KAM PřF MU Brno Dvojné integrály Obsah 1 Integrace na obdélníku 2 Integrace na elementární množině 11 3 Transformace do polárních souřadnic 18 Lenka Přibylová - Dvojné integrály •First *Prev *Next •Last •GoBack •Full Screen •Close •Quit Integrace na obdélníku Dvojný integrál na obdélníkové oblasti O = [a, b] x [c, d] í í f(x>V) dxdV představuje objem tělesa pod plochou f {x,y) na oblasti O Podle Fubiniovy věty je roven integrálu respektive integrálu 'a \J c f(x,y) áy^jáx Je-li funkce f(x,y) součinem funkce proměnné x a funkce proměnné y, pak platí 'c \J a f(x,y) áx^jáy rb í-d g(x)h(y) dxdy = / g(x) dx / h(y) dy. J a J c Lenka Přibylová - Dvojné integrály •First *Prev *Next •Last *Go Back •Full Screen •Close •Quit Quiz Vypočtěte integrál J J x2y dxdy, kde O = [0,1] x [1,3] 1. Přepíšeme na dvojnásobný integrál x2y dy\ dx 2. Najdeme primitivní funkci k x2y vzhledem k proměnné] | Jo 3. Dosadíme meze /■i,- dx dx 4. Najdeme primitivní funkci vzhledem k proměnné] | 5. Výsledek dostaneme dosazením mezí Lenka Přibylová - Dvojné integrály •First *Prev *Next •Last *Go Back •Full Screen •Close •Quit Quiz Stejný integrál J J x2y dxdy, kde O = [0,1] x [1,3] řešme pomocí opačné dvojnásobné n integrace. 1. Přepíšeme na dvojnásobný integrál x2y dx^j dy 2. Najdeme primitivní funkci k x2y vzhledem k proměnné] | dy 3. Dosadíme meze dy 4. Najdeme primitivní funkci vzhledem k proměnné| | 3 5. Výsledek dostaneme dosazením mezí Lenka Přibylová - Dvojné integrály •First *Prev *Next •Last *Go Back •Full Screen •Close •Quit Quiz Tentýž integrál j j x2y dxdy, kde O = [0,1] x [1,3] řešme pomocí rozkladu na součin dvou jednoduchých integrálů. 1. Přepíšeme na součin dvou integrálů 1-^ x2 dx /—jy dy 2. Najdeme primitivní funkce i OL JI 3. Výsledek dostaneme dosazením mezí Lenka Přibylová - Dvojné integrály •First *Prev *Next *Last *Go Back •Full Screen •Close •Quit Quiz Vypočtěte integrál J J | dxdy, kde O = [l,e] x [2,4] dx 1. Přepíšeme na dvojnásobný integrál (E í *) 2. Najdeme primitivní funkci k — vzhledem k proměnné| | dx 3. Dosadíme meze dx 4. Najdeme primitivní funkci vzhledem k proměnné] | 5. Výsledek dostaneme dosazením mezí Lenka Přibylová - Dvojné integrály •First *Prev *Next •Last •GoBack •Full Screen •Close •Quit Quiz Stejný integrál J J — dxdy, kde O = [1, e] x [2,4] řešme pomocí opačné dvojnásobné n integrace. 1. Přepíšeme na dvojnásobný integrál f- J 2. Najdeme primitivní funkci k — vzhledem k proměnné] | dy x 3. Dosadíme meze dy 4. Najdeme primitivní funkci vzhledem k proměnné] | 5. Výsledek dostaneme dosazením mezí Lenka Přibylová - Dvojné integrály •First *Prev *Next *Last *Go Back •Full Screen •Close •Quit Quiz Tentýž integrál J J — dxdy, kde O = [1, e] x [2,4] řešme pomocí rozkladu na součin dvou o jednoduchých integrálů. 1. Přepíšeme na součin dvou integrálů — dx x 2. Najdeme primitivní funkce 1 L J 2 3. Výsledek dostaneme dosazením mezí Lenka Přibylová - Dvojné integrály •First *Prev *Next *Last *Go Back •Full Screen •Close •Quit Quiz Vypočtěte integrál J Jln(xy) dxdy, kde O = [l,e] x [l,e\. 1. Přepíšeme na dvojnásobný integrál ln(xy) dy^j dx 2. Najdeme primitivní funkci k ln(n/) vzhledem k proměnné integrací per partes, kde u = Dostáváme tedy v ln(xy)dQ = U U7 3. Dosadíme meze / / ln(xy) dxdy dx 4. Najdeme primitivní funkci vzhledem k proměnné] | 5. Výsledek dostaneme dosazením mezí V □ dx /.en/ca Přibylová - Dvojné integrály •First *Prev *Next •Last *Go Back •Full Screen •Close •Quit Quiz Tentýž integrál j j ln(xy) dxdy, kde O = [1, e] x [1, e] řešme pomocí rozkladu na součin dvou jednoduchých integrálů. 1. Nejprve upravíme integrovanou funkci pomocí vzorce na součet / / Iri(xy) dxdy = /, dxdy + dxdy on o 2. Oba integrály přepíšeme na součin jednoduchých integrálů f-J áx /—i dy+ FT áx j-ň J j j 3. Najdeme primitivní funkci k ln(x) integrací per partes, kde u = v Dostáváme tedy J ln(x)dx = U V u' + C 4. Dosadíme meze / / ln(xy) dxdy + 5. Výsledek dostaneme dosazením mezí dy V áx Lenka Přibylová - Dvojné integrály •First *Prev *Next *Last *Go Back •Full Screen •Close •Quit 2. Integrace na elementární množině Elementární množinou se rozumí uzavřená a omezená množina typu nx = j[x,y] G IR2 : a < x < b, f (x) < y < j resp. Qy = {[x, y] G ]R2 : a < y < b, f {y) G IR a funkce f (x) < g(x) na celém intervalu [a, b}. Na množině typu Clx je pořadí integrace nejprve podle y a pak podle x, na množině Cly je pořadí opačné. Quiz Jsou množiny určené následujícími nerovnostmi, resp. omezené následujícími křivkami elementární? V případě, že ano, jaké bude pořadí integrace? 1.1 < x < 2, x < y < x2 [a) Ano, nejprve podle x, pak podle y \c) Ano, nezáleží na pořadí 2. 0 < x < 2, x < y < x2 [a) Ano, nejprve podle x, pak podle y [c) Ano, nezáleží na pořadí 3. 0 < x2 + y2 < 1 a) Ano, nejprve podle x, pak podle y c) Ano, nezáleží na pořadí 71 4. sin(y) < x < cos(y), 0 < y < — ^a) Ano, nejprve podle x, pak podle y [c) Ano, nezáleží na pořadí Lenka Přibylová - Dvojné integrály b) Ano, nejprve podle y, pak podle x d) Ne b) Ano, nejprve podle y, pak podle x d) Ne b) Ano, nejprve podle y, pak podle x d) Ne b) Ano, nejprve podle y, pak podle x d) Ne •First *Prev .Next *Last .Go Back •Full Screen •Close •Quit 6. O < 5. sin(y) < x < cos(y), 0 < y < — (a) Ano, nejprve podle x, pak podle y (c) Ano, nezáleží na pořadí 1 ^ x <\, x í ľsiv) L \Jf(y) O (x, y) dx )dy Lenka Přibylová - Dvojné integrály •First *Prev *Next *Last *Go Back •Full Screen •Close •Quit Quiz Vypočtěte integrál ry x y dxdy, kde O je určena nerovnostmi 1 < x < 2, x < y < x . 1. Množina O je typu —j. 2. Přepíšeme na dvojnásobný integrál se správným pořadím integrace / (í 1 j 1 v- 2 * y 3. Najdeme primitivní funkci k x2y vzhledem k proměnné] | dx 4. Dosadíme meze r2,- dx 5. Najdeme primitivní funkci vzhledem k proměnné] | 6. Výsledek dostaneme dosazením mezí Lenka Přibylová - Dvojné integrály •First *Prev *Next »Last *Go Back •Full Screen »Close *Quit Quiz Vypočtěte integrál / / cos(x + y) áxáy, kde O je určena nerovnostmi 0 < x < y, 0 < y < n. 1. Množina O je typu —j. / (i 1 j 1 cos(x + y) ) ^| I 3. Najdeme primitivní funkci ke cos(x + y) vzhledem k proměnné| | -4y 4. Dosadíme meze •71 dy 5. Najdeme primitivní funkci vzhledem k proměnné] | r i 71 6. Výsledek dostaneme dosazením mezí Lenka Přibylová - Dvojné integrály •First *Prev *Next *Last *Go Back •Full Screen •Close •Quit Quiz Vypočtěte integrál x + y y dxdy, kde O je omezená přímkami y = 3x, y = 1, x + y = 2. 1. Množina O je typu —j. / ŕ / 1 j 1 v- x + y y X + 1/ i—I 3. Najdeme primitivní funkci ke-— vzhledem k proměnné|_| y 4y 4. Dosadíme meze dy 5. Najdeme primitivní funkci vzhledem k proměnné] | 6. Výsledek dostaneme dosazením mezí Lenka Přibylová - Dvojné integrály •First *Prev *Next *Last *Go Back •Full Screen •Close •Quit Quiz Vypočtěte integrál xy dxdy, kde O je omezená křivkami y = x, x = 2 — y1 1. Množina O je typu —j. / (1 1 j 1 v- xy □Vn 3. Najdeme primitivní funkci ke xy vzhledem k proměnné] | 4. Dosadíme meze -2 dy 5. Najdeme primitivní funkci vzhledem k proměnné] | -2 6. Výsledek dostaneme dosazením mezí Lenka Přibylová - Dvojné integrály •First *Prev *Next *Last *Go Back •Full Screen •Close •Quit I Transformace do polárních souřadnic V některých případech je pro výpočet dvojného integrálu vhodné provést transformaci proměnných. Jde vpodstatě o substituční metodu integrace. Zavedeme-li nové proměnné regulární transformací ®:x = g(u,v), y = h(u,v), pak platí JJ f(x,y) áxáy = JJ f(g(u/v)/h(u/v))\J(u/v)\dudv/ o <ř(n) kde J(u,v) = h'u(u,v) h'v(u,v) je Jakobián zobrazení <3> a množina O je zobrazena na množinu O (O). Nejčastěji užívanou transformací je transformace do polárních souřadnic. Jde o případy, kdy je množina O kruh, mezikruží nebo kruhová výseč apod. Polární souřadnice zavedeme pomocí zobrazení <3> : x = r cos (p, y = r sin (p, které je regulární a jeho Jakobián je cos<^ —rsin<^ sin (p r cos (p J(r, x, x > 0. / 1 ŕ / j 1 v- dr^j d(p 2. Rozepíšeme na dva jednoduché integrály \d(p 3. Najdeme primitivní funkce 7T/2 7T/4 4. Výsledek dostaneme dosazením mezí dr Lenka Přibylová - Dvojné integrály •First *Prev *Next *Last *Go Back •Full Screen •Close •Quit Quiz Vypočtěte integrál J J x2y + y3 dxdy, kde O je určena nerovnostmi x + y < 1, y > 0, x > 0. / 1 ŕ / j 1 v- dr^j d(p 2. Rozepíšeme na dva jednoduché integrály \d(p 3. Najdeme primitivní funkce 71/2 1 0 4. Výsledek dostaneme dosazením mezí dr Lenka Přibylová - Dvojné integrály •First *Prev *Next *Last *Go Back •Full Screen •Close •Quit Quiz Vypočtěte integrál J J \J x1 + y2 áxáy, kde O je určena nerovnostmi x + y < 1, x + (y — 1) < 1. / j d d 2. Najdeme primitivní funkci vzhledem k d - 3. Posad imp ttipzp 3 4. Najdeme primitivní funkci vzhledem k s použitím substituce t = 5. Výsledek dostaneme dosazením mezí Lenka Přibylová - Dvojné integrály •First *Prev *Next *Last *Go Back •Full Screen •Close •Quit Lenka Přibylová - Dvojné integrály •First *Prev *Next *Last *Go Back •Full Screen • Close •Quit