Řešení. Vstup do kartotéky optických přístrojů - metoda GDx. Vstup do kartotéky optických přístrojů - optická koherentní tomografie. Vstup do kartotéky optických přístrojů - fázová mikroskopie. R>| (©Lenka Přibylová, 2010 |x Rovinná vlna v prostoru Harmonická rovinná vlna v prostoru má tvar V>(r,t) = Acos(ujt-k • r), kde k = (ki, k2, ks) je vektor šíření vlny, r = (x, y, z) je vektor prostorových souřadnic a • značí skalární součin, tj. k • r = k1x + k2y + ksz. V daném okamžiku t = t* leží body, které jsou ve stejné fázi y, v rovině y = ut* - (kix + k2y + ks z), neboli k1x + k2y + ksz + y - ut* = 0, d jejímž normálovým vektorem je k. |<<| Rl |M (©Lenka Přibylová, 2010 |x Poyntingův vektor a intenzita světelné vlny V teorii elektromagnetického pole je zvykem charakterizovat energii přenesenou za jednotku času a vztaženou na jednotkovou plochu kolmou na směr šíření ve vakuu tzv. Poyntingovým vektorem S. Ten je definován jako vektorový součin vektoru elektrického pole a vektoru magnetického pole (magnetické indukce): S = E x H. Protože vektory E a H jsou na sebe kolmé, má Poyntingův vektor směr šíření elektromagnetického vlnění. ©Lenka Přibylová, 2010IT <| >| >>| Intenzita obecné světelné vlny je definována jako časová střední hodnota velikosti Poyntingova vektoru, tj. 1 ľT I = ď-Si) = — / |SSI dt. T J o Pro rovinnou monochromatickou vlnu E = (0, Ey, 0) ve vakuu (dosazením do Maxwellových rovnic) platí I = ce0 - / E22 dt, T Jo kde c je rychlost světla a eo je permitivita vakua. Nevím vůbec, co je integrál... Vzorce pro integrování a základní příklady na integraci funkce. |<<| Rl íg (©Lenka Přibylová, 2010 |x 1. příklad: Určete intenzitu rovinné monochromatické vlny Ey = V (x, t) = A cos(wt - kx). Řešení. Vstup do kartotéky optických přístrojů - polarizátory. Vstup do kartotéky optických přístrojů - Malusův zákon. Vstup do kartotéky optických přístrojů - polarizační mikroskop. R a y g ( — f, f > 0 jinde fP/2 f-q/2 //(£,n) = A/ / e-ifc(«x+w) dy dx ./-p/2 ./-q/2 1. příklad: Popište obraz monochromatické vlny při Fraunhoferově difrakci na obdélníkovém otvoru. Řešení. Intenzita monochromatické vlny při Fraunhoferově difrakci na obdélníkovém otvoru ve středu obrazu je dána vztahem Jo = |//(0, 0)|2 = A2p2q2. >| ©Lenka Přibylová, 2010 |x 4. příklad: Spočtěte determinant matice Řešení. 5. příklad: Spočtěte determinant matice Řešení. 3 4 1 7 -2 0 1 1 1 3 -2 1 2 -1 3 1 0 5 R 0, hyperbola pro S < 0 a parabola pro S = 0 A=0 nevlastní kuželosečky (degenerované), přímky |<<| Rl |>>| ©Lenka Přibylová, 2010 |x Poznámka 1. Aby šlo o reálnou elipsu, nikoliv imaginární, musí být navíc (au + a22)A < 0. 1. příklad: Klasifikujte kuželosečku 2x2 - 2xy + 3y2 - x + y - 1=0. Řešení. 2. příklad: Klasifikujte kuželosečku x2 - 4xy - 5y2 + 2x + 4y + 3 = 0. Řešení. 3. příklad: Ukažte, že y2 - 2i?x + (1 + k)x2 =0 je hyperbola, elipsa nebo parabola, určete, pro které hodnoty parametru k. Řešení. 2 a druhé rovnice sin 991 a odečtením dostaneme A1 sin ^2 A2 sin V\ cos t sin ^2 cos ^1 — cos t sin y>i cos ^2 = cos t sin(^2 — ^1) Umocněním obou rovnic a sečtením dostaneme (t )2 + (ě )2 - 2f A cos „ = sin2 99, kde 92 = ^2 — ^1. To je rovnice kuželosečky s invariantami A: 1 cos y A2 Ä1Ä2 cos y 1 Ä1Ä2 ä2 0 0 0 0 - sin2

>| (©Lenka Přibylová, 2010 |x ( a A i cos y Ä? Ä1Ä2 cos y 1 Ä1Ä2 0 0 0 0 - sin2 9 1 cos y Ä2 - A1A2 cos y 1 Podle Laplaceova rozvoje tedy A ■ sin2 92 • J. 4. příklad: Spočtěte invarianty A a J a klasifikujte kuželosečku (3) v závislosti na rozdílu počáteční fáze 99. Řešení. Animace eliptické polarizace. Vstup do kartotéky optických přístrojů - polarizátory. |<<| Rl (S |>>| ©©Lenka Přibylová, 2010 |x J — — — Řešení soustavy lineárních rovnic Pro čtvercovou regulární matici A nalezneme jediné řešení soustavy Ax = b pomocí nalezení determinantů D = det A = 0 a determinantu Di, který vznikne z det A výměnou i-tého sloupce