Průběh vlnání
Lenka Přibylová 24. březím aOGG
BEI   Q   Q   fSS ©Lenka Přibylová, 2009 Q
Obsah
ip(x, t)
(x - 2t)2 + 1
BEI   Q   Q   fSS ©Lenka Přibylová, 2009 Q
1
3
_
Ukažte průběh vlnění, které je dáno funkcí tp(x, t) = -,-—-~—-
pro t = 1,1,...
©Lenka Přibylová, 2009 Q
si is
1
Ukažte průběh vlnění, které je dáno funkcí tp(x, t) = -,-—-~—-
pro t = 1,1,...
D(f ) = R; H(f )= R+;
| Definiční oborjr celá mnonóna IR. Obor hodnot jsou kladná reálná čísla. |
©Lenka Přibylová, 2009 Q
si is
Ukažte průběh vlnění, které je dáno funkcí ip(x, t) = -,-—-
pro t = 1,1,...
D( f) = R; H( f) = R+; ani sudá ani lichá, není periodická
f (-x) = ±f (x)
EB1   Q   Q   fSS ©Lenka Přibylová, 2009 Q
1 ^
Ukažte průběh vlnění, které je dáno funkcí tp(x, t) = -,-—-~—-
pro t = 1,1,...
D(/) = M; H( f) = R+; ani sudá ani lichá, není periodická a nemá průsečík s osou x.
y = 0 na celím definiCním oboru.
©Lenka Přibylová, 2009 Q
si is
1 ^
Ukažte průběh vlnění, které je dáno funkcí tp(x, t) = -,-—-~—-
pro t = 1,1,...
D (/) = R; H( f) = R+; ani sudá ani lichá, není periodická a nnmá průsečík s osou x.
Funáce je áladná, nemá žádné body nnspejitosti.
EBl   Q   □   E3 ©Lenka Přibylová, 2009 Q
Ukažte průběh vlnění, které je dáno funkcí tp(x, t) = -,-—-~—-
pro t = 1,1,...
D (f) = R; H( f) = R+; ani sudá ani lichá, není ppriodická a remá průsečík s osou x.
lim---
*™ (x - 2ř)2 + 1
1
Pro všechna ř je linuta typu — = 0.
oo
EBl   Q   □   E3 ©Lenka Přibylová, 2009 Q
0
_
Ukažte průběh vlnění, které je dáno funkcí ip(x, t) = -,-—-
pro t = 1,1,...
D (/) = R; H( f) = R+; ani sudá ani lichá, není periodická a nemá průsečík s osou x.
lim -.-— = o
x—~ (x - 2t)2 + 1
lim -.--L—- = 0
x—-co (x - 2t)2 + 1
Stejní to platí pre x — —oo.
EBl   Q   □   (33 ©Lenka Přibylová, 2009 Q
Ukažte průběh vlnění, které je dáno funkcí ip(x, t) = -,-—-
pro t = 1,1,...
D (/) = R; H( f) = R+; ani sudá ani lichá, není periodická a nemá průsečík s osou x.
lim -.-— = o
(x - 2t)2 + 1
lim -.--L—- = 0
x^-co (x - 2t)2 + 1
Asymptota se směrnicíje pro x — ±oo stejná: osa x: y = 0.
EBl   Q   □   E3 ©Lenka Přibylová, 2009 Q
1 ^
Ukažte průběh vlnění, které je dáno funkcí tp(x, t) = -,-—-~—-
pro t = 1,1,...
D (/) = R; H( f) = R+; ani sudá ani lichá, není periodická a nnmá průsečík s osou x.
tp(+oo) = 0,tp(-oo) = 0; +
EB1   Q   Q   fSS ©Lenka Přibylová, 2009 Q
Ukažte průběh vlnění, které je dáno funkcí ip(x, t) = -,-—-
pro t = 1,1,...
D (/) = R; H( f) = R+; ani sudá ani lichá, není periodická a nemá průsečík s osou x.
tp(+oo) = 0,tp(-oo) = 0; +
^ = Ux-2ŕ)2 + l)
[ Vyšetríme chochní derivace.
EBl   Q   □   E3 ©Lenka Přibylová, 2009 Q
1
Ukažte průběh vlnění, které je dáno funkcí tp(x, t) = -,-—-~—-
pro t = 1,1,...
D (/) = R; H( f) = R+; ani sudá ani lichá, není periodická a nnmá průsečík s osou x.
tp(+oo) = 0,tp(-oo) = 0; +
1 \ '
^ = Ux-2ŕ)2 + l)
-2(x - 2t)
(x - 2t)2 + 1)      ((x - 2t)2 + 1)2
Derivujeme jaád složenoo furfcái ((x - 2t)2 + 1) 1.
EBl   Q   □   E3 ©Lenka Přibylová, 2009 Q
1
Ukažte průběh vlnění, které je dáno funkcí tp(x, t) = -,-—-~—-
pro t = 1,1,...
