Gaussova eliminační metoda Robert Mařík a Lenka Přibylová 27. července 2006 c Obsah Reste soustavu lineárních rovnic ................... 3 Reste soustavu lineárních rovnic ................... 27 Reste soustavu lineárních rovnic ................... 49 Reste soustavu lineárních rovnic ................... 72 Reste soustavu lineárních rovnic ................... 97 ©Lenka Přibylová, 2006 Q 6*1+2X2— *3+7X4 = ^ 4xi +2x2—3*3+5x4 = —4 Reste soustavu Xi+ X2— X3— X4 = 0 ^ xi + X3 = 3 ©Lenka Přibylová, 2006 Q Reste soustavu 6x1+2x2— X3+7X4 4*i +2x2—3x3+5x4 Xi+ X2— X3— X4 + *3 / 6 2 -1 7 0 \ 4 2 -3 5 -4 1 1 -1 -1 0 ^ 1 0 1 0 3y1 o -4 0 3 Napíšeme rozšířenou matici soustavy A1 ©Lenka Přibylová, 20061 r 6xi+2x2 — X3+7X4 = 0 Reste soustavu X\ + X2 —3x3+5x4 — X 3 — X4 = -4 = 0 X\ + x3 = 3 ( 6 2 -1 7 0 \ / 1 0 1 0 3 \ 4 2-3 5 -4 11-1-1 0 ^ 1 0 1 0 3 ) l / Jako klíčový řádek zvolíme řádek poslední. Tento řádek napíšeme jako první. ©Lenka Přibylová, 20061 Řešte soustavu A nu (6 2 -1 7 4 2 -3 5 1 1 -1 -1 ^ 1 0 1 0 6xi+2x2— *3+7X4 = 0 4xi+2x2—3x3+5x4 = —4 Xi+ X2— X3— X4 = 0 + x3 =3 4 ■ 3(-1) 1 0 V 0 1 1 -2 o -1 3\ -3 I R3 - R4 = • ■" ©Lenka Přibylová, 2006 Řešte soustavu A nu (6 2 -1 7 4 2 -3 5 1 1 -1 -1 ^ 1 0 1 0 6xi+2x2— *3+7X4 = 0 4xi+2x2—3x3+5x4 = —4 Xi+ X2— X3— X4 = 0 + x3 =3 ( 1 0 0 3 (-4) \ 0 1 2 1 -2 -7 0 -1 5 3\ -3 -16 I R2 - 4R4 = ... ©Lenka Přibylová, 2006 Řešte soustavu A nu (6 2 -1 7 4 2 -3 5 1 1 -1 -1 ^ 1 0 1 0 6xi+2x2— *3+7X4 = 0 4xi+2x2—3x3+5x4 = —4 Xi+ X2— X3— X4 = 0 + x3 =3 4 o 3 ' (-6) /1 0 1 0 3 \ 0 1 -2 -1 -3 0 2 -7 5 -16 V 0 2 -7 7 -18 y I Ri - 6R4 = ... ©Lenka Přibylová, 2006 Řešte soustavu 6x1+2x2— X3+7X4 = 0 4xi+2x2—3x3+5x4 = —4 Xi+ X2— X3— X4 = 0 x\ + X3 =3 A ( 6 4 1 / 1 0 0 1 2 2 1 0 1 ■2 -1 -3 -1 1 0 -1 7 5 -1 0 3'\ -3 0\ ■4 0 / 1 0 0 0 1 2 2 1 -2 -7 -7 0 -1 5 7 3\ -3 -16 -18 nu První řádek zůstane a druhý řádek bude novým klíčovým řádkem. EEF^ĚÍ la I89^*^*^*^*^*^*^*^*^*^*^*^*^*^*^*^*^*^*^*^*^*^*^*^*^*^^^^^^^^^^^7c^)Lenka Přibylová. 2()()hfa Řešte soustavu 6x1+2x2— ^3+7X4 = 0 4xi+2x2—3x3+5x4 = —4 Xi+ X2— X3— X4 = 0 x\ + X3 =3 ( 1 0 0 V / 6 4 1 Vi 0 1 o • 2 2 1 0 1 ■2 ■3 -1 -3 -1 1 0 -1 7 7 5 -1 0 3'\ -3 -10 0\ 4 0 ( 1 0 0 0 1 2 2 1 -2 -7 -7 0 -1 5 7 -2K2 + R3 = • ■ ■ ebI ei^I^^BS ©Lenka Přibylová, 2006 Řešte soustavu 6x1+2x2— X3+7X4 = 0 4xi+2x2—3x3+5x4 = —4 Xi+ X2— X3— X4 = 0 x\ + X3 =3 / 6 2 -1 7 0 \ ( 1 0 1 0 Ar ^ 4 2 -3 5 -4 0 1 -2 -1 1 1 -1 -1 0 0 2 -7 5 l1 0 1 0 3 ^ 2 -7 7 í1 0 1 0 3 \ 0 1 - -2 -1 -3 0 0 - -3 7 -10 V 0 0 - -3 9 -12 -2R2 + #4 = • • • ©Lenka Přibylová, 2006 Řešte soustavu 6x1+2x2— X3+7X4 = 0 4xi+2x2—3x3+5x4 = —4 Xi+ X2— X3— X4 = 0 %\ + X3 =3 /6 2 -1 7 71 0 1 0 3 \ Ar ^ 4 2 -3 5 -4 0 1 -2 -1 -3 1 1 -1 -1 0 0 2 -7 5 — 16 l 1 0 1 0 3 / l0 2 -7 7 — 18 ) í1 0 1 0 3 \ / 1 0 1 0 3 ^ 0 1 - -2 -1 -3 0 1 -2 -1 -3 0 0 - -3 7 -10 0 0 -3 7 -10 V 0 0 - -3 9 -12 / V • První dva řádky zůstanou. • Třetí řádek bude novým klíčovým řádkem a zůstane také. (c) Lenka Přibylová, 20061 Řešte soustavu 6x1+2x2— ^3+7X4 = 0 4xi+2x2—3x3+5x4 = —4 Xi+ X2— X3— X4 = 0 x\ + X3 =3 / 6 2 -1 7 0 \ ( 1 0 1 0 3 \ Ar ^ 4 2 -3 5 -4 0 1 -2 -1 -3 1 1 -1 -1 0 0 2 -7 5 — 16 l1 0 1 0 3) \ l0 2 -7 7 — 18 J (1 0 1 0 3 / 1 0 1 0 3 ^ 0 1 - -2 -1 -3 1.. 0 1 -2 -1 -3 0 0 - -3 7 -10 x (-1) 0 0 -3 7 -10 V 0 0 - -3 9 -12 V V 0 0 0 2 -2 ) nu -R3 + R4 = • • • ebi ej q 133 ©Lenka Přibylová, 2006 Řešte soustavu v. 6x1+2x2— X3+7X4 = 0 4xi+2x2—3x3+5x4 = —4 Xi+ X2— X3— X4 = 0 %\ + X3 =3 A ( 1 0 0 0 10 1 -2 -1 0-3 7 0 0 2 3 \ -3 -10 -2 / Rozšířená matice soustavy je řádkově ekvivalentní modré matici, která je ve schodovitém tvaru. El 13 133 © Lenka Přibylová, 2ÔÔ61 Řešte soustavu v. A nu 6X1+2X2— *3+7X4 = 0 4xi+2x2—3x3+5x4 = —4 Xi+ X2— X3— X4 = 0 xi + X3 =3 /1 o o 0 10 1 -2 -1 0-3 7 0 0 2 • Soustava má řešení, neboťh (A) = h (Ar) = 4. Navíc n = 4 (počet neznámých) a soustava má tedy jediné řešení (nula parametrů). • Začneme dopočítávat neznámé. Napíšeme rovnici odpovídající poslednímu řádku ... HT ©Lenka Přibylová, 20061 Řešte soustavu A nu 6x1+2x2— X3+7X4 = 0 4xi+2x2—3x3+5x4 = —4 Xi+ X2— X3— X4 = 0 Xi + x3 = 3 / 1 0 1 0 0 1-2-1 0 0-3 7 \ 0 0 0 2 3\ -3 -10 -2 / 2X4 — 2 X4 -1 | a řešíme vzhledem k X4. Řešte soustavu 6x1+2x2— X3+7X4 = 0 4xi+2x2—3x3+5x4 = —4 Xi+ X2— X3— X4 = 0 x\ + X3 =3 A ( 1 0 0 1 0 o V o o —3x3 + 7x4 = —10 2X4 — 2 X4 -1 Napíšeme rovnici odpovídající předposlednímu řádku. ©Lenka Přibylová, 2006 Řešte soustavu 6x1+2x2— X3+7X4 = 0 4xi+2x2—3x3+5x4 = —4 xi+ x2— X3— X4 = 0 x\ + X3 =3 ( 1 0 1 0 0 1-2-1 0 0-3 7 \ 0 0 0 2 —3x3 + 7x4 = —10 _3x3 - 7 = -10 3\ -3 -10 -2 / 2X4 2 A 4 -1 [ Dosadíme X4 = — 1 ... ©Lenka Přibylová, 2006 Řešte soustavu 6x1+2x2— ^3+7X4 = 0 4xi+2x2—3x3+5x4 = —4 Xi+ X2— X3— X4 = 0 x\ + X3 =3 ( 1 0 0 V o 0 1 o o 1 -2 -3 O —3x3 + 7x4 = —10 _3x3 - 7 = -10 x3 = 1 O -1 7 2 3\ -3 -10 -2 / 2X4 — 2 x4 -1 a řešíme vzhledem k X3 eei ej q 133 ©Lenka Přibylová, 2006 Řešte soustavu 6x1+2x2— X3+7X4 = 0 4xi+2x2—3x3+5x4 = —4 Xi+ X2— X3— X4 = 0 x\ + X3 =3 A ( 1 0 0 V o 0 1 o o 1 -2 -3 O —3x3 + 7x4 = —10 _3x3 - 7 = -10 x3 = 1 0 1 7 2 2X4 — 2 X4 -1 Napíšeme rovnici odpovídající druhému řádku. eei ej q 133 ©Lenka Přibylová, 2006 Řešte soustavu 6X1 +2X2~ X3+7X4 Axi +2x2—3*3+5x4 X\ + X2 — X3 — X4 nu + x3 í1 0 1 0 3 \ 0 1 -2 -1 -3 0 0 -3 7 -10 V 0 0 0 2 -2 / 0 -4 0 3 —3x3 + 7x4 = —10 _3x3 - 7 = -10 x3 = 1 2X4 — -2 X4 — -1 X2 — 2X3 — X4 x2 - 2 + 1 ■3 ■3 [ Dosadíme X4 = — 1 a X3 — 1 ... EB1 EJ Q 133 ©Lenka Přibylová, 2006 Řešte soustavu 6X1+2X2— *3+7X4 = 0 4xi+2x2—3x3+5x4 = —4 Xi+ X2— X3— X4 = 0 x\ + X3 =3 ( 1 0 0 V o 0 1 o o 1 -2 -3 O —3x3 + 7x4 = —10 _3x3 - 7 = -10 x3 = 1 0 1 7 2 3\ -3 -10 -2 / 2X4 — 2 X4 -1 X2 — 2X3 — X4 x2 - 2 + 1 %2 ■3 ■3 ■2 a vyřešíme vzhledem k xi- ©Lenka Přibylová, 2006 Řešte soustavu 6X1 +2X2~ X3+7X4 4*i +2x2—3x3+5x4 X\-X\ ( 1 0 0 V o 0 1 o o 1 -2 -3 O —3x3 + 7x4 = —10 _3x3 - 7 = -10 x3 = 1 %2 - *3 + *3 0 3 1 -3 7 -10 2 -2 O -4 0 3 2x4 = -2 X2 — 2X3 — X4 x2 - 2 + 1 X2 3 3 2 xi + X3 = 3 Napíšeme rovnici odpovídající prvnímu řádku. ©Lenka Přibylová, 2006 Řešte soustavu 6x1+2x2— X3+7X4 = 0 4xi+2x2—3x3+5x4 = —4 xi+ x2— X3— X4 = 0 x\ + X3 =3 ( 1 0 0 V o 0 1 o o 1 -2 -3 O —3x3 + 7x4 = —10 _3x3 - 7 = -10 x3 = 1 0 1 7 2 3\ -3 -10 -2 / 2X4 — 2 X4 -1 X2 — 2X3 — X4 x2 - 2 + 1 X2 3 3 2 xi + X3 = 3 xi + 1 = 3 Dosadíme X3 = 1. ©Lenka Přibylová, 2006 Řešte soustavu 6x1+2x2— ^3+7X4 = 0 4xi+2x2—3x3+5x4 = —4 Xi+ X2— X3— X4 = 0 x\ + X3 =3 ( 1 0 0 V o 0 1 o o 1 -2 -3 O —3x3 + 7x4 = —10 _3x3 - 7 = -10 x3 = 1 0 1 7 2 3\ -3 -10 -2 / 2X4 — 2 x4 -1 X2 — 2X3 — X4 x2 - 2 + 1 %2 ■3 ■3 ■2 Xi + X3 = 3 Xl + 1 = 3 = 2 Najdeme Xi = 2. EEI El 13 133 ©Lenka Přibylová, 2006 Řešte soustavu 6x1+2x2— X3+7X4 = 0 4xi+2x2—3x3+5x4 = —4 Xi+ X2— X3— X4 = 0 x\ + X3 =3 A ( 1 0 0 V o 0 1 1 -2 0 -3 0 0 0 -1 7 3\ -3 -10 -2 / 2x4 — 2 X4 -1 —3x3 + 7x4 = —10 _3x3 - 7 = -10 x3 = 1 X2 — 2x3 — X4 — —3 x2 - 2 + 1 = -3 x2 = -2 Xi + X3 = 3 Xl + 1 = 3 Xi = 2 Jediné řešení je [xi = 2, X2 = — 2,X3 = 1,X4 = — 1 Vypočítali jsme všechny neznámé. EBl EJ q 133 ©Lenka Přibylová, 2006 3X1—2X2+6X3+2*4—4X5 = 5 X\ +2x3— X4+2X5 = 3 Reste soustavu rovnic X\ +2x2+2x3 = 1 2x1—6x2+4x3+2x4—4x5 = 5 EBi ej q igg ©Lenka Přibylová, 2006 Q Řešte soustavu rovnic 3x1—2x2+6x3+2x4—4x5 x\ +2x3— X4+2X5 X\ +2x2+2x3 2xi—6x2+4x3 +2x4 —4x5 5 3 1 5 A /3 -1 1 V2 - 2 6 0 2 2 2 6 4 2 1 0 2 4 2 0 4 5 \ 3 1 5 / Napíšeme rozšířenou matici soustavy. EBi ej q raa ©Lenka Přibylová, 20061 Řešte soustavu rovnic 3x1—2x2+6x3+2x4—4x5 x\ +2x3— X4+2X5 X\ +2x2+2x3 2xi—6x2+4x3 +2x4 —4x5 5 3 1 5 73 -2 6 2 -4 5 ^ Ar ^ 1 0 2 -1 2 3 1 2 2 0 0 1 l2 -6 4 2 -4 5 / (1 0 2 - •1 2 3 \ V / Druhý řádek bude klíčový a opíšeme jej na první místo. ©Lenka Přibylová, 2006 i Řešte soustavu rovnic 3x1—2x2+6x3+2x4—4x5 x\ +2x3— X4+2X5 X\ +2x2+2x3 2xi—6x2+4x3 +2x4 —4x5 5 3 1 5 A ( 3 1 1 V 2 / 1 0 0 -2 V -2 0 2 -6 2 0 6 2 2 4 1 5 2 -1 0 2 2 10 Upravíme první řádek. ©Lenka Přibylová, 2006 i Řešte soustavu rovnic 3x1—2x2+6x3+2x4—4x5 = 5 %\ +2x3— X4+2X5 = 3 X\ +2x2+2x3 = 1 2x1—6x2+4x3+2x4—4x5 = 5 / 3 -2 6 2 Ar ~ 1 0 2 -1 1 2 2 0 ^2 -6 4 2 /1 0 2 -1 2 0 -2 0 5 -10 0 2 0 1 -2 V I Upravíme třetí řádek. 