Užití derivace.
Lenka Přibylova 28. prosince 2010
Ukažte, že ip(x, t) = A cos co(t
je reSením vlnove rovnice.
)
dip
dx
d2ip
dx2
dip
äi" = d21p
w
—A sin |^ o (t - — A cos^ co(t
—A sin ^ co(t = — A cosT co(t
v' 1
v2
(o;(ř-í))-a,(-i (o,(
(W(ř-Í)).^
a2!/; _ i a2!/; aí2 _ ^2
Ukažte, že funkce i/?(x, t) = f (x ± vt) je resením vlnove rovnice: |
dt2
d2ip _ 1 d2ip dx2 ~
fx=nx±vt).d-^ = f>(x±vt).l=f>(x±vt)
a2 ^
f"(x ± vt) • (±v) • (±v) = f"(x ± vt) • v2
f"(x±vt) = -žv2f"(x±vt)
Proktere v je funkce f(x, t)
(x — 2t)2 + 1
resením vlnove rovnice?
j
d2ip _ 1 d2ip dx2 ~
|£ = -((x - 2t)2 + l)-2 ■ 2(x - 2t) 0 = 2((x - 2t)2 + I)"3 • 2(x - 2t) ■ 2(x - 2t) - ((x - 2t)2 + l)"2 • 2 ^ = -((x-2ř)2 + l)-2-2(x-2ř)-(-2)
^| = 2((x - 2t)2 + l)-3 • (-4)(x - 2ř) • (-4)(x - 2ř) - ((x - 2t)2 + 1)~2 ■ 8 at2
d2ip _ i a2^ dx2 ~ IW
©Lenka Přibylová, 2010 Q
1
_
Ukažte, že se harmonická vlna ip{x, t) = A cos(cot - kx) šíří prostorem rychlostí v = j.
Harmonická vlna ip(x, t) = A cos(cot — kx) má fázi cp(x, t) = cot — kx = const. Rychlost šíření vlny odpovídá rychlosti šíření konstantní fáze prostorem, tj.
<d'(x t) - d(p dX + d(p -0
r, , . dx    v.      dw     dcot — kx dw     dcot — kx
Z teto rovnice vyiadnme rychlost ——, přitom —- =---= co a      =---= —k, tedy
dt dt dx dx
dx _    ^ _ co _ ~ďi ~    H ~ ~k ~ V
dx
Spočtěte Tayloriav polynom stupně 2 příslušný funkci y = sin(x2) v okolí x0 = 0.
/ (x) = sin(xz) f (0) = 0
f'(x) = cos(x2) • (2x)
f (0)=0
f"(x) = - sin(x2) • (2x) • (2x) + cos(x2) • 2 f"(0) = 2
TaylorUv polynom stupně 2 je tedy tvaru:
T2(x) = 0 + ^x + ^x2 = x2.
Spočtěte Tayloruv polynom stupně 2 příslusny horní piůlkružnici x2 + y2 = R2 v okolí x0 = 0.
Dvě půlkružnice x2 + y2 = R2 jsou v explicitním tvaru y = ±VR2 — x2, horní je kladná. Hledáme tedy Taylorův polynom funkce/(x) = VR2 — x2. f(x) = VR2 - x2
f    = R i i
f'(x) = \(R2- x2)^ ■ (~2x) = -x(R2 - x2)-2
f (0) = 0 1 3
f"(x) = —(R2 - x2yl - x{-\){R2 - x2yl ■ (-2x)
/"(o) 1
R
Tayloruv polynom stupně 2 jě tědy tvaru:
T2(x) = R + ^x + ^x2 = R-±x2.
Spočtětě Tayloruv polynom stupně 4 príslusny horní piůlkružnici x2 + y2 = R2 v okolí x0 = 0.
Pokračujeme v rozvoji funkce f(x) = \/R2 — x2.
f"'(x) = (—(R2 - x2)-2 - x2(R2 - x2yl)' = \{R2- x2)-2 . (-2x) - 2x(R2 - x2)~l - x2{-\){R2 - x2)^ ■ (-2x) =
-3x(R2 - x2yl - 3x3(R2 - x2y52 f"' (0) = 0
EB1   El   la   iaa ©Lenka Přibylová, 2010 Q
= -3(Ä2-x2)-2 -3x(-|)(Ä2-x2)-2(-2x)-9x2(Ä2-x2)-2 -3x3(-f)(Ä2-x2)-2(-2x)
/(4)(o) = -^
Tayloruv polynom stupně 4 je tedy tvaru:
T^ = R + ^ + ^x2 + ^3 + Zír = R-JŘx2-éx4-
Magnetické pole vodiče, kterým protéká stejnosměrný proud I, je dáno jako É = $ ( - ^, ^, o) (proud protéká ve
směru osy z, fi0 je permeabilita, r je vzdálenost od vodice stejnosměrného proudu ). Spočtěte divergenci indukovaného magnetickeho.
]
Divergence F: divF =      +      +       Označme B =      (—     r2"'^) = 27F^' ^e 2řF íe konstanta, kterou můžeme
dx     dy dz
z divergence vytknout. Budeme se tedy zabývat jen vektorovým polem F = ^—     ^, 0 j.
a/i _       _ _jj  y   _ _ a 2   2 x _ 2   2 2    _ ixy
dx'    dx    ~   dxx2 + y2~   ydx[X +y '    ~   y[    )[X +y '      X~(x2 + y2)2
dfx       a(4)        d       x a  .  2       2\-1 /    i\/  2       2\-2   „ 2X1/
dy      dy      3yx2 + y2      3^       y y        J      (x2 + y2)2
3/3
dz
0
dx     dy     dz     (x2 + y2 )2    (x2 + y2)2
Divergence magnetického poleje nulová.
EB1   Q   Q OS
©Lenka Přibylová, 2010 Q