1
Matematické minimum
Základním posláním této kapitoly je poskytnout náhled na nejjednodušší aplikace vyšší
matematiky, s nimiž se můžeme setkat při studiu biofyzikálních či fyzikálních problémů. V
předchozích kapitolách jsme se s elementy vyšší matematiky setkávali jen ojediněle, což však
neznamená, že by význam této kapitoly byl malý. Neschopnost pracovat s aparátem vyšší matematiky
představuje pro biology a lékaře limitující faktor, který jim obvykle znemožňuje plné pochopení
odborných textů, které se zabývají např. modely biofyzikálních procesů. Vyšší matematika není v
přírodních vědách samoúčelná, naopak, umožňuje efektivní a dosti přesný popis dějů a stavů.
Matematické výrazy mohou vypovídat o procesech v přírodě jen tehdy, dokážeme-li je správně
interpretovat, tj. vysvětlit jejich význam. To však již není úkolem matematiky, ale jednotlivých
speciálních přírodních věd. Mnoho zákonů platných v přírodních vědách může být formálně
vyjádřeno jako funkční závislost dvou nebo více proměnných veličin čili, zjednodušeně řečeno, jako
matematické funkce. Problematikou funkcí se zabývá matematická disciplína zvaná matematická
analýza. Při výkladu jejích poznatků budeme uvažovat obvykle jen reálné funkce jedné reálné
proměnné. Nejnutnější pozornost budeme věnovat i úvodu do vektorového počtu, protože řada
fyzikálních veličin, s nimiž se v biofyzice pracuje, je povahy vektorové, tj. má nejen určitou velikost,
ale též definovaný směr.
1 Funkce, její vyjádření a vlastnosti
Předpis, který každé hodnotě nezávisle proměnné veličiny x, která je prvkem nějaké číselné
množiny M, jednoznačně přiřazuje číselnou hodnotu závisle proměnné veličiny y, se nazývá funkce.
Této definici odpovídá zápis:
y = f(x).
Funkce může být znázorněna pomocí grafu, což je množina bodů (x, y) v kartézské soustavě
souřadnic, kde x  M (x patří do množiny M) a y = f(x).
Nezávisle proměnnou veličinu nazýváme argumentem funkce. Množinu jejích hodnot M
nazýváme definičním oborem funkce. Množinu hodnot závisle proměnné nazýváme oborem
hodnot dané funkce. Obě tyto množiny mohou být tvořeny nekonečným nebo konečným počtem
hodnot. Ve druhém případě hovoříme o diskrétních hodnotách. Množiny závisle a nezávisle
proměnných veličin nelze obecně vzájemně zaměňovat (tlak krve je funkcí času, avšak čas není
funkcí tlaku krve).
Funkce může být nejčastěji zadána analyticky, tj. matematickým vzorcem. Častý je též zápis
grafický (např. spojitý časový záznam změn nějaké fyzikální veličiny) nebo tabulkový.
Pro usnadnění popisu (vyšetřování) průběhů funkcí si všímáme jejich určitých charakteristických
vlastností. Uvedeme je formou výčtu. Odkazujeme též na středoškolskou matematiku a
předpokládáme, že čtenář je obeznámen s následujícími pojmy: funkce sudá a lichá, rostoucí a
klesající, nerostoucí a neklesající, periodická, prostá, inverzní a složená. Připomeneme si však
konkrétní typy funkcí, s nimiž se můžeme setkat v přírodních vědách nejčastěji: polynomů, racionální
lomené funkce, funkcí goniometrických a cyklometrických a konečně funkcí logaritmických a
exponenciálních.
Funkce tvaru polynomu n-tého stupně s reálnými koeficienty a0, a1, .... , an je vyjádřena v
obecném tvaru:
y = anxn
+ an-1xn-1
+ ... + a1x + a0,
2
kde koeficienty a0, a1, .... , an jsou libovolná reálná čísla, n je nezáporné celé číslo a an  0.
Definičním oborem této funkce je celý interval (- +).
Polynomem stupně 0 je definována konstantní funkce tvaru
y = a0,
jejímž grafem je přímka rovnoběžná s osou x.
Polynomem 1. stupně je definována funkce lineární ve tvaru
y = a1x + a0,
kde a1  0. Grafem lineární funkce je přímka se směrnicí a1. Pro x = 0 má tato funkce hodnotu a0.
Polynomem 2. stupně je definována funkce kvadratická ve tvaru
y = a2x2
+ a1x + a0,
kde a2  0. Grafem této funkce je parabola s vrcholem o souřadnicích (-a1/2a2, (- a1
2
+
4a2a0)/4a2). Je-li a1 = 0, je graf paraboly souměrný podle osy y. Je-li a0 = 0, má parabola vrchol v
počátku souřadnicové soustavy.
Racionální lomená funkce je dána podílem dvou polynomů:
y
a x a x a
b x b x b
n
n
n
n
m
m
m
m
=
+ + +
+ + +
−
−
−
−
1
1
0
1
1
0
....
....
,
s reálnými koeficienty a0, a1,... , an, b0, b1, ... , bm. Definiční obor této funkce tvoří všechna reálná x,
pro která je jmenovatel různý od nuly.
Zvláštním případem racionální lomené funkce je lineární lomená funkce tvaru
y
a x a
b x b
=
+
+
1 0
1 0
,
kde musí být splněny podmínky a1b0 - a0b1  0 a b1  0. Tato funkce je definovaná pro x  -b0/b1.
Jejím grafem je hyperbola se středem o souřadnicích -b0/b1, a1/b1. Při hodnotách a1 = 0, b0 = 0, b1 =
1 je lineární lomená funkce vyjádření tzv. nepřímé úměrnosti
y =
a
x
0
, kde a0  0.
Tato funkce je definována pro x  0.
Goniometrické funkce jsou funkce periodické.
Funkce
y = sin x
je lichá s periodou 2, definovaná v oboru všech reálných čísel x. Je rostoucí na každém intervalu ((4k
- 1)/2, (4k + 1)/2), kde k je celé číslo. Na ostatních intervalech je klesající. Oborem hodnot této
funkce je interval (-1,1). Grafem je sinusoida.
3
Funkce
y = cos x
je sudá s periodou 2, definovaná v oboru všech reálných čísel x. Je klesající na každém intervalu
(2k, (2k + 1)), kde k je celé číslo. Na ostatních intervalech je rostoucí. Oborem hodnot této funkce je
interval (-1,1). Grafem je kosinusoida.
Průběh funkcí sinus a kosinus je uveden na obr. 1a.
Obr. 1a. Průběhy funkce sinus a kosinus.
Z obrázku je patrno, že křivky obou funkcí jsou vzájemně posunuty o /2, přičemž platí tyto
vzájemné vztahy:
sin (x + ) = cos x a cos (x - ) = sin x
Funkce
y = tg x
je lichá s periodou , definovaná v oboru všech reálných čísel x s výjimkou lichých násobků . Je
rostoucí na každém intervalu ((2k - 1)/2, (2k + 1)/2), kde k je celé číslo. Oborem hodnot je interval
(- +).
Funkce
y = cotg x
je lichá s periodou , definovaná v oboru všech reálných čísel x s výjimkou celočíselných násobků .
Je klesající na každém intervalu (k, (k + 1)), kde k je celé číslo. Oborem hodnot je interval (- +).
Pro funkce tangens a kotangens platí:
tg x =
sin
cos
x
x
a cotg x =
cos
sin
x
x
.
Funkce cyklometrické
y = arcsin x y = arccos x y = arctg x y = arccotg x
(čteme "arkus sinus x" atd.)
jsou inverzními funkcemi ke goniometrickým funkcím
x = sin y x = cos y x = tg y x = cotg y
4
uvažovaným pouze v základních intervalech jejich monotónnosti (pro funkci sinus v intervalu -/2,
/2, pro kosinus 0  pro tangens (-/2, /2) a kotangens (0, )).
Exponenciální funkcí rozumíme funkci s proměnnou v exponentu, tj. funkci ve tvaru
y = ax
kde a  1 je kladné číslo, přičemž x nabývá hodnot z intervalu (- +). Exponenciální funkce nabývá
pouze kladných hodnot. Pro a > 1 je funkcí rostoucí, pro a < 1 je funkcí klesající na celém definičním
intervalu. Často se můžeme setkat se zvláštním případem exponenciální funkce, kdy číslo a má
hodnotu Eulerovy konstanty e = 2,71 ....:
y = ex
, resp. y = e-x
=
1
e
x





