Cvičení 4.
Počítání s maticemi a vektory
Polmy: matice, operace s maticemi (součet, násobek, součin, transpozice, determinant, hodnost), regulární, singulární matice, výpočet inverzní matice, vektory, skalární, vektorový a smíšený součin vektorů, lineární závislost a nezávislost, báze a dimenze.
3 1 0 -1   1 2
D
	< 1	2	
=	0	— 1	
\	V 1	1 ,	/
a	0	-1	a
0	2a	3	0
1	—a	1	1
Rozhodněte, které dvojice z těchto matic lze spolu násobit a v jakém pořadí a násobení provedte.
2. Vypočtěte determinant následujících matic a zjistěte, zda jsou regulární (u číselných matic) resp. za jakých podmínek jsou regulární (u matic s parametry) a v kladném případě stanovte matice inverzní.
a	b	0 >
c	d	0
0	0	e J
2	1	-1
1	0	4
0	1	1
3a. Určete, zda dané vektory u = [ui, u2, u3] , v = [t>i, t>2, ^3] , w = [wi, w2, w3] jsou lineárně závislé či nezávislé
i) u = [1, 2, -2] , v = [-2, -3,1] , w = [-1, 2, 2]
ii) u = [1, 3, -2] , v = [1,1, 2] , w = [-1,2, -8]
3b. Určete hodnotu parametru a, pro kterou jsou dané vektory lineárně závislé či nezávislé
i) u= [1,1,1] ,v= [l,a,l] ,w= [2,2, a]
i) u = [0, 2, a] , v = [-1, 3, 2] , w = [2, -4, a]
4a. Určete, zda dané vektory jsou ortogonální či ortonormální u = [1, —2, 2,1] , v = [1,3,2,1] ,w= [-1,0,1,-1]
4b. Určete parametry a , b tak, aby dané vektory byly ortogonální
i) u= [1,1,2,0,0] ,v= [1,-1,0,1, a] ,w= [1,6,2,3,-2]
ii) u = [2, —1,0, a, b] , v = [a, b, 0, —2, 1] , w = [a, 2b, 5, b, —a]
4c.  Určete vektor x = [x, y, z, t], který je ortogonální k dané trojici vektoru u = [1,1,1,1] ,v= [1,-1,-1,1] ,w= [2,1,1,3]
5. Zapište vzorec pro výpočet skalárního, vektorového a smíšeného součinu vektorů v ortonormální bázi R3. Zapište vzorec pro odchylku dvou vektorů (pomocí skalárního součinu), plochu rovnoběžníka (pomocí vektorového součinu), objem rovnoběžnostěnu (pomocí smíšeného součinu).