Tay lor ův polynom
Lenka Přibylová 28. července 2006
Obsah
Najděte T2n(x) pro funkci f (x) = e~x+3 v bodě xq = 3 .  . .     3
2
Najděte T±(x) pro funkci f {x) = e~x   v bodě xq = 0   . .  . .     9
Najděte Tayl. polynom st. 2n pro f(x) = e  s+3 v bodě xq = 3. I
©Lenka Přibylová,  2006 I
Najděte Tayl. polynom st. 2n pro /(#) = e  x+3 v bodě xq = 3. I f(x) =       e-*+3                  /(3) = 1
Vypočteme funkční hodnotu funkce f(x) v bodě xq: /(3) = e-3+3=e0 = l.
©Lenka Přibylová,  2006 I
Najděte Tayl. polynom st. 2n pro /(#) = e  x+3 v bodě xq = 3.
f(x) =       e-*+3                  /(3) = 1
/'(*) =      e-^-C-l)         /'(3) = -l
Spočítáme první derivaci. Funkční hodnota se liší pouze znaménkem.
EEI     El     13     133
©Lenka Přibylová,  2006 RJ
Najděte Tayl. polynom st. 2n pro /(#) = e  x+3 v bodě xq = 3. I
/(*) =	e-x+3	/(3) = 1
f(x) =	e-x+3-(-l)	/'(3) = -l
f"(x) =	-e-x+3-(-l)	/"(3) = 1
Spočítáme druhou derivaci. Funkční hodnota se od první liší zase pouze znaménkem.
©Lenka Přibylová,  2006 I
Najděte Tayl. polynom st. 2n pro /(#) = e  x+3 v bodě xq = 3. I
/(*) =	e-x+3	/(3) = 1
/'(*) =	e-x+3-(-l)	/'(3) = -l
/"(*) =	-e-x+3-(-l)	/"(3) = 1
/'"(x) =      e-^ • (-1)         /'"(3) = -1
Další derivace se budou chovat podobně. Derivace lichého řádu budou mít v bodě xq = 3 hodnotu —1 a sudé +1.
©Lenka Přibylová,  2006 I
Najděte Tayl. polynom st. 2n pro /(#) = e  x+3 v bodě xq = 3. I
f(x) =       e-*+3                  /(3) = 1
/'(*)=     e-^-C-l)         /'(3) = -l
/"(*) =    -e-+3.(-l)        /"(3) = 1
/'"(z) =     e-*+3 • (-1)         /'"(3) = -1
Taylorův polynom sudého stupně je tvaru:
T2n = 1 + ^(x - 3) + i(x - 3)2 + ^l(x - 3)3 + ...
(2n-l)!v         y             (2n)!
©Lenka Přibylová,  2006 I
Najděte Tayl. polynom st. 4 pro /(#) = e  x   v počátku.
]
©Lenka Přibylová,  2006 I
Najděte Tayl. polynom st. 4 pro /(#) = e  x   v počátku.
]
/(*) =                     e~x                              /(O) = 1
Vypočteme funkční hodnotu funkce f(x) v bodě xo:	"N
/(O) = e° = 1.	
^	-
EH       El       B       133                                                                                                                                  ©Lenka Přibylov	á,  2006 K
Najděte Tayl. polynom st. 4 pro /(#) = e  x   v počátku.
]
/(*) =                     e~x                              /(O) = 1
/'(*) =                 e-x\-2x)                 /'(0)=0
Spočítáme první derivaci a její funkční hodnotu.
©Lenka Přibylová,  2006 I
Najděte Tayl. polynom st. 4 pro /(#) = e  x   v počátku.
]
/(*) =                     e~x                              /(O) = 1
/'(x)=                 e-x\-2x)                 /'(0)=0
/"(x)=          e-a;2(-2x)2 + e-a;2(-2)
Druhou derivaci počítáme jako součin.
©Lenka Přibylová,  2006 I
Najděte Tayl. polynom st. 4 pro /(#) = e  x   v počátku.
]
/(*) =                     e~x                              /(O) = 1
/'(*) =                 e-x\-2x)                 /'(0)=0
/"(*) =          e-a;2(-2x)2 + e-a;2(-2)
e-a;2(4x2-2)
Upravíme.
©Lenka Přibylová,  2006 I
Najděte Tayl. polynom st. 4 pro /(#) = e  x   v počátku.
]
/(*) =                     e~x                              /(O) = 1
/'(*) =                 e-x\-2x)                 /'(0)=0
/"(*) =          e-a;2(-2x)2 + e-a;2(-2)
e-a;2(4x2-2)                  /"(O) = -2
Dosadíme x = xq = 0.