 .
Obr. 1b. Průběh logaritmické a exponenciální funkce
Logaritmická funkce tvaru
y = loga x
je inverzní k exponenciální funkci x = ay
. Je definována na intervalu (0 +), pro a > 1 je funkcí
rostoucí, pro 0 < a < 1 je na celém definičním intervalu klesající. Oborem funkčních hodnot je interval
(- +). Číslo a označujeme jako základ logaritmu.
Zvláštním případem logaritmické funkce je funkce
y = log10 x čili y = log x
zvaná též dekadický logaritmus, inverzní k funkci x = 10y
.
Jiným zvláštním případem je funkce
y = loge x čili y = ln x
zvaná též přirozený logaritmus (logaritmus naturalis), inverzní k funkci x = ey
.
Průběh logaritmické a exponenciální funkce o základu e a 1/e je znázorněn na obr. 1b.
5
Zejména s dekadickými logaritmy se setkáváme mj. všude tam, kde potřebujeme převést velký numerický
rozsah veličiny x na příhodnější numerický rozsah. Exponenciální závislosti se po zlogaritmování stávají lineárními.
Biofyzikálně relevantním příkladem logaritmické závislosti je vztah mezi hladinou intenzity L a intenzitou zvuku I.
Platí:
L = log
I
I0
[B] resp. L = 10 log
I
I0
[dB]
kde I0 je (konvenční a srovnávací) hodnota prahu slyšitelnosti, obvykle 10-12
Wm-2
.
6
2 Derivace funkce a její význam
Při vyšetřování okamžitých nebo lokálních změn navzájem se ovlivňujících veličin je užitečné
zavedení dalšího základního pojmu matematické analýzy - derivace funkce. Přitom přecházíme od
veličin o konečné velikosti k veličinám nekonečně malým čili infinitezimálním.
Derivace funkce y = f(x) v bodě x0 je limitou podílu příslušné změny (přírůstku nebo úbytku)
funkce y ku přírůstku argumentu x pro x jdoucí k 0, tj. limitou
( ) ( )


