ŤŤjŤnl Ústav fyzikálního inženýrství §^ Fakulta strojního inženýrství ||| VUT v Brně
GEOMETRICKÁ OPTIKA II
Přednáška 2
i
Obsah
• Zobrazení zrcadly. Soustava sférických zrcadel.
2
Galileo Galilei
(15. února 1564, Pisa - 8. ledna 1642, Arcetri) italský (toskánský) fyzik a astronom.
Filozofie je zapsána do této veliké knihy, tj. vesmíru, který je neustále vystaven našemu pohledu, ale nemůže být pochopen, pokud se nejprve nenaučíme jeho jazyku, v němž je zapsán.
Jeho jazykem je jazyk matematiky a jeho znaky jsou trojúhelníky, kruhy a další geometrické obrazce, bez nichž by nebylo možno sestavit byť jediné slovo. Bez těchto znaků a slov vesmírem člověk bloudí jako temným labyrintem.
Zdroj: http://cs.wikiquote.org/wiki/Galileo Galilei
Optické zobrazení - úvod		
•   Z Fermatova principu vyplývá: • v homogenním prostředí paprsky šíří přímočaře, • odražený paprsek leží v rovině dopadu; úhel odrazu se rovná úhlu dopadu, • lomený paprsek leží v rovině dopadu; úhel lomu 02se vztahuje k úhlu dopadu 0h Snellovým zákonem nx sindl = n2 sin<92.	Kolmice k rozhraní	
•   Optické zobrazování - úkolem je umožnit viditelnost předmětů na jiném místě, a to buď ve stejné velikosti, nebo zvětšeně (resp. zmenšeně).
5 Z každého (předmětového) bodu A, B, C... svítícího
(osvětleného) objektu vychází svazek světelných a- paprsků. Procházejí-li tyto svazky optickou soustavou : S, transformují se na nové svazky s vrcholy A', B',C ... A', B',C ... nazýváme obrazy bodů A, B, C... a obrazem předmětu je souhrn obrazů jednotlivých bodů předmětu.
4
Optické zobrazení - Odraz světla na povrchu
Odraz světla na povrchu
zrcadlový odraz
pro hladké (leštěné) povrchy s drsností menší nežli vlnová délka světla
dopadající svazek paprsků je odražen podle zákona odrazu
difúzni odraz
& pro drsné (neleštěné) povrchy s drsností větší nežli vlnová délka světla
dopadající paprsky jsou odraženy do všech směrů s různou intenzitou
Zdroj: http://webfyzika.fsv.cvut.cz/ 5
Jednoduché optické prvky - Zrcadla
Rovinná zrcadla odráží paprsky vycházející z bodu PA tak, že odražené paprsky jeví jako vycházející z bodu P2, který leží za zrcadlem a nazývá se obraz.
Parabolická zrcadla soustřeďují všechny paprsky dopadající rovnoběžně s osou paraboloidu do jediného bodu zvané ohnisko. Vzdálenost | PF\ = f se nazývá ohnisková vzdálenost, (kolektory/reflektory světla)
Eliptická zrcadla odrážejí všechny paprsky z jednoho z jeho dvou ohnisek (napr. P^) a zobrazují toto ohnisko do druhého ohniska. Vzdálenosti které světlo proběhne z bodu P1 do bodu P2 podle kterékoli dráhy, jsou v souladu s Heroovým principem stejné.
Optické zobrazení - Zrcadla - příklady
Paraboloidická zrcadla:
Elipsoidická (eliptická) zrcadla:
Zdroj: http://www.edmundoptics.com 7
Optické zobrazení
Odraz paprsků od rovinné plochy
Optické zobrazení
Odraz paprsků od kulové plochy
:6?e
f>0	4i<0	
u-		
Známe cr, s hledáme a\ s
q .
smer = — srna, r
Sinová věta:
q .
smer = — šmar.
sin a   sin a
q .
sm g - — sm a, r
o' - -cr;    = a-a; ď = čd + <j'; sin ď
q mr-
šina
ď = a + 2<t'; 5*' = r - č/.
Porovnání s rovnicemi pro lom paprsku na kulové ploše:
<? . ,   n .
sin cr = — sin a,    smcr = — smcr,
sin o:'
q = r-s\ q' = r--:,
ď = a + <j' - <j,
Při odrazu platí: n--n
smcr s' = r - q.
Optické zobrazení
Odraz paprsků na kulové ploše
Optické zobrazení - Sférické zrcadlo
- Má podobné zobrazovací vlastnosti jako tenká čočka nebo jedna lámavá plocha.
- Odraz paprsku rovnoběžného s osou na konkávním a konvexním zrcadle:
- Platí zákon odrazu (jednodušší výpočet).
- Pro paraxiální paprsky:
- Ohnisková vzdálenost dutého (konkávního)
f _ ~pš = —~CŠ nebo f - - — r    zrcac|la je kladná (chová se jako spojná čočka).
2 2      - Ohnisková vzdálenost vypuklého (konvexního)
zrcadla je záporná.
11
Optické zobrazení - Sférické zrcadlo, vytvoření obrazu
- Vytvoření obrazu dutým zrcadlem:
Pro paraxiální paprsky platí
(vrcholová zobrazovací rovnice zrcadla):
- + ---s'   s r
^1
rs
s =
2s-r
Predmetová / obraz, ohnisková vzdálenost:
r
s = f^s'-+co,f = --
S-+CO, s' = f\f' = --
12
Optické zobrazení - Sférické zrcadlo, Příklad
Předmět je umístěn ve vzdálenosti s = 2 r od vydutého sférického zrcadla, kde r je poloměr křivosti zrcadla. Sestrojte zobrazení předmětu.
