ŤŤjŤnl Ústav fyzikálního inženýrství §^ Fakulta strojního inženýrství ||| VUT v Brně GEOMETRICKÁ OPTIKA Přednáška 9 i Obsah • Základy geometrické (paprskové) optiky Optické zobrazení - Zobrazovací rovnice. Úvod Est rerum omnium magister usus. Praxe je učitelkou všech věcí. Optické zobrazení - Závislost mezi polohou předmětu a obrazu - Zobrazovací rovnice Jsou-li stanoveny polohy ohnisek a ohniskové vzdálenosti optické (lámavé) plochy (resp. optické soustavy), určí se k danému bodu sdružený bod buď konstruktivně (trasováním paprsku), nebo pomocí zvláštních vztahů, zvaných zobrazovací rovnice. a) Základní tvar zobrazovací rovnice rí n _ n' - n s' s r n n Pro s —» -Qo je .v' = = n r s = f = n -n nr n-rí Použit b) Gaussův tvar zobrazovací rovnice nf _ n s (zobrazovací rovnice vztažená k hlavním bodům) n - n s ť f f f W K-/ LI I\W 1^1 . Í.UI ostaneme: Gauss (1777-en z největších fyziků všech se teorií čísel, u analýzou, pdezií, n, astronomií, uj. www.wikipedia.org Optické zobrazení - Gaussova zobrazovací rovnice Gaussův tvar zobrazovací rovnice (zobrazovací rovnice vztažená k hlavním bodům) ť f af a Pro / = -/' soustava se nalézá v homogenním prostředí, zobrazovací rovnici vztaženou k hlavním bodům můžeme napsat ve tvaru: i i i a' a f 5 Optické zobrazení - Newtonova zobrazovací rovnice Úpravou Gaussovy zobrazovací rovnice f f „ —+ —= 1; a a využitím a = x + f a d = x' + f dostaneme ft f —t— + -J_ = i. x' + f x + f Odkud získáme zobrazovací rovnici c) vztaženou na ohniska - rovnici Newtonovu xx = ff. Příčné zvětšení v tomto případě je: f r' P=-^=-— x f Pro soustava se nalézá v homogenním prostředí, zobrazovací rovnici vztaženou k hlavním bodům můžeme napsat ve tvaru: xxf = -ýf2t Sir Isaac Newton (1643-1726) byl anglický fyzik, matematik, astronom, filosof, teolog a alchymista. Je považován za jednoho z nejvýznamnějších vědců všech dob. Newton ve svém základním díle Philisiphiae Naturalis Principa Mathematica (Matematické principy přírodovědy) popsal zákon všeobecné gravitace a svými pohybovými zákony položil základy klasické mechaniky. V rámci svého výzkumu také vytvořil (spolu s Gottfriedem Leibnizem; o prvenství vedli nesmiřitelný spor) základy diferenciálního a integrálního počtu. Zdroj: www.wikipedia.org 6 Sir haac Newton Optické zobrazení - Zobrazovací rovnice pro libovolnou dvojici sdružených bodů p'=z; Využitím příčného zvětšení /? můžeme vztáhnout základní tvar zobrazovací rovnice na libovolnou dvojici sdružených bodů ZXZ- optické soustavy. Je li p7 příčné zvětšení sdružených bodů ZxZ-y a označíme-li p = ZÍXÍ a z = FZX , z = ~FŤ platí: x = z + p, xf = z+ pf. Využitím Newtonovy zobrazovacích rovnic xx' = ff'\ zz = ff' dostaneme: z p + zp' + pp' = 0; xx' = zzf = ff'\ zzf = (z + p)(z' + p')\ % zz' - zz' + zpr + z'p + pp'; z'p + zp' + pp' - 0. r Z f Poněvadž je z =--,z' = -f'fiz\ můžeme psát předešlou rovnici ve tvaru: f 1 , n'. rí. yi 1 rí. —tPz +--' = 0; nebo využitím /' = —-/; ve tvaru: —f/3z —-— = —. P J3ZP n. P P P z f n n\ P' 1 Pro příčné zvětšení plyne: p = —— Optické zobrazení - Afokální soustava, Gaussova zobrazovací rovnice Pro afokální soustavu (f —>oo) nabývají tyto rovnice tvaru: n P — = — Pz\ P=PZ. Z posledního vztahu vyplývá, že příčné zvětšení afokální p Hl soustavy je stálé. V praxi mají význam zejména případy: a) kdy Zx, Zj jsou body hlavní - zobrazovací rovnice Gaussova, P2 = 1, z = p, z = L + L-v n--Ll nebo fi = p' p ŕ p* p p f _ "i n, p v případě nj=n1 dostáváme: P P f P 8 Optické zobrazení - Gullstrandova zobrazovací rovnice Df b) kdy Zx, Zj jsou středy pupil - zobrazovací rovnice Gullstrandova, /?z = —, kde D a D' jsou průměry vstupní a výstupní pupily. nebo D'2f D2f n f D p' -— + —— = DD; B = - — f D' p v případě nj=n1 a /?