x
f x x f x
x→
+ −
0
0 0
lim
a značí se nejčastěji f '(x0).
Předpokladem je, že tato limita existuje. Derivace funkce v jednom bodě je nějaké číslo. Jestliže
má funkce f(x) derivaci v každém bodě definičního oboru (popř. nějaké jeho části), dostáváme takto
novou funkci f '(x). V matematice, fyzice, chemii i jinde se můžeme setkat s několika různými
formami zápisu derivace funkce y = f(x): dy/dx, y' či f'(x). V aplikovaných vědách je patrně nejčastější
forma dy/dx, kterou čteme jako “derivace funkce y podle x”.
Obr. 2a. Derivace funkce jako směrnice tečny ke grafu této funkce
Z geometrického hlediska je derivace y' funkce y = f(x) v daném bodě x0 směrnicí tečny ke grafu
této funkce v bodě určeném dvojicí souřadnic (x, y), jak plyne i z obr. 2a.
Z fyzikálního hlediska derivace charakterizuje rychlost změny jedné veličiny v závislosti na
druhé veličině – je-li touto druhou, tj. nezávisle proměnnou veličinou čas. Může charakterizovat i
polohové změny nějaké veličiny, je-li nezávisle proměnnou souřadnice polohy. V tomto případě má
derivace úzkou souvislost s pojmem gradientu, k němuž se vrátíme v oddílu o vektorovém počtu.
Derivace může mít i jiný fyzikální význam, např. v termodynamice je derivací vnitřní energie podle
látkového množství chemický potenciál.
Derivace funkce v daném bodě nemusí vždy existovat. Má-li funkce v bodě x konečnou derivaci,
říkáme, že je v něm diferencovatelná. Diferencovatelnost na celém určitém intervalu znamená
existenci konečné derivace v každém jeho bodě.
Výpočty derivací funkcí s použitím limit jsou často nesnadné, a proto je vhodné odvozené
derivace základních matematických funkcí vyhledávat v příručkách nebo si je zapamatovat:
(c)' = 0 (xn
)' = nxn-1
7
(ex
)' = ex
(ax
)' = ax
ln a
(ln x)' =
1
x
(loga x)' =
1 1
x
e
x a
alog
ln
=
(sin x)' = cos x (cos x)' = -sin x
(tg x)' =
1
2
cos x
(cotg x)' =
−1
2
sin x
Je třeba připomenout i pravidla pro výpočet derivací aritmetických operací funkcí a derivace
funkce složené:
[c.f(x)]' = c.f ' (x),
[f(x) + g(x)]' = f ' (x) + g' (x)
[f(x) . g(x)]' = f ' (x) . g(x) + f(x) . g' (x)
[f(g(x))]' = f ' (g(x)) . g' (x)
Z výše uvedených pravidel je zřejmé, že výsledkem derivace konstantní funkce je nula, derivace
lineární funkce vede k funkci konstantní a že derivace kvadratické funkce je funkcí lineární. Derivace
polynomu n-tého řádu je obecně polynom řádu n - 1 pro každé přirozené n.
Protože derivace funkce f(x) je opět funkcí téže nezávisle proměnné, tedy y' = f'(x), lze hovořit i o
její derivaci
(y')' = [f'(x)]'.
Nazýváme ji derivací druhého řádu (zjednodušeně druhou derivací) a značíme y'' = f''(x) nebo
d2
y/dx2
. Lze uvažovat i derivace vyšších řádů, za předpokladu, že existují.
Zejména derivace prvního a druhého řádu využíváme při vyšetřování průběhů funkcí zadaných
analyticky (tj. "vzorcem"). Přitom je třeba znát zejména následující skutečnosti:
Diferencovatelná funkce rostoucí na určitém intervalu má ve všech vnitřních bodech tohoto
intervalu nezápornou první derivaci. Diferencovatelná funkce klesající na určitém intervalu má ve
všech vnitřních bodech nekladnou první derivaci. Ve všech bodech lokálních extrémů je první
derivace diferencovatelné funkce rovna nule, ale neplatí opak: kde je první derivace funkce rovna
nule, nemusí nastat extrém (viz bod x1 na obr. 2b). Tento bod, ve kterém křivka přechází z jedné
strany tečny na druhou, se nazývá inflexní bod.
Předpokládejme, že jsme nalezli bod, v němž je hodnota první derivace rovna nule. Jak poznat,
kdy jde o inflexní bod či o extrém funkce? Je-li hodnota druhé derivace funkce v daném bodě
záporná, pak má funkce v daném bodě maximum, kladná hodnota druhé derivace znamená lokální
minimum. Viz též body x2 a x4 na obr. 2b. Je-li v daném bodě druhá derivace nulová, může a nemusí
se jednat o extrém.
Přesněji se lze vyjádřit takto: Při opakovaném derivování funkce platí pro první nenulovou
derivaci v daném bodě:
- jde-li o derivaci sudého řádu (např. druhého), pak má funkce v daném době lokální extrém čili
minimum nebo maximum:
f(2n)
(x0) > 0  lokální minimum f(2n)
(x0)  0  lokální maximum
8
- jinak (tj. je-li první nenulovou derivací derivace lichého řádu) se jedná o inflexní bod.
Obr. 2b. Vyšetřování průběhu funkcí
Funkce může být spojitá, a přitom nediferencovatelná a přesto má lokální extrémy - viz bod x5 na
obr. 2b.
Abychom si názorněji vysvětlili způsob práce s derivacemi funkcí ve fyzice, použijeme jako příklad rovnici
netlumeného kmitavého pohybu:
y = ymsin (t + )
Na základě získaných znalostí o derivacích se pokusíme o hlubší rozbor tohoto pohybu. Pro jednoduchost budeme
počáteční fázi  považovat za rovnou nule (pohyb začne v čase t = 0 z rovnovážné polohy, tj. y(0) = 0):
y = ymsin (t).
Je patrno, že okamžitá poloha kmitajícího bodu je složenou funkcí času. Podle dříve zavedené symboliky je výraz ym
(maximální výchylka kmitů – amplituda) konstantní. Výraz sin (t) je ekvivalentní výrazu f(g(t)).
Rychlost je ve fyzice dána podílem dráhy (změny polohy) a časového intervalu, během kterého se změna polohy
realizovala. Je-li poloha bodu funkcí času, tj. mění-li se v čase, pak vyjádření okamžité rychlosti pohybujícího se bodu je
podílem nekonečně malých čísel (nekonečně malého posunutí dy a nekonečně malého časového intervalu dt, během
kterého k posunutí došlo), tedy derivací polohy podle času. Okamžitou rychlost kmitavého pohybu proto vyjádříme takto:
v(t) = dy/dt = [ymsin (t)]' = ymcos (t) [I]
Je patrné, že rychlost kmitavého pohybu je rovněž periodickou funkcí času.
Nyní nalezneme extrémy či inflexní body původní funkce čili zjistíme, kdy je její první derivace rovna nule:
v(t) = ymcos (t) = 0, tj. cos (t) = 0
Kosinus je roven nule jen tehdy, když (t) = (2k-1)