Pro paraxiální paprsky platí
(vrcholová zobrazovací rovnice zrcadla):
Pro velikost obrazu y plyne:
y = my = y
ľ
f-s
y =
y
3
Zdroj: http://webfyzika.fsv.cvut.cz/PDF/priklady/Optika_resene_1.pdf
13
Optické zobrazení - Sférické zrcadlo, vytvoření obrazu
-Obě ohniskové vzdálenosti (předmětová, obrazová) jsou stejné.
- Předmětové i obrazové ohnisko splývá s bodem, který půlí vzdálenost mezi vrcholem a středem.
- Hlavní body splývají s vrcholem S a uzlové se středem křivosti C.
- Duté zrcadlo (r< 0) má spojné účinky, jeho optická mohutnost
o = — = —.
14
Optické zobrazení -	Katoptrické a dioptrické
soustavy	
Katoptrické (zrcadlové) soustavy	Dioptrické (čočkové) soustavy
Zdroj: http://webfyzika.fsv.cvut.cz/
Optické zobrazení - Sférické zrcadlo, zobrazovací rovnice n
- Platí podobné zobrazovací rovnice jak v prípade lámavých ploch:
1   1 2
dosazením do —h- = —, vychází:
s'   s r
1
+
1
x'- f   x-f
="7;
po úpravě:
jcjc — .
- Pro příčné zvětšení platí:       , ,
y s
Poloha předmětu	Poloha obrazu	Obraz
mezi +oo a c	mezi F a C	reálný, převrácený, zmenšený
2f <S<+OD	f<s'<2f	0 <p<-i
Y c	v c	reálný, převrácený, stejně veliký
s=2f	s'=2f	p=-i
mezi C a F	mezi c a +oo	reálný, převrácený, zvětšený
f<s<2f	2/ < s' < +oo	-7 </j<-QO
mezi f a s 0<s<f	mezi -co a S 0 < 5 ' < -00	virtuální, vzpřímený, zvětšený +oo <f}< +/
Pozn.: Konvexní zrcadlo dává zmenšený virtuální obraz.
16
Optické zobrazení - Katoptrické a dioptrické soustavy
Zobrazení odrazem na kulové ploše (zrcadla)
ohnisková vzdálenost
n    n   n — n
n = —n
příčné zvětšení
t		
y	s	r
m— —	---	
y	s	r - 2s
uhlové zvětšení
c	1
y= =	
a	m
1 1	2
— + — --	
s s	r
rs
2s — r
m = +l ... hlavní body    s = 0 5=0 y = +1 ... uzlové body —> sLT = r su'=r
o = H
Zdroj: http://webfyzika.fsv.cvut.cz/ 17
Optické zobrazení - Soustava dvou zrcadel
-Zobrazení jedním zrcadlem je často nevýhodné kvůli tomu, že se skutečný obraz vytváří na téže straně zrcadla, jako je předmět, což stěžuje pozorování tohoto obrazu. Výhodnější polohu obrazu můžeme dosáhnout použitím dvou zrcadel.
Použití rovinného zrcadla z.
Výhodnější je použít centrované soustavy dvou zrcadel, z nichž jedno musí být opatřeno otvorem. Tím se dosáhne toho, že se skutečný obraz vytvoří v temže směru, v jakém postupuje světlo od předmětu, tj. stejným způsobem, jak tomu bylo při zobrazování čočkami. U této soustavy je třeba znát polohu obrazového ohniska a ohniskovou vzdálenost, určíme je stejným postupem jako u soustavy dvou čoček.
18
Optické zobrazení - Soustava dvou zrcadel
Má-li zrcadlo 1 ohniskovou vzdálenost fv zrcadlo 2 ohniskovou vzdálenost f2 a je-li vzdálenost zrcadel ^ platí pro ohniskovou vzdálenost soustavy:
AÍ2
— kde f = —— f = ——
d + a =
~äh f — d —
(/l-^)/2f
fx+fi-d
Příklad: pro ^=-100 (konkávni zrcadlo) a r2=20 (konvexní zrcadlo) je ^=50 a /2=-10.
Pak pro d=45 vychází =500, a a=500-41 -(410/1 )=49.
19
Optické zobrazení - Soustava dvou zrcadel
V praxi je většinou předepsána ohnisková vzdálenost f soustavy, vzdálenost d vrcholů obou zrcadel a vzdálenost a obrazového ohniska od prvního zrcadla; mají se určit poloměry křivosti obou zrcadel.
/i/2
d
f2 = ^~—~> a dosazením do a = ^—7, dostaneme*
fd
l   d + a f-d-f
f-fi
; f2 =
fi + fi-d
a
(a + d)d
a + 2d - f
Pro poloměry křivosti (z rovnic: fx -- — ,/2 =
2*
r2
—;) plyne:
_ ?f_    2fd        _       _2(a + d)d
a + d- f
f - a - 2 d
* Pro odvození viz Fuka/Havelka: Optika I str. 184.
20
Optické zobrazení - Soustava dvou zrcadel -příklad využití
Reflexní objektivy - konfigurace Schwarzschild
15X ReflX™ Objectives
Unils: mm
Zdroj: http://www.edmundoptics.com 21