Slovník matematiky ve fyzikální optice
Lenka Přibylová
13. prosince 2010
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2010 ×
Cramerovo pravidlo
Pro čtvercovou regulární matici A nalezneme jediné řešení soustavy Ax = b pomocí nalezení determinantů
D = det A = 0 a determinantu Di, který vznikne z det A výměnou i-tého sloupce za sloupec b.
Pak podle Cramerova pravidla pro i-tou složku xi řešení soustavy Ax = b platí:
xi =
Di
D
.
Derivace
Derivace funkce f v bodě x0 je definována jako limita
f′
(x0) = lim
h→0
f(x0 + h) − f(x0)
h
.
Představuje v daném bodě poměr mezi okamžitým přírůstkem na ose y (∂y)a okamžitým přírůstkem na ose x (v zápisu
limity h = ∂x), proto se často zapisuje jako ∂y
∂x (x0).
Determinant
Determinant je číslo přiřazené matici tak, že se sečtou všechny součiny všech prvků v různých řádcích a sloupcích
vynásobené +1 nebo −1 podle tzv. parity permutace. Zapomeňte na to... Je to číslo, stačí. Aby se dalo zapsat to, že
přísluší matici, vypadá skoro stejně, má jen místo závorek rovné čáry.
det A =
1 2 0
1 3 5
2 1 1
Dost to připomíná absolutní hodnotu a mezi námi - ne náhodou, i když determinant může být i záporný. Problémy jsou
ale vždy tam, kde je nulový...
Druhá derivace
Druhá derivace je definována jako derivace derivace
∂2
f
∂x2 =
∂
∂f
∂x
∂x = f′′
xx.
U funkcí jedné proměnné není nutné zapisovat podle které proměnné derivujeme, u funkcí více proměnných zapisujeme
buď pomocí podílu (parciálních diferenciálů) nebo značíme derivaci funkce čárkou s dolním indexem příslušné proměnné.
Fourierova transformace
Fourierovou transformací funkce s(x) rozumíme funkci
S(ξ) =
∞
−∞
s(x)e−iξx
dx.
Platí navíc
s(x) =
1
2π
∞
−∞
S(ξ)eiξx
dξ.
Pro více proměnných se definuje analogicky jako vícerozměrný integrál. Fourierova transformace má mnoho
”dobrých”vlastností, v prvé řadě je to linearita. Používá se mimo jiné pro algoritmy zpracování obrazu (jpg formát
apod.).
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2010 ×
Hessián
Hessián je determinant Hessovy matice druhých derivací, tj. pro funkci dvou proměnných f(x, y) je to determinant
f′′
xx f′′
xy
f′′
yx f′′
yy
= f′′
xxf′′
yy − 2f′′
xy.
Jeho kladnost zaručuje extrém. Pro více proměnných je definován analogicky.
Kolmý průmět
Průmětem vektoru b na vektor a rozumíme vektor c,
a
b
ϕ
c
pro který platí c =
|c|
|a|
a, přitom |c| = |b| cos ϕ. Odtud
c =
|b| cos ϕ
|a|
a =
|a||b| cos ϕ
|a|2
a,
tj.
c =
a · b
a · a
a.
Koule
Je dána rovnicí
(x − x0)2
+ (y − y0)2
+ (z − z0) = R2
,
kde S = [x0, y0, z0] je její střed a R je poloměr.
Kružnice
Je dána rovnicí
(x − x0)2
+ (y − y0)2
= R2
,
kde S = [x0, y0] je její střed a R je poloměr.
Křivost
Křivost k popisuje zakřivení oblouku křivky v daném bodě P a pro křivku y = f(x) je dána výrazem
k =
y′′
(1 + (y′)2)
3
2
a je v absolutní hodnotě nepřímo úměrná poloměru křivosti r = 1
|k| , což je poloměr tzv. oskulační kružnice:
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2010 ×
r
y = f(x)
P
Pro kružnici o poloměru R je tedy k = 1
R , pro přímku je k = 1
∞ = 0.
Kuželosečka
Křivka, která vzniká průnikem kužele a roviny. Základními nedegenerovanými kuželosečkami jsou elipsa (i kružnice),
parabola a hyperbola. Obecně jsou dány předpisem
P2(x, y) = 0,
kde P2 je polynom druhého stupně.
Kvadrika
Jsou symetrické povrchy v prostoru, obecně zadané předpisem
Q2(x, y, z) = 0,
kde Q2 je polynom druhého stupně. Uveďme některé z nich: elipsoid (i koule), eliptický hyperboloid, eliptický
paraboloid, hyperbolický paraboloid.
x
y
z
n
n’
Laplaceův rozvoj determinantu
Laplaceův rozvoj slouží k výpočtu determinantu vyššího řádu pomocí determinantu řádu nižšího. Nejčastěji se používá
v případě řádku nebo sloupce s mnoha nulovými prvky. Např. pro jediný nenulový prvek v řádku (sloupci) na hlavní
diagonále platí, že determinant je roven součinu tohoto prvku s jeho příslušným minorem, tj. zbylým determinantem po
vyškrtnutí tohoto prvku.
Lineární nezávislost vektorů
Vektory u a v jsou lineárně nezávislé, jestliže nemají stejný směr, tj. nejsou násobkem jeden druhého. Tato definice je
ekvivalentní podmínce
k1u + k2v = 0 ⇔ k1 = k2 = 0.