2
, kde k je celé číslo, tj.
t = (2k-1) 
2
= T
4
(2k - 1), [II]
neboť  = f a f = 1/T, kde T je perioda kmitů. Hledaný extrém nacházíme při hodnotách t = T/4, 3T/4, 5T/4, tedy při
každé liché čtvrtperiodě.
Zjistíme nyní, čemu je rovna v těchto bodech druhá derivace původní funkce. Budeme tedy derivovat vztah [I] podle
času, čímž současně získáme vztah pro okamžitou hodnotu zrychlení:
a(t) = dv/dt = [ymcos (t)]' = -ym
sin (t) = -y
Posledně uvedený výraz je dobře znám ze středoškolské fyziky. Nyní dosadíme za t výsledek [II]:
a = -ym
sin ( T
4
(2k - 1)) = -ym
sin ( 
2
(2k - 1))
S odvoláním na elementární znalosti o funkci sinus je jasné, že pro k liché bude zrychlení, tj. druhá derivace okamžité
výchylky, číslem záporným (lokální maxima funkce) a pro k sudé bude tento výraz kladný (lokální minima funkce).
Stejně lze vyšetřit i vztahy pro rychlost a zrychlení
v(t) = ymcos (t) a(t) = -ym
sin (t).
Je zřejmé, že maximální záporné zrychlení nastává u maximální kladné výchylky a maximální kladné zrychlení u
9
maximální záporné výchylky. Lze se snadno přesvědčit i o tom, že lokální extrémy rychlosti jsou posunuty o T/4 - kmitající
bod se pohybuje nevyšší rychlostí při průchodu rovnovážnou polohou.
Vrátíme se ještě k derivaci funkce více proměnných.
Pojem derivace nyní zobecníme na funkci více proměnných. Uvažujme zatím funkci z(x,y) dvou
proměnných x a y:
z(x,y) = x2
+ y2
,
což je rovnice plochy rotačního paraboloidu. Otázka zní: Můžeme pro tuto funkci definovat derivaci?
Nebo si zkusme položit otázku ještě trochu jinak. Existuje tečna k této ploše? Tečna k rotačnímu
paraboloidu existuje, a dokonce v každém bodě je jich nekonečně mnoho, mířících (v jedné rovině)
různými směry. Derivaci funkce více proměnných tedy definovat můžeme, avšak v každém bodě
nekonečně mnoha způsoby, tj. máme k dispozici nekonečně mnoho směrů, v nichž lze derivaci
definovat. To je nepřehledné, a proto je nutno vybrat standardní pravidla, jak s derivacemi funkcí více
proměnných pracovat. Jsou jimi právě parciální derivace. Definují se jako derivace dané funkce
podle nezávisle proměnných; v případě funkce z(x,y) máme parciální derivaci podle x, značí se
obvykle


z
x
, a podle y, značí se obdobně


z
y
. V případě, že máme funkci např. tří proměnných
F(x,y,z), přibude nám parciální derivace podle této další proměnné, a sice


F
z
.
S proměnnou, podle níž se parciální derivace provádí, zacházíme stejně jako s nezávisle
proměnnou v případě derivace funkce jedné proměnné, kdežto všechny ostatní nezávisle proměnné
vystupují pro tuto chvíli v roli konstant. Tedy parciální derivace dané funkce podle x v bodě o
souřadnicích (x0,y0,z0) je derivace dané funkce v tomto bodě definovaná ve směru osy x, obdobně je


F
y
derivací ve směru osy y a


F
z
derivací ve směru osy z.
Zobecnění “obyčejné” derivace je tedy jednoduché. Parciální derivace funkce F = F(x, y, z) podle
x v bodě (x0,y0,z0) je limita:


F
x
=
( ) ( )lim
, , , ,


x
F x x y z F x y z
x→
+ −
0
0 0 0 0 0 0
podle y v témž bodě:


F
y
=
( ) ( )lim
, , , ,


y
F x y y z F x y z
y→
+ −
0
0 0 0 0 0 0
a podle z v témž bodě:


F
z
=
( ) ( )lim
, , , ,


z
F x y z z F x y z
z→
+ −
0
0 0 0 0 0 0
.
Uvedeme si praktický příklad výpočtu parciální derivace funkce F = F(x,y,z):
F(x,y,z) = x2
+ xyz + z2
v libovolném bodě (x,y,z). Dostaneme:
10
( ) ( ) ( ) ( )











F
x
x
x
xyz
x
z
x
x
x
yz
x
x
= + + = + +
2 2 2
0 = 2x + yz + 0 = 2x + yz.
Analogickým postupem pak dospějeme k výsledkům:


