logo-IBA Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek Opakování – základy testování hypotéz Shrnutí statistických testů Jednovýběrové parametrické testy Dvouvýběrové parametrické testy ASTAc/02 Biostatistika 4. cvičení logo-IBA Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek Opakování 1.Co je nulová a alternativní hypotéza? 2.Co je testová statistika? 3.Jakými způsoby můžeme testovat hypotézy? 4.Co je chyba I. a II. druhu? 5.Co vyjadřuje p-hodnota? 6.Jaký je rozdíl mezi parametrickými a neparametrickými testy? 7.Jaký je rozdíl mezi jednovýběrovými a dvouvýběrovými testy? 8.Jaký je rozdíl mezi jednostrannými a oboustrannými testy? 9.Jaký je rozdíl mezi párovými a nepárovými testy? 10. logo-IBA Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek Shrnutí statistických testů logo-IBA Shrnutí statistických testů Typ srovnání Nulová hypotéza Parametrický test Neparametrický test 1 výběr dat vs. referenční hodnota Střední hodnota je rovna zvolené referenční hodnotě. jednovýběrový t-test / z-test Wilcoxonův test; znaménkový test 2 nezávislé skupiny dat (test shody středních hodnot) Střední hodnoty/rozdělení se mezi skupinami neliší. nepárový t-test Mannův-Whitneyův test; Mediánový test 2 nezávislých skupin dat (test shody rozptylů = homoskedasticity) Rozptyl obou skupin je shodný. F-test Levenův test 2 párově závislé výběry dat Rozdíl (diference) párových hodnot je nulový. párový t-test Wilcoxonův test; znaménkový test Shoda rozdělení výběru s teoretickým rozdělením Rozdělení dat odpovídá teoretickému (vybranému) rozdělení. test dobré shody (χ2 test) Shapirův-Wilkův test; Kolmogorovův-Smirnovův test; Lilieforsův test Více než 2 skupin nepárově (test shody středních hodnot) Střední hodnoty/rozdělení se mezi skupinami neliší. ANOVA Kruskalův-Wallisův test; Mediánový test Korelace Neexistuje vztah mezi hodnotami dvou výběrů. Pearsonův korelační koeficient Spearmanův korelační koeficient Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek logo-IBA Základní rozhodování o výběru statistických testů Typ dat Spojitá x spojitá data Spojitá x kategoriální data Kategoriální x kategoriální data Jeden výběr Dva výběry Tři a více výběrů (nepárově) Jeden výběr Více výběrů Párová data Nepárová data Pearsonův koeficient Jednovýběrový t-test, z-test Párový t-test Dvouvýběrový t-test ANOVA Párová data Nepárová data Chí-kvadrát test Spearmanův koeficient Wilcoxonův / znaménkový test Wilcoxonův / znaménkový test Mannův-Whitneyův / mediánový t. Kruskalův-Wallisův test / mediánový t. Jednovýběrový binomický test McNemarův test Fisherův exaktní test Parametrické testy Neparametrické testy Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita E. Janoušová, L. Dušek logo-IBA Schéma při testování pomocí jednovýběrových testů Data Normální rozdělení? Vizuální ověření normality Histogram, Q-Q graf, P-P graf, N-P graf, krabicový graf Testové ověření normality S-W test, K-S test, Lilieforsův test NE ANO Logaritmická transformace Normální rozdělení? NE ANO Wilcoxonův test na původních datech Jednovýběrový t-test / z-test na transformovaných datech Jednovýběrový t-test / z-test Opakování Parametrické testy Neparametrické testy Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita E. Janoušová, L. Dušek logo-IBA Schéma při testování pomocí párových testů Data Normální rozdělení? (normální rozdělení diferencí!) NE ANO Párový t-test Párový Wilcoxonův test / znaménkový test Parametrické testy Neparametrické testy Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita E. Janoušová, L. Dušek logo-IBA Schéma při testování 2 a více skupin Data Normální rozdělení v rámci skupin? NE ANO Logaritmická transformace Normální rozdělení v rámci skupin? NE