Derivace - základní pravidla
Lenka Přibylová 28. července 2006
Obsah
y = x5 — x3 + 1
4      r- 1
y = 2x  + \JX + -
X
y = (x2 + 2) sin x y = 3 ln x arctg x
x + 1
1/ =
xex
x + 1
Derivujte y = x5 — x3 + 1. j
y' = (x5 - X3 + 1)'
BI IS
©Lenka Přibylová, 2006
Derivujte y = x5 — x3^^|
yf = (x5 _ x6 + xy = (x5y _ (x3y + (1y
/-
• Funkce je ve tvaru součtu.
• Derivace součtuje součet derivací.
Bl 19
©Lenka Přibylová, 2006
n\f      __n—1
První dva členy derivujeme podle vzorce (xn) = nx
• Derivace konstanty je 0.
v_
51 IS
©Lenka Přibylová, 20061
/->
• Funkce je ve tvaru součtu.
• Derivace součtuje součet derivací.
51 K
©Lenka Přibylová, 20061
/->
• Konstantu v prvním členu lze vytknout.
• Všechny členy přepíšeme do tvaru xn .
51 K
©Lenka Přibylová, 20061
Členy derivujeme podle vzorce (xn)f = nxn ľ. J
©Lenka Přibylová, 2006
y =
2X4 + y/x + -
X
= (2X4)' + (y/X)' + ( -
1
X
= 2(x4)' +        + (x
= 8xs +
) = 2 • 4xó + -x 7 2
1
2
2^
2 "
Výsledek upravíme.
51 IS
©Lenka Přibylová, 2006
©Lenka Přibylová, 2006
Funkce je ve tvaru součinu.
51 IS
©Lenka Přibylová, 2006
= (x2 + 2)/sinrc + (x2 + 2) (sin x)'
Součin derivujeme podle pravidla
[f(x)g(x)}' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x).
51 IS
©Lenka Přibylová, 20061
= (x2 + 2)/sinrc + (x2 + 2) (sin x)' = 2x sin x + (x2 + 2)cos x.
v
Červeně označený člen derivujeme jako součet, přičemž derivace konstanty je 0.
51 IS
©Lenka Přibylová, 2006
y' = ( 3 ln x arctg x
51 IS
©Lenka Přibylová, 2006
y' = ( 3 ln x arctg x = 3 ( ln xarctg x
Vytkneme-li konstantu, je funkce ve tvaru součinu. |
SI IS
©Lenka Přibylová, 20061
yr = ( 3 ln x arctg x = 3 ^ln xarctg x
= 3 ( (ln x/arctg x + ln x(arctg x)'
Součin derivujeme podle pravidla
[f(x)g(x)}' = f(x)g(x) + f(x)g'(x).
©Lenka Přibylová, 20061
yr = ( 3 ln x arctg x = 3 ( ln xarctg x
= 3 f (ln x)'arctg x + ln x (arctg x)r
, 1 1
3  — arctgx + mx--
x 1 + xz
Elementární funkce derivujeme podle vzorců. j
©Lenka Přibylová, 20061
©Lenka Přibylová, 2006
Funkce je ve tvaru podílu. j
51 K
©Lenka Přibylová, 2006
ar
y =
x + 1
(x2)'(x +1) - xl{x + iy
(x + l)2
Podíl derivujeme podle pravidla
f(x) 1'    f'(x)g(x) - f(x)g'(x)
©Lenka Přibylová, 2006
,_t   x2  V     (x2)'(x + l)-x2(x + iy
y
x + ij (x + iy
2x(x + 1) - x2l
(X +1)2
Jednotlivé členy derivujeme podle základních vzorců. j
31 18
©Lenka Přibylová, 2006
y' =
x2 V _ (x2y(x + i)-x2(x + iy
X+l) (X + 1)2
X +
_ 2x(x + 1) - x2l _ 2x2 + 2x-x2 _ x2 + 2x ~      (x + l)2      ~     (x + l)2     ~ (x + l)2
Výsledek upravíme. |
©Lenka Přibylová, 2006
Funkce je ve tvaru podílu.
51 K
©Lenka Přibylová, 2006
Podíl derivujeme podle pravidla
f(x) 1'    f'(x)g(x) - f(x)g'(x)
©Lenka Přibylová, 2006
y =
xe
x
-l I
X + 1
(xex)'(x + 1) — xex(x + 1)'
O + i)2
(ex + xex)(x + 1) — xexí (x + 1)2
Červený člen derivujeme jako součin podle pravidla
[/(x)9(x)]' = /'(^(x)+/(xV(x).
				
«	El Q	>>	©Lenka Přibylová, 2006	X
y =
xe
x
-II
X + 1
(xex)'(x + 1) — xex(x + 1)'
(x + l)2
(ex + xex)(x + 1) — xexl (x + 1)2
exx + ex + exrc2 + rcex — xex     ex(x2 + x + 1)
(x + 1)
(x + 1)
J
Výsledek upravíme.
51 16
©Lenka Přibylová, 20061