F
y
= 0 + xz + 0 = xz a


F
z
= 0 + xy + 2z = xy + 2z.
Obdobně lze definovat i parciální derivace funkcí libovolného počtu proměnných.
Chápeme-li pojem parciální derivace, můžeme zavést další pojem – úplný neboli totální
diferenciál. Tento diferenciál je velmi užitečný zejména v termodynamice, jak dále ukážeme.
Úplným diferenciálem funkce F = F(x, y, z) je výraz:
dF =


F
x





 dx +


F
y





 dy +


F
z





 dz,
kde výrazy v závorkách jsou parciální derivace příslušné funkce. Výrazy dx, dy, dz jsou
infinitezimální (nekonečně malé) změny nezávisle proměnných. Pro diferenciály funkcí složených
platí stejná pravidla jako pro derivace funkcí složených (tj. např. d(F.G) = G.dF + F.dG).
Uveďme si konkrétní příklad výpočtu úplného diferenciálu. V termodynamice je definována stavová funkce zvaná
entalpie, a to výrazem: H = U + pV. Entalpie je obecně funkcí tří proměnných: vnitřní energie U, tlaku p a objemu V.
Naším úkolem je vyjádřit infinitezimální změnu entalpie danou infinitezimálními změnami obecně všech nezávisle
proměnných, tj. U, p a V.
Úplný diferenciál entalpie je:
dH =


H
U p V






,
.dU +


H
p U V






,
.dp +
pUV
H
,








.dV.
Indexy u závorek vyjadřují, že uvedené proměnné považujeme za konstanty. Nyní vyjádříme konkrétní parciální
derivace entalpie (H = U + pV):


H
U p V






,
= 1,


H
p U V






,
= V,


H
V U p






,
= p.
Odtud plyne, že
dH = dU + V.dp + p.dV.
Výraz V.dp + p.dV lze též formálně zapsat jako d(p.V), tj.
dH = dU + d(p.V).
Povšimněte analogie s derivací součinu funkcí. Lze doplnit, že při konstantním objemu (dV = 0) platí
dH = dU + V.dp
nebo při konstantním tlaku (dp = 0)
dH = dU + p.dV.
Takovéto upravování a odvozování “vzorců” je v termodynamice velmi časté.
11
3 Integrál funkce a jeho význam
Může nastat situace, kdy známe derivaci funkce v jejím analytickém vyjádření, neznáme však tvar
původní, tj. derivované funkce. Známe-li např. okamžitou rychlost v(t) přímočarého pohybu v
každém okamžiku t, může být užitečné najít funkci s(t), která vyjadřuje dráhu uraženou v čase t.
Metoda, která nám umožňuje požadovanou funkci najít, se nazývá integrování. Hledat budeme
integrál funkce. Nejdříve si však musíme připomenout pojem primitivní funkce.
Primitivní funkcí funkce f(x) v daném intervalu rozumíme funkci F(x), která ve všech bodech
intervalu splňuje vztah
F '(x) = f(x).
Protože však funkce lišící se o libovolnou konstantu C mají tutéž derivaci, je množina všech
primitivních funkcí příslušných k f(x) nekonečná a její prvky se navzájem liší hodnotou aditivní
konstanty C. Množinu všech těchto primitivních funkcí nazýváme neurčitým integrálem funkce f(x) a
značíme f(x)dx. Můžeme tedy napsat:
f(x)dx = F(x) + C,
kde C nabývá hodnot reálných čísel.
Z praktického hlediska tedy můžeme chápat integraci jako opačnou operaci k derivaci. Následují
nejdůležitější příklady integrálů základních funkcí:
0 dx = C,
xn
dx =
x
n
n+
+
1
1
+ C pro n  -1,