1 ©Lenka Přibylová, 2ÔÔ6 Řešte soustavu rovnic 3x1—2x2+6x3+2x4—4x5 x\ +2x3— X4+2X5 X\ +2x2+2x3 2xi—6x2+4x3 +2x4 —4x5 5 3 1 5 A 1 0 0 V o / 3 1 1 V 2 o -2 2 -6 -2 0 2 -6 2 0 0 0 6 2 2 4 1 5 1 4 2 -1 0 2 2 -10 -2 -8 Upravíme poslední řádek. EB1 EJ Q 133 ©Lenka Přibylová, 2006 Řešte soustavu rovnic 3x1—2x2+6x3+2x4—4x5 x\ +2x3— X4+2X5 X\ +2x2+2x3 2xi—6x2+4x3 +2x4 —4x5 5 3 1 5 73 -2 6 2 -4 5 \ Ar ^ 1 0 2 -1 2 3 1 2 2 0 0 1 nu l2 -6 4 2 -4 5 / í1 0 2 -1 2 3 \ / 1 0 2 -1 2 3 \ 0 -2 0 5 -10 -4 0 2 0 1 -2 -2 0 2 0 1 -2 -2 nu V 0 -6 0 4 -8 -1 / V / • První řádek zůstane. • Červený řádek bude nový klíčový řádek a napíšeme jej jako druhý v_..... ESI Q la J (č) Lenka Přibylová, 20061 Řešte soustavu rovnic 3x1—2x2+6x3+2x4—4x5 x\ +2x3— X4+2X5 X\ +2x2+2x3 2xi—6x2+4x3 +2x4 —4x5 5^ 3 1 5 A 1 0 0 V o TT -2 6 2 -4 5 \ 1 0 2 -1 2 3 1 2 2 0 0 1 ^ 2 -6 4 2 -4 5 / 0 2 -1 2 3 \ í 1 0 2 -1 2 3 ^ -2 0 5 -10 -4 0 2 0 1 -2 -2 2 0 1 -2 -2 l 0 0 0 6 -12 -6 -6 0 4 -8 -1 ) V / Upravíme druhý řádek. eei ej Q |33 ©Lenka Přibylová, 2006 Řešte soustavu rovnic 3x1—2x2+6x3+2x4—4x5 x\ +2x3— X4+2X5 X\ +2x2+2x3 2xi—6x2+4x3 +2x4 —4x5 5^ 3 1 5 73 -2 6 2 -4 5 \ Ar ^ 1 0 2 -1 2 3 1 2 2 0 0 1 l2 -6 4 2 -4 \ í1 0 2 -1 2 3 / 1 0 2 -1 2 3 \ 0 -2 0 5 -10 -4 0 2 0 1 -2 -2 0 2 0 1 -2 -2 0 0 0 6 -12 -6 V 0 -6 0 4 -8 -1 V V 0 0 0 7 -14 "7 / Upravíme poslední řádek. EBl EJ Q 133 ©Lenka Přibylová, 2006 Řešte soustavu rovnic 3xi —2x2+6x3 +2x4 —4x5 %\ +2x3— X4+2X5 %\ +2x2+2x3 2xi—6x2+4x3 +2x4—4x5 5 3 1 5 A / 1 / 3 -2 6 1 0 2 1 2 2 \ 2 -6 4 0 2-1 0-2 0 5 0 2 0 1 \ 0 -6 0 4 / 1 0 2 -1 0 2 0 1 -2 0 0 0 1 -2 V 0 0 0 1 -2 2 -4 5 \ -1 2 3 0 0 1 2-4 5 2 3 \ -10 -4 -2 -2 -8 -1 / 2 3 \ -2 -1 /1 0 2 -1 2 3 1 0 2 0 1 -2 -2 0 0 0 6 -12 -6 ru 0 0 7 -14 -7 J +7 -1 / Modré řádky můžeme vydělit čísly 6 a 7. 1 ©Lenka Přibylová, 2006 Řešte soustavu rovnic 3x1—2x2+6x3+2x4—4x5 x\ +2x3— X4+2X5 X\ +2x2+2x3 2xi—6x2+4x3 +2x4 —4x5 5^ 3 1 5 A ( 1 / 3 -2 6 1 0 2 1 2 2 \ 2 -6 4 0 2-1 2 -4 1 2 0 0 0-2 0 5 0 2 0 1 \ 0 -6 0 4 / 1 0 2 -1 0 2 0 1 0 0 0 1 2 2 -10 -2 -8 -4 5\ 3 1 5 3\ -4 -2 -1 2 2 2 3\ -2 -1 ( 1 0 0 V o 0 2 2 0 0 0 0 0 -1 1 6 7 2 3 ^ -2 -2 -12 -6 -14 "7 / Poslední dva řádky jsou stejné a stačí dále pracovat jenom s jedním z nich. ©Lenka Přibylová, 2006 Řešte soustavu rovnic 3x1—2x2+6x3+2x4—4x5 = 5 x\ +2x3— X4+2X5 = 3 X\ +2x2+2x3 = 1 2x1—6x2+4x3+2x4—4x5 = 5 A 10 2-1 2 0 2 0 1 -2 0 0 0 1 -2 • Rozšířená matice soustavy má hodnost 3, matice soustavy také. Systém proto má řešení. • Počet parametrů je neznámé — hodnost = 5 — 3 = 2. ^I^E Q ■■^^*^*^*^*^*^*^*^*^*^*^*^*^*^*^*^*^*^*^*^*^*^*^*^*^*^*^7(^T,pnlca Přibylová. 20061 Řešte soustavu rovnic A nu 3x1—2x2+6x3+2x4—4x5 = 5 %\ +2x3— X4+2X5 = 3 X\ +2x2+2x3 = 1 2x1—6x2+4x3+2x4—4x5 = 5 0 2-1 2 2 0 1-2 0 0 1-2 3 -2 X4 — 2 X5 = — 1 Napíšeme rovnici příslušnou poslednímu řádku. ©Lenka Přibylová, 2006 Řešte soustavu rovnic A 3x1—2x2+6x3+2x4—4x5 = 5 x\ +2x3— X4+2X5 = 3 X\ +2x2+2x3 = 1 2x1—6x2+4x3+2x4—4x5 = 5 10 2-1 2 0 2 0 1 -2 0 0 0 1 -2 X4 2 X5 x5 X4 -1 ř 2ř-l • Jsou zde dvě neznámé, ale jenom jedna rovnice. Jednu z neznámých volíme rovnu parametru. • Bud'tedy X5 = ř, kde ř je libovolné reálné číslo. Vypočteme X4. BEfĚÍ Q 18^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ ( ľ ) I ,enka Přibylová. 20061 Řešte soustavu rovnic 3x1—2x2+6x3+2x4—4x5 x\ +2x3— X4+2X5 X\ +2x2+2x3 2xi—6x2+4x3 +2x4 —4x5 5 3 1 5 10 2-1 2 0 2 0 1 -2 0 0 0 1 -2 X4 2 X5 X4 -1 t 2ř-l Napíšeme rovnici odpovídající dalšímu řádku. BB1 EJ Q 133 ©Lenka Přibylová, 2006 Řešte soustavu rovnic 3x1—2x2+6x3+2x4—4x5 x\ +2x3— X4+2X5 X\ +2x2+2x3 2xi—6x2+4x3 +2x4 —4x5 5 3 1 5 A 10 2-1 2 0 2 0 1 -2 0 0 0 1 -2 2x2 + x4 — 2x5 = —2 2x2 + (2ř - 1) - 2t = -2 X4 2 X5 ^5 X4 -1 t 2í-l Dosadíme za X4 a X5« Zůstává pouze neznámá X2. ©Lenka Přibylová, 2006 Řešte soustavu rovnic 3x1—2x2+6x3+2x4—4x5 x\ +2x3— X4+2X5 X\ +2x2+2x3 2xi—6x2+4x3 +2x4 —4x5 5 3 1 5 A 10 2-1 2 0 2 0 1 -2 0 0 0 1 -2 2X2 + x4 - 2x5 = -2 2 x2 + (2ř - 1) -2t = -2 1 %2 — ~2 X4 2 X5 x5 X4 -1 ř 2ř-l | Nalezneme Xi> Dostáváme 2x2 = ~2 — 2t + 1 + 2ř a odsud určíme x^ EĚÍ Q Q IS8"*^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^7cS Lenka Přibylová. 20061 Řešte soustavu rovnic 3x1—2x2+6x3+2x4—4x5 = 5 x\ +2x3— X4+2X5 = 3 X\ +2x2+2x3 = 1 2x1—6x2+4x3+2x4—4x5 = 5 A nj 102-1 2 020 1-2 000 1-2 2X2 + x4 - 2x5 = -2 2 x2 + (2t - 1) -2t = -2 1 %2 — ~2 x\ + 2x3 — X4 + 2x5 = 3 Napíšeme rovnici odpovídající prvnímu řádku. EBl EJ Q 133 ©Lenka Přibylová, 2006 Řešte soustavu rovnic 3x1—2x2+6x3+2x4—4x5 x\ +2x3— X4+2X5 X\ +2x2+2x3 2xi—6x2+4x3 +2x4 —4x5 5 3 1 5 A nj 10 2-1 2 0 2 0 1 -2 0 0 0 1 -2 X4 2 X5 x5 X4 -1 ř 2ř-l 2x2 + ^4 — 2x5 = —2 2x2 + (2ř-l)-2ř= -2 x\ + 2x3 — X4 + 2x5 = 3 xi +2x3 - (2ř- 1) +2ř = 3 X3 = u Dosadíme. Po dosazení zůstanou neznámé x\ a X3. Jedna z těchto neznámých musí být