©Lenka Přibylová,  2006 I
Najděte Tayl. polynom st. 4 pro /(#) = e  x   v počátku.
]
/(*) =                     e~x                              /(O) = 1
/'(*) =                 e-x\-2x)                 /'(0)=0
/"(*) =          e-a;2(-2x)2 + e-a;2(-2)
e-a;2(4x2-2)                  /"(O) = -2
/'"(x) =    e-a;2(-2x)(4x2 - 2) + e~x2(Sx)
Třetí derivaci počítáme také jako součin.
©Lenka Přibylová,  2006 I
Najděte Tayl. polynom st. 4 pro /(#) = e  x   v počátku.
]
/(*) =                     e~x                              /(O) = 1
/'(*) =                 e-x\-2x)                 /'(0)=0
/"(*) =          e-a;2(-2x)2 + e-a;2(-2)
e-a;2(4x2-2)                  /"(O) = -2
/'"(x) =    e-a;2(-2x)(4x2 - 2) + e~x2(Sx) e~x2 (-8x3 + Í2x)
Upravíme.
©Lenka Přibylová,  2006 I
Najděte Tayl. polynom st. 4 pro /(#) = e  x   v počátku.
]
/(*) =                     e~x                              /(O) = 1
/'(*) =                 e-x\-2x)                 /'(0)=0
/"(*) =          e-a;2(-2x)2 + e-a;2(-2)
e-a;2(4x2-2)                  /"(O) = -2 /'"(x) =    e-a;2(-2x)(4x2 - 2) + e~x2(Sx)
e-x2 (-8x3 + 12x)               f'"(0)=0
Dosadíme x = xq = 0.
©Lenka Přibylová,  2006 I
Najděte Tayl. polynom st. 4 pro /(#) = e  x   v počátku.
]
/(*) =                     e~x                              /(O) = 1
/'(*) =                 e-x\-2x)                 /'(0)=0
/"(*) =          e-a;2(-2x)2 + e-a;2(-2)
e-a;2(4x2-2)                  /"(O) = -2
/'"(x) =    e-a;2(-2x)(4x2 - 2) + e~x2(Sx)
e-x2 (-8x3 + 12x)               f'"(0)=0
/(4)(x) =        e-a;2(-2x)(-8x3 + 12x)+
+e-a;2(-24x2 + 12)
Čtvrtou derivaci počítáme také jako součin.
©Lenka Přibylová,  2006 I
Najděte Tayl. polynom st. 4 pro /(#) = e  x   v počátku.
]
/(*) =                     e~x                              /(O) = 1
/'(*) =                 e-x\-2x)                 /'(0)=0
/"(x)=          e-a;2(-2x)2 + e-a;2(-2)
e-a;2(4x2-2)                  /"(O) = -2
/'"(x) =    e-a;2(-2x)(4x2 - 2) + e~x2(Sx)
e-x2 (-8x3 + 12x)               f'"(0)=0
/(4)(x) =        e-a;2(-2x)(-8x3 + 12x)+
+e-a;2(-24x2 + 12) e-a;2(16x4-48x2 + 12)
Upravíme.
©Lenka Přibylová,  2006 I
Najděte Tayl. polynom st. 4 pro /(#) = e  x   v počátku.
]
/(*) =                     e~x                              /(O) = 1
f(x)=                 e-x\-2x)                 /'(0)=0
r(x)=          e-a;2(-2x)2 + e-a;2(-2)
e-a;2(4x2-2)                  /"(O) = -2
/'"(x) =    e-a;2(-2x)(4x2 - 2) + e~x2(Sx)
e-x2 (-8x3 + 12x)               f'"(0)=0
/(4)(x) =        e-a;2(-2x)(-8x3 + 12x)+
+e-a;2(-24x2 + 12) e-a;2(16x4-48x2 + 12)          /<4>(0) = 12
Dosadíme x = xq = 0.
©Lenka Přibylová,  2006 I
Najděte Tayl. polynom st. 4 pro /(#) = e  x   v počátku. Víme tedy, že
/(O) = 1, /'(O) = 0, /"(O) = -2, /'"(O) = 0, /(4)(0) = 12.
EEI     El     13     133
©Lenka Přibylová,  2006 RJ
Najděte Tayl. polynom st. 4 pro /(#) = e  x   v počátku.
]
Víme tedy, že
/(O) = 1, /'(O) = 0, /"(O) = -2, /'"(O) = 0, /(4)(0) = 12. Taylorův polynom 4.stupně v počátku je tedy tvaru:
T4 = l + ^(x-0) + ^(x-0)2 + |(x-0)3 + |(x-0)4
1
x~ -+- —X*
T4 = l     ~2  '     ~4
©Lenka Přibylová,  2006 I