Délka rovinné křivky
Lenka Přibylová
31. července 2006
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 ×
Délka rovinné křivky y = f (x) x ∈ a, b , která je na intervalu a, b
diferencovatelná.
y
x0
a b
y = f (x)
L =
b
a
1 + [f ′(x)]2 dx
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 ×
Vypočtěte délku oblouku křivky y = ln sin x na intervalu
π
3
,
2π
3
.
y′
=
1
sin x
· cos x =
cos x
sin x
L =
2π
3
π
3
1 +
cos x
sin x
2
dx =
2π
3
π
3
sin2
x + cos2 x
sin2
x
dx =
2π
3
π
3
1
sin x
dx
=
2π
3
π
3
sin x dx
1 − cos2 x
=
cos x = t
− sin x dx = dt
t1 = cos
π
3
=
1
2
t2 = cos
2π
3
= −
1
2
=
− 1
2
1
2
− dt
1 − t2
= −
1
2
ln
1 + t
1 − t
− 1
2
1
2
= −
1
2
ln
1 − 1
2
1 + 1
2
+
1
2
ln
1 + 1
2
1 − 1
2
= −
1
2
ln
1
3
+
1
2
ln 3
= ln 3
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = ln sin x, x ∈
π
3
,
2π
3
, L =?
y′
=
1
sin x
· cos x =
cos x
sin x
L =
2π
3
π
3
1 +
cos x
sin x
2
dx =
2π
3
π
3
sin2
x + cos2 x
sin2
x
dx =
2π
3
π
3
1
sin x
dx
=
2π
3
π
3
sin x dx
1 − cos2 x
=
cos x = t
− sin x dx = dt
t1 = cos
π
3
=
1
2
t2 = cos
2π
3
= −
1
2
=
− 1
2
1
2
− dt
1 − t2
= −
1
2
ln
1 + t
1 − t
− 1
2
1
2
= −
1
2
ln
1 − 1
2
1 + 1
2
+
1
2
ln
1 + 1
2
1 − 1
2
= −
1
2
ln
1
3
+
1
2
ln 3
= ln 3
Zderivujeme funkci.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = ln sin x, x ∈
π
3
,
2π
3
, L =?
y′
=
1
sin x
· cos x =
cos x
sin x
L =
2π
3
π
3
1 +
cos x
sin x
2
dx =
2π
3
π
3
sin2
x + cos2 x
sin2
x
dx =
2π
3
π
3
1
sin x
dx
=
2π
3
π
3
sin x dx
1 − cos2 x
=
cos x = t
− sin x dx = dt
t1 = cos
π
3
=
1
2
t2 = cos
2π
3
= −
1
2
=
− 1
2
1
2
− dt
1 − t2
= −
1
2
ln
1 + t
1 − t
− 1
2
1
2
= −
1
2
ln
1 − 1
2
1 + 1
2
+
1
2
ln
1 + 1
2
1 − 1
2
= −
1
2
ln
1
3
+
1
2
ln 3
= ln 3
Dosadíme derivaci do vzorce pro délku křivky.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = ln sin x, x ∈
π
3
,
2π
3
, L =?
y′
=
1
sin x
· cos x =
cos x
sin x
L =
2π
3
π
3
1 +
cos x
sin x
2
dx =
2π
3
π
3
sin2
x + cos2 x
sin2
x
dx =
2π
3
π
3
1
sin x
dx
=
2π
3
π
3
sin x dx
1 − cos2 x
=
cos x = t
− sin x dx = dt
t1 = cos
π
3
=
1
2
t2 = cos
2π
3
= −
1
2
=
− 1
2
1
2
− dt
1 − t2
= −
1
2
ln
1 + t
1 − t
− 1
2
1
2
= −
1
2
ln
1 − 1
2
1 + 1
2
+
1
2
ln
1 + 1
2
1 − 1
2
= −
1
2
ln
1
3
+
1
2
ln 3
= ln 3
Upravíme na splolečného jmenovatele.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = ln sin x, x ∈
π
3
,
2π
3
, L =?
y′
=
1
sin x
· cos x =
cos x
sin x
L =
2π
3
π
3
1 +
cos x
sin x
2
dx =
2π
3
π
3
sin2
x + cos2 x
sin2
x
dx =
2π
3
π
3
1
sin x
dx
=
2π
3
π
3
sin x dx
1 − cos2 x
=
cos x = t
− sin x dx = dt
t1 = cos
π
3
=
1
2
t2 = cos
2π
3
= −
1
2
=
− 1
2
1
2
− dt
1 − t2
= −
1
2
ln
1 + t
1 − t
− 1
2
1
2
= −
1
2
ln
1 − 1
2
1 + 1
2
+
1
2
ln
1 + 1
2
1 − 1
2
= −
1
2
ln
1
3
+
1
2
ln 3
= ln 3
Zjednodušíme.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = ln sin x, x ∈
π
3
,
2π
3
, L =?
y′
=
1
sin x
· cos x =
cos x
sin x
L =
2π
3
π
3
1 +
cos x
sin x
2
dx =
2π
3
π
3
sin2
x + cos2 x
sin2
x
dx =
2π
3
π
3
1
sin x
dx
=
2π
3
π
3
sin x dx
1 − cos2 x
=
cos x = t
− sin x dx = dt
t1 = cos
π
3
=
1
2
t2 = cos
2π
3
= −
1
2
=
− 1
2
1
2
− dt
1 − t2
= −
1
2
ln
1 + t
1 − t
− 1
2
1
2
= −
1
2
ln
1 − 1
2
1 + 1
2
+
1
2
ln
1 + 1
2
1 − 1
2
= −
1
2
ln
1
3
+
1
2
ln 3
= ln 3
Budeme integrovat goniometrickou funkci, sin x je v liché mocnině, proto
použijeme substituci cos x = t. Musíme tedy zlomek přepsat do vhodného tvaru.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = ln sin x, x ∈
π
3
,
2π
3
, L =?
y′
=
1
sin x
· cos x =
cos x
sin x
L =
2π
3
π
3
1 +
cos x
sin x
2
dx =
2π
3
π
3
sin2
x + cos2 x
sin2
x
dx =
2π
3
π
3
1
sin x
dx
=
2π
3
π
3
sin x dx
1 − cos2 x
=
cos x = t
− sin x dx = dt
t1 = cos
π
3
=
1
2
t2 = cos
2π
3
= −
1
2
=
− 1
2
1
2
− dt
1 − t2
= −
1
2
ln
1 + t
1 − t
− 1
2
1
2
= −
1
2
ln
1 − 1
2
1 + 1
2
+
1
2
ln
1 + 1
2
1 − 1
2
= −
1
2
ln
1
3
+
1
2
ln 3
= ln 3
Do čitatele se snažíme vzhledem k substituci dostat sin x dx. Rozšíříme proto
zlomek sin x:
1
sin x
=
sin x
sin2
x
=
sin x
1 − cos2 x
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = ln sin x, x ∈
π
3
,
2π
3
, L =?
y′
=
1
sin x
· cos x =
cos x
sin x
L =
2π
3
π
3
1 +
cos x
sin x
2
dx =
2π
3
π
3
sin2
x + cos2 x
sin2
x
dx =
2π
3
π
3
1
sin x
dx
=
2π
3
π
3
sin x dx
1 − cos2 x
=
cos x = t
− sin x dx = dt
t1 = cos
π
3
=
1
2
t2 = cos
2π
3
= −
1
2
=
− 1
2
1
2
− dt
1 − t2
= −
1
2
ln
1 + t
1 − t
− 1
2
1
2
= −
1
2
ln
1 − 1
2
1 + 1
2
+
1
2
ln
1 + 1
2
1 − 1
2
= −
1
2
ln
1
3
+
1
2
ln 3
= ln 3
Při dosazení substituce budeme také potřebovat najít meze nové proměnné.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = ln sin x, x ∈
π
3
,
2π
3
, L =?
y′
=
1
sin x
· cos x =
cos x
sin x
L =
2π
3
π
3
1 +
cos x
sin x
2
dx =
2π
3
π
3
sin2
x + cos2 x
sin2
x
dx =
2π
3
π
3
1
sin x
dx
=
2π
3
π
3
sin x dx
1 − cos2 x
=
cos x = t
− sin x dx = dt
t1 = cos
π
3
=
1
2
t2 = cos
2π
3
= −
1
2
=
− 1
2
1
2
− dt
1 − t2
= −
1
2
ln
1 + t
1 − t
− 1
2
1
2
= −
1
2
ln
1 − 1
2
1 + 1
2
+
1
2
ln
1 + 1
2
1 − 1
2
= −
1
2
ln
1
3
+
1
2
ln 3
= ln 3
Dosadíme.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = ln sin x, x ∈
π
3
,
2π
3
, L =?
y′
=
1
sin x
· cos x =
cos x
sin x
L =
2π
3
π
3
1 +
cos x
sin x
2
dx =
2π
3
π
3
sin2
x + cos2 x
sin2
x
dx =
2π
3
π
3
1
sin x
dx
=
2π
3
π
3
sin x dx
1 − cos2 x
=
cos x = t
− sin x dx = dt
t1 = cos
π
3
=
1
2
t2 = cos
2π
3
= −
1
2
=
− 1
2
1
2
− dt
1 − t2
= −
1
2
ln
1 + t
1 − t
− 1
2
1
2
= −
1
2
ln
1 − 1
2
1 + 1
2
+
1
2
ln
1 + 1
2
1 − 1
2
= −
1
2
ln
1
3
+
1
2
ln 3
= ln 3
Najdeme primitivní funkci.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = ln sin x, x ∈
π
3
,
2π
3
, L =?
y′
=
1
sin x
· cos x =
cos x
sin x
L =
2π
3
π
3
1 +
cos x
sin x
2
dx =
2π
3
π
3
sin2
x + cos2 x
sin2
x
dx =
2π
3
π
3
1
sin x
dx
=
2π
3
π
3
sin x dx
1 − cos2 x
=
cos x = t
− sin x dx = dt
t1 = cos
π
3
=
1
2
t2 = cos
2π
3
= −
1
2
=
− 1
2
1
2
− dt
1 − t2
= −
1
2
ln
1 + t
1 − t
− 1
2
1
2
= −
1
2
ln
1 − 1
2
1 + 1
2
+
1
2
ln
1 + 1
2
1 − 1
2
= −
1
2
ln
1
3
+
1
2
ln 3
= ln 3
Dosadíme meze.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = ln sin x, x ∈
π
3
,
2π
3
, L =?
y′
=
1
sin x
· cos x =
cos x
sin x
L =
2π
3
π
3
1 +
cos x
sin x
2
dx =
2π
3
π
3
sin2
x + cos2 x
sin2
x
dx =
2π
3
π
3
1
sin x
dx
=
2π
3
π
3
sin x dx
1 − cos2 x
=
cos x = t
− sin x dx = dt
t1 = cos
π
3
=
1
2
t2 = cos
2π
3
= −
1
2
=
− 1
2
1
2
− dt
1 − t2
= −
1
2
ln
1 + t
1 − t
− 1
2
1
2
= −
1
2
ln
1 − 1
2
1 + 1
2
+
1
2
ln
1 + 1
2
1 − 1
2
= −
1
2
ln
1
3
+
1
2
ln 3
= ln 3
Zjednodušíme zlomky v argumentech logaritmů.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 ×
y = ln sin x, x ∈
π
3
,
2π
3
, L =?
y′
=
1
sin x
· cos x =
cos x
sin x
L =
2π
3
π
3
1 +
cos x
sin x
2
dx =
2π
3
π
3
sin2
x + cos2 x
sin2
x
dx =
2π
3
π
3
1
sin x
dx
=
2π
3
π
3
sin x dx
1 − cos2 x
=
cos x = t
− sin x dx = dt
t1 = cos
π
3
=
1
2
t2 = cos
2π
3
= −
1
2
=
− 1
2
1
2
− dt
1 − t2
= −
1
2
ln
1 + t
1 − t
− 1
2
1
2
= −
1
2
ln
1 − 1
2
1 + 1
2
+
1
2
ln
1 + 1
2
1 − 1
2
= −
1
2
ln
1
3
+
1
2
ln 3
= ln 3
ln
1
3
= − ln 3, proto −
1
2
ln
1
3
+
1
2
ln 3 =
1
2
ln 3 +
1
2
ln 3 = ln 3.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 ×
Konec
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Přibylová, 2006 ×