parametr. Volme např. X3 = u, kde u je libovolné reálné číslo. Řešte soustavu rovnic 3x1—2x2+6x3+2x4—4x5 x\ +2x3— X4+2X5 X\ +2x2+2x3 2xi—6x2+4x3 +2x4 —4x5 5 3 1 5 A nj 10 2-1 2 0 2 0 1 -2 0 0 0 1 -2 2X2 + x4 - 2x5 = -2 2 x2 + (2t - 1) -2t = -2 1 %2 — ~2 X4 2 X5 X4 -1 2í-l Xi + 2x3 — X4 + 2x5 %i +2x3 - (2r- 1) +2r xi +2u - (2r- 1) +2r 3 3 u 3 Vypočteme %\. EBl Q 13 133 ©Lenka Přibylová, 2006 Řešte soustavu rovnic 3x1—2x2+6x3+2x4—4x5 x\ +2x3— X4+2X5 X\ +2x2+2x3 2xi—6x2+4x3 +2x4 —4x5 5 3 1 5 A nu 10 2-1 2 0 2 0 1 -2 0 0 0 1 -2 2X2 + x4 - 2x5 = -2 2 x2 + (2t - 1) -2t = -2 1 %2 — ~2 X4 2 X5 X4 -1 2í-l X\ + 2x3 — X4 + 2x5 %i +2x3 - (2r- 1) +2r *i +2u - (2r- 1) +2t = 3 = 3 = u = 3 = 2-2u r -L -1 Řešení je [2 — 2u, —-, u, 2t — 1, t\, kde í ai/ jsou parametry. EBi ej q igg ©Lenka Přibylová, 2006 Q Řešte soustavu rovnic 3x1—2x2+6x3+2x4—4x5 x\ +2x3— X4+2X5 X\ +2x2+2x3 2xi—6x2+4x3 +2x4 —4x5 5 3 1 5 A nj 10 2-1 2 0 2 0 1 -2 0 0 0 1 -2 2X2 + x4 - 2x5 = -2 2 x2 + (2t -1) -2t = -2 1 %2 — ~2 X4 2 X5 X4 -1 2í-l xi + 2x3 — X4 + 2x5 %i +2x3 - (2r- 1) +2t x1 +2u - (2t- 1) +2t = 3 = 3 = u = 3 = 2-2u r -L -1 Řešení je [2 — 2u, —-, u, 2t — 1, t\, kde t au jsou parametry. EEi ej q igg ©Lenka Přibylová, 2006 Q Řešte soustavu 2xi+2x2—2x3+ X4 = 1 Xi+2X2+ X3—2x4 = 1 3xi+4x2— X3+2X4 = 5 X\ +3x2+3x3—2x4 = 4 ©Lenka Přibylová, 2006 Q Řešte soustavu 2ji+2x2—2x3+ X4 Xi+2X2+ X3—2x4 3xi+4x2— X3+2X4 X\ +3X2+3X3 —2x4 A / 2 2 -2 1 1 \ 1 2 1 -2 1 3 4 -1 2 5 ^ 1 3 3 -2 4 V1 EBi ej q igg ©Lenka Přibylová, 2006 Q Řešte soustavu 2xi+2x2—2x3+ X4 Xi+2X2+ X3—2x4 3xi+4x2— X3+2X4 X\ +3X2+3X3 —2x4 TT 2 -2 1 1 \ 1 2 1 -2 1 3 4 -1 2 5 ^ 1 3 3 -2 4 / /1 nu \ 1 -2 1 \ / Druhý řádek bude klíčový, protože «21 — 1- ©Lenka Přibylová, 2006 i Řešte soustavu v. 2xi+2x2—2x3+ X4 Xi+2X2+ X3—2x4 3xi+4x2— X3+2X4 X\ +3X2+3X3 —2x4 ( 2 1 3 V1 2 2 4 3 ■2 1 1 3 1 2 2 2 1' / 1 (-2) o -: V 1 -2 -4 5 1 \ -1 / |(-2)R2 + -Ri Řešte soustavu 2xi+2x2—2x3+ X4 Xi+2X2+ X3—2x4 3xi+4x2— X3+2X4 X\ +3X2+3X3 —2x4 / 2 2 -2 1 1 \ / 1 1 3 2 4 1 -1 -2 2 In 5*1 ~ 0 0 l 1 3 3 -2 V 2 2 2 1 4 4 ■2 5 8 1 \ -1 2 / |(-3)K2 + K3 Řešte soustavu v. 2xi+2x2—2x3+ X4 Xi+2X2+ X3—2x4 3xi+4x2— X3+2X4 X\ +3X2+3X3 —2x4 ( 2 1 3 V 1 2 2 4 3 ■2 1 1 3 1 2 2 2 71 2 1 -2 1 \ 0 -2 -4 5 -1 0 -2 -4 8 2 V 0 1 2 0 3 / | (-1)R2 + K4 r Řešte soustavu 2ji+2x2—2x3+ X4 Xi+2X2+ X3—2x4 3xi+4x2— X3+2X4 Xi +3X2+3X3 —2x4 / 2 2 1 2 3 4 \ 1 3 / 1 2 1 • 0 12 -2 1 1 -2 -1 2 3 -2 ■2 0 1 \ 3 1 \ 1 5 4 / 1 0 0 2 2 ■2 1 1 4 ■4 2 ■2 5 8 0 1 \ 1 2 3 Dalším klíčovým řádkem bude poslední řádek, protože #42 = 1 je lepší než #22 = ^23 = — 2. El 13 iaa ícT) Lenka Přibylová. 2006 Řešte soustavu v. A 2xi+2x2—2x3+ X4 Xl+2X2+ X3—2x4 3xi+4x2— X3+2X4 X\ +3X2+3X3 —2x4 / 2 2 1 2 3 4 V 1 3 -2 1 1 -2 -1 2 3 -2 /1 2 1 -2 1 \ 0 1 2 0 3 0 0 0 5 5 V / 1 \ 1 5 4 / ( 1 0 0 V o 2 2 ■2 1 1 4 ■4 2 ■2 5 8 0 1 \ i) 2R4 + R2 na ■ © Lenka Přibylová, 2ÔÔ6 1 Řešte soustavu A 2xi+2x2—2x3+ X4 Xi+2X2+ X3—2x4 3xi+4x2— X3+2X4 X\ +3X2+3X3 —2x4 / 2 1 2 2 -2 1 -2 2 3 4 - 1 V 1 3 3 - (1 2 1 -2 1 \ 0 1 2 0 3 0 0 0 5 5 V 0 0 0 8 8 / 1 \ 1 5 4 / nu ( 1 0 0 V o 2 2 2 1 1 4 ■4 2 ■2 5 8 0 1 \ 1 3', 2£4 + R3 na ■ (c)Lenka Přibylová, 2ÔÔ6 1 Řešte soustavu 2xi+2x2—2x3+ X4 = 1 Xi+2X2+ X3—2x4 = 1 3xi+4x2— X3+2X4 = 5 X\ +3x2+3x3—2x4 = 4 A / 1 0 / 2 2 -2 1 12 1-2 3 4-1 2 \ 1 3 3-2 / 0 0 0 \ o o o 2 1-2 12 O 5 8 1 \ 3 5 8 / nu 1 \ 1 5 4 / 1 0 V 7T o o o 2 1 1 2 V 2 1-2 -2 -4 5 -2 -4 8 12 0 -2 0 1 \ 3 1 \ ■1 2 3 / První dva řádky zůstanou. ©Lenka Přibylová, 20061 r 2xi+2x2—2x3+ X4 = 1 Xi+2X2+ X3—2x4 = 1 Reste soustavu 3xi+4x2— X3+2X4 = 5 X\ +3x2+3x3—2x4 = 4 72 2 - 2 1 TY ( 1 2 1 -2 1 \ Ar ^ 1 2 1 - -2 1 0 -2 -4 5 -1 3 4 - 1 2 5 0 -2 -4 8 2 l1 3 3 - -2 4 >/ 1 2 0 3 / í1 2 1 -2 1 \ / 1 2 1 -2 1 \ 0 1 2 0 3 0 1 2 0 3 0 0 0 5 5 1 • \_ 0 0 0 1 1 V 0 0 0 8 8 ) i ^00 0 1 1 J Poslední řádky můžeme vydělit. eei ej q igg ©Lenka Přibylová, 2006 Řešte soustavu 2xi+2x2—2x3+ X4 = 1 Xi+2X2+ X3—2x4 = 1 3xi+4x2— X3+2X4 = 5 Xi+3x2+3x3—2x4 = 4 72 2 - 2 1 TY / 1 2 1 -2 1 \ 1 2 1 - -2 1 0 -2 -4 5 -1 3 4 - 1 2 5 0 -2 -4 8 2 l1 3 3 - -2 4 J 1 2 0 3 / /1 2 1 -2 1 \ / 1 2 1 -2 1 \ 0 1 2 0 3 0 1 2 0 3 0 0 0 5 5 0 0 0 1 1 V 0 0 0 8 8 ) v / nu Poslední dva řádky jsou stejné a stačí uvažovat pouze jeden z nich. Vynecháme tedy poslední řádek. ©Lenka Přibylová, 20061 Řešte soustavu v. 2xi+2x2—2x3+ X4 Xi+2X2+ X3—2x4 3xi+4x2— X3+2X4 X\ +3X2+3X3 —2x4 A nj 12 1-2 0 12 0 0 0 0 1 Rozšířená matice soustavy je ve schodovitém tvaru. h (A) = 3, h (Ar) =3,n = 4 Soustava má nekonečně mnoho řešení s jedním parametrem. 