ANO Dvouvýběrový t-test, ANOVA na transformovaných datech Dvouvýběrový t-test, ANOVA Homogenita rozptylů? NE ANO Mannův-Whitneyův test, Kruskalův-Wallisův test, mediánový test * Homogenita rozptylů? NE ANO Mannův-Whitneyův test, Kruskalův-Wallisův test, mediánový test na původních datech * Mannův-Whitneyův test, Kruskalův-Wallisův test, mediánový test na původních datech Parametrické testy Neparametrické testy Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita E. Janoušová, L. Dušek * Při nesplnění předpokladu shody rozptylů mezi skupinami lze použít i parametrický t-test s Welchovou korekcí logo-IBA Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek Parametrické testy logo-IBA Parametrické testy Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek —Předpoklad: normalita dat —Jednovýběrový z-test (porovnání základního a výběrového souboru, známe střední hodnotu a rozptyl základního souboru) —Studentův t-test (testování rozdílů dvou středních hodnot) 1.Jednovýběrový t-test (porovnání základního a výběrového souboru, známe střední hodnotu ale neznáme rozptyl základního souboru; nahrazujeme jej výběrovým rozptylem našich dat) 2.Dvouvýběrový t-test (porovnání dvou výběrových souborů, neznáme střední hodnotu základního souboru): - párový (závislé výběry) - nepárový (nezávislé výběry) —F-test (testování rozdílů dvou rozptylů) logo-IBA Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek Jednovýběrový t-test 1. Statistické testy o parametrech jednoho výběru logo-IBA Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek Anotace —Jednovýběrové statistické testy srovnávají některou popisnou statistiku vzorku (průměr, směrodatnou odchylku) s jediným číslem, jehož význam je ze statistického hlediska hodnota cílové populace — —Z hlediska statistické teorie jde o ověření, zda daný vzorek pochází z testované cílové populace. logo-IBA Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek Jednovýběrové testy I H0 HA Testová statistika Interval spolehlivosti t t > t t t < t t |t| > t Průměr – cílová vs. výběrová populace (n-1) 1-α (n-1) α (n-1) 1-α/2 V případě „one sample“ testů jde o srovnání jednoho výběru dat (proto „one sample“) s cílovou populací. Pro parametrické testy musí mít výběr normální rozložení. μ - střední hodnota základního souboru - průměr výběrového souboru s2 - rozptyl výběrového souboru n - počet členů výběrového souboru t1-α/2 (n-1) = kvantil Studentova t-rozdělení pro dané stupně volnosti (n-1) a zvolené α * * Pokud známe rozptyl základního souboru, tento nahradí výběrový odhad rozptylu z dat a výsledná statistika Z N(0,1) logo-IBA —Určitá linka autobusové městské dopravy má v době dopravní špičky průměrnou rychlost 8 km/hod. Uvažovalo se o tom, zda změna trasy by vedla ke změně průměrné rychlosti. Nová trasa byla proto projeta v deseti náhodně vybraných dnech a byly zjištěny tyto průměrné rychlosti: 7,8; 7,9; 9,0; 7,8; 8,0; 7,8; 8,5; 8,2; 8,2; 9,3. Rozhodněte, zda změna trasy vede ke změně průměrné rychlosti. Předpokládáme normální rozdělení a α=0,05. —Postup: 1.Na hladině významnosti 0,05 testujeme hypotézu H0: , proti HA : 2.Vypočteme aritmetický průměr a rozptyl výběrového souboru. 3.Vypočteme testovou statistiku t: 4. 4. 4.Vypočtené t porovnáme s kritickou hodnotou t1-α/2(n-1): 5. 5.Je-li |t| ≤ t1-α/2(n-1) statisticky nevýznamný rozdíl testovaných parametrů při zvolené α; nulovou hypotézu nezamítáme, na hladině významnosti α=0,05 se nepodařilo prokázat, že by změna trasy měla za následek změnu průměrné rychlosti. — 1. Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek Příklad 1: Jednovýběrový t-test http://www.spartapraha2000.cz/img/picture/1325/autobus.gif logo-IBA Příklad 1: Řešení v softwaru Statistica I Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek 3 • V menu Statistics zvolíme Basic statistics ,vybereme t-test, single sample 2 logo-IBA Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek 3 • Vybereme proměnnou, kterou chceme testovat • Na kartě Advanced napíšeme do okénka Test all means against velikost střední hodnoty populace (lze také na kartě Quick, Options) • p-value for highlighting- Úroveň p-hodnoty lze změnit •Kliknutím na Summary t-test nebo na Summary získáme výstupy Řešení v softwaru Statistica II 1 logo-IBA Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek Řešení v softwaru Statistica III Výběrový průměr (průměr pozorovaných dat) Výběrová směrodatná odchylka (pozorovaných dat) Rozsah výběru Standardní chyba Referenční konstanta-předpokládaná velikost střední hodnoty Hodnota testovacího kritéria Stupeň volnosti POZOR: Platí pro oboustranný test!!! http://files.mscck-trmice.webnode.cz/200000297-22250231ed/vyk%C5%99i%C4%8Dn%C3%ADk.png logo-IBA Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek Dvouvýběrový párový a nepárový t-test 2. Statistické testy o parametrech dvou výběrů logo-IBA Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek Anotace —Jedním z nejčastějších úkolů statistické analýzy dat je srovnání spojitých dat ve dvou skupinách pacientů. Na výběr je celá škála testů, výběr konkrétního testu se pak odvíjí od toho, zda je o srovnání párové nebo nepárové a zda je vhodné použít test parametrický (má předpoklady o rozložení dat) nebo neparametrický (nemá předpoklady o rozložení dat, nicméně má nižší vypovídací sílu). — —Nejznámějšími testy z této skupiny jsou tzv. t-testy používané pro srovnání průměrů dvou skupin hodnot logo-IBA Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek Dvouvýběrové testy: párové a nepárové I —Při použití dvouvýběrových testů srovnáváme spolu dvě rozložení. Jejich základním dělením je podle designu experimentu na testy párové a nepárové. > —Základním testem pro srovnání dvou nezávislých rozložení spojitých čísel je nepárový dvouvýběrový t-test —Základním testem pro srovnání dvou závislých rozložení spojitých čísel je párový dvouvýběrový t-test logo-IBA Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek Dvouvýběrové testy: párové a nepárové II Data Nezávislé uspořádání Párové uspořádání X1 X2 X1- X2 = D X1 X2 Charakteristiky výběrů hodnotíme nezávisle na sobě: Výběr x1: n1 (počet vzorků), x1 (výběr. průměr), s12 (výběr. rozptyl) Výběr x2: n2 (počet vzorků), x2 (výběr. průměr), s22 (výběr. rozptyl) Pozor: u nepárového designu se počet vzorků výběrů může lišit! Charakteristiky počítáme z diferencí (D) párových pozorování: Výběr D: nD (počet párů vzorků), xD (výběr. průměr), sD2 (výběr. rozptyl) Pozor: u párového designu se počet vzorků výběrů (n1 a n2) nesmí lišit! Pozn.: při párovém uspořádání převádíme na design jednovýběrových testů logo-IBA Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek Předpoklady nepárového dvouvýběrového t-testu —Náhodný výběr subjektů jednotlivých skupin z jejich cílových populací —Nezávislost obou srovnávaných vzorků —Přibližně normální rozložení proměnné v rámci skupin (drobné odchylky od normality ovšem nejsou kritické, test je robustní proti drobným odchylkám od tohoto předpokladu). Normalita může být testována testy normality. —Rozptyl v obou vzorcích by měl být přibližně shodný („homoskedasticita rozptylu“). Tento předpoklad je testován několika možnými testy – Levenův test nebo F-test. —Vždy je vhodné prohlédnout histogramy proměnné v jednotlivých vzorcích pro okometrické srovnání a ověření předpokladů normality a homogenity rozptylu – nenahradí statistické testy, ale poskytne prvotní představu. — 0 j(x) μ | logo-IBA Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek Nepárový dvouvýběrový t-test – výpočet I 1.Nulová hypotéza: průměry obou skupin jsou shodné; alternativní hypotéza je, že nejsou shodné (oboustranný – „ two-tailed “ – test). 2.Prohlédnout průběh dat, průměr, medián apod. pro zjištění odchylek od normality a nehomogenitu rozptylu, provést F-test. 3. F-test pro srovnání dvou výběrových rozptylů •Používá se pro srovnání rozptylu dvou skupin hodnot, často za účelem ověření homogenity rozptylu těchto skupin dat. •V případě ověření homogenity je testována hypotéza shody rozptylů (oboustranná); v případě shodných rozptylů je vše v pořádku a je možné pokračovat ve výpočtu t-testu, v opačném případě není vhodné test počítat nebo zvolit Welchovu korekci. H0 HA Testová statistika Oboustranný F-test logo-IBA Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek Nepárový dvouvýběrový t-test – výpočet II 3.Výpočet testové statistiky t-testu (stupně volnosti jsou ): 4. 4. 4. 4. 4. 4.Výsledné t srovnáme s tabulární hodnotou t pro dané stupně volnosti a a (obvykle a=0,05). 5.Lze spočítat interval spolehlivosti pro rozdíl průměrů (např. 95%), počet stupňů volnosti a s2 odpovídají předchozím vzorcům 6. 3. vážený odhad rozptylu > logo-IBA http://us.cdn4.123rf.com/168nwm/shock77/shock771007/shock77100700030/7332866-legraa-na-kreslena-ovc e.jpg Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek Příklad 2: Nepárový dvouvýběrový t-test —Průměrná hmotnost ovcí v čase páření byla srovnávána pro kontrolní skupinu a skupinu krmenou zvýšenou dávkou potravy. Kontrolní skupina obsahuje 30 ovcí, skupina se zvýšeným příjmem potravy pak 24 ovcí. •Vlastní experiment byl prováděn tak, že na začátku máme 54 ovcí (ideálně stejného plemene, stejně staré atd.), které náhodně rozdělíme do dvou skupin (náhodné rozdělování objektů do pokusných skupin je objektem celého specializovaného odvětví statistiky nazývaného randomizace). Poté co experiment proběhne, musíme nejprve ověřit teoretický předpoklad pro využití nepárového t-testu. Pro obě skupiny jsou vykresleny grafy (můžeme též spočítat základní popisnou statistiku), na kterých můžeme posoudit normalitu a homogenitu rozptylu, kromě okometrického pohledu můžeme pro ověření normality použít testy normality, pro ověření homogenity rozptylu pak F-test. •Pokud platí všechny předpoklady dvouvýběrového nepárového t-testu, můžeme spočítat testovou statistiku, výsledné t je 2,43 s 52 stupni volnosti, podle tabulek je a t0,975 (52)= 2,01, tedy |t|> t0,975 (52) a nulovou hypotézu můžeme zamítnout, skutečná pravděpodobnost je pak 0,018. Rozdíl mezi skupinami je 1,59 kg ve prospěch skupiny se zvýšeným příjmem. • • • • •Pro rozdíl mezi oběma soubory jsou spočítány 95% intervaly spolehlivosti jako 1,59±2.01*(0,655) kg, což odpovídá rozsahu 0,28 až 2,91 kg. To, že interval spolehlivosti nezahrnuje 0 je dalším potvrzením, že mezi skupinami je významný rozdíl – jde o další způsob testování významnosti rozdílů mezi skupinami dat – nulovou hypotézu o tom, že rozdíl průměrů dvou skupin dat je roven nějaké hodnotě zamítáme v případě, kdy 95% interval spolehlivosti rozdílu nezahrnuje tuto hodnotu (v tomto případě 0). > http://us.cdn3.123rf.com/168nwm/chudtsankov/chudtsankov1104/chudtsankov110400152/9398473-ba-la-ovce -kreslena-postava-ja-st-kva-t.jpg 1. skupina, N=30 2. skupina, N=24 logo-IBA Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek Příklad 2: Řešení v softwaru Statistica • Nejprve ověřte normalitu hmotnosti jednak ve skupině kontroly a ve skupině se zvýšenou potravou • • • • • • • • • • • • •V obou případech se tečky odchylují od přímky jenom málo a p-hodnoty S-W testu převyšují 0,05. Předpoklad o normálním rozložení dat v obou skupinách je oprávněný. • logo-IBA Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek Příklad 2: Řešení v softwaru Statistica I • V menu Statistics zvolíme Basic statistics ,vybereme t-test, independent, by groups 2 logo-IBA Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek Příklad 2: Řešení v softwaru Statistica II • Zvolíme proměnné (Variables), • • Kliknutím na Summary získáme výstupy • • 2 logo-IBA Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek •POZOR: Výstupní tabulku vyhodnocujeme zezadu!!! Příklad 2: Řešení v softwaru Statistica III Rozsah výběru 1. skupiny Hodnota testové statistiky (pro test shody středních hodnot) Výběrový průměr u 1. skupiny Výběrový průměr u 2. skupiny Počet stupňů volnosti Testová statistika pro test shody rozptylů (F-test) Rozsah výběru 2. skupiny Výběrová směrodatná odchylka u 2. skupiny Tyto sloupce lze interpretovat pouze pokud rozdíl mezi rozptyly byl neprůkazný !!! logo-IBA Příklad 2: Řešení v softwaru Statistica IV, F-test Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek • Pokud F-test prokázal odlišnost rozptylů, je nutné na záložce Options odškrtnout Test w/separate variance estimates (t-test se samost. odhady rozptylů) • 1 • Chceme-li homogenitu rozptylů testovat ještě jiným testem, než F-testem, vybereme test z nabídky Homogeneity of variances logo-IBA Příklad 3: Párový dvouvýběrový t-test Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek Byl prováděn pokus s dietou u 18 diabetických krys, každá krysa byla vystavena dvěma dietám (jedné nové speciální a jedné kontrolní dietě). Protože každá krysa absolvovala obě diety, jde o párové uspořádání, kdy hodnoty v obou pokusech jsou spojeny přes pokusné zvíře. Zjistěte, zda testovaná dieta způsobí změnu hmotnosti u krys (zda se liší hmotnost krys po nové speciální a po kontrolní dietě). 1. 1.Nulová hypotéza zní, že skutečný průměrný rozdíl v hmotnosti krys po speciální a kontrolní dietě je nulový (speciální dieta nevedla ke změně hmotnosti ve srovnání s kontrolní dietou), alternativní hypotéza zní, že rozdíl hmotností je odlišný od nuly (speciální dieta vedla ke změně hmotnosti ve srovnání s kontrolní dietou). 2.Pro každou krysu je spočítán rozdíl hmotností naměřených po obou dietách a měly by být ověřeny předpoklady pro jednovýběrový t-test – alespoň přibližně normální rozložení diferencí. 3.Je spočítána testová statistika, výpočet vlastně probíhá jako jednovýběrový t-test, kde je zjišťována významnost průměru diferencí obou souborů jako rozdíl mezi touto hodnotou a nulou (0 je hodnota, kterou by průměrná diference měla nabývat, pokud platí nulová hypotéza). T=-1,72 s 17 stupni volnosti, skutečná p-hodnota=0,102 a tedy na hladině významnosti α=0,05 nemůžeme nulovou hypotézu zamítnout. 4. 4. 4. 4. 4. 4.Závěrem můžeme říci, že nulová hypotéza neexistence rozdílu vlivu na snížení váhy mezi oběma dietami nebyla zamítnuta, což znamená, že speciální dieta nemá významný vliv na snížení hmotnosti. 1. > http://www.zdarskypruvodce.cz/wp-content/krysa-zdar-nad-sazavou.png logo-IBA Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek Příklad 3: Řešení v softwaru Statistica I • V menu Statistics zvolíme Basic statistics ,vybereme t-test, dependent samples 2 logo-IBA Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek Příklad 3: Řešení v softwaru Statistica II • Zvolíme proměnné (Variables), • • Kliknutím na Summary získáme výstupy • • 2 logo-IBA Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek Příklad 3: Řešení v softwaru Statistica III Výběrový průměr Výběrová směrodatná odchylka Počet pozorování Průměrná hodnota diferencí Výběrová směrodatná odchylka diferencí Hodnota testovacího kritéria