1
x
dx = ln x + C,
ax
dx =
a
a
x
ln
+ C,
ex
dx = ex
+ C,
1
1 2
+

x
dx = arctg x + C,

1
1 2
− x
dx = arcsin x + C,
sin x dx = -cos x + C,
cos x dx = sin x + C.
Pojem integrálu souvisí s obsahem plochy vymezené křivkou nezáporné spojité funkce y = f(x),
osou x a rovnoběžkami s osou y v krajních bodech intervalu <a, x>, jak je zřejmé z obr. 3a.
12
Obr. 3a. Grafické vyjádření primitivní funkce.
Lze ukázat, že obsah proměnné plochy P(x) je určen vztahem
P(x) = F(x) - F(a),
kde F je primitivní funkcí k funkci f. Obsah celé plochy nad intervalem <a, b> je proto dán hodnotou
rozdílu F(b) - F(a).
Určitý integrál funkce f(x) na intervalu <a, b> značíme f x dx
a
b
( ) a prakticky jej počítáme jako
rozdíl hodnot primitivní funkce v krajních bodech tohoto intervalu:
f x dx
a
b
( ) = F(b) - F(a).
Tento výraz určuje pro nezápornou spojitou funkci obsah plochy vymezené křivkou funkce, osou x
a rovnoběžkami s osou y v krajních bodech intervalu <a, b> - viz obr. 3b.
Názornou ukázku výpočtu určitého integrálu uvedeme v rámci řešení diferenciálních rovnic v
následujícím oddílu.
Obr. 3b Grafické znázornění určitého integrálu integrovatelné funkce.
13
4 Nejjednodušší diferenciální rovnice a jejich řešení
Matematický popis většiny dynamických systémů, včetně systémů biofyzikálních, je založen na
diferenciálních vztazích mezi veličinami ve tvaru tzv. diferenciálních rovnic. Jejich řešením (pokud
existuje) jsou hledané funkční vztahy mezi veličinami, popisující tyto systémy.
Rovnice, v nichž se vyskytuje neznámá funkce jediné proměnné spolu se svými derivacemi,
nazýváme obyčejnými diferenciálními rovnicemi. Závisí-li hledaná funkce, tedy i její derivace, na
více nezávisle proměnných, nazýváme matematické vyjádření jejich vztahu parciální diferenciální
rovnicí.
Řád rovnice je určen stupněm nejvyšší derivace v ní zastoupené.
Obecný tvar obyčejné diferenciální rovnice n-tého řádu je možno na určitém definičním intervalu
vyjádřit vztahem:
G(x,y,y´,y´´,....,y(n)
) = 0,
kde G je funkce proměnných x, y a jejích derivací.
Řešením takovéto diferenciální rovnice rozumíme každou funkci y proměnné x, která pro všechna
x příslušného definičního intervalu spolu se svými derivacemi uvedené rovnici vyhovuje.
Řešením diferenciální rovnice není nikdy jediná funkce. V obecném případě diferenciální rovnice
n-tého řádu představuje množina všech řešení n-parametrický systém jednotlivých částečných
neboli partikulárních řešení této rovnice, z nichž každé je předem určeno vhodnými počátečními
podmínkami.
Množinu všech partikulárních řešení lze vyjádřit ve tvaru obecného řešení diferenciální rovnice
tak, že každé partikulární řešení je v tomto obecném řešení zahrnuto.
Řešení diferenciálních rovnic je ve většině případů velmi obtížné a vyžaduje rozsáhlé znalosti z
matematické analýzy. Jednoduše řešitelné jsou pouze některý typy diferenciálních rovnic, z nichž
nejjednodušší jsou rovnice 1. řádu se separovanými proměnnými:
y' = f(x).g(y),
kde f(x), g(y) jsou libovolné spojité funkce uvedených proměnných na určitých definičních
intervalech, přičemž g(y)   Rovnici se separovanými proměnnými je možno přepsat do tvaru
dy
dx
= f(x).g(y)
neboli
dy
g y( )
= f(x) dx
a řešit integrací
1
g y( )
 dy = f(x) dx.
Existuje jednoparametrický systém funkcí y proměnné x, který dostaneme touto integrací ve tvaru
obecného řešení, obsahujícího jeden parametr. Konkrétní partikulární řešení y vyhovující počáteční
podmínce
y(x0) = y0,
kde x0 je libovolný bod z definičního intervalu funkce f(x) a y0 je libovolný bod z definičního intervalu
funkce g(y), je přitom určeno vztahem
14
1
0 g yy
y
( )
 dy = f x
x
x
( )
0
 dx.
Některé typy diferenciálních rovnic 1. řádu je možno vhodnou substitucí proměnných převést na
diferenciální rovnice se separovanými proměnnými.
Řešení diferenciálních rovnic 1. řádu se separovanými proměnnými potvrzuje např. exponenciální průběhy některých
fyzikálních i biologických dějů. Jako názorný příklad použijeme odvození Lambertova-Beerova zákona pro absorbci
světla. Je zřejmé, že snížení intenzity procházejícího světelného paprsku -dI bude přímo úměrné tloušťce absorbující
vrstvy dx, intenzitě světla vstupujícího paprsku I, koncentraci c absorbující látky v dané vrstvě a nějaké zatím neurčené
konstantě k. I koncentrace c je v tomto případě konstantou, takže intenzita procházejícího světla je funkcí pouze proměnné
x, tj. tloušťky absorbující vrstvy. Toto tvrzení vyjádříme následujícím zápisem:
- dI = I.c.k.dx.
a provedeme separaci proměnných:
I
dI
= - c.k.dx.
Nyní se zamyslíme nad počátečními podmínkami a integračními mezemi. Tloušťka absorbující vrstvy se při průchodu
světla mění od 0 do x. Tomu odpovídá změna intenzity procházejícího světla od počáteční hodnoty I0 na výslednou
hodnotu I. Můžeme tedy přikročit k integraci a výpočtu určitého integrálu:

I
I
I
dI
0
= -

x
dxkc
0
.. .
Vzhledem k tomu, že c a k jsou konstantami, můžeme integrovat a napsat
ln I - ln I0 = - c.k(x - 0) = - c.k.x
čili
ln
0I
I
= - c.k.x.
Přirozený logaritmus přepočteme na dekadický a zavedeme novou konstantu  která se nazývá absorpční koeficient.
log
0I
I
= - .c.x
a přejdeme k obvyklému exponenciálnímu vyjádření
I/I0 = 10-.c.x
čili
I = I0 .10-.c.x
,
což je nám známá podoba Lambertova-Beerova zákona.
Z rovnic vyšších řádů jsou poměrně jednoduše řešitelné homogenní lineární diferenciální
rovnice s konstantními koeficienty:
y(n)
+ an-1y(n-1)
+ .... + a2y'' + a1y' + a0y = 0,
kde an-1 , .... a2, a1, a0 jsou reálná čísla. Řešení získáme na základě výpočtu nulových bodů
charakteristického polynomu rovnice. Spíše pro ilustraci uvádíme, že partikulárním řešením rovnice
y'' + y = 0 jsou funkce sin x, cos x
a rovnice
y'' - y = 0 jsou funkce e-x, ex.
Tyto diferenciální rovnice druhého řádu jsou ve fyzice velmi časté.
Metodou variace konstant lze potom odvodit i řešení libovolné nehomogenní lineární
diferenciální rovince s konstantními koeficienty, kde se na pravé straně může vyskytnout nějaká
spojitá funkce nezávisle proměnné x.
15
Pokud je analytické řešení diferenciální rovnice příliš obtížné nebo není dostupné vůbec, je
možno hledat přibližná řešení numerickými metodami s využitím výpočetní techniky. Obdobně lze
využít numerických metod i pro výpočty složitých integrálů.
16
5 Elementy vektorového počtu
Ve fyzice se můžeme setkat jednak s veličinami, které mají určitou velikost, avšak nelze jim
přisoudit žádný směr – tyto veličiny se nazývají skaláry. Veličiny, kterým lze přisoudit i směr se
nazývají vektory. Nyní upozorníme na některé důležité vlastnosti vektorů a uvedeme základní
pravidla pro výpočty s nimi. Vektorem je např. rychlost, moment síly, intenzita elektrického pole
nebo magnetická indukce. Skalárem je např. hmotnost, energie, tlak nebo elektrické napětí. Vektorů
lze s výhodou použít i pro popis poloh bodů v souřadnicových soustavách – pak hovoříme o tzv.
polohových vektorech.
Vektor a

, jehož kladný směr svírá s osami x, y, z pravoúhlé souřadnicové soustavy úhly    má
tzv. kartézské složky (viz též obr. 5a):
ax = a cos   ay = a cos   az = a cos 
kde
0222
++== zyx aaaaa

Obr. 5. Zobrazení vektoru v kartézských souřadnicích.
je velikost vektoru a

. Kosiny úhlů    se nazývají směrové kosiny daného vektoru. Složky
vektoru ax, ay az jsou skaláry a nazývají se souřadnice vektoru.
Z geometrického názoru a předchozích vztahů plyne po jisté úvaze:
cos2
 + cos2
 + cos2
 = 
a = ax cos  + ay cos  + az cos 
Násobkem vektoru a

s libovolným reálným číslem (skalárem) s  0 je vektor sa

, který má složky
sax , say , saz .
Záporná hodnota veličiny s mění orientaci výsledného vektoru o 180o
vůči vektoru původnímu.
Pro velikost tohoto vektoru platí
17
asas =

.
V případě, kdy bude s = 1/a, dostaneme vektor
a
a
a
 10
=
a bude platit, že
100
== aa

a 0
aaa

= .
Vektor 0
a

se nazývá jednotkový vektor vektoru a

a tyto vektory jsou spolu souhlasně
rovnoběžné. Jednotkový vektor má složky
ax
0
= cos , ay
0
= cos , az
0
= cos .
Jednotkové vektory v kladném směru os souřadnicového systému x, y, z značíme kji

,, a mají
tyto složky:
ix = 1, iy = 0, iz = 0,
jx = 0, jy = 1, jz = 0,
kx = 0, ky = 0, kz = 1.
Jednotkový vektor není jen formální matematickou abstrakcí, ale má i ve fyzice značný význam. Připomeňme si
definici tlaku: p = F/S, kde F je síla působící kolmo na plochu S. Víme, že tlak je na směru nezávislý, že je skalární
veličinou. Z uvedeného vzorce však můžeme vyjádřit sílu
F = p.S.
Síla je vektor, tlak nikoliv, takže jediným vektorem na pravé straně rovnice může být jen plocha S. Správný zápis
rovnice tedy zní:
SpF

=
Vektor plochy chápeme jako součin skalární velikosti plochy S a jednotkového vektoru plochy
0
S

, který má směr
kolmý k ploše:
0
SSS

= .
Součet a rozdíl vektorů
Součet vektorů zapíšeme
bac

+=
a má složky
cx = ax + bx, cy = ay + by, cz = az + bz .
Na základě výše uvedeného je patrno, že každý vektor lze zapsat jako součet tří vektorů ve tvaru
kajaiaa zyx

++=
nebo
zyx aaaa

++= .
Tento tvar se označuje jako semikartézské vyjádření vektoru (je určen vektorovým součtem
vektorových složek v osách souřadnic).
Pro součet vektorů platí zákon komutativní
18
abba

+=+ .
Velikost výsledného vektoru c

vypočítáme podle kosinové věty
cos222
abbabac ++=+=

,
kde  je úhel sevřený vektory a

a b

.
Pro rozdíl vektorů a

a b

platí:
( )babad

−+=−=
a totéž, co pro sčítání vektorů, s výjimkou zákona komutativního.
Násobení vektorů
Daný vektor můžeme násobit jiným vektorem. Násobené vektory svírají úhel .
Skalární součin dvou vektorů je skalárem rovným
cosbaba =

.
Pro skalární součin vektorů platí
abba

= a ( ) cabacba

= .
Vyjádříme-li násobené vektory v semikartézské podobě, pak se snadno přesvědčíme, že platí:
ba

 = axbx + ayby + azbz.
Typickým fyzikálním příkladem skalárního součinu dvou vektorů je práce, definovaná jako skalární součin dráhy
(posunutí) a síly:
W = sF

 = F.s.cos ,
kde  je úhel sevřený mezi vektorem síly a dráhy, po které síla působí.
Vektorový součin dvou vektorů definujeme jako vektor c

, jehož velikost a směr se určí takto:
bac

= = a.b.sin,
kde vektory a

a b

jsou lineárně nezávislé.
Směr vektoru c

je kolmý na rovinu určenou vektory ba

, a míří do poloprostoru, z něhož se
otočení od a

k b

děje v kladném smyslu (proti směru pohybu hodinových ručiček). Jednotlivé složky
vektorového součinu jsou definovány takto:
( )xba

