Cvičení 11.
Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika
Pojmy: Kombinatorika (kombinace, variace s opakováním a bez opakování, permutace, faktoriál, vzorce a úlohy z kombinatoriky). Pravděpodobnost (definice a vlastnosti klasické pravděpodobnosti, výpočty). Statistika (veličiny s diskrétním a spojitým rozdělením, střední hodnota, střední kvadratická odchylka, distribuční funkce, medián a percentil.)
1. Střelec provedl N = 150 výstřelů na terč, který je tvořen soustavou n = 5 mezikruží M Kí ,i = 1,...,5. Mezikruží M Kí přitom zasáhl Ní krát, kde Nx = 15, N2 = 20 , N3 = 35 , N4 = 45 , N5 = 35. Za zásah mezikruží MK% získal z-bodu. Náhodnou veličinu X s diskrétním rozdělením definujeme jako počet bodů získaných pro jeden náhodný výstřel.
• Určete rozděleni veličiny X , {(xí,Pí)}, kde p (i) je pravděpodobnost i, kdy x í i.
• Pravděpodobnost, že pro náhodný výstřel získá střelec alespoň I bodů, 7=1,2,3,4,5.
• Střední hodnotu veličiny X
• Střední kvadratickou odchylku veličiny X.
• Pravděpodobnost, že při výstřelu získá střelec počet bodů v intervalu i G [2,4].
2. Jaká je pravděpodobnost, že při současném hodu šesti kostkami padne
a) na každé kostce jiné číslo,
b) samé jedničky,
c) alespoň tři dvojky,
d) právě tři dvojky,
e) všechna čísla stejná,
f) všechna čísla lichá,
g) součet n, n = 6,..., 36.
3. Čtyři osoby si v šatně odložily kabát. Satnářka při odchodu rozdala kabáty náhodně. Jaká je pravděpodobnost, že
a) všechny osoby budou mít svůj kabát,
b) žádná z osob nebude mít svůj kabát,
c) alespoň jedna osoba bude mít svůj kabát,
d) právě jedna osoba bude mít svůj kabát.
4. Dokažte následující kombinatorické identity: a)
E " =*•
b)
c)
d)
E
i=0
i=0
n \     / n
k j     \ n — k
n + i \     í n + r + 1 i     j     \ r
k-l) + (k) = (     k     >' ^>0;k>0.
5. Klíčivost semen je ů (pravděpodobnost, že semínko vyklíčí), zasadíme-li n semen, jaká je pravděpodobnost, že
a) vyklíčí alespoň jedno semeno?
b) vyklíčí alespoň k semen?
c) vyklíčí právě k semen?