>0 dostávame: ď_ DD^ R-—Ĺ a v případě ny=n; a /?<0: D'2 D2 DD' „ D z' ---=--; B =---. z z j D z n'jD D z f n'. D' z Allvar Gullstrand (1862-1930) byl švédský oftalmolog, nositel Nobelovy ceny za fyziologii a medicínu za rok 1911. Byl prvním profesorem oftalmologie na univerzitě ve švédské Uppsale. Od roku 1901 spolupracoval Gullstrand v laboratořích Carl Zeiss v Jeně se Siegfriedem Czapskim na konstrukci oftalmologických optických přístrojů. Inicioval vývoj nových přístrojů, navrhoval jejich koncepci a účastnil se klinických testů. K nejdůležitějším výsledkům tohoto vývoje patří Gullstrandův oftamoloskop se štěrbinovým osvětlením pro pozorování očního pozadí z roku 1911. Zdroj: www.wikipedia.org Optické zobrazení - výpočet chodu parsku ideální soustavou Z obrázku platí: h a, = k f f Dosazením do zobrazovací rovnice — + — = 1 dostaneme: a a n-iga' fk-igak ď Átga+!lL. n -n fk n n, Protože a'k=ak+l, ^ = ^±l, Ok=-^, je k f n, t&ak+i=—tEak + K®k n k+i n k+i 10 Optické zobrazení - výpočet chodu parsku ideální soustavou Platí rovněž: Kx = hk-tgak+l-dk. Pro paraxiální paprsky platí: ak+i = ak + K®** K+x =K-• dk- Pro soustavu ve vzduchu («* = nk+i =!) vychází: ^o:k+l=tgak + hk^k. Optické zobrazení - soustava složená z několika prvků ak=0; 0 = -^ = n4 n4tga4 f K Pomocí soustavy rovnic dopadových výšek a úhlů lze nalézt: O = 0l + o2 + o3 - ^ (o2 + o3) - °3 dl f Ur O, +0.--l—2—L ^ n 2 J Poloha obrazového ohniska: 12 Optické zobrazení - soustava složená z několika prvků ____Jl V >< Poloha obrazového ohniska: F tga4 O f O d l _ 11 v n4 ( l-O V^2 n3 J n, x + 02 + (D3 - (02 + 14 Optické zobrazení - soustava složená z několika prvků a) sledováním paraxiálního paprsk ze zadání: nx = 1 (vzduch), n[ = n2 n[ _ n[ - nx n si = i 1,5 1 n1-nL+nL 0,5 1 + mm = 'i 20 -100 s2 = s[ - d = (100 - 6) mm = 94 mm 1 -0,5 U 40 94 mm = 289,20 mm 15 Optické zobraz prvků b) zobrazením vztažený L_I-_L kde 1 0,5 r i n + i, 20 40 J l,5.20.(-40) -i 11 -i mm =-mm 800 H n r2 800 0,5 1 ----6 — = -3,64 mm 11 1,5 40 H /i-lrf 800 0,5 6 11 1,5 20 = -7,27 mm flJ=^-5H =-100 +3,64 = -96,36 mm 1 1 1 11 1 — = — + - =---= 0,0034 mm a9 f a 800 96,36 -i a = 296,6 mm Optické zobrazení - s prvků c) zobrazením vztaženým na ohnis xx = -./' ti "F = SH-f' = = (-3,64-72,73) mm=-76,37 mm ^<0 x x = .v, - sľ = (-100 + 76,37) mm= - 23,63 mm f2 72,732 x 23,63 mm=223,85 mm 17 Optické zobrazení - soustava složená z několika prvků Čočka o poloměru křivosti ploch rx=20 mm r2=-40 mm tloušťky d=6 mm zhotovená ze skla s indexem lomu n=l,5 zobrazuje předmět, jenž je a) b) c) vzdálenosti ^=-100 mm od prvního rozhraní. Určete polohu obrazu trojím způsobem: sledováním paraxiálního paprsku —► s'2=289,2mm; zobrazením vztaženým na hlavní body —> /=72,73 mm; sH=-3,64 mm; s 'H=-7,27 mm; a=-96,36 mm; a - 296,6 mm; zobrazením vztaženým na ohniska s^=-76,37 mm; x=-23,63 mm; x =223,85 mm. Kontrola: s'2~f+x+s h=(72,73+223,85-7,27) mm =289,3 mm 'H=289,3 mm sx - f+x+sH ~ a+sH = (-96,36-3,64)mm=-100 mm 18