Obdobně pro n vektorů definujeme, že u1, u2, . . . , un jsou lineárně nezávislé, pokud platí
k1u1 + k2u2 + · · · + knun = 0
⇔ k1 = k2 = · · · = kn = 0.
V dvojrozměrném prostoru mohou být maximálně dva lineárně nezávislé vektory, v trojrozměrném maximálně tři.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2010 ×
Matice
Matice je tabulka čísel opatřená z obou stran závorkami, aby bylo vidět, kde začíná a kde končí.
A =


1 2 0
1 3 5
2 1 1


Maticový zápis soustavy rovnic
Je dán definicí násobení matic, kde
A B
C D
·
x
y
=
Ax + By
Cx + Dy
.
Zápis soustavy
2x − 3y = 5
x − 6y = −2
je tedy
2 −3
1 −6
·
x
y
=
5
−2
.
Maxwellovy rovnice
Jde o základní zákony elektromagnetického pole formulované v roce 1865 Jamesem Clerkem Maxwellem. V
diferenciálním tvaru je lze zapsat např. takto:
∇ · εE = ρ,
∇ · µH = 0,
∇ × E = −µ∂H
∂t ,
∇ × H = j + ε∂E
∂t ,
Násobení matic
Výsledkem násobení dvou matic je matice, jejíž prvky jsou skalárními součiny příslušných řádků první matice a sloupců
druhé matice, tj. např.
1 −2
4 5
·
2 1
−1 4
=
1 · 2 + (−2) · (−1) 1 · 1 + (−2) · 4
4 · 2 + 5 · (−1) 4 · 1 + 5 · 4
=
4 −7
3 24
.
Počet řešení soustavy rovnic
Počet řešení soustavy rovnic určuje Frobeniova věta. Jediné řešení má soustava jen když počet neznámých i nezávislých
rovnic je stejný. Čtvercová matice soustavy tedy musí mít plnou hodnost, jinak řečeno musí být regulární. To je právě
tehdy, když má nenulový determinant.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2010 ×
Pole
Pole je zobrazení, které každému bodu prostoru přiřadí dané hodnoty. Skalární pole je pole, které každému bodu v
prostoru přiřazuje jedno číslo, vektorové pole přiřazuje vektor.
Rovina
Libovolnou rovinu ρ v prostoru lze vyjádřit rovnicí
ax + by + cz + d = 0,
kde a, b, c, d jsou konstanty, přičemž a, b, c nejsou současně rovny nule. Vektor n = (a, b, c) je kolmý k rovině ρ a nazývá
se normálový vektor roviny. Naopak každá rovnice tvaru ax + by + cz + d = 0, kde a2
+ b2
+ c2
> 0, představuje rovinu ρ
kolmou k normálovému vektoru n = (a, b, c).
Skalární součin
Skalárním součinem vektorů a = (a1, a2, . . . , an), b = (b1, b2, . . . , bn) rozumíme číslo
a · b = a1 · b1 + a2 · b2 + · · · + an · bn =
n
i=1
aibi.
Skalární součin je možné vyjádřit také jako číslo a · b = |a| · |b| · cos ϕ, kde ϕ je úhel, který svírají vektory a a b. Naopak
tedy pro nenulové vektory platí, že svírají úhel ϕ, pro který platí
cos ϕ =
a · b
|a| · |b|
,
ϕ = arccos
a · b
|a| · |b|
.
Platí a · a = |a|2
.
Stacionární bod funkce
Stacionárním bodem funkce jedné proměnné rozumíme bod x0, ve kterém má funkce horizontální tečnu, tj.
f′
(x0) = 0.
Pro diferencovatelnou funkci více proměnných se definuje analogicky jako bod, ve kterém jsou všechny parciální derivace
rovny nule (je zde horizontální tečná rovina).
Střední hodnota
Střední hodnotou spojité funkce y = f(x) na intervalu a, b se rozumí
f(x) =
1
b − a
b
a
f(x) dx.
Představuje průměrnou hodnotu funkce na daném intervalu.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2010 ×
Určitý integrál
Určitý integrál nezáporné funkce
b
a
f(x) dx
představuje obsah plochy pod křivkou y = f(x) na intervalu a, b .
Vektorový součin
Vektorový součin vektorů u = (u1, u2, u3) a v = (v1, v2, v3) můžeme symbolicky psát takto:
u × v =
i j k
u1 u2 u3
v1 v2 v3
.
Platí
|u × v| = |u| · |v| · sin ϕ,
kde ϕ je úhel, který svírají vektory u a v, tj. vektorový součin má velikost rovnu obsahu rovnoběžníku určeného těmito
vektory a směr je k nim kolmý.
Velikost vektoru
Velikostí vektoru a = (a1, a2, . . . , an) je číslo definované takto:
|a| = a2
1 + a2
2 + · · · + a2
n =
n
i=1
a2
i .
Jednotkovým vektorem nebo vektorem jednotkové délky rozumíme vektor a o velikosti
|a| = 1.
Vlnová rovnice
Matematický popis fyzikální veličiny, která se šíří prostorem jako vlnění je dán vlnovou rovnicí
∂2
ψ
∂x2 =
1
v2
∂2
ψ
∂t2
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2010 ×