3BI El 19 © Lenka Přibylová, 2Ô0É Řešte soustavu v. 2xi+2x2—2x3+ X4 Xi+2X2+ X3—2x4 3xi+4x2— X3+2X4 X\ +3X2+3X3 —2x4 12 1-2 0 12 0 0 0 0 1 Řešte soustavu A 2xi+2x2—2x3+ X4 = 1 Xi+2X2+ X3—2x4 = 1 3xi+4x2— X3+2X4 = 5 Xi+3x2+3x3—2x4 = 4 nu 1 2 1 -2 1 0 1 2 0 3 0 0 0 1 1 Napíšeme rovnici odpovídající prostřednímu řádku. ■ El l ©Lenka Při bylová, ZUU6^ Řešte soustavu v. A 2xi+2x2—2x3+ X4 Xi+2X2+ X3—2x4 3xi+4x2— X3+2X4 X\ +3X2+3X3 —2x4 12 1-2 0 12 0 0 0 0 1 X4 = 1 X2 + 2 X3 = 3 X3 = ř Ze dvou neznámých bude jedna rovna parametru. Nechť například X3 = t, kde ř je libovolné reálné číslo. eei ej q raa ©Lenka Přibylová, 20061 Řešte soustavu A nj 2xi+2x2—2x3+ X4 Xi+2X2+ X3—2x4 3xi+4x2— X3+2X4 X\ +3X2+3X3 —2x4 12 1-2 0 12 0 0 0 0 1 X4 = 1 %2 + 2 X3 = 3 = ŕ X2 = 3-2ŕ 1 Nalezneme X2. Bi ia "iäa^——— ©Lenka Přibylová, 2006 r Řešte soustavu 2ji+2x2—2x3+ X4 Xi+2X2+ X3—2x4 3xi+4x2— X3+2X4 Xi +3X2+3X3 —2x4 X4 = 1 X2 + 2 X3 = 3 = t X2 = 3-2ř Pokračujeme k další rovnici. ©Lenka Přibylová, 2006 Řešte soustavu v. 2xi+2x2—2x3+ X4 Xi+2X2+ X3—2x4 3xi+4x2— X3+2X4 X\ +3X2+3X3 —2x4 12 1-2 0 12 0 0 0 0 1 X4 = 1 Xl + 2X2 + x3 — 2X4 = 1 x1+2(3-2í) + í-2-l = 1 X2 + 2 X3 = 3 = t X2 = 3-2ř Řešte soustavu 2xi+2x2—2x3+ X4 Xi+2X2+ X3—2x4 3xi+4x2— X3+2X4 X\ +3X2+3X3 —2x4 12 1-2 0 12 0 0 0 0 1 X4 = 1 *2 + 2 X3 = 3 *3 = ŕ X2 = 3-2ŕ Xl + 2X2 + *3 _ 2X4 = 1 *i+2(3-2ŕ) + ŕ-2-l = 1 xi - 4ŕ + t + 4 = 1 Upravíme. BBi ej q raa ©Lenka Přibylová, 20061 Řešte soustavu 2xi+2x2—2x3+ X4 Xi+2X2+ X3—2x4 3xi+4x2— X3+2X4 X\ +3X2+3X3 —2x4 12 1-2 0 12 0 0 0 0 1 X4 = 1 X2 + 2 X3 = 3 = t X2 = 3-2ř Xi + 2x2 + X3 — 2x4 = 1 X!+2(3-2ř) + ř-2-l = 1 xi - 4ř + ř + 4 = 1 Xi — 3ř = -3 Upravíme. EBi ej q raa ©Lenka Přibylová, 20061 Řešte soustavu 2xi+2x2—2x3+ X4 Xi+2X2+ X3—2x4 3xi+4x2— X3+2X4 X\ +3X2+3X3 —2x4 12 1-2 0 12 0 0 0 0 1 X4 = 1 X2 + 2 X3 = 3 = t X2 = 3-2ř Xl + 2X2 + *3 — 2X4 = 1 *i+2(3-2ŕ) + ŕ-2-l = 1 xi - 4ŕ + t + 4 = 1 Xi — 3ř = -3 Xi = 3ř-3 Nalezneme Xi BBi ej q iaa © Lenka Přibylová, 2ÔÔ6 1 r Řešte soustavu 2ji+2x2—2x3+ X4 Xi+2X2+ X3—2x4 3xi+4x2— X3+2X4 Xi +3X2+3X3 —2x4 nj 121-2 012 o 0 0 0 1 X4 = 1 Xl + 2X2 + x3 — 2X4 = 1 X!+2(3-2ř) + ř-2-l = 1 xi - 4ř + ř + 4 = 1 Xi — 3ř = -3 Xi = 3ř-3 X2 + 2 X3 = 3 = ŕ X2 = 3-2ŕ Řešení je kde ŕ G R. EBi ej q igg ©Lenka Přibylová, 2006 Q x\ — X3+3X4 = O X1+X2 X4— X5 = O Reste soustavu 5xi+X2— 4x3+3x4—9x5 = 0 Xi—X2—2X3+ X4—5X5 = 0 EEl Q 13 133 ©Lenka Přibylová, 2006 Q Řešte soustavu /1 i 5 V 1 0 1 i i i o 4 ■2 Xi — X3+3X4 = 0 X1+X2 — X4— X5 = 0 5xi+X2—4x3+3x4—9x5 = 0 x\— x2~ 2X3+ X4 —5X5 = 0 3 1 3 1 0 1 9 5 O \ O o o / Napíšeme rozšířenou matici soustavy. 1^ q igg ©Lenka Přibylová, 200 Řešte soustavu v. X\ X1+X2 5X\+X2 Xl—X2 - X3+3X4 = 0 — x4 — X5 = 0 4x3+3x4—9x5 = 0 2x3+ ^4—5x5 = 0 /1 0 -1 3 0 0 \ /1 1 0-1-1 0 \ 1 1 0 -1 -1 0 5 1 -4 3 -9 0 \ 1 -1 -2 1 -5 0/ V / Zvolíme klíčový řádek (s jedničkou na začátku a nejnižšími ciframi na dalších pozicích). Tento řádek opíšeme jako první. ^ 199 ©Lenka Přibylová, 2Ô061 Reste soustavu X\ X\+%2 5X\-\-X2 X\—Xi ■ X3+3X4 X4 X5 4x3+3x4—9x5 •2x3+ X4—5x5 /1 0 -1 3 0 1 1 0 -1 -1 5 1 -4 3 -9 V 1 -1 -2 1 -5 í 1 0 V 0 0 o 0 1 -1 o -1 -1 4 -1 1 o \ o [ Vynulujeme prvek a\\. ©Lenka Přibylová, 20061 Reste soustavu /1 i 5 \ 1 X1+X2 5Xi+X2 Xi—X2 • X3+3X4 X4 X5 4X3+3X4 — 9X5 •2x3+ X4—5x5 1 3 0 0 0 -1 -1 0 4 3 -9 0 2 1 -5 0 ( 1 0 0 V =0 = 0 = 0 = 0 1 -1 -4 0 -1 -4 1 4 8 -1 1 -4 0 \ 0 o J Vynulujeme prvek a$\. i ssA El la las ©Lenka Přibylová, 2006 Reste soustavu /1 i 5 \ 1 X1+X2 5Xi+X2 X1—X2 X3+3X4 = 0 — X4— X5 = 0 4x3+3x4—9x5 = 0 2x3+ X4—5x5 = 0 0 -1 1 0 1 -4 1 -2 3 1 3 1 0 1 9 ■5 /1 1 0 -1 -1 0 \ 0 -1 -1 4 1 0 0 -4 -4 8 -4 0 V 0 -2 -2 2 -4 0/ Vynulujeme prvek 041. 1 ad El la las ©Lenka Přibylová, 2006 Řešte soustavu X\ — X3+3X4 5xi+J2_ 4x3+3; xl~ x2~ 2x3+ ; /1 0 -1 3 0 M 1 1 0 -1 -1 0 5 1 -4 3 -9 0 ^ 1 -1 -2 1 -5 0 / ( 1 1 0 -1 -1 0 ^ 0 -1 -1 4 1 0 0 -1 -1 2 -1 0 ^ 0 -1 -1 1 -2 0) = 0 - x5 = 0 -9x5 = 0 —5X5 = 0 í1 1 0 -1 -1 0 ^ 0 -1 -1 4 1 0 0 -4 -4 8 -4 0 V 0 -2 -2 2 -4 0 / -=-2 První dva řádky opíšeme, poslední dva vydělíme společným dělitelem všech čísel v řádku. 