9. SEMINÁŘ • •INDUKTIVNÍ STATISTIKA • •2. TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ • • TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ •Při testování statistických hypotéz vycházíme z údajů zjištěných ve výběrovém souboru - jde o induktivní soud. • •Statistická hypotéza = výrok o statistickém souboru (není nutně totožná s výzkumnou hypotézou!!!) • •K ověření (testování) hypotézy se používá tzv. testů významnosti, které rozhodují mezi: • –nulovou (testovanou) hypotézou H0 –hypotézou alternativní (opačnou) HA • Příklad: SROVNÁVÁNÍ PRŮMĚRŮ •Je vhodné použít pro hodnocení hladiny cholesterolu různých norem s přihlédnutím k věku? • •Věcná (klinická) významnost • •Statistická významnost • • Příklad: •Je vhodné použít pro hodnocení hladiny cholesterolu různých norem s přihlédnutím k věku? • •Muži 20-30 let: n1 = 50 m1 = 4,57 s1 = 0,70 SE1 = 0,10 •Muži 40-50 let: n2= 60 m2 = 5,42 s2 = 0,85 SE2 = 0,11 • •Statistickou významnost lze odhadnout pomocí intervalů spolehlivosti: 1.Pokud se intervaly spolehlivosti, které vytvoříme kolem bodových odhadů m1 a m2 překrývají, pak rozdíl mezi nimi není statisticky významný. Naopak, pokud se nepřekrývají, je rozdíl statisticky významný. • m1 = 4,57 95% CI (4,37; 4,77) m2 = 5,42 95% CI (5,18; 5,66) • 2.Pro řešení úlohy bychom mohli použít i intervalový odhad rozdílu průměrů – pokud CI neobsahuje nulu, je rozdíl statisticky významný. – 95% CI (0,56; 1,14) • • • • • Příklad: •Je vhodné použít pro hodnocení hladiny cholesterolu různých norem s přihlédnutím k věku? • •Statistickou významnost lze určit •testováním statistické hypotézy o rozdílu průměrů m1 – m2. • • TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ 1.Stanovíme nulovou a alternativní hypotézu 2.Zvolíme hladinu významnosti 3.Vybereme vhodný test 4.Ověříme, zda jsou splněny podmínky pro použití testu 5.Vypočítáme testovací charakteristiku 6.Srovnáme ji s odpovídajícími kritickými hodnotami 7.Zamítneme nebo nezamítneme nulovou hypotézu 8.Výsledky interpretujeme • TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ 1.Stanovíme nulovou a alternativní hypotézu • • NULOVÁ A ALTERNATIVNÍ HYPOTÉZA •Při testování hypotéz začínáme tím, že předpokládáme určitou hodnotu parametru základního souboru a potom učiníme závěr týkající se výběrového statistického ukazatele. • •Nulová hypotéza H0 - testovaná •Předpokládá, že rozdíl mezi parametrem a výběrovým ukazatelem je blízký nule – nulová hypotéza. • (μ = m; μ – m = 0) • •Alternativní hypotéza HA - opačná •Předpokládá opak, tj. že rozdíl mezi parametrem a výběrovým ukazatelem je nenulový (hodně vzdálen od nuly). • (μ ≠ m, μ – m ≠ 0) Příklad: SROVNÁVÁNÍ PRŮMĚRŮ Příklad: SROVNÁVÁNÍ PRŮMĚRŮ μ m1 m2 4,57 5,42 Příklad: SROVNÁVÁNÍ PRŮMĚRŮ •Alternativní hypotéza (opačná) -předpokládá opak, tj. že jde o dva výběry ze dvou různých základních souborů s rozdílnými průměry (rozdíl mezi průměry je statisticky významný) • HA: μ1 ≠ μ2 • μ1 - μ2 ≠ 0 • • Příklad: SROVNÁVÁNÍ PRŮMĚRŮ •Alternativní hypotéza (opačná) -předpokládá opak, tj. že jde o dva výběry ze dvou různých základních souborů s rozdílnými průměry (rozdíl mezi