za sloupec b. Pak podle Cramerova pravidla pro i-tou složku xi řešení soustavy Ax = b platí: xi 1. příklad: Najděte řešení soustavy rovnic 3x1 + 4x2 + 2x3 2xi + x2 - x3 xi - x2 + x3 Řešení. <>| -i, 0, 3. (©Lenka Přibylová, 2010 |x Optimalizace Optimalizace se využívá ve všech odvětvích lidské činnosti, maximalizujeme zisky, minimalizujeme náklady, hledáme nejvýhodnější trasy atd. Ve fyzice se optimalizace používá jako nástroj k řešení praktických úloh, k vysvětlení principů i jako metoda pro popis naměřených dat (metoda nejmenších čtverců). Nejjednodušší optimalizační úlohy vedou na soustavy rovnic, protože extrém účelové funkce hledáme mezi jejími stacionárními body, tedy např. pro účelovou funkci dvou proměnných f (x, y) řešíme soustavu 0, 0. Pokud je soustava rovnic lineární, můžeme použít Cramerova pravidla. ©Lenka Přibylová, 20101x1 g gg Z matice druhých derivací ve stacionárním bodě, tzv. Hessovy matice H, je pak možné určit, zda je v daném stacionárním bodě extrém. V případě lokálního minima je matice pozitivně definitní, v případě maxima negativně definitní. Definice definitnosti a odvození teorie optimalizace v obecném n-rozměrném prostoru (tedy pro funkce libovolného počtu proměnných) je ale nad rámec učiva. Řekněme si pouze, že se zde vyskytuje mnoho determinantů. Ten hlavní, determinant Hessovy matice se nazývá hessián a pro funkci dvou proměnných je postačující podmínkou pro extrém jeho kladnost. Jednoduše tedy rozhodujeme dle znamének takto: |H (xo,yo)| > 0, pak je ve stacionárním fXXx(xo ,ž/o) Íxy (X0,V0) fý'x(x0,y0 ) fyy (xo,yo) bodě [xo,//o] extrém, a to minimum pokud /X'x(x0;ž/o) > 0 a maximum pokud /X'x(xo,ž/o) < 0 |H(xo,yo)| < 0, extrém nenastává. |<<| Rl (c)Lenka Přibylová, 2010 |x 1. příklad: Najděte minimum funkce /(x,y) = xX + xy + y2 - 2x + 1. Řešení. 2. příklad: Najděte extrémy funkce /(x,y) = ex y Řešení. R min i=1 Uvědomme si, že známe xi a yi, to, co neznáme jsou parametry přímky: a a b. Minimalizovat tedy budeme vzhledem k těmto proměnným. Hledáme tedy stacionární body funkce dvou proměnných, nalezneme derivace podle obou proměnných a položíme je rovny nule: (£)(axi + b — y.)2)! = Y,2(axi + b — yi)x. = 0 i=1 i=1 n n (£)(axi + b — yi)2)b = Y,2(axi + b — yi) = 0 |<<| Rl ©Lenka Přibylová, 2010 |x Roznásobením a sloučením vhodných sčítanců dostaneme soustavu: i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 Tato soustava má vždy jediné řešení, protože 53 x 53 X D = det i=1 i=1 xi n i=1 i=1 ^x2 - (]TXi)2 > 0. Jde o tzv. Jensenovu nerovnost, ostrá nerovnost je dána tím, že měříme alespoň ve dvou různých hodnotách x, z jednoho měření nebo měření v jednom x žádný závěr o závislosti y na x samozřejmě nedostaneme. <>| (©Lenka Přibylová, 2010 |x a =n Podle Cramerova pravidla je řešením soustavy det i=i i=i yi n i=i det b ■ Ex.2 Exi Vi i=i n i=i n xi i=i Vi i=i D D a je skutečně minimem, protože hessián 4D > 0 a navíc nn ^(oxi + b - ViÝYL = 2Ex2 > 0. 1. příklad: Najděte přímku aproximující body [0, 5], [1, 3], [3, 3], [5, 2], [6,1]. Řešení. |<<| Rl |y |>>| ©Lenka Přibylová, 2010 |x Často aproximujeme data například parabolou y = ax2 + b, u růstu živých organismů je časté použití exponenciální funkce y = eax+b (zlogaritmováním dat yž dostáváme aproximaci přímkou) apod. Výše uvedený princip je možné použít vždy, když hledané parametry mají mezi sebou pouze lineární vztahy. Mluví se proto také o metodě lineární regrese nebo hledání regresní přímky. Ze statistického hledika jde o tzv. bodové odhady. S pomocí statistických metod je také možné odhadovat intervaly, tedy nikoliv křivku, ale jakýsi pás, ve kterém měřené veličiny leží s vysokou (např. 95 %) pravděpodobností. Tyto poznatky ale zasahují daleko přes rámec základního kurzu matematiky do statistiky. Je však dobré o nich vědět a případně použít vzorce, které lze nalézt např. na Wolfram MathWorld www.weibull.com