18a^MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM^^cTr,erika Přibylová. 20061 3BI El 19 r X\ — X3-T"3X4 = 0 Řešte soustavu X\+%2 — X4-5xi +X2 —4x3+3x4 - ■ x5 -9x5 = 0 = 0 Xi—X2—2x3+ X4- -5X5 = 0 / 1 0 -1 3 0 0 \ f1 1 0 -1 -1 0 ^ 1 1 0 -1 -1 0 0 -1 -1 4 1 0 5 1 -4 3 -9 0 0 -4 -4 8 -4 0 V i -i -2 1 -5 0 ) l 0 -2 -2 2 -4 0 / / 1 1 0 -1 -1 0 \ ( 1 1 0 -1 -1 0 ^ 0 -1 -1 4 1 0 0 -1 -1 4 1 0 0 -1 -1 2 -1 0 \o -1 -1 1 -2 0 ) l / První řádek opišme, druhý řádek bude klíčový a opišme jej také. ©Lenka Přibylová, 2006 Řešte soustavu X\ X1+X2 5Xi+X2 X\—Xi ■ X3+3X4 = o — X4— X5 = 0 4x3+3x4—9x5 = 0 2x3+ £4—5x5 = 0 (1 0 -1 3 0 0 \ rr 1 0 -1 -1 0 ^ 1 1 0 -1 -1 0 0 -1 -1 4 1 0 5 1 -4 3 -9 0 0 -4 -4 8 -4 0 ^ 1 -1 -2 1 -5 0) -2 -2 2 -4 0 ) ( 1 1 0 -1 -1 1 0 -1 -1 0 ^ 0 0 -1 -1 -1 -1 4 2 1 -1 r 0 0 -1 0 -1 0 4 -2 1 -2 0 0 ^ 0 -1 -1 1 -2 1 V / nu [ Nuluj |eme #32- EBi ej q raa ©Lenka Přibylová, 20061 r X\ — X3-r"3X4 = 0 Reste soustavu X\+%2 — X4-5xi +X2 —4x3+3x4 - ■ *5 ■9x5 = 0 = 0 Xi—X2—2x3+ X4- -5X5 = 0 / 1 0 -1 3 0 0 \ f1 1 0 -1 -1 0 ^ 1 1 0 -1 -1 0 0 -1 -1 4 1 0 5 1 -4 3 -9 0 0 -4 -4 8 -4 0 V i -i -2 1 -5 0 J V 0 -2 -2 2 -4 0 J / 1 1 0 -1 -1 0 > 1 0 -1 -1 0 ^ 0 -1 -1 4 1 °\ 0 -1 -1 4 1 0 0 -1 -1 2 -1 °) 1 ~ 0 0 0 -2 -2 0 \o -1 -1 1 -2 l 0 0 0 -3 -3 0 J nu [ Nuluj |eme #42- EBi ej q raa ©Lenka Přibylová, 20061 Řešte soustavu X\ X1+X2 5Xi+X2 X\—X2 X3+3X4 = o — X4— X5 = o 4x3+3x4-9x5 = 0 2x3+ x4—5x5 = 0 11 0 -1 3 0 0 \ í 1 1 0 -1 -1 0 \ 1 1 0 -1 -1 0 0 -1 -1 4 1 0 5 1 -4 3 -9 0 0 -4 -4 8 -4 0 nu V 1 -1 -2 1 -5 0 / 0 -2 -2 2 -4 0 ) í1 1 0 -1 -1 0 \ í 1 1 0 -1 -1 0 \ 0 -1 -1 4 1 0 0 -1 -1 4 1 0 0 -1 -1 2 -1 0 0 0 0 -2 -2 0 nu V 0 -1 -1 1 -2 0 / 0 0 0 -3 -3 0 ) ^3 í 1 1 0 -1 -1 0 \ 0 -1 -1 4 1 0 0 0 0 -1 -1 0 V 0 0 0 -1 -1 0 ) Vydělíme poslední dva řádky společným dělitelem všech čísel v řádku. ©Lenka Přibylová, 2006 r — X3-h3X4 = 0 Reste soustavu X\+%2 — X4-5Xi +X2 —4X3 +3X4 - ■ x5 -9x5 = 0 = 0 Xi~ -X2—2x3+ X4- -5X5 = 0 / 1 0 -1 3 0 0 \ f1 1 0 -1 -1 0 \ 1 1 0 -1 -1 0 0 -1 -1 4 1 0 5 1 -4 3 -9 0 0 -4 -4 8 -4 0 V i -i -2 1 -5 0 ) l 0 -2 -2 2 -4 0 / / 1 1 0 -1 -1 0 \ f 1 1 0 -1 -1 0 \ 0 -1 -1 4 1 0 0 -1 -1 4 1 0 0 -1 -1 2 -1 0 0 0 0 -2 -2 0 \o -1 -1 1 -2 0 ) 0 0 -3 -3 / 1 1 0 -1 -1 0 \ 0 -1 -1 4 1 0 0 0 0 -1 -1 0 Poslední dva řádky jsou shodné a stačí uvažovat pouze jeden z nich. Tím je matice převedena do schodovitého tvaru. EJ Q 133 © Lenka Přibylová, 2ÔÔ61 Řešte soustavu v X\ X1+X2 5Xi+X2 X\—Xi ■ X3+3X4 = o — X4— X5 = 0 4x3+3x4—9x5 = 0 2x3+ X4—5x5 = 0 (1 0 -1 3 0 0 1 1 0 -1 -1 0 5 1 -4 3 -9 0 ^ 1 -1 -2 1 -5 0 ( 1 1 0 -1 -1 0 0 -1 -1 4 1 0 0 -1 -1 2 -1 0 ^ 0 -1 -1 1 -2 0 ( 1 1 0 -1 -1 0 0 -1 -1 4 1 0 0 0 0 -1 -1 0 / nu I I h(A) = 3 = h(Ar) n = 5, 2 parametry 1 1 0 -1 -1 0 ^ 0 -1 -1 4 1 0 0 -4 -4 8 -4 0 0 -2 -2 2 -4 0 ) 1 1 0 -1 -1 0 ^ 0 -1 -1 4 1 0 0 0 0 -2 -2 0 0 0 0 -3 -3 0 / nu nu EEi ej q igg ©Lenka Přibylová, 2006 Q Řešte soustavu X\ — X3+3X4 = 0 X1+X2 X4— X5 = 0 5xi+X2~ 4x3+3x4—9x5 = 0 X\— X2~ 2X3+ X4—5X5 = 0 1 1 0 -1 -1 0 0 -1 -1 4 1 0 0 0 0 -1 -1 0 I Uvažujeme matici ve schodvitém tvaru. ©Lenka Přibylová, 2006 Řešte soustavu A, nu %i — X3+3X4 = 0 X1+X2 — X4— X5 = o 5xi+X2— 4x3+3x4—9x5 = 0 X\— xi~ 2x3+ X4—5x5 = 0 1 1 0-1-1 0-1-1 4 1 0 0 0 -1 -1 [ Přepíšeme poslední řádek jako klasickou rovnici. bbi El ia laa ©Lenka Přibylová, Reste soustavu A x\ — X3+3X4 = 0 X1+X2 x4 — X5 = 0 5xi+X2—4x3+3x4—9x5 = 0 x\— x2~ 2X3+ X4 —5X5 = 0 1 1 0-1-1 0-1-1 4 1 0 0 0 -1 -1 —X4 — X5 = 0 X5 = t Protože neznámé v jedné rovnici jsou dvě, musí se jedna z nich rovnat parametru. Nechť například X5 je parametr. ©Lenka Přibylová, 2006 Řešte soustavu A nu X\ X1+X2 5Xi+X2 X\—X2 X3+3X4 = o — X4— X5 = o 4x3+3x4-9x5 = 0 2x3+ x4—5x5 = 0 1 1 0-1-1 0-1-1 4 1 0 0 0 -1 -1 X4 X5 = 0 = ŕ —X4 — t = 0 X4 = -t Dosadíme parametr a vypočteme X4. BBl EJ q 133 ©Lenka Přibylová, 2006 Řešte soustavu X\ X1+X2 5Xi+X2 X\—X2 - X3+3X4 = 0 — X4— X5 = 0 4x3+3x4—9x5 = o 2x3+ X4—5x5 = o nj 1 1 0-1-1 0-1-1 4 1 o o 0-1-1 X4 X5 = 0 = t —X4 — t = 0 X4 = -f Přepíšeme další řádek do tvaru rovnice. psi 6^ ©Lenka Přibylová, 200' Řešte soustavu X\ X1+X2 5Xi+X2 X\—X2 X3+3X4 = o — X4— X5 = o 4x3+3x4-9x5 = 0 2x3+ x4—5x5 = 0 1 1 0-1-1 0-1-1 4 1 0 0 0 -1 -1 —%i — X3 + 4x4 + X5 = 0 -x2 - x3 +4(-ŕ) + t = 0 X4 X5 = 0 = ŕ —X4 — t = 0 X4 = -t Dosadíme všechno