D (f) = R; H( f) = R+; ani sudá ani lichá, není periodická a nnmá průsečík s osou x.
tp(+oo) = 0,tp(-oo) = 0; +
1 \ '
^ = Ux-2ŕ)2 + l)
-2(x-2t) _Q
(x - 2t)2 + 1)      ((x - 2t)2 + 1)2
Hledáme stacidnární bosty, peoio peioďíme derivati acvnu nule.
EBl   Q   □   E3 ©Lenka Přibylová, 2009 Q
1
Ukažte průběh vlnění, které je dáno funkcí tp(x, t) = -,-—-~—-
(x- 1t)1+1
pro t = 1,2,...
D (f) = R; H( f) = R+; ani sudá ani lichá, není r^pei^^ic^^ a mmá průseček si c^sou x.
iK+oo) = 0,tř(-oo) = 0; +
1 \ '
^ = \ (x-2t)2 + l)
1        y_    -2(x-2t) _Q
(x - 2t)2 + 1)      ((x - 2t)2 + 1)2 x = 2t   (t = 1,2,...)
Stacionarní boo z^v^iií lineárně na n S rostoucím t se zvyšujeeeho hodnota.
EBl   Q   □   E3 ©Lenka Přibylová, 2009 0
1
Ukažte průběh vlnění, které je dáno funkcí tp(x, t) = -,-—.,
pro t = 1,1,..
D (f) = R; H( f) = R+; ani sudá ani lichá, není periodická a nemá průsečík s osou x.
tp(+oo) = 0,tp(-oo) = 0; +
W     ((x-2ř)2 + l)2'
2t
Na reálnou osu zaneseme stacionární bod. Nemáme žádné body nespojitosti.
EBl   Q   □   E3 ©Lenka Přibylová, 2009 Q
1
Ukažte průběh vlnění, které je dáno funkcí tp(x, t) = -,-—.,
pro t = 1,1,..
D (f) = R; H( f) = R+; ani sudá ani lichá, není periodická a mmá průsečík s osou x.
tp(+oo) = 0,tp(-oo) = 0; +
W     ((x-2ř)2 + l)2' -
2t
Dosazením nějakého bodu z intervalu ( — oo, 2ř) a (2t, oo) nalezneme znaménko derivace:
ů'(2t + l)=   ~2'\7 <0 v v        ;     (12 + 1)2
©Lenka Přibylová, 2009 Q
3 133
1
Ukažte průběh vlnění, které je dáno funkcí tp(x, t) = -,-—.,
pro t = 1,1,..
D (f) = R; H( f) = R+; ani sudá ani lichá, není periodická a nemá průsečík s osou x.
tp(+oo) = 0,tp(-oo) = 0; +
r= -2(*-*> •      y max n
W     ((x-2ř)2 + l)2' -
2t
Ve stacidnárním bodď x = 2t nastává ldáální maaimum.
©Lenka Přibylová, 2009 Q
m 132
1
Ukažte průběh vlnění, které je dáno funkcí tp(x, t) = -,-—.,
pro t = 1,1,..
D (f) = R; H( f) = R+; ani sudá ani lichá, není periodická a nemá průsečík s osou x.
tp(+oo) = 0,tp(-oo) = 0; +
W     ((x-2ř)2 + l)2' -J-
„ _ 8(x-2ŕ)2-2((x-2ŕ)2 + l) _t  _ ((x-2tV + l)3_
SpnCtemc ídrůhd ůdrivaci, ddrivajemeraká pedíi: ip" =
-2((x - 2t)2 + l)2 + 2(x - 2t) ■ 2((x - 2t)2 + 1) ■ 2(x - 2t) ((x-2r)2 + l)4
upraaíme.
©Lenka Přibylová, 2009 Q
a
m 132
1
Ukažte průběh vlnění, které je dáno funkcí tp(x, t) = -,-—-~—-
pro t = 1,1,...
D (f) = R; H( f )= M+; ani sudá ani lichá, není periodická a nnmá průsečík s osou x.
tp(+oo) = 0,tp(-oo) = 0; +
W     ((x-2ř)2 + l)2' -h
tp"
2t
8(x-2ŕ)2-2((x-2ŕ)2 + l) ((x-2r)2 + l)3
Polož^m^ c^rdiiův^ (^e^e^^ci nuku
©Lenka Přibylová, 2009 Q
0
_
_
m 132
1
Ukažte průběh vlnění, které je dáno funkcí tp(x, t) = -,-—-~—-
pro t = 1,1,...