průměry je statisticky významný) • HA: μ1 ≠ μ2 • μ1 - μ2 ≠ 0 • • μ1 μ2 m1 m2 4,57 5,42 TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ 1.Stanovíme nulovou a alternativní hypotézu 2.Zvolíme hladinu významnosti • HLADINA VÝZNAMNOSTI •Je-li pravděpodobnost nějakého jevu velmi malá, chováme se (většinou) tak, jako by nemohla vůbec nastat. • •Je-li malá pravděpodobnost, že H0 platí, chováme se tak, jako by neplatila a zamítáme ji. • •Tato malá pravděpodobnost se nazývá hladina významnosti, obvykle α = 0,05 nebo 0,01. Vyjadřuje riziko nesprávného zamítnutí H0, tzv. chyba 1. druhu. • •β ozn. chybu 2. druhu, souvisí se silou statistického testu . Nastává, když H0 nezamítáme, přestože ve skutečnosti neplatí. • •Síla testu = 1- β: schopnost zamítnout H0, když neplatí. • • Příklad: SROVNÁVÁNÍ PRŮMĚRŮ •Je vhodné použít pro hodnocení hladiny cholesterolu různých norem s přihlédnutím k věku? • •Muži 20-30 let: n1 = 50 m1 = 4,57 s1 = 0,70 SE1 = 0,10 •Muži 40-50 let: n2= 60 m2 = 5,42 s2 = 0,85 SE2 = 0,11 • • •Hladinu významnosti si zvolíme např. α = 0,05. TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ 1.Stanovíme nulovou a alternativní hypotézu 2.Zvolíme hladinu významnosti 3.Vybereme vhodný test • TESTY VÝZNAMNOSTI • •Platnost statistických hypotéz prověřujeme pomocí tzv. testů významnosti: • –Testy pro hodnoty parametrů (měříme vzdálenost pozorované statistiky od hypotézou stanovené hodnoty parametru) –Srovnávání rozdílů parametrů (např. test významnosti pro rozdíly středních hodnot či pravděpodobností) –Zjišťování typu rozložení četností (test dobré shody, test normality) –Hodnocení závislostí (testy závislosti) • TESTY VÝZNAMNOSTI •Parametrické testy •Vycházejí ze srovnávání parametrů μ, σ, π (zastoupených při srovnávání výběrovými charakteristikami m, p, s). •Musíme znát typ rozložení testované veličiny, hypotézy se týkají parametrů tohoto rozložení. •Srovnáváme charakteristiky dvou nezávislých výběrů. • TESTY VÝZNAMNOSTI •Neparametrické testy •Velkou skupinu tvoří např. testy založené na pořadí •Výhody: jsou početně jednodušší a nepředpokládají znalost typu rozložení a lze je použít pro závislé výběry •Nevýhody: mají menší sílu, tzn. mají menší schopnost zamítnout nulovou hypotézu, když ta skutečně neplatí. • VÝBĚR VHODNÉHO TESTU •u-test (z-test): •Parametrický test •Normální rozložení •Vypočítaná testovací charakteristika u (někdy ozn. z) se srovnává s kritickými hodnotami normálního rozložení • • Příklad: SROVNÁVÁNÍ PRŮMĚRŮ •Je vhodné použít pro hodnocení hladiny cholesterolu různých norem s přihlédnutím k věku? • •Muži 20-30 let: n1 = 50 m1 = 4,57 s1 = 0,70 SE1 = 0,10 •Muži 40-50 let: n2 = 60 m2 = 5,42 s2 = 0,85 SE2 = 0,11 • • •Pro srovnání průměrů zvolíme u-test •při dostatečně velkých souborech mají rozdíly •výběrových průměrů normální rozdělení TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ 1.Stanovíme nulovou a alternativní hypotézu 2.Zvolíme hladinu významnosti 3.Vybereme vhodný test 4.Ověříme, zda jsou splněny podmínky pro použití testu • PODMÍNKY PRO POUŽITÍ TESTU •Podmínky pro použití u-testu pro srovnávání průměrů: • 1.n1 > 30, n2 > 30 –pro menší soubory Studentův t-test (vypočítáme testovací charakteristiku t a srovnáme ji s kritickými hodnotami Studentova rozdělení – viz skripta str. 41). 2.nezávislé výběry (hodnoty ve srovnávaných souborech se vzájemně neovlivňují) –testy pro párované hodnoty 3.stejné rozptyly –neliší se významně (F-test) • Příklad: SROVNÁVÁNÍ PRŮMĚRŮ •Je vhodné použít pro hodnocení hladiny cholesterolu různých norem s přihlédnutím k věku? • •Muži 20-30 let: n1 = 50 m1 = 4,57 s1 = 0,70 SE1 = 0,10 •Muži 40-50 let: n2= 60 m2 = 5,42 s2 = 0,85 SE2 = 0,11 • •Podmínky pro použití u-testu: 1.50 > 30; 60 > 30 2.soubory jsou nezávislé 3.předpokládáme stejné rozptyly TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ 1.Stanovíme nulovou a alternativní hypotézu 2.Zvolíme hladinu významnosti 3.Vybereme vhodný test 4.Ověříme, zda jsou splněny podmínky pro použití testu 5.Vypočítáme testovací charakteristiku • TESTOVACÍ CHARAKTERISTIKA •Testy významnosti rozhodují mezi H0 a HA, a to nejčastěji pomocí výpočtu tzv. testovací charakteristiky • •Vymezuje obor hodnot pro zamítnutí a obor hodnot pro nezamítnutí H0. • •Pro stanovení takových oborů hodnot je nezbytné, aby měla některé ze známých teoretických rozdělení – umožní to stanovení tzv. kritických hodnot. • •Kritické hodnoty vymezují interval spolehlivosti, jenž je mírou vzdálenosti od 0. Leží-li hodnota testovací charakteristiky mimo tento interval, zamítáme H0. • • VZDÁLENOST OD NULY •Pokud je rozdíl srovnávaných průměrů rozumně blízko nule, pak můžeme říct, že rozdíl vznikl náhodou a nezamítáme nulovou hypotézu. • •Je-li rozdíl hodně vzdálen od nuly, dáváme přednost alternativní hypotéze, tj. zamítáme nulovou hypotézu. VZDÁLENOST OD NULY •Chyba rozdílu průměrů •Rozdíly průměrů mají normální rozdělení s parametry μ a σ; σ odhadujeme pomocí SE • • SEm1-m2 = chyba rozdílu průměrů (m1 – m2), přičemž pro nezávislé výběry platí: SE2m1-m2= SE2m1+ SE2m2 • 0 + 1,96 SEm1-m2 - 1,96 SEm1-m2 - 2,58 SEm1-m2 + 2,58 SEm1-m2 95% 99% VZDÁLENOST OD NULY •Řeší se pomocí intervalu spolehlivosti pro rozdíl průměrů. • •Pokud H0 platí (μ1 = μ2 = μ), pak s pravděpodobností 0,95 by se měl rozdíl m1 – m2 nacházet v 95% intervalu spolehlivosti. 0 + 1,96 SEm1-m2 - 1,96 SEm1-m2 - 2,58 SEm1-m2 + 2,58 SEm1-m2 95% 99% JAK ROZHODUJEME? •Testovací charakteristika „u“ •Pokud leží rozdíl mimo interval spolehlivosti, pak zamítáme nulovou hypotézu. • • • • •Pokud leží rozdíl v intervalu spolehlivosti, pak nulovou hypotézu nezamítáme. • • •Nezamítnutí nulové hypotézy neznamená její přijetí!!! u Příklad: SROVNÁVÁNÍ PRŮMĚRŮ •Je potřeba použít pro hodnocení hladiny cholesterolu různých norem s přihlédnutím k věku? • •Muži 20-30 let: n1 = 50 m1 = 4,57 s1 = 0,70 SEm1 = 0,10 •Muži 40-50 let: n2= 60 m2 = 5,42 s2 = 0,85 SEm2 = 0,11 • •Výpočet testovací charakteristiky u: •m1 – m2 = 4,57 – 5,42 = -0,88 •SEm1-m22= 0,102+ 0,112 = 0,0221 •SEm1-m2= 0,15 •u = 0,88: 0,15= 5,66 • • TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ 1.Stanovíme nulovou a alternativní hypotézu 2.Zvolíme hladinu významnosti 3.Vybereme vhodný test 4.Ověříme, zda jsou splněny podmínky pro