co jsme vypočetli dříve. EBl EJ q |33 ©Lenka Přibylová, 2006 Řešte soustavu X\ X1+X2 5Xi+X2 X\—X2 X3+3X4 = o — X4— X5 = o 4x3+3x4-9x5 = 0 2x3+ x4—5x5 = 0 1 1 0-1-1 0-1-1 4 1 0 0 0 -1 -1 — X2 — X3 + 4X4 + X5 = 0 —X2 — X3 + 4(—ř) + ř = 0 *3 = s X4 X5 = 0 ^5 = t —X4 — ř = 0 X4 = -ř Zůstaly dvě neznámé, jedna z nich musí být parametr. ©Lenka Přibylová, 2006 Řešte soustavu X\ X1+X2 5Xi+X2 X\—X2 ■ X3+3X4 = 0 — X4— X5 = 0 4x3+3x4—9x5 = o 2x3+ X4—5x5 = o A 1 1 0-1-1 0-1-1 4 1 0 0 0 -1 -1 — X2 — X3 + 4X4 + X5 = = 0 —X2 — X3 + 4(—ř) + ř = = 0 = s —X2 — s — 3t - = 0 [ Dosadíme parametr. eei q q 133 X4 X5 = 0 = ř —X4 — t = 0 = -t ©Lenka Přibylová, 2006 Řešte soustavu X\ X1+X2 5Xi+X2 X\—X2 X3+3X4 = 0 — X4— X5 = 0 4x3+3x4-9x5 = 0 2x3+ x4—5x5 = 0 A nu 1 1 0-1-1 0-1-1 4 1 o o 0-1-1 — %2 — X3 + 4X4 + X5 = 0 —%2 — X3 + 4(—ř) + ř = 0 s —X2 — s — 3ř = 0 X2 = -s -3ř X4 X5 = 0 ^5 = ŕ —X4 — t = 0 X4 = -t Vypočteme X2 eei ej q |33 ©Lenka Přibylová, 2006 Řešte soustavu X\ X1+X2 5Xi+X2 X\—X2 X3+3X4 = o — X4— X5 = o 4x3+3x4-9x5 = 0 2x3+ x4—5x5 = 0 1 1 0-1-1 0-1-1 4 1 0 0 0 -1 -1 — x2 — X3 + 4X4 + X5 = 0 —x2 — X3 + 4(—ř) + ř = 0 s —X2 — s — 3ř = 0 X2 = -s -3ř X4 X5 = 0 ^5 = ŕ —X4 — t = 0 X4 = -t X\ + X2 — X4 — X5 = 0 Přepíšeme zbývající řádek do tvaru rovnice. ©Lenka Přibylová, 2006 Řešte soustavu X\ X1+X2 5Xi+X2 X\—X2 X3+3X4 = o — X4— X5 = o 4x3+3x4-9x5 = 0 2x3+ x4—5x5 = 0 1 1 0-1-1 0-1-1 4 1 0 0 0 -1 -1 X4 X5 = 0 x5 = ř —X4 — t = 0 X4 = -t — %2 — X3 + 4X4 + X5 = 0 —X2 — X3 + 4(—ř) + ř = 0 s — X2 — s — 3t = 0 X2 = -s -3ř Xi + X2 — X4 — X5 = 0 X! + (-s-3ř)-(-ř)-ř = 0 xi = s + 3ř Dosadíme vypočtené hodnoty a vyjáříme Xi. ©Lenka Přibylová, 2006 Řešte soustavu X\ X1+X2 5Xi+X2 X\—X2 X3+3X4 = o — X4— X5 = o 4x3+3x4-9x5 = 0 2x3+ x4—5x5 = 0 1 1 0-1-1 0-1-1 4 1 0 0 0 -1 -1 X4 X5 = 0 x5 = ř —X4 — t = 0 X4 = -t — %2 — X3 + 4X4 + X5 = 0 —X2 — X3 + 4(—ř) + ř = 0 s — X2 — s — 3t = 0 x2 = -s -3ř Xi + X2 — X4 — X5 = 0 X! + (-s-3ř)-(-ř)-ř = 0 xi = s + 3ř [ Soustava je vyřešena. ©Lenka Přibylová, 2006 /-> X\ + X2+ X3 + X4 = O *2 + x3 + x4 + x5 = O Reste soustavu x\ +2x2+3^3 = 0 X2+2X3+3X4+4X5 = 0 X3+2X4+3X5 = o EBi ej q igg ©Lenka Přibylová, 2006 Q r Řešte soustavu A X\ + X2+ X3 + X4 = 0 x2 + x3 + x4 + x5 = 0 x\ +2x2+3x3 = 0 ^2+2x3+3x4+4x5 = 0 X3+2X4+3X5 = 0 Ti 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 2 3 0 0 0 0 1 2 3 4 0 l 0 0 1 2 3 0 ) EBi ej q igg ©Lenka Přibylová, 2006 Q r Řešte soustavu A Xi+ x2 + *3 + *4 = 0 *2 + *3 + *4 + *5 = 0 xi+2x2+3x3 = 0 X2+2x3+3x4+4x5 = 0 x3+2x4+3x5 = 0 f1 1 1 1 0 0 ^ 0 1 1 1 1 0 1 2 3 0 0 0 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3 /lil nu V i o První řádek bude klíčový řádek. ©Lenka Přibylová, 2006 r Řešte soustavu Xi+ x2 + *3 + *4 = 0 *2 + *3 + *4+ *5 = 0 xi+2x2+3x3 = 0 x2+2x3+3x4+4x5 = 0 x3+2x4+3x5 = 0 A nu /1 1 1 1 0 0 ^ 0 1 1 1 1 0 1 2 3 0 0 0 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3 /1 o nu V 1 1 1 1 1 1 0 1 o Druhý řádek zůstává, má už nulu na začátku. BBl EJ q 133 ©Lenka Přibylová, 2006 r Řešte soustavu X\+ %2+ X3 + X4 X2+ X3 + X4 + X5 X\ +2X2 +3X3 X2+2X3+3X4+4X5 X3+2X4+3X5 0 0 o o o A / 1 0 1 0 V o 1 1 2 1 o 1 1 3 2 1 1 O 1 1 0 O 3 4 2 3 -1) / 1 1 1 1 0 0 \ 0 1 1 1 1 0 0 1 2 -1 0 0 \ / r Řešte soustavu X\+ X2+ X3 + X4 x2 + *3 + x4 + x5 X\ +2X2 +3X3 X2 +2X3+3X4+4X5 X3+2X4+3X5 0 0 o o o A nu /1 1 1 1 0 0 \ (1 1 1 1 0 0 ^ 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 2 3 0 0 0 nu 0 1 2 -1 0 0 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3 4 0 ^ 0 0 1 2 3 0 ) / v Čtvrtý řádek zůstává, má už nulu na začátku. BBl EJ Q 133 ©Lenka Přibylová, 2006 r Řešte soustavu A r-u X\+ %2+ X3 + X4 X2+ X3 + X4 + X5 Xi+2X2+3X3 X2+2X3+3X4+4X5 X3+2X4+3X5 0 0 o o o (1 1 1 1 0 0 \ / 1 1 1 1 0 0 ^ 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 2 3 0 0 0 0 1 2 -1 0 0 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3 4 0 ^ 0 0 1 2 3 0 ) ^ 0 0 1 2 3 0 / Poslední řádek zůstává, má už nulu na začátku. EBl EJ Q Igg ©Lenka Přibylová, 20061 r Řešte soustavu A nu ( 1 0 V X\+ %2+ X3 + X4 X2+ X3 + X4 + X5 X\ +2X2 +3X3 X2+2X3+3X4+4X5 X3+2X4+3X5 0 0 o o o (1 1 1 1 0 0 \ (1 1 1 1 0 0 ^ 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 2 3 0 0 0 nu 0 1 2 -1 0 0 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3 4 0 ^ 0 0 1 2 3 0 ) ^ 0 0 1 2 