Přednáška VII. Úvod do testování hypotéz Principy a pojmy testování hypotéz, chyba I. a II. druhu P-hodnota a její interpretace Síla testu a souvislost s velikostí vzorku Statistická versus klinická/biologická významnost 1. Motivace Tomáš Pavlík Biostatistika Odhady a testy Zatím jsme se bavili hlavně o odhadech – pomocí odhadů popisujeme charakteristiky cílové populace. Chceme jít v rozhodování dál: 1. Chceme srovnávat. 1 náhodný výběr s předpokládanou hodnotou 2 náhodné výběry mezi sebou Více náhodných výběrů mezi sebou 2. Chceme hodnotit změnu náhodné veličiny vzhledem k nějaké intervenci. 3. Chceme rozhodovat o nezávislosti dvou náhodných veličin. 4. Chceme rozhodovat o charakteru rozdělení náhodné veličiny. 2. Principy a pojmy testování hypotéz Tomáš Pavlík Biostatistika Hypotézy Nulová hypotéza („null hypothesis“) – tvrzení o neznámých vlastnostech rozdělení pravděpodobnosti sledované náhodné veličiny (na cílové populaci). Může být tvrzením o parametrech rozdělení nebo tvaru rozdělení pravděpodobnosti. Nulová hypotéza má tvar: Alternativní hypotéza – tvrzení o neznámých vlastnostech rozdělení pravděpodobnosti sledované náhodné veličiny, které popírá platnost nulové hypotézy. Vymezuje, jaká situace nastává, když nulová hypotéza neplatí. Alternativní hypotéza má tvar: 00 : θθ =H 01 01 01 : : : θθ θθ θθ > < ≠ H H H Tomáš Pavlík Biostatistika Testování hypotéz Testování hypotéz se zabývá rozhodováním o platnosti stanovených hypotéz na základě pozorovaných dat. Platnost hypotéz ověřujeme pomocí statistického testu – rozhodovacího pravidla, které každému náhodnému výběru přiřadí právě jedno ze dvou možných rozhodnutí – H0 nezamítáme nebo H0 zamítáme. Základy moderního testování hypotéz položili J. Neyman a E. S. Pearson. Tomáš Pavlík Biostatistika Příklady – řešené problémy 1. Urychluje použití antibiotika ve srovnání s použitím běžné dezinfekce hojení rány? 2. Je průměrný objem prostaty mužů nad 70 let stejný jako průměrný objem prostaty celé mužské populace? 3. Je efekt snížení systolického tlaku novým antihypertenzivem stejný u hypertoniků, kteří kouří, jako u hypertoniků, kteří nekouří? 4. Liší se AML, ALL, CML a CLL v aktivitě vybraných genů? Tomáš Pavlík Biostatistika Příklady – hypotézy 1. Urychluje použití antibiotika ve srovnání s použitím běžné dezinfekce hojení rány? Střední doba hojení s antibiotiky: Střední doba hojení bez antibiotik: 2. Je průměrný objem prostaty mužů nad 70 let stejný jako průměrný objem prostaty celé mužské populace? Střední objem prostaty mužů nad 70 let : Populační hodnota (konstanta): 210 : θθ =H1θ 2θ 211 : θθ ≠H 010 : θθ =H1θ 0θ 011 : θθ >H Tomáš Pavlík Biostatistika Příklady – hypotézy 3. Je efekt snížení systolického tlaku novým antihypertenzivem stejný u hypertoniků, kteří kouří, jako u hypertoniků, kteří nekouří? Střední hodnota efektu u kuřáků: Střední hodnota efektu u nekuřáků: 4. Liší se AML, ALL, CML a CLL v aktivitě vybraných genů? Střední hodnota exprese genu g u AML, ALL, CML, CLL: 210 : θθ =H1θ 2θ 211 : θθ H Jednostranný test při α = 0,05 riziko α 5 % 95 % Padne-li testová statistika sem – zamítáme H0 Padne-li testová statistika sem – nezamítáme H0 Padne-li testová statistika sem – zamítáme H0 Padne-li testová statistika sem – nezamítáme H0 Padne-li testová statistika sem – zamítáme H0 Tomáš Pavlík Biostatistika Co znamená „padnutí testové statistiky“ Je-li hodnota testové statistiky větší než kvantil příslušný riziku α, pak mohly nastat dvě situace: 1. buď H0 platí a my jsme pozorovali málo pravděpodobný jev 2. H0 neplatí My pracujeme s rizikem α, tedy málo pravděpodobné jevy jsou součástí našeho rizika, proto v tomto případě volíme možnost 2 a zamítáme H0. Tomáš Pavlík Biostatistika Příklad – z-test pro jeden výběr Při populačním epidemiologickém průzkumu se zjistilo, že průměrný objem prostaty u mužů je 32,73 ml (SD = 18,12 ml). Na hladině významnosti testu α = 0,05 chceme ověřit, jestli se muži nad 70 let liší od celé populace. Máme náhodný výběr o velikosti n = 100 a výběrový průměr 36,60 ml. Chceme ověřit platnost proti Platí-li H0, pak (předpokládáme, že známe σ) Jak na to? 73,32:0 =µH 73,32:1 ≠µH )812,1,73,32(~ == nNX σµ Tomáš Pavlík Biostatistika Příklad – z-test pro jeden výběr Při populačním epidemiologickém průzkumu se zjistilo, že průměrný objem prostaty u mužů je 32,73 ml (SD = 18,12 ml). Na hladině významnosti testu α = 0,05 chceme ověřit, jestli se muži nad 70 let liší od celé populace. Máme náhodný výběr o velikosti n = 100 a výběrový průměr 36,60 ml. Chceme ověřit platnost proti Platí-li H0, pak (předpokládáme, že známe σ) Z CLV víme, že by mělo platit: Pokud tedy výběrový průměr patří do rozdělení neměla by jeho hodnota být vzhledem k tomuto rozdělení nijak extrémní. 73,32:0 =µH 73,32:1 ≠µH )1,0(~/ Nn Xn σ µ− )812,1,73,32( == nN σµ )812,1,73,32(~ == n NX σµ Tomáš Pavlík Biostatistika Příklad – z-test pro jeden výběr Chceme ověřit platnost proti Platí-li H0, pak (předpokládáme, že známe σ) Z CLV víme, že by mělo platit: Vypočteme hodnotu testové statistiky: Můžeme zamítnout nulovou hypotézu na hladině významnosti testu α = 0,05 nebo ne? 73,32:0 =µH 73,32:1 ≠µH )812,1,73,32(~ == n NX σµ )1,0(~/ Nn Xn σ µ− z0,025 = -1,96 z0,050 = -1,64 1,96 = z0,975 1,64 = z0,950 z0,005 = -2,58 2,58 = z0,995 1 - α α / 2α / 2 90 % 95 % 99 % n Xn Z /σ µ− = 14,2812,1 87,3 100/12,18 73,3260,36 === − z Tomáš Pavlík Biostatistika Příklad – z-test pro jeden výběr Hodnota testové statistiky: 14,2812,1 87,3 100/12,18 73,3260,36 === − z Můžeme zamítnout nulovou hypotézu na hladině významnosti testu α = 0,05 nebo ne? Nulovou hypotézu o rovnosti objemu prostaty u mužů nad 70 let populační hodnotě 32,73 ml zamítáme na hladině významnosti α = 0,05, protože výsledná hodnota z statistiky je větší než kritická hodnota (příslušný kvantil) rozdělení N(0,1). α / 2α / 2 2,5 %2,5 % 95 % z statistika 2/1975,096,114,2 α−==>= zzz 3. P-hodnota a její interpretace Tomáš Pavlík Biostatistika P-hodnota P-hodnota vyjadřuje pravděpodobnost za platnosti H0, s níž bychom získali stejnou nebo extrémnější hodnotu testové statistiky (samozřejmě vzhledem k jednostrannosti nebo oboustrannosti testu). Číselně (ale ne filozoficky) ekvivalentní je tzv. dosažená hladina významnosti testu („attained significance level“), což je nejmenší hladina významnosti α, při které bychom ještě zamítnuli H0. V praxi se často obě hodnoty zaměňují! Tomáš Pavlík Biostatistika Příklad – p-hodnota Vraťme se k příkladu s objemem mužské prostaty – hodnota testové statistiky z = 2,14. Jaká jí odpovídá p-hodnota? Důležité je uvědomit si, že máme oboustrannou alternativní hypotézu! 1,6 %1,6 % z statistika p-hodnota pro oboustrannou alternativu: -z statistika ))(1(*2 testzZPp ≤−= p-hodnota pro z-test z příkladu: 032,0)984,01(*2 ))14,2(1(*2 =−= ≤−= p ZPp Tomáš Pavlík Biostatistika Velikost vzorku a významnost výsledku Vraťme se k příkladu s objemem mužské prostaty – ALE s n = 10! Chceme ověřit platnost proti Platí-li H0, pak (předpokládáme, že známe σ) Pak H0 nyní nezamítáme! Rozdíl se nezměnil, pouze je menší n! Máme méně informace. 73,32:0 =µH 73,32:1 ≠µH n Xn Z /σ µ− = 68,073,5 87,3 10/12,18 73,3260,36 === − z 2/1975,096,168,0 α−==<= zzz z statistika )73,5,73,32(~ == nNX σµ Tomáš Pavlík Biostatistika Důležité poznámky k testování hypotéz Nezamítnutí nulové hypotézy neznamená automaticky její přijetí! Může se jednat o situaci, kdy pro zamítnutí nulové hypotézy nemáme dostatečné množství informace. Dosažená hladina významnosti testu (ať už 0,05, 0,01 nebo 0,10) nesmí být slepě brána jako hranice pro existenci/neexistenci testovaného efektu. Neexistuje jasná hranice pro významnost či nevýznamnost – často je velmi malý rozdíl mezi p-hodnotou 0,04 a p-hodnotou 0,06. Malá p-hodnota nemusí znamenat velký efekt. Hodnota testové statistiky a odpovídající p-hodnota může být ovlivněna velkou velikostí vzorku a malou variabilitou pozorovaných dat. Výsledky testování musí být nahlíženy kriticky – jedná se o závěr založený „pouze“ na jednom výběrovém souboru. Tomáš Pavlík Biostatistika Spojitost s intervaly spolehlivosti Opět se vraťme příkladu s objemem mužské prostaty (pro n = 100). Chceme ověřit platnost proti Na základě n = 100 jsme nulovou hypotézu zamítli. Zkusme vypočítat 95% interval spolehlivosti pro μ (tedy IS s α = 0,05): 95% IS neobsahuje H0. Co nám to říká? )()(1 2/12/12/1/2/1 α σ α σ ασ µ α µα −−− − − +≤≤−=≤≤−=− zXzXPzzP nnn X )15,40;05,33()96,1*812,160,36;96,1*812,160,36(IS%95 =+−= n Xn Z /σ µ− = 96,1;812,1;60,36 975,0100 12,18 ==== zX n σ 73,32:0 =µH 73,32:1 ≠µH Tomáš Pavlík Biostatistika Spojitost s intervaly spolehlivosti Můžeme zamítnout H0, protože 95% IS neobsahuje předpokládanou hodnotu neznámého parametru (neobsahuje H0). Opět podstupujeme riziko α = 0,05, že se mýlíme (tedy, že jsme naším 95% IS nepokryli hodnotu μ). Testování hypotéz a intervaly spolehlivosti jsou velmi často ekvivalentní, ale popisují trochu něco jiného: Interval spolehlivosti charakterizuje přesnost bodového odhadu, zatímco test nulové hypotézy se zaměřuje na pravděpodobnostní model v pozadí. Vždy by měl být vedle výsledku testu publikována i velikost dosaženého efektu s příslušným intervalem spolehlivosti. Ze samotné p-hodnoty testu nebo rozhodnutí zamítáme H0/nezamítáme H0 není zřejmé, v jakých mezích se velikost účinku (rozdílu) pohybuje. 4. Síla testu Tomáš Pavlík Biostatistika Síla testu Pravděpodobnost chyby II. druhu značíme β. 1 – β se nazývá síla testu a vyjadřuje pravděpodobnost, že zamítneme H0 ve chvíli, kdy H0 opravdu neplatí. Snažíme se sílu testu optimalizovat při zachování hladiny významnosti testu α → princip výpočtu velikosti experimentálního vzorku před provedením studie (budeme se tomu věnovat někdy příště). Optimalizovat sílu testu a velikost vzorku předem není triviální, můžeme narazit na spoustu problémů – biologické limity, etické limity, finanční limity. Tomáš Pavlík Biostatistika Faktory ovlivňující sílu testu Velikost vzorku: čím více pozorování (informace o platnosti nulové hypotézy), tím větší má test sílu. Stejně jako u intervalů spolehlivosti, síla testu roste s odmocninou z n. Velikost efektu (účinku): velikost rozdílu v neznámých parametrech také ovlivňuje sílu testu. Vždy je jednodušší identifikovat jako významný velký efekt, např. velký rozdíl ve středních hodnotách objemu prostaty dvou populací. Naopak je těžší prokázat jako významný menší efekt (menší rozdíl). Variabilita dat: variabilita dat zvyšuje variabilitu odhadů a ztěžuje tak rozhodnutí o H0. Čím více jsou pozorované hodnoty variabilní, tím více dat bude potřeba pro přesný odhad velikosti účinku (rozdílu). Hladina významnosti: snížíme-li hladinu významnosti testu (např. zvolíme 0,01 místo 0,05), bude obtížnější H0 zamítnout → sníží se síla testu. 5. Statistická versus klinická/biologická významnost Tomáš Pavlík Biostatistika Klíčové principy – významnost Analytické výsledky studie nemusí odpovídat realitě a skutečnosti. Statistická významnost jednoduše nemusí znamenat příčinný vztah! Statistická významnost pouze indikuje, že pozorovaný rozdíl není náhodný (ve smyslu stanovené hypotézy). Lze ji ovlivnit velikostí vzorku. Stejně důležitá je i praktická významnost, tedy významnost z hlediska lékaře nebo biologa. Statistická významnost Praktická významnost ANO NE ANO OK, praktická i statistická významnost je ve shodě. Významný výsledek je statistický artefakt, prakticky nevyužitelný. NE Výsledek může být pouhá náhoda, neprůkazný výsledek. OK, praktická i statistická významnost je ve shodě. Tomáš Pavlík Biostatistika Klíčové principy – významnostStatistickávýznamnost Praktická významnost ANO NE ANO OK, praktická i statistická významnost jsou ve shodě. Významný výsledek je statistický artefakt, prakticky nevyužitelný. NE Výsledek může být pouhá náhoda, neprůkazný výsledek. OK, praktická i statistická významnost jsou ve shodě. Statisticky nevýznamný výsledek neznamená, že pozorovaný rozdíl ve skutečnosti neexistuje! Může to být způsobeno nedostatečnou informací v pozorovaných datech! Tomáš Pavlík Biostatistika Klíčové principy – významnost Bodový odhad efektu + IS Možnost Statistická významnost Klinická významnost a) ne možná b) ne možná c) ano možná d) ano ano e) ne ne f) ano ne a) b) c) d) e) f) Střední hodnota v populaci Klinicky významná odchylka Tomáš Pavlík Biostatistika Příklad Standardní léčba hypertenze snižuje systolický tlak (TKs) v průměru o 20 mmHg (střední hodnota v populaci). Klinicky významné by bylo zvýšení účinnosti o dalších 10 mmHg (klinicky významná odchylka). Jak tedy může nová léčba hypertenze dopadnout? Tomáš Pavlík Biostatistika Příklad Možnost Statistická vs. klinická významnost a) V průměru došlo ke snížení TKs o 24,7 mmHg, ale byla pozorována taková variabilita v účinku, že 95% IS pro průměr byl (16,5; 32,9). b) V průměru došlo ke snížení TKs o 30,1 mmHg, ale byla pozorována taková variabilita v účinku, že 95% IS pro průměr byl (19,6; 40,6). c) V průměru došlo ke snížení TKs o 31,5 mmHg, ale byla pozorována taková variabilita v účinku, že 95% IS pro průměr byl (26,0; 37,0). d) V průměru došlo ke snížení TKs o 36,2 mmHg a byla pozorována taková variabilita v účinku, že 95% IS pro průměr byl (32,1; 39,3). e) V průměru došlo ke snížení TKs o 22,9 mmHg, ale byla pozorována taková variabilita v účinku, že 95% IS pro průměr byl (18,3; 27,5). f) V průměru došlo ke snížení TKs o 25,1 mmHg, ale byla pozorována taková variabilita v účinku, že 95% IS pro průměr byl (21,6; 28,6). Tomáš Pavlík Biostatistika Problém násobného testování hypotéz V klinickém výzkumu se často potřebujeme testovat více hypotéz zároveň – např. při hodnocení stejného primárního parametru v rámci různých podskupin souboru pacientů (A, B, C a D) → Je zajímavé podívat se na rozdíl i mezi podskupinami, tedy podívat se, jak se liší skupiny A a B, B a C, apod. Tento fenomén v praxi vede k tzv. problému násobného testování hypotéz. S narůstajícím počtem testovaných hypotéz nám roste také pravděpodobnost získání falešně pozitivního výsledku, tedy pravděpodobnost toho, že se při našem testování zmýlíme a ukážeme na statisticky významný rozdíl tam, kde ve skutečnosti žádný neexistuje (chyba I. druhu). Použití korekčních procedur: Bonferroniho procedura, metoda Steela a Dwasse. Tomáš Pavlík Biostatistika Příklad Modelová situace: provedeme zároveň 60 testů (v době srovnávání biochemických a genetických parametrů to není zase tolik). Použijeme-li klasickou hladinu významnosti 0,05 (resp. 5 %), máme pro každý test 5% riziko získání falešně pozitivního výsledku. Vynásobíme-li 60 a 0,05, vyjde nám, že zhruba u 3 testů bychom měli dospět k falešně statisticky významnému závěru. V případě genomických analýz, kde jsou často různé testy pouze formou exploratorní analýzy, nemusí být přítomnost falešně pozitivních výsledků fatální, v klinické praxi to však může vést k zavádějícím výsledkům a mylným interpretacím.