D (f) = R; H( f) = R+; ani sudá ani lichá, není periodická a nnmá průsečík s osou x.
tp(+oo) = 0,tp(-oo) = 0; +
W     ((x-2ř)2 + l)2' -1-
2t
„ 8(x - 2t)2 - 2((x - 2t)2 + 1) n W ((x-2r)2 + l)3
8(x - 2t)2 - 2((x - 2t)2 + 1) = 0
Zlomek je roven nule, jestliže je jeho oitatel roven nule.
©Lenka Přibylová, 2009 Q
m 133
1
Ukažte průběh vlnění, které je dáno funkcí tp(x, t) = -,-—-~—-
pro t = 1,1,...
D( f) = TR- H( f) = TR + - ani suda ani 1icha není r^r^hw. q nne1Q
Vypočteme sc:
8(x-2ŕ)2-2((x-2ŕ)2 + l) = 0
AX
6(x-2ŕ)2-2 = 0 {X-2t)2=l
x = 2t±\l^
©Lenka Přibylová, 2009 Q
m 132
Ukažte peůůěh klněnl, které já íáno fdancí \p(x, t) prd t = 1,2,...
(x - 2t)2 + 1
D (f) = R; H( f) = R+; ani sudá ani lichá, není periodická a mená průsečík s ossu x.
0;
4>(+oo) = 0, Tp(-oo) =
W     ((x-2í)2 + l)2'
„ _ 8(x-2ŕ)2-2((x-2ŕ)2 + l) ^ ~ ((x-2ŕ)2 + l)3 '
+
MAX
2t
2t-, I
2t.+ , I
Nakreslíme reMnou ossi s krittckámi bodd. Nemáme žkdm bddy nespdjitdsti, prdtd se druhá derivace může měnie pnuze n inflexnírh bddech.
©Lenka Přibylová, 2009 Q
1
_
1
Ukažte průběh vlnění, které je dáno funkcí ip(x, t) = -,-—-~—-
ry    '     (x - 1t)1 + 1
pro t = 1,1,. . .
D (f) = R; H( f) = R+; ani sudá ani lichá, není ppriodická a nemá průsečík s osou x.
iK+oo) = 0,tř(-oo) = 0; +
W     ((x-2ř)2 + l)2' -1-
1t
„ _ 8(x-2Q2-2((x-2f)2 + l)
^ ~ ((x-2ř)2 + l)3 '
_u_!_n_!_u_
Konvexitu zjistíme ddsoazeím do t//':
^(2ř_i) = I >0,   f(2l) = -2 < 0,   tp"(2t + l) = l>0
EB1   Q   Q ©Lenka Přibylová, 2009 Q
1
Ukažte průběh vlnění, které je dáno funkcí tp(x, t) = -,-—-~—-
ry    '     (x - 2t)2 + 1
pro t = 1,2,...
D (f) = R; H( f )= R+; ani suda ani licha, není ppriodická a mmá pruseček s ossu x.
iK+oo) = 0,tř(-oo) = 0; +
W     ((x-2ř)2 + l)2' -1-
2t
„ _ 8(x-2f)2-2((x-2Q2 + l) ^ ~ ((x-2ř)2 + l)3 '
U in._Q_in. U
Body x = 2t ± \J~^ jsou inflexní.
EBl   Q   □   E3 ©Lenka Přibylová, 2009 0
+
f (+°°)= 0
-1-
2t
f (-°°) = 0
U  in. D  in. U
2ŕ—y/| 2t+y|"
f(2t) = 1
[ Shrneme ddsaženn býpeďty~
©Lenka Přibylová, 2009 Q
+
f (+00) = 0
-1-
2t
f (-0) = 0
U  in. D  in. U
f (2t) = 1
y
BBl   Q   □ Ba
©Lenka Přibylová, 2009 Q
+
f (+00) = 0
^MAXg
-1-
2t
f (—0) =
U  in. n in. U
2ŕ—y/| 2t+y|"
f (2t) = 1
i
Naáreslíme znnaky v blůkosti ^^^^le^^^^n^^hů. dunkce rdste v dádlí —00 a álesa v dádlí +00. Je áladna.
EEl   Q   □ Ba
©Lenka Přibylová, 2009 Q
0
y
0
x
+
f (+°°)= 0
-1-
2t
f (-00) =
U  in. D  in. U
f(2t) = 1
2t
Naáresríme lr dální maximum.
©Lenka Přibylová, 2009 Q
0
y
0
x
+
f (+°°)= 0
-1-
2t
f (~°°) =
U  in. D  in. U
2ŕ—y/| 2t+y|"
f (2t) = 1
Nakreslíme infiexní body. Funkce v bodě 2t-^J\ roste a v bodě 2t+^J\ áleoa.
©Lenka Přibylová, 2009 Q
0
y
+
f (+°°)= 0
—i-
2t
f (-°°) = o
U  in. D  in. U
2í—2t+yľ
f (2t) = 1
y
EEi  Q  □ Ba
©Lenka Přibylová, 2009 Q
Vlna se říří ř čase kájíedujícím zpciobem: