Cvičení 3.
Soustavy lineárních rovnic, lineární útvary (přímky a roviny) v prostoru
Pojmy: Matice soustavy, rozšířená matice soustavy, ekvivalentní úpravy matic, hodnost matice, existence a jednoznačnost řešení soustavy lineárních rovnic, parametrické a obecné zadání přímek a rovin, vzájemná poloha.
1. Určete všechna řešení následujících soustav rovnic. Použijte úpravy matice soustavy na schodovitý tvar.
(i)
-2x + y = 2 —4x — 2y = -4
(ii)
x1 + 2x2 + 3x3 = 4 2X1 + x2 - x3 = 3 Zx1 + 3x2 + 2x3 = 10
(iii)
x1 +   x2 + x3 +     x4 = 0
x1 + 2x2 + 3x3 +   4x4 = 0
x1 + 3x2 + 6x3 + lCte4 = 0
x1 + 4x2 + ÍOx3 + 20x4 = 0
2. V zoologické zahradě onemocněl hroch. Bylo mu předepsáno 42 mg vitaminu A, 65mg vitaminu D. K dispozici máte dva přípravky, první obsahuje 10 procent vitaminu A a 25 procent vitaminu D, druhý obsahuje 20 procent vitaminu A a 25 procent vitaminu D. Jak to hrochovi nadávkujeme?
3. Majitel hospody má čtyřmístné, šestimístné a osmimístné stoly. Dohromady má 20 stolů. Při plném obsazení je v hospodě 108 zákazníků. V případě, že je plně obsazeno jen polovina čtyřmístných, polovina šestimístných a čtvrtina osmimístných stolů, je v hospodě právě 46 zákazníků. Kolik je v hospodě kterých stolů? To je blbej příklad, co?
4. Je dána soustava rovnic o neznámých (x, y, z):
—x — y + a2 z   =   a + 1
x + y — az   =   — 1 ax + 2y — 3z   =   1 — a
Určete matici soustavy a převedte ji na schodovitý tvar. Určete, pro která a má soustava nekonečně mnoho řešení a řešení zapište, určete, pro která a nemá řešení žádné a pro která a má právě jedno řešení (řešení určete).
5. Zadejte libovolnou přímku p v R3 dvěma body. Zapište její parametrické rovnice. Zapište obecně tuto přímku jako soustavu dvou lineárních rovnic.
6. Zadejte libovolnou rovinu g v R3 třemi body. Zapište její parametrické rovnice. Určete obecnou rovnici této roviny.
7. Rozhodněte o vzájemné poloze dvojice přímek:
a p : x + y + z — 1 = 0, 2x + 3y + 6z — 6 = 0 q : y + Az = 0, 3x + Ay + 7z = 0
b p : x = -1 + 3ŕ, y = -3 - 2í, z = 2 - t q : x = 2 + 2í, y = -1 + 3í, z = 1 - 5í