3 0 / 1 1 1 1 1 1 0 1 o \ o / nu První řádek zůstane a druhý řádek bude nový klíčový řádek. ©Lenka Přibylová, 2006 i r Řešte soustavu A ( 1 0 0 V X\+ %2+ X3 + X4 = 0 x2 + *3 + x4 + x5 = 0 Xi+2x2+3x3 — 0 X2+2X3+3X4+4X5 = 0 X3+2X4+3X5 = o /lil 0 11 12 3 0 12 \ 0 0 1 11 1 11 1 0 1-2 1 0 1 1 0 0 3 4 2 3 0 1 -1 0 \ 0 o o o o \ o o / nu / 1 0 o o V o 1 1 1 1 1 2 1 2 0 1 1 1 -1 3 2 0 1 O 4 3 0\ Ox (-1) o-1 o o / r Řešte soustavu A r-u ( 1 0 0 0 v X\ + %2+ X3 + X4 = 0 x2+ *3 + x4 + *5 = 0 X\ +2%2+3x3 = 0 X2+2X3+3X4+4X5 = 0 X3+2X4+3X5 = o /lil 0 11 12 3 0 12 \ 0 0 1 11 1 11 1 0 1-2 0 1 2 1 0 1 1 0 0 3 4 2 3 0 1 -1 3 0 \ 0 o o o o \ o o o / nu / 1 0 o o V o 1 1 1 1 1 2 1 2 0 1 1 1 -1 3 2 0 1 0 4 3 (-i)| °) nu 0 y r Řešte soustavu A ( 1 0 0 0 V o X\+ %2+ X3 + X4 X2+ X3 + X4 + X5 Xi+2X2+3X3 X2+2X3+3X4+4X5 X3+2X4+3X5 o o o 0 0 /ll 0 1 1 2 O 1 \ 0 0 1 1 1 O o o 1 1 1 1 1 1 3 2 1 1 1 ■2 2 2 1 O 1 1 O O 3 4 2 3 0 1 -1 3 3 0\ O O o o o o o o / nu ( 1 O o o V o 1 1 1 1 1 2 1 2 O 1 1 O 1 1 ■1 O 3 4 2 3 0\ O o o o Poslední řádek již má dvě nuly na začátku a ponecháme jej tedy beze změny El 13 iaa fcT)Lenka Přibylová. 2flfl6 r Řešte soustavu A ( 1 0 0 0 v X\+ %2+ X3 + X4 X2+ X3 + X4 + X5 Xi+2X2+3X3 X2+2x3+3X4+4X5 X3+2X4+3X5 o o o o o /lil 0 11 12 3 0 12 \ O O 1 11 1 11 1 0 1-2 0 1 2 1 1 0 1 O o 3 4 2 3 0 1 -1 3 0\ O o o o o \ o o o / nu ( 1 O o o 1 1 1 1 \ o o 1 1 2 2 1 / / 1 O 1 1 0 0 1 1 1 1 1 -1 3 2 1 1 2 V 0 1 o 4 3 0 1 1 O \ O o o o \ o o Poslední dva řádky jsou stejné a jeden z nich lze vynechat. První tři řádky zůstanou a třetí z nich bude nový klíčový řádek. ©Lenka Přibylová, 20061 r Řešte soustavu A ( 1 0 0 0 v X\+ %2+ X3 + X4 = 0 x2+ *3 + x4 + x5 = 0 X\ +2%2+3x3 = 0 X2+2X3+3X4+4X5 = 0 X3+2X4+3X5 = o /lil 0 11 12 3 0 12 \ 0 0 1 11 1 11 1 0 1-2 0 1 2 \ 0 0 0 1 1 -1 3 2 1 1 2 4 0 1 0 4 3 0 1 1 4 0 \ 0 o o o \ o o 0 / nu eei ej q igg r Řešte soustavu A ( 1 0 0 0 v X\+ %2+ X3 + X4 X2+ X3 + X4 + X5 Xi+2x2+3x3 X2+2x3+3X4+4X5 X3+2X4+3X5 o o o 0 0 /lil 0 11 12 3 0 12 \ 0 0 1 11 1 11 1 0 1-2 0 1 2 1 1 0 1 0 o 3 4 2 3 0 1 -1 3 0\ O o o o o \ o o o / nu ( 1 0 o o 1 1 1 1 \ o o 1 1 2 2 1 / / 1 O 1 1 0 0 1 1 1 \ o o o 1 1 -1 3 2 1 1 2 4 0 1 0 4 3 0 1 1 4 O \ O o o o \ o o 0 / Matice je ve schodovitém tvaru, h (A) = h(Ar) = 4 a soustava má nekonečně mnoho řešení závislých na (5 — 4) = 1 parametru. © Lenka Přibylová, 2ÔÔ61 r Řešte soustavu X\+ X2+ X3 + X4 = 0 x2 + x3 + x4 + x5 = 0 Xl +2X2 +3X3 = 0 X2+2X3+3X4+4X5 = 0 X3+2X4+3X5 = 0 A nu / 1 0 0 1 1 1 1 o 1 o o 1 1 2 4 0 1 1 4 O \ O o EBi ej q igg ©Lenka Přibylová, 2006 Q r X\+ %2+ X3 + X4 = O *2+ x3 + x4 + x5 = O Reste soustavu %\ +2x2+3^3 = 0 X2+2X3+3X4+4X5 = 0 X3+2X4+3X5 = o A r-u í1 1 1 1 0 0 \ 0 1 1 1 1 0 0 0 1 -2 -1 0 V 0 0 0 4 4 0 / 4x4 + 4X5 = 0 X4 + X5 = 0 x5 = t X4 = -t EEi ej q igg ©Lenka Přibylová, 2006 Q r Řešte soustavu A r-u X\+ %2+ X3 + X4 X2+ X3 + X4 + X5 Xl+2X2+3X3 X2 +2X3+3X4 +4X5 X3+2X4+3X5 /1 1 1 1 D 0 1 1 1 1 0 0 1 -2 -1 V 0 0 0 4 4 x3 — 2x4 - x5 = 0 x3 - -2(-0 - ř = 0 *3 -ř o \ o o =7 = 0 = 0 = 0 = 0 4x4 + 4x5 = 0 *4 + x5 — 0 X5 = ŕ X4 = —ř EBi ej q igg ©Lenka Přibylová, 2006 Q X\ + X2+ X3 + X4 X2+ X3 + X4 + X5 Reste soustavu x\ +2x2+3^3 X2 +2X3+3X4 +4X5 X3+2X4+3X5 (1 1 1 1 D 0 \ 4x4 + 4x5 = 0 0 1 1 1 1 0 X4 + X5 = 0 0 0 1 -2 -1 0 X5 = ř V 0 0 0 4 4 0 ) X4 = — ř x3 — 2x4 - x5 = 0 X2 + X3 + X4 + X5 = 0 x3 - ■2(-0 - ř = 0 *2 + ( -ŕ)+ (-*) + * = 0 *3 -ř X2 = t = o = o = o = o = o EBi ej q igg ©Lenka Přibylová, 2006 Q r Řešte soustavu A r-u X\ + X2+ X3 + X4 = 0 x2 + x3 + x4 + x5 = 0 x\ +2x2+3x3 = 0 ^2+2x3+3x4+4x5 = 0 X3+2X4+3X5 = 0 /ll 110 0 \ 4x4 + 4x5 = 0 0 1 111 0 X4 + X5 = 0 0 0 1 -2 -1 0 X5 = ř \ 0 0 0 4 4 0 ) X4 = — ř X3 2x 4 — X5 — 0 X2 + X3 + X4 + X5 = 0 x3-2(- -ř) - t = 0 x2+ ( -ŕ)+ (-*) + * = 0 X3 = —t x2 = ř xl + *2 + x3 + x4 — 0 *1 + í + (- t) + (- -ř) =0 a Ba X\— t ©L ©Lenka Přibylová, 20061 r Řešte soustavu A r-u X\+ X2+ x3 + x4 = 0 *2 + x3 + x4 + x5 = 0 Xl+2x2+3x3 = 0 x2+2x3+3x4+4x5 = 0 x3+2x4+3x5 = 0 /ll 110 0 \ 4x4 + 4x5 = 0 0 1 111 0 X4 + X5 = 0 0 0 1 -2 -1 0 X5 = t \ 0 0 0 4 4 0 ) X4 = — t X3 2x 4 — *5 = 0 X2 + X3 + X4 + X5 = 0 x3-2(- -ř) - t = 0 x2+( -t) + (-t) + t = 0 X3 = — t Xi — ř xl + *2 + x3 + x4 — 0 *1 + í + (- t) + (- -ř) =0 a Ba Xi = t ©L ©Lenka Přibylová, 20061 Konec EBi ej q igg ©Lenka Přibylová, 2006 Q