Cvičení 1.
Základní pojmy: Číselné obory, množiny, logika, teorie čísel
Pojmy: Přirozená čísla, celá čísla, racionálni čísla, iracionálni čísla (algebraická a transcendentní), reálná čísla. Operace s čísly, asociativní zákon, komutativní zákon, distributivní zákony, neutrální prvek, inverzní prvek, opačný prvek.
Největší společný dělitel, nejmenší společný násobek, dělitelnost v oboru celých čísel, rozklad na prvočísla.
Množina, průnik, sjednocení, rozdíl množin, doplněk, intervaly.
Výrok, negace, konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence, tautologie, kon-tradikce, obecný a existenční kvantifikátor. Logické vyplývání, opačné a ekvivalentní výroky.
1. Převeďte na zlomek: 0,81, 1,6, 3,123.
2. Dokažte indukcí:
l + 2 + 3 + 4+...n= —
3. Dokažte sporem, že y/2 není racionální číslo.
4. Napište pravdivostní tabulky následujících výroků.
a) (p <ř=> (q A p)) =>     p=> q)
b) (p     q)     (~ q p)
c) (p A (q => r)) A (rA ~ p)
d) ~ (pV ~ q)
e) (pV ~ q) •<=> r
f) (p V q) A (p V r)
g) ~ (p V (gA - p))
5. Uvedte příklad pěti tautologií a pěti kontradikcí.
6. Rozhodněte, zda následující výroky jsou tautologie, a) (p     q)     (q p)
b) (p => q) => (~ p =^>~ q)
c) (p => q) => (~ g p)
d) (pO?)^(~p =^>~ g)
e) - (p =>~ p)
f) ~ (p p)
g) ~(pAg)^ (~ pA ~ g)
h) ~ (p V g) ^ (~ pV — g)
7. Určete opačný výrok k daným výrokům.
a) Vi e M : P(x)
b) 3x e M :
c) Vx e R3y e N : [(y < x) A (y + 1 > x)}
d) (~ p A q) => r
e) (pV ~ g) =>• r
f) ~ P => (?V ~ r)