 = aybz - azby ( )yba

 = azbx - axbz
( )zba

 = axby - aybx.
Bez bližšího zdůvodnění uvádíme vzorce, které platí pro počítání s vektorovým součinem:
baab

−=
19
( ) cabacba

=
( ) ( ) ( )bacacbcba

==
( ) ( ) ( ) cbabcacba

−= .
Příkladem použití vektorového součinu ve fyzice může být vztah pro výpočet Lorentzovy síly, která působí na náboj q
pohybující se v stacionárním magnetickém poli. (Tato síla udržuje na kruhové dráze protony v cyklotronu nebo vychyluje
elektronový svazek v elektronovém mikroskopu.) Ve “středoškolské podobě” známe tento zákon takto:
F = q.B.v resp. F = q.B.v.sin ,
kde  je úhel sevřený vektorem magnetické indukce B a vektorem rychlosti pohybu náboje v. K tomu se musíme naučit
zpaměti pravidlo určující směr síly působící na náboj. Ve skutečnosti je však tento vzorec správně zapisován takto:
( )vBqF

= .
Fyzikální realitu tedy popisuje vektorový součin. Pořadí veličin ve vzorci není libovolné a směr působící síly je dán
vlastnostmi vektorového součinu – je kolmý k rovině dané vektory magnetické indukce a rychlosti náboje a "míří do
poloprostoru, z něhož se otočení od B

k v

děje v kladném smyslu". S vektorovými součiny se setkáváme především v
mechanice a v teorii elektromagnetismu.
Gradient
Na závěr výkladu k základním pojmům vektorového počtu (a vektorové analýzy) přikročíme k
vysvětlení důležitého matematicko-fyzikálního pojmu - gradientu.
Představme si, že stojíme na úpatí vysoké skály, a potom se nějakým způsobem dostaneme na její
vrchol. Tímto přesunem v gravitačním poli jsme získali, oproti výchozímu bodu, určitou potenciální
energii. Podstatné je, že potenciální energie, kterou jsme při výstupu na skálu získali, závisí jen na
poloze výchozího a koncového bodu našeho výstupu, bez ohledu na způsob přesunu. Také změna
potenciální energie elektrického náboje v elektrostatickém poli, který prošel mezi dvěma body v
prostoru, závisí jen na jeho počáteční poloze a konečné poloze, nikoliv na dráze, kterou prošel. Pokud
má nějaké silové působení v přírodě tuto vlastnost, pak hovoříme o skalárním poli. V každém bodě
prostoru je definován skalární potenciál, například elektrický potenciál (rozdíl elektrického
potenciálu mezi dvěma body je elektrické napětí), gravitační potenciál ap. Ne všechna pole mají tuto
vlastnost, například při průchodu náboje magnetickým polem závisí jeho energetický zisk na prošlé
dráze.
U skalárních polí a veličin obdobného charakteru lze v každém bodě definovat gradient. Směr
tohoto vektoru je kolmicí (normálou) k ploše o konstantní hodnotě potenciálu (ekvipotenciální ploše),
procházející daným bodem, tj. v tomto bodě mířící ve směru největší změny dané veličiny. Velikost
gradientu je úměrná velikosti (rychlosti) změny této veličiny, tj. hustotě ekvipotenciálních ploch.
Přesněji, jeho velikost je rovna derivaci pole ve směru jednotkové normály ekvipotenciální plochy.
Gradient přitom míří ve směru nárůstu veličiny, tj. z oblasti nižší energie do oblasti vyšší energie,
gradient koncentrace z oblasti nižší koncentrace do oblasti vyšší koncentrace ap. Českým
ekvivalentem slova gradient by bylo slovo nárůst nebo vzestup (v praxi se těchto výrazů nepoužívá).
Opakem (vektorem opačného směru) gradientu je spád. Někdy se tyto veličiny zaměňují, takže se
můžeme dočíst, že např. látka proudí difuzí po gradientu koncentrace, i když ve skutečnosti látka
proudí proti gradientu koncentrace (po spádu), aby se rozdíly v její koncentraci vyrovnávaly. Máme-li
na mapě znázorněny vrstevnice, můžeme snadno určit směr stoupání jako kolmici na vrstevnice a
velikost stoupání (strmost) z hustoty vrstevnic. I toto je vlastně příklad gradientu, kdy skalárním
polem je nadmořská výška a ekvipotenciálám odpovídají plochy konstantní nadmořské výšky.
Gradient skalární funkce f (x, y, z) je tedy vektor a jeho matematický zápis vypadá takto:
f = grad f = 





=++
z
f
y
f
x
f
k
z
f
j
y
f
i
x
f












,,

.
Symbol  čteme jako “nabla” nebo “del” a patří mezi matematické operátory. Gradient tedy
20
můžeme formálně vyjádřit jako součin tohoto operátoru ( =
z
k
y
j
x
i





 
++ ), který se sám o sobě
chová jako vektor, a skalární funkce f. V této učebnici jsme se setkali s “jednorozměrným”
gradientem - např. změnou koncentrace látky ve směru osy x. Pak můžeme pominout jeho vektorový
charakter (uvažujeme jen jeho kladnou či zápornou hodnotu) a jednoduše psát
gradient funkce f(x) = df/dx = f '(x).
Je však vhodné si uvědomit, že se obecně jedná o veličinu vektorovou, definovanou v
třírozměrném prostoru.
Gradienty polí mají veliký význam, například záporně vzatý gradient gravitačního pole je
gravitační zrychlení, záporně vzatý gradient elektrického pole je intenzita elektrického pole.
(autor: Vojtěch Mornstein)