použití testu 5.Vypočítáme testovací charakteristiku 6.Srovnáme ji s odpovídajícími kritickými hodnotami • Příklad: SROVNÁVÁNÍ PRŮMĚRŮ TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ 1.Stanovíme nulovou a alternativní hypotézu 2.Zvolíme hladinu významnosti 3.Vybereme vhodný test 4.Ověříme, zda jsou splněny podmínky pro použití testu 5.Vypočítáme testovací charakteristiku 6.Srovnáme ji s odpovídajícími kritickými hodnotami 7.Zamítneme nebo nezamítneme nulovou hypotézu • JAK ROZHODUJEME? •Nezamítnutí H0– rozdíly nepřesahují velikost rozdílů způsobených náhodou, ale mohla nastat tzv. chyba druhého typu. • •Zamítnutí H0– pravděpodobnost, že rozdíl mezi průměry je způsoben náhodou je tak malá, že tuto možnost zamítáme – a přijímáme alternativní hypotézu (riziko chyby prvního typu). • JAK ROZHODUJEME? Skutečnost Naše rozhodnutí H0 neplatí H0 platí Zamítáme H0 Správné rozhodnutí Chyba I. typu Nezamítáme H0 Chyba II. typu Správné rozhodnutí JAK ROZHODUJEME? •P-value •udává pravděpodobnost, že hodnocený rozdíl je způsoben náhodou •pokud je menší než zvolená hladina významnosti, nulovou hypotézu zamítáme, pokud je větší nulovou hypotézu nezamítáme •Např.: α = 5% (pravděpodobnost platnosti H0) – p-value = 0,00073, zamítáme H0 – p-value = 0,07300, nezamítáme H0 • • Příklad: SROVNÁVÁNÍ PRŮMĚRŮ TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ 1.Stanovíme nulovou a alternativní hypotézu 2.Zvolíme hladinu významnosti 3.Vybereme vhodný test 4.Ověříme, zda jsou splněny podmínky pro použití testu 5.Vypočítáme testovací charakteristiku 6.Srovnáme ji s odpovídajícími kritickými hodnotami 7.Zamítneme nebo nezamítneme nulovou hypotézu 8.Výsledky interpretujeme • Příklad: SROVNÁVÁNÍ PRŮMĚRŮ •Je vhodné použít pro hodnocení hladiny cholesterolu různých norem s přihlédnutím k věku? • •Muži 20-30 let: n1 = 50 m1 = 4,57 s1 = 0,70 SE1 = 0,10 •Muži 40-50 let: n2= 60 m2 = 5,42 s2 = 0,85 SE2 = 0,11 • •Interpretace výsledků: •Na 5% hladině významnosti jsme prokázali, že existuje statisticky významný rozdíl v průměrných hodnotách hemoglobinu u dvou srovnávaných věkových skupin. • •K odpovědi na uvedenou otázku je třeba posoudit i věcnou (klinickou) významnost zjištěného rozdílu. • • SHRNUTÍ PŘÍKLADU Příklad: SROVNÁNÍ PRAVDĚPODOBNOSTÍ •Byl sledován výskyt alergií u studentů LF. •Muži: n1 = 105 k1 = 21 p1 = 0,20 (20%) •Ženy: n2 = 195 k2 = 19 p2 = 0,097 (9,7%) • •Otázka: Je rozdíl ve výskytu alergie u mužů a u žen způsoben náhodou, anebo lze odvodit, že alergie postihují muže častěji? Příklad: SROVNÁNÍ PRAVDĚPODOBNOSTÍ Řešení 1.H0: p1 = p2 = p; p1 - p2 = 0 HA: p1 ≠ p2; p1 - p2 ≠ 0 2.a) α = 0,05 b) α = 0,01 3.u-test 4.velikost souboru: n1 > 30; n2 > 30 platnost nerovnosti: 16,8 > 9; 17,1 > 9 nezávislé soubory 5.u = 2,34 6.a) 2,34 > 1,96 b) 2,34 < 2,58 7.a) Na 5% hladině významnosti nulovou hypotézu zamítáme • a přijímáme hypotézu alternativní. • b) Na 1% hladině významnosti nulovou hypotézu nezamítáme. 8.a) Častější výskyt alergie u mužů je statisticky významný (riziko • chyby 1.druhu). • b) Nepodařilo se prokázat, že by alergie byly častější u mužů • (